Espaço ultramétrico

Em matemática , um espaço ultramétrico é um espaço métrico no qual a desigualdade triangular é reforçada para todos ,, e . Às vezes, a métrica associada também é chamada de métrica não arquimediana ou supermétrica .

Definição formal

Uma ultramétrica em um conjunto M é uma função com valor real

(onde denota os números reais ), tal que para todo x , y , zM :

  1. d ( x , y ) ≥ 0 ;
  2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetria );
  3. d ( x , x ) = 0 ;
  4. se d ( x , y ) = 0 então x = y ;
  5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( forte desigualdade triangular ou desigualdade ultramétrica ).

Um espaço ultramétrico é um par ( M , d ) que consiste em um conjunto M junto com um d ultramétrico em M , que é chamada de função de distância associada ao espaço (também chamada de métrica ).

Se d satisfaz todas as condições, exceto possivelmente a condição 4, então d é chamado de ultrapseudométrico em M . Um espaço ultrapseudométrico é um par ( M , d ) que consiste em um conjunto M e um d ultrapseudométrico em M . [1]

No caso em que M é um grupo abeliano (escrito aditivamente) e d é gerado por uma função de comprimento (de modo que ), a última propriedade pode ser reforçada usando a nitidez de Krull para:

com igualdade se .

Queremos provar que se , então a igualdade ocorre se . Sem perda de generalidade , vamos supor que Isto implica aquilo . Mas também podemos calcular . Agora, o valor de não pode ser , pois se for esse o caso, temos o contrário da suposição inicial. Assim, , e . Usando a desigualdade inicial, temos e, portanto , .

Propriedades

No triângulo à direita, os dois pontos inferiores x e y violam a condição d ( x , y ) ≤ max{ d ( x , z ), d ( y , z )}.

A partir da definição acima, pode-se concluir várias propriedades típicas da ultrametria. Por exemplo, para todos , pelo menos uma das três igualdades ou ou é válida. Ou seja, cada triplo de pontos do espaço forma um triângulo isósceles , logo todo o espaço é um conjunto isósceles .

Definindo a bola (aberta) de raio centrada em , temos as seguintes propriedades:

  • Cada ponto dentro de uma bola é o seu centro, ou seja, se então .
  • As bolas que se cruzam estão contidas umas nas outras, ou seja, se não estiver vazia, então ou .
  • Todas as bolas de raio estritamente positivo são conjuntos abertos e fechados na topologia induzida . Ou seja, as bolas abertas também são fechadas e as bolas fechadas (substituir por ) também são abertas.
  • O conjunto de todas as bolas abertas com raio e centro em uma bola fechada de raio forma uma partição desta última, e a distância mútua de duas bolas abertas distintas é (maior ou) igual a .

Provar essas afirmações é um exercício instrutivo. [2] Todos derivam diretamente da desigualdade triangular ultramétrica. Observe que, pela segunda afirmação, uma bola pode ter vários pontos centrais com distância diferente de zero. A intuição por trás desses efeitos aparentemente estranhos é que, devido à forte desigualdade triangular, as distâncias na ultrametria não se somam.

Exemplos

  • A métrica discreta é uma ultramétrica.
  • Os números p -ádicos formam um espaço ultramétrico completo.
  • Considere o conjunto de palavras de comprimento arbitrário (finito ou infinito), Σ * , sobre algum alfabeto Σ. Defina a distância entre duas palavras diferentes como 2 n , onde n é o primeiro lugar em que as palavras diferem. A métrica resultante é uma ultramétrica.
  • O conjunto de palavras com extremidades coladas de comprimento n sobre algum alfabeto Σ é um espaço ultramétrico em relação à distância p -close. Duas palavras xey são p -close se qualquer substring de p letras consecutivas ( p < n ) aparecer o mesmo número de vezes (que também pode ser zero) em x e y . [3]
  • Se r = ( r n ) é uma sequência de números reais decrescentes até zero, então | x | r  := lim sup n →∞ | x n | r n induz uma ultramétrica no espaço de todas as sequências complexas para as quais é finito. (Observe que esta não é uma seminorma , pois carece de homogeneidade - se for permitido que r n seja zero, deve-se usar aqui a convenção bastante incomum de que 0 0  = 0.)
  • Se G é um grafo não direcionado com ponderação de aresta , todos os pesos de aresta são positivos, e d ( u , v ) é o peso do caminho minimax entre u e v (ou seja, o maior peso de uma aresta, em um caminho escolhido para minimizar este maior peso), então os vértices do gráfico, com distância medida por d , formam um espaço ultramétrico, e todos os espaços ultramétricos finitos podem ser representados desta forma. [4]

Formulários

Referências

  1. ^ Narici & Beckenstein 2011, pp.
  2. ^ "Desigualdade Triangular Ultramétrica" ​​. Troca de pilha .
  3. ^ Osipov, Gutkin (2013), "Agrupamento de órbitas periódicas em sistemas caóticos", Nonlinearity , 26 (26): 177–200, Bibcode :2013Nonli..26..177G, doi :10.1088/0951-7715/26/1 /177.
  4. ^ Leclerc, Bruno (1981), "Descrição combinatória de ultramétriques", Centre de Mathématique Sociale. École Pratique des Hautes Études. Mathématiques et Sciences Humaines (em francês) (73): 5–37, 127, MR  0623034.
  5. ^ Mezard, M; Parisi, G; e Virasoro, M: SPIN GLASS THEORY AND BEYOND , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7 
  6. ^ Rammal, R.; Toulouse, G.; Virasoro, M. (1986). “Ultrametricidade para físicos”. Resenhas de Física Moderna . 58 (3): 765–788. Bibcode :1986RvMP...58..765R. doi :10.1103/RevModPhys.58.765 . Recuperado em 20 de junho de 2011 .
  7. ^ Legendre, P. e Legendre, L. 1998. Ecologia Numérica. Segunda edição em inglês. Desenvolvimentos em Modelagem Ambiental 20. Elsevier, Amsterdã.
  8. ^ Benzi, R.; Biferale, L.; Trovatore, E. (1997). "Estrutura Ultramétrica de Correlações de Energia Multiescala em Modelos Turbulentos". Cartas de revisão física . 79 (9): 1670–1674. arXiv : chao-dyn/9705018 . Bibcode :1997PhRvL..79.1670B. doi :10.1103/PhysRevLett.79.1670. S2CID53120932  .
  9. ^ Papadimitriou, Fivos (2013). “Modelagem matemática do uso do solo e complexidade paisagística com topologia ultramétrica”. Jornal de Ciência do Uso da Terra . 8 (2): 234–254. doi : 10.1080/1747423x.2011.637136 . ISSN1747-423X  . S2CID121927387  .

Bibliografia

Leitura adicional

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