Triângulo

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Triângulo Equilátero
Polígono regular 3 anotado.svg
Um triângulo regular
TipoPolígono regular
Arestas e vértices3
Símbolo Schläfli{3}
Diagramas de Coxeter-DynkinCDel nó 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grupo de simetriaDiédrico (D 3 ), ordem 2×3
Ângulo interno ( graus )60°
PropriedadesConvexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal
Triângulo
Triangle illustration.svg
Um triangulo
Arestas e vértices3
Símbolo Schläfli{3} (para equilátero)
Áreavários métodos;
Veja abaixo
Ângulo interno ( graus )60° (para equilátero)
triângulo, tri, três, ângulo
Triângulo = Tri (três) + Ângulo

Um triângulo é um polígono com três arestas e três vértices . É uma das formas básicas da geometria . Um triângulo com vértices A , B e C é denotado.

Na geometria euclidiana , quaisquer três pontos, quando não colineares , determinam um único triângulo e, simultaneamente, um único plano (ou seja, um espaço euclidiano bidimensional ). Em outras palavras, há apenas um plano que contém esse triângulo, e todo triângulo está contido em algum plano. Se toda a geometria é apenas o plano euclidiano , existe apenas um plano e todos os triângulos estão contidos nele; no entanto, em espaços euclidianos de dimensão superior, isso não é mais verdade. Este artigo é sobre triângulos na geometria euclidiana e, em particular, o plano euclidiano, exceto onde indicado de outra forma.

Tipos de triângulo

Diagrama de Euler dos tipos de triângulos, usando a definição de que os triângulos isósceles têm pelo menos 2 lados iguais (ou seja, os triângulos equiláteros são isósceles).

A terminologia para categorizar os triângulos tem mais de dois mil anos, tendo sido definida na primeira página dos Elementos de Euclides . Os nomes usados ​​para a classificação moderna são uma transliteração direta do grego de Euclides ou suas traduções latinas.

Por comprimentos de lados

O matemático grego antigo Euclides definiu três tipos de triângulo de acordo com os comprimentos de seus lados: [1] [2]

Grego : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit. 'Das figuras trilaterais, um triângulo isopléurônico [equilátero] é aquele que tem seus três lados iguais, um isósceles aquele que tem apenas dois de seus lados iguais, e um escaleno aquele que tem seus três lados desiguais.' [3]

  • Um triângulo equilátero ( grego : ἰσόπλευρον , romanizadoisópleuron , lit. 'lados iguais') tem três lados do mesmo comprimento. Um triângulo equilátero também é um polígono regular com todos os ângulos medindo 60°. [4]
  • Um triângulo isósceles ( grego : ἰσοσκελὲς , romanizadoisoskelés , lit. 'pernas iguais') tem dois lados de igual comprimento. [nota 1] [5] Um triângulo isósceles também tem dois ângulos da mesma medida, ou seja, os ângulos opostos aos dois lados do mesmo comprimento. Este fato é o conteúdo do teorema do triângulo isósceles , que era conhecido por Euclides . Alguns matemáticos definem um triângulo isósceles como tendo exatamente dois lados iguais, enquanto outros definem um triângulo isósceles como aquele com pelo menos dois lados iguais. [5]A última definição faria todos os triângulos equiláteros triângulos isósceles. O triângulo retângulo 45–45–90, que aparece na telha quadrada tetraquis , é isósceles.
  • Um triângulo escaleno ( grego : σκαληνὸν , romanizadoskalinón , lit. 'desigual') tem todos os seus lados de comprimentos diferentes. [6] Equivalentemente, tem todos os ângulos de medida diferente.

Marcas de hachura , também chamadas de marcas de escala, são usadas em diagramas de triângulos e outras figuras geométricas para identificar lados de comprimentos iguais. Um lado pode ser marcado com um padrão de "tiques", segmentos de linha curtos na forma de marcas de contagem ; dois lados têm comprimentos iguais se ambos estiverem marcados com o mesmo padrão. Em um triângulo, o padrão geralmente não passa de 3 tiques. Um triângulo equilátero tem o mesmo padrão em todos os 3 lados, um triângulo isósceles tem o mesmo padrão em apenas 2 lados e um triângulo escaleno tem padrões diferentes em todos os lados, pois nenhum lado é igual.

Da mesma forma, padrões de 1, 2 ou 3 arcos concêntricos dentro dos ângulos são usados ​​para indicar ângulos iguais: um triângulo equilátero tem o mesmo padrão em todos os 3 ângulos, um triângulo isósceles tem o mesmo padrão em apenas 2 ângulos e um triângulo escaleno tem padrões diferentes em todos os ângulos, já que nenhum ângulo é igual.

Por ângulos internos

A primeira página dos Elementos de Euclides , da primeira versão impressa do mundo (1482), mostrando a seção "definições" do Livro I. O triângulo retângulo é rotulado como " ortogonius ", e os dois ângulos mostrados são "acutus" e "angulus obtusus" .

Os triângulos também podem ser classificados de acordo com seus ângulos internos , aqui medidos em graus .

  • Um triângulo retângulo (ou triângulo retângulo , anteriormente chamado de triângulo retângulo ) tem um de seus ângulos internos medindo 90° (um ângulo reto ). O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa , o lado mais longo do triângulo. Os outros dois lados são chamados de pernas ou catetos [7] (singular: catetos ) do triângulo. Triângulos retângulos obedecem ao teorema de Pitágoras : a soma dos quadrados dos comprimentos dos dois catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa: a 2 + b 2 = c 2, onde a e b são os comprimentos dos catetos e c é o comprimento da hipotenusa. Triângulos retângulos especiais são triângulos retângulos com propriedades adicionais que facilitam os cálculos que os envolvem. Um dos dois mais famosos é o triângulo retângulo 3–4–5, onde 3 2 + 4 2 = 5 2 . O triângulo 3–4–5 também é conhecido como triângulo egípcio. [8] Nesta situação, 3, 4 e 5 são um triplo pitagórico . O outro é um triângulo isósceles que tem 2 ângulos medindo 45 graus (triângulo 45–45–90).
  • Um triângulo com todos os ângulos internos medindo menos de 90° é um triângulo agudo ou triângulo de ângulo agudo . [2] Se c é o comprimento do lado maior, então a 2 + b 2 > c 2 , onde a e b são os comprimentos dos outros lados.
  • Um triângulo com um ângulo interno medindo mais de 90° é um triângulo obtuso ou triângulo de ângulo obtuso . [2] Se c é o comprimento do lado maior, então a 2 + b 2 < c 2 , onde a e b são os comprimentos dos outros lados.
  • Um triângulo com um ângulo interno de 180° (e vértices colineares ) é degenerado . Um triângulo retângulo degenerado tem vértices colineares, dois dos quais são coincidentes.

Um triângulo que tem dois ângulos com a mesma medida também tem dois lados com o mesmo comprimento e, portanto, é um triângulo isósceles. Segue-se que em um triângulo onde todos os ângulos têm a mesma medida, todos os três lados têm o mesmo comprimento e, portanto, são equiláteros.

Triângulo reto Triângulo obtuso Triângulo agudo
Certo Obtuso Agudo
 
  Oblíquo

Fatos básicos

Um triângulo, mostrando o ângulo externo d.

Os triângulos são considerados figuras planas bidimensionais , a menos que o contexto forneça o contrário (veja Triângulos não-planares , abaixo). Em tratamentos rigorosos, um triângulo é, portanto, chamado de 2 - simples (ver também Polytope ). Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides , nos livros 1–4 de seus Elementos , escritos por volta de 300 aC.

As medidas dos ângulos internos do triângulo sempre somam 180 graus (mesma cor para indicar que são iguais).

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo no espaço euclidiano é sempre 180 graus. [9] [2] Este fato é equivalente ao postulado das paralelas de Euclides . Isso permite determinar a medida do terceiro ângulo de qualquer triângulo, dada a medida de dois ângulos. Um ângulo externo de um triângulo é um ângulo que é um par linear (e, portanto, suplementar ) a um ângulo interno. A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos que não são adjacentes a ele; este é o teorema do ângulo externo. A soma das medidas dos três ângulos externos (um para cada vértice) de qualquer triângulo é 360 graus. [nota 2]

Semelhança e congruência

Dois triângulos são ditos semelhantes se cada ângulo de um triângulo tem a mesma medida que o ângulo correspondente no outro triângulo. Os lados correspondentes de triângulos semelhantes têm comprimentos que estão na mesma proporção, e essa propriedade também é suficiente para estabelecer semelhança.

Alguns teoremas básicos sobre triângulos semelhantes são:

  • Se e somente se um par de ângulos internos de dois triângulos têm a mesma medida um do outro, e outro par também tem a mesma medida um do outro, os triângulos são semelhantes.
  • Se e somente se um par de lados correspondentes de dois triângulos estão na mesma proporção que outro par de lados correspondentes, e seus ângulos incluídos têm a mesma medida, então os triângulos são semelhantes. (O ângulo incluído para quaisquer dois lados de um polígono é o ângulo interno entre esses dois lados.)
  • Se e somente se três pares de lados correspondentes de dois triângulos estão todos na mesma proporção, então os triângulos são semelhantes. [nota 3]

Dois triângulos que são congruentes têm exatamente o mesmo tamanho e forma: [nota 4] todos os pares de ângulos internos correspondentes são iguais em medida e todos os pares de lados correspondentes têm o mesmo comprimento. (Este é um total de seis igualdades, mas três geralmente são suficientes para provar a congruência.)

Algumas condições individualmente necessárias e suficientes para que um par de triângulos seja congruente são:

  • Postulado SAS: Dois lados de um triângulo têm o mesmo comprimento que dois lados do outro triângulo, e os ângulos incluídos têm a mesma medida.
  • ASA: Dois ângulos internos e o lado incluído em um triângulo têm a mesma medida e comprimento, respectivamente, que os do outro triângulo. (O lado incluído para um par de ângulos é o lado que é comum a eles.)
  • SSS: Cada lado de um triângulo tem o mesmo comprimento que um lado correspondente do outro triângulo.
  • AAS: Dois ângulos e um lado correspondente (não incluído) em um triângulo têm a mesma medida e comprimento, respectivamente, que os do outro triângulo. (Isso às vezes é chamado de AAcorrS e inclui o ASA acima.)

Algumas condições individualmente suficientes são:

  • Teorema Hipotenusa-Leg (HL): A hipotenusa e um cateto em um triângulo retângulo têm o mesmo comprimento que aqueles em outro triângulo retângulo. Isso também é chamado de RHS (ângulo reto, hipotenusa, lado).
  • Teorema da hipotenusa-ângulo: A hipotenusa e um ângulo agudo em um triângulo retângulo têm o mesmo comprimento e medida, respectivamente, que os do outro triângulo retângulo. Este é apenas um caso particular do teorema AAS.

Uma condição importante é:

  • Condição Lado-Lado-Ângulo (ou Ângulo-Lado-Lado): Se dois lados e um ângulo não incluído correspondente de um triângulo têm o mesmo comprimento e medida, respectivamente, que os de outro triângulo, então isso não é suficiente para provar congruência; mas se o ângulo dado for oposto ao lado maior dos dois lados, então os triângulos são congruentes. O Teorema da Hipotenusa-Leg é um caso particular deste critério. A condição Side-Side-Angle por si só não garante que os triângulos sejam congruentes porque um triângulo pode ser obtuso e o outro agudo.

Usando triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas seno e cosseno podem ser definidas. Estas são funções de um ângulo que são investigadas em trigonometria .

Triângulos retângulos

O teorema de Pitágoras

Um teorema central é o teorema de Pitágoras , que afirma em qualquer triângulo retângulo , o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos dois outros lados. Se a hipotenusa tem comprimento c e os catetos têm comprimento a e b , então o teorema afirma que

A recíproca é verdadeira: se os comprimentos dos lados de um triângulo satisfazem a equação acima, então o triângulo tem um ângulo reto oposto ao lado c .

Alguns outros fatos sobre triângulos retângulos:

  • Se os catetos de um triângulo retângulo têm o mesmo comprimento, então os ângulos opostos a esses catetos têm a mesma medida. Como esses ângulos são complementares, segue-se que cada um mede 45 graus. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da hipotenusa é o comprimento de uma perna vezes 2 .
  • Em um triângulo retângulo com ângulos agudos medindo 30 e 60 graus, a hipotenusa é duas vezes o comprimento do lado menor, e o lado maior é igual ao comprimento do lado menor vezes 3 :

Para todos os triângulos, ângulos e lados estão relacionados pela lei dos cossenos e lei dos senos (também chamadas de regra do cosseno e regra do seno ).

Existência de um triângulo

Condição nas laterais

A desigualdade triangular afirma que a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo deve ser maior ou igual ao comprimento do terceiro lado. Essa soma pode ser igual ao comprimento do terceiro lado apenas no caso de um triângulo degenerado, um com vértices colineares. Não é possível que essa soma seja menor que o comprimento do terceiro lado. Um triângulo com três comprimentos de lados positivos dados existe se e somente se esses comprimentos de lado satisfazem a desigualdade do triângulo.

Condições nos ângulos

Três ângulos dados formam um triângulo não degenerado (e de fato uma infinidade deles) se e somente se ambas as condições forem válidas: (a) cada um dos ângulos é positivo, e (b) a soma dos ângulos é 180°. Se triângulos degenerados são permitidos, ângulos de 0° são permitidos.

Condições trigonométricas

Três ângulos positivos α , β e γ , cada um deles menor que 180°, são os ângulos de um triângulo se e somente se qualquer uma das seguintes condições for válida:

[10]
[10]
[11]

a última igualdade aplicando-se apenas se nenhum dos ângulos for 90° (portanto, o valor da função tangente é sempre finito).

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

Existem milhares de construções diferentes que encontram um ponto especial associado a (e muitas vezes dentro) de um triângulo, satisfazendo alguma propriedade única: veja o artigo Enciclopédia de Centros de Triângulo para um catálogo deles. Muitas vezes eles são construídos encontrando três retas associadas de forma simétrica com os três lados (ou vértices) e então provando que as três retas se encontram em um único ponto: uma ferramenta importante para provar a existência destas é o teorema de Ceva , que dá uma critério para determinar quando três dessas linhas são concorrentes . Da mesma forma, as linhas associadas a um triângulo são frequentemente construídas provando que três pontos simetricamente construídos são colineares : aqui o teorema de Menelaufornece um critério geral útil. Nesta seção, apenas algumas das construções mais comumente encontradas são explicadas.

O circuncentro é o centro de um círculo que passa pelos três vértices do triângulo.

A mediatriz de um lado de um triângulo é uma linha reta que passa pelo ponto médio do lado e é perpendicular a ele, ou seja, formando um ângulo reto com ele. As três mediatrizes se encontram em um único ponto, o circuncentro do triângulo , geralmente denotado por O ; este ponto é o centro do circumcircle , o círculo que passa por todos os três vértices. O diâmetro deste círculo, chamado de circundiâmetro , pode ser encontrado a partir da lei dos senos indicada acima. O raio do circumcircle é chamado de circumradius .

O teorema de Tales implica que, se o circuncentro está localizado em um lado do triângulo, então o ângulo oposto é reto. Se o circuncentro está localizado dentro do triângulo, então o triângulo é agudo; se o circuncentro está localizado fora do triângulo, então o triângulo é obtuso.

A interseção das altitudes é o ortocentro .

Uma altura de um triângulo é uma linha reta que passa por um vértice e é perpendicular (ou seja, formando um ângulo reto com) o lado oposto. Este lado oposto é chamado de base da altitude, e o ponto onde a altitude intercepta a base (ou sua extensão) é chamado de da altitude. O comprimento da altitude é a distância entre a base e o vértice. As três altitudes se cruzam em um único ponto, chamado ortocentro do triângulo, geralmente denotado por H . O ortocentro está dentro do triângulo se e somente se o triângulo for agudo.

A interseção das bissetrizes do ângulo é o centro da circunferência .

Uma bissetriz de um triângulo é uma linha reta que passa por um vértice que corta o ângulo correspondente pela metade. As três bissetrizes do ângulo se cruzam em um único ponto, o incentro , geralmente denotado por I , o centro do círculo do triângulo . O incircle é o círculo que fica dentro do triângulo e toca todos os três lados. Seu raio é chamado de inradius . Existem outros três círculos importantes, os excírculos ; eles ficam fora do triângulo e tocam um lado, bem como as extensões dos outros dois. Os centros dos círculos internos e externos formam um sistema ortocêntrico .

A intersecção das medianas é o centroide .

A mediana de um triângulo é uma linha reta que passa por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto, e divide o triângulo em duas áreas iguais. As três medianas se cruzam em um único ponto, o centróide do triângulo ou baricentro geométrico, geralmente denotado por G . O centroide de um objeto triangular rígido (recortado de uma folha fina de densidade uniforme) é também seu centro de massa : o objeto pode ser equilibrado em seu centroide em um campo gravitacional uniforme. O centróide corta cada mediana na razão 2:1, ou seja, a distância entre um vértice e o centróide é duas vezes a distância entre o centróide e o ponto médio do lado oposto.

O círculo de nove pontos demonstra uma simetria onde seis pontos estão na borda do triângulo.

Os pontos médios dos três lados e os pés das três altitudes estão todos em um único círculo, o círculo de nove pontos do triângulo . Os três pontos restantes para os quais é nomeado são os pontos médios da porção de altitude entre os vértices e o ortocentro . O raio do círculo de nove pontos é metade do raio do círculo circunscrito. Toca o incircle (no ponto Feuerbach ) e os três excircles .

A linha de Euler é uma linha reta que passa pelo ortocentro (azul), centro do círculo de nove pontos (vermelho), centróide (laranja) e circuncentro (verde).

O ortocentro (ponto azul), centro do círculo de nove pontos (vermelho), centróide (laranja) e circuncentro (verde) estão todos em uma única linha, conhecida como linha de Euler (linha vermelha). O centro do círculo de nove pontos fica no ponto médio entre o ortocentro e o circuncentro, e a distância entre o centróide e o circuncentro é metade daquela entre o centróide e o ortocentro.

O centro do círculo não está geralmente localizado na linha de Euler.

Se se reflete uma mediana na bissetriz do ângulo que passa pelo mesmo vértice, obtém-se uma simmediana . As três symmedians se cruzam em um único ponto, o ponto symmedian do triângulo.

Calculando os lados e ângulos

Existem vários métodos padrão para calcular o comprimento de um lado ou a medida de um ângulo. Certos métodos são adequados para calcular valores em um triângulo retângulo; métodos mais complexos podem ser necessários em outras situações.

Razões trigonométricas em triângulos retângulos

Um triângulo retângulo sempre inclui um ângulo de 90° (π/2 radianos), aqui com o rótulo C. Os ângulos A e B podem variar. As funções trigonométricas especificam as relações entre os comprimentos dos lados e os ângulos internos de um triângulo retângulo.

Em triângulos retângulos , as razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente podem ser usadas para encontrar ângulos desconhecidos e os comprimentos de lados desconhecidos. Os lados do triângulo são conhecidos como:

  • A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou definido como o maior lado de um triângulo retângulo, neste caso h .
  • O lado oposto é o lado oposto ao ângulo que nos interessa, neste caso a .
  • O lado adjacente é o lado que está em contato com o ângulo que nos interessa e o ângulo reto, daí seu nome. Neste caso, o lado adjacente é b .

Seno, cosseno e tangente

O seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento da hipotenusa. No nosso caso

Essa razão não depende do triângulo retângulo específico escolhido, desde que contenha o ângulo A , pois todos esses triângulos são semelhantes .

O cosseno de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado adjacente e o comprimento da hipotenusa. No nosso caso

A tangente de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento do lado adjacente. No nosso caso

A sigla " SOH-CAH-TOA " é um mnemônico útil para essas proporções.

Funções inversas

As funções trigonométricas inversas podem ser usadas para calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo com o comprimento de quaisquer dois lados.

Arcsin pode ser usado para calcular um ângulo do comprimento do lado oposto e o comprimento da hipotenusa.

Arccos pode ser usado para calcular um ângulo do comprimento do lado adjacente e o comprimento da hipotenusa.

Arctan pode ser usado para calcular um ângulo do comprimento do lado oposto e do comprimento do lado adjacente.

Nos cursos introdutórios de geometria e trigonometria, a notação sin −1 , cos −1 , etc., é frequentemente usada no lugar de arcsin, arccos, etc. as funções são comumente elevadas a potências, pois isso evita confusão entre inversa multiplicativa e inversa composicional .

Regras de seno, cosseno e tangente

Um triângulo com lados de comprimento a, b e c e ângulos de α, β e γ respectivamente.

A lei dos senos , ou regra do seno, [12] afirma que a razão entre o comprimento de um lado e o seno de seu ângulo oposto correspondente é constante, ou seja,

Esta razão é igual ao diâmetro do círculo circunscrito do triângulo dado. Outra interpretação deste teorema é que todo triângulo com ângulos α, β e γ é semelhante a um triângulo com comprimentos laterais iguais a sen α, sen β e sen γ. Este triângulo pode ser construído construindo primeiro um círculo de diâmetro 1 e inscrevendo nele dois dos ângulos do triângulo. O comprimento dos lados desse triângulo será sen α, sen β e sen γ. O lado cujo comprimento é sen α é oposto ao ângulo cuja medida é α, etc.

A lei dos cossenos , ou regra dos cossenos, conecta o comprimento de um lado desconhecido de um triângulo ao comprimento dos outros lados e o ângulo oposto ao lado desconhecido. [12] De acordo com a lei:

Para um triângulo com comprimento dos lados a , b , c e ângulos de α, β, γ respectivamente, dados dois comprimentos conhecidos de um triângulo a e b , e o ângulo entre os dois lados conhecidos γ (ou o ângulo oposto ao desconhecido lado c ), para calcular o terceiro lado c , pode-se usar a seguinte fórmula:

Se os comprimentos de todos os três lados de qualquer triângulo são conhecidos, os três ângulos podem ser calculados:

A lei das tangentes , ou regra da tangente, pode ser usada para encontrar um lado ou um ângulo quando dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado são conhecidos. Afirma que: [13]

Solução de triângulos

"Solução de triângulos" é o principal problema trigonométrico : encontrar as características que faltam em um triângulo (três ângulos, os comprimentos dos três lados etc.) quando pelo menos três dessas características são dadas. O triângulo pode estar localizado em um plano ou em uma esfera . Esse problema ocorre frequentemente em várias aplicações trigonométricas, como geodésia , astronomia , construção , navegação etc.

Calculando a área de um triângulo

A área de um triângulo pode ser demonstrada, por exemplo, por meio da congruência de triângulos , como metade da área de um paralelogramo que tem o mesmo comprimento e altura da base.
Uma derivação gráfica da fórmulaque evita o procedimento usual de dobrar a área do triângulo e depois reduzi-la pela metade.

Calcular a área T de um triângulo é um problema elementar encontrado frequentemente em muitas situações diferentes. A fórmula mais conhecida e mais simples é:

onde b é o comprimento da base do triângulo e h é a altura ou altura do triângulo. O termo "base" denota qualquer lado, e "altura" denota o comprimento de uma perpendicular do vértice oposto à base para a linha que contém a base. Em 499 dC Aryabhata , usou este método ilustrado no Aryabhatiya (seção 2.6). [14]

Apesar de simples, esta fórmula só é útil se a altura puder ser facilmente encontrada, o que nem sempre é o caso. Por exemplo, o agrimensor de um campo triangular pode achar relativamente fácil medir o comprimento de cada lado, mas relativamente difícil construir uma 'altura'. Vários métodos podem ser usados ​​na prática, dependendo do que se sabe sobre o triângulo. A seguir, uma seleção de fórmulas frequentemente usadas para a área de um triângulo. [15]

Usando trigonometria

Aplicando trigonometria para encontrar a altitude h .

A altura de um triângulo pode ser encontrada através da aplicação da trigonometria .

Conhecendo o SAS : Usando os rótulos na imagem à direita, a altitude é h = um pecado. Substituindo isso na fórmula derivada acima, a área do triângulo pode ser expressa como:

(onde α é o ângulo interno em A , β é o ângulo interno em B ,é o ângulo interno em C e c é a reta AB ).

Além disso, como sen α = sen ( π − α) = sen (β +), e da mesma forma para os outros dois ângulos:

Conhecendo AAS :

e analogamente se o lado conhecido for a ou c .

Conhecendo ASA : [1]

e analogamente se o lado conhecido for b ou c .

Usando a fórmula de Heron

A forma do triângulo é determinada pelos comprimentos dos lados. Portanto, a área também pode ser derivada dos comprimentos dos lados. Pela fórmula de Heron :

Ondeé o semiperímetro , ou metade do perímetro do triângulo.

Três outras maneiras equivalentes de escrever a fórmula de Heron são

Usando vetores

A área de um paralelogramo embutido em um espaço euclidiano tridimensional pode ser calculada usando vetores . Deixe os vetores AB e AC apontarem respectivamente de A para B e de A para C . A área do paralelogramo ABDC é então

que é o módulo do produto vetorial dos vetores AB e AC . A área do triângulo ABC é metade disso,

A área do triângulo ABC também pode ser expressa em termos de produtos escalares da seguinte forma:

No espaço euclidiano bidimensional, expressando o vetor AB como um vetor livre no espaço cartesiano igual a ( x 1 , y 1 ) e AC como ( x 2 , y 2 ), isso pode ser reescrito como:

Usando coordenadas

Se o vértice A está localizado na origem (0, 0) de um sistema de coordenadas cartesianas e as coordenadas dos outros dois vértices são dadas por B = ( x B , y B ) e C = ( x C , y C ) , então a área pode ser calculada como 12 vezes o valor absoluto do determinante

Para três vértices gerais, a equação é:

que pode ser escrito como

Se os pontos forem rotulados sequencialmente no sentido anti-horário, as expressões determinantes acima são positivas e os sinais de valor absoluto podem ser omitidos. [16] A fórmula acima é conhecida como fórmula do cadarço ou fórmula do agrimensor.

Se localizarmos os vértices no plano complexo e os denotarmos na sequência anti-horária como a = x A + y A i , b = x B + y B i , e c = x C + y C i , e denotar seus conjugados complexos como,, e, então a fórmula

é equivalente à fórmula do cadarço.

Em três dimensões, a área de um triângulo geral A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) e C = ( x C , y C , z C ) é a Soma pitagórica das áreas das respectivas projeções nos três planos principais (ou seja , x = 0, y = 0 e z = 0):

Usando integrais de linha

A área dentro de qualquer curva fechada, como um triângulo, é dada pela integral de linha ao redor da curva da distância algébrica ou sinalizada de um ponto na curva de uma linha reta L orientada arbitrariamente . Pontos à direita de L como orientados são considerados a uma distância negativa de L , enquanto o peso para a integral é considerado o componente do comprimento do arco paralelo a L em vez do próprio comprimento do arco.

Este método é adequado para o cálculo da área de um polígono arbitrário . Tomando L como o eixo x , a integral de linha entre vértices consecutivos ( x i , y i ) e ( x i +1 , y i +1 ) é dada pela base vezes a altura média, a saber ( x i +1x i )( y i + y i +1 )/2. O sinal da área é um indicador geral da direção da travessia, com a área negativa indicando travessia no sentido anti-horário. A área de um triângulo então cai como no caso de um polígono com três lados.

Enquanto o método da integral de linha tem em comum com outros métodos baseados em coordenadas a escolha arbitrária de um sistema de coordenadas, ao contrário dos outros ele não faz escolha arbitrária do vértice do triângulo como origem ou do lado como base. Além disso, a escolha do sistema de coordenadas definido por L compromete apenas dois graus de liberdade em vez dos três usuais, uma vez que o peso é uma distância local (por exemplo , x i +1x i no acima) de onde o método não requer escolha um eixo normal a L.

Ao trabalhar em coordenadas polares não é necessário converter para coordenadas cartesianas para usar integração de linha, pois a integral de linha entre vértices consecutivos ( r ii ) e ( r i +1i +1 ) de um polígono é dada diretamente por r i r i +1 sen(θ i +1 − θ i )/2. Isso é válido para todos os valores de θ, com algum decréscimo na precisão numérica quando |θ| é muitas ordens de magnitude maior que π. Com esta formulação, a área negativa indica o deslocamento no sentido horário, o que deve ser lembrado ao misturar as coordenadas polares e cartesianas. Assim como a escolha do eixo y ( x = 0 ) é irrelevante para a integração de linhas em coordenadas cartesianas, a escolha do rumo zero ( θ = 0 ) é irrelevante aqui.

Fórmulas semelhantes à fórmula de Heron

Três fórmulas têm a mesma estrutura que a fórmula de Heron, mas são expressas em termos de variáveis ​​diferentes. Primeiro, denotando as medianas dos lados a , b e c respectivamente como m a , m b , e m c e sua semi-soma ( m a + m b + m c )/2 como σ, temos [17]

Em seguida, denotando as altitudes dos lados a , b e c respectivamente como h a , h b , e h c , e denotando a semi-soma dos recíprocos das altitudes comotemos [18]

E denotando a semi-soma dos senos dos ângulos como S = [(sen α) + (sen β) + (sen γ)]/2 , temos [19]

onde D é o diâmetro da circunferência:

Usando o teorema de Pick

Veja o teorema de Pick para uma técnica para encontrar a área de qualquer polígono de rede arbitrário (um desenhado em uma grade com pontos de rede adjacentes vertical e horizontalmente a distâncias iguais e com vértices em pontos de rede).

O teorema afirma:

Ondeé o número de pontos de rede internos e B é o número de pontos de rede que se encontram na borda do polígono.

Outras fórmulas de área

Existem inúmeras outras fórmulas de área, como

onde r é o raio , e s é o semiperímetro ( na verdade, esta fórmula vale para todos os polígonos tangenciais ), e [20] : Lema 2 

Ondesão os raios das circunferências tangentes aos lados a, b, c respectivamente.

Nos tambem temos

e [21]

para o circundiâmetro D ; e [22]

para ângulo α ≠ 90°.

A área também pode ser expressa como [23]

Em 1885, Baker [24] apresentou uma coleção de mais de cem fórmulas de áreas distintas para o triângulo. Esses incluem:

para circumradius (raio do circumcircle) R , e

Limite superior da área

A área T de qualquer triângulo com perímetro p satisfaz

com igualdade válida se e somente se o triângulo é equilátero. [25] [26] : 657 

Outros limites superiores na área T são dados por [27] : p.290 

e

ambos novamente segurando se e somente se o triângulo é equilátero.

Dividindo a área

Existem infinitas linhas que cortam a área de um triângulo . [28] Três delas são as medianas, que são as únicas bissetrizes de área que passam pelo centroide. Três outras bissetrizes de área são paralelas aos lados do triângulo.

Qualquer linha através de um triângulo que divide a área do triângulo e seu perímetro ao meio passa pelo incentro do triângulo. Pode haver um, dois ou três deles para qualquer triângulo.

Outras fórmulas para triângulos euclidianos gerais

As fórmulas nesta seção são verdadeiras para todos os triângulos euclidianos.

Medianas, bissetrizes angulares, bissetrizes laterais perpendiculares e altitudes

As medianas e os lados estão relacionados por [29] : p.70 

e

,

e equivalentemente para m b e m c .

Para o ângulo A lado oposto a , o comprimento da bissetriz interna do ângulo é dado por [30]

para o semiperímetro s , onde o comprimento da bissetriz é medido do vértice até onde ele encontra o lado oposto.

As mediatrizes internas são dadas por

onde estão os ladose a área é[31] : Thm 2 

A altitude, por exemplo, do lado de comprimento a é

Circunradius e inradius

As seguintes fórmulas envolvem o circumradius R e o inradius r :

onde h a etc. são as altitudes para os lados subscritos; [29] : p.79 

[11]

e

.

O produto de dois lados de um triângulo é igual à altura ao terceiro lado vezes o diâmetro D da circunferência: [29] : p.64 

Triângulos adjacentes

Suponha que dois triângulos adjacentes, mas não sobrepostos, compartilhem o mesmo lado de comprimento f e compartilhem o mesmo circumcircle, de modo que o lado de comprimento f seja uma corda do circumcircle e os triângulos tenham lados de comprimento ( a , b , f ) e ( c ) , d , f ), com os dois triângulos juntos formando um quadrilátero cíclico com comprimentos de lado em sequência ( a , b , c , d ). Então [32] : 84 

Centroide

Seja G o baricentro de um triângulo com vértices A , B e C , e seja P qualquer ponto interior. Então as distâncias entre os pontos são relacionadas por [32] : 174 

A soma dos quadrados dos lados do triângulo é igual a três vezes a soma das distâncias quadradas do centróide dos vértices:

[33]

Sejam q a , q b e q c as distâncias do centróide aos lados dos comprimentos a , b e c . Então [32] : 173 

e

para a área T.

Circuncentro, incentro e ortocentro

O teorema de Carnot afirma que a soma das distâncias do circuncentro aos três lados é igual à soma do circumradius e do inradius. [29] : p.83  Aqui o comprimento de um segmento é considerado negativo se e somente se o segmento estiver inteiramente fora do triângulo. Este método é especialmente útil para deduzir as propriedades de formas mais abstratas de triângulos, como as induzidas por álgebras de Lie , que de outra forma têm as mesmas propriedades dos triângulos usuais.

O teorema de Euler afirma que a distância d entre o circuncentro e o incentro é dada por [29] : p.85 

ou equivalente

onde R é o circumradius e r é o inradius. Assim, para todos os triângulos R ≥ 2 r , com igualdade valendo para triângulos equiláteros.

Se denotarmos que o ortocentro divide uma altitude em segmentos de comprimento u e v , outra altitude em comprimentos de segmento w e x , e a terceira altitude em comprimentos de segmento y e z , então uv = wx = yz . [29] : p.94 

A distância de um lado ao circuncentro é igual à metade da distância do vértice oposto ao ortocentro. [29] : p.99 

A soma dos quadrados das distâncias dos vértices ao ortocentro H mais a soma dos quadrados dos lados é igual a doze vezes o quadrado do circumradius: [29] : p.102 

Ângulos

Além da lei dos senos , a lei dos cossenos , a lei das tangentes e as condições de existência trigonométricas dadas anteriormente, para qualquer triângulo

Teorema do trissetor de Morley

O triângulo de Morley, resultante da trissecção de cada ângulo interno. Este é um exemplo de uma regra de subdivisão finita .

O teorema dos trissetores de Morley afirma que em qualquer triângulo, os três pontos de interseção dos trissetores adjacentes formam um triângulo equilátero, chamado triângulo de Morley.

Figuras inscritas em um triângulo

Cônicas

Como discutido acima, todo triângulo tem um único círculo inscrito (incircle) que é interior ao triângulo e tangente a todos os três lados.

Cada triângulo tem uma única inelipse de Steiner que é interior ao triângulo e tangente nos pontos médios dos lados. O teorema de Marden mostra como encontrar os focos desta elipse . [34] Esta elipse tem a maior área de qualquer elipse tangente aos três lados do triângulo.

A elipse de Mandart de um triângulo é a elipse inscrita dentro do triângulo tangente aos seus lados nos pontos de contato de seus excírculos.

Para qualquer elipse inscrita em um triângulo ABC , sejam os focos P e Q. Então [35]

Polígono convexo

Todo polígono convexo de área T pode ser inscrito em um triângulo de área no máximo igual a 2 T . A igualdade vale (exclusivamente) para um paralelogramo . [36]

Hexágono

O hexágono de Lemoine é um hexágono cíclico com vértices dados pelas seis interseções dos lados de um triângulo com as três linhas que são paralelas aos lados e que passam pelo seu ponto symmedian . Em sua forma simples ou em sua forma de auto-interseção , o hexágono de Lemoine é interior ao triângulo com dois vértices de cada lado do triângulo.

Quadrados

Todo triângulo agudo tem três quadrados inscritos (quadrados em seu interior de tal forma que todos os quatro vértices de um quadrado estão em um lado do triângulo, então dois deles estão no mesmo lado e, portanto, um lado do quadrado coincide com parte de um lado do triângulo). Em um triângulo retângulo, dois dos quadrados coincidem e têm um vértice no ângulo reto do triângulo, de modo que um triângulo retângulo tem apenas dois quadrados inscritos distintos . Um triângulo obtuso tem apenas um quadrado inscrito, com um lado coincidindo com parte do maior lado do triângulo. Dentro de um determinado triângulo, um lado comum mais longo está associado a um quadrado inscrito menor. Se um quadrado inscrito tem lado de comprimento q a e o triângulo tem lado de comprimento a, parte do qual lado coincide com um lado do quadrado, então q a , a , a altura h a do lado a , e a área do triângulo T estão relacionadas de acordo com [37] [38]

A maior razão possível entre a área do quadrado inscrito e a área do triângulo é 1/2, que ocorre quando a 2 = 2 T , q = a /2 , e a altura do triângulo da base de comprimento a é igual a um . A menor razão possível entre o lado de um quadrado inscrito e o lado de outro no mesmo triângulo não obtuso é[38] Ambos os casos extremos ocorrem para o triângulo retângulo isósceles.

Triângulos

A partir de um ponto interior de um triângulo de referência, os pontos mais próximos dos três lados servem como vértices do triângulo pedal desse ponto. Se o ponto interior é o circuncentro do triângulo de referência, os vértices do triângulo do pedal são os pontos médios dos lados do triângulo de referência e, portanto, o triângulo do pedal é chamado de triângulo do ponto médio ou triângulo medial. O triângulo do ponto médio subdivide o triângulo de referência em quatro triângulos congruentes que são semelhantes ao triângulo de referência.

O triângulo de Gergonne ou triângulo intouch de um triângulo de referência tem seus vértices nos três pontos de tangência dos lados do triângulo de referência com seu círculo. O triângulo extouch de um triângulo de referência tem seus vértices nos pontos de tangência dos círculos do triângulo de referência com seus lados (não estendidos).

Figuras circunscritas a um triângulo

O triângulo tangencial de um triângulo de referência (diferente de um triângulo retângulo) é o triângulo cujos lados estão nas linhas tangentes ao circumcircle do triângulo de referência em seus vértices.

Como mencionado acima, todo triângulo tem um circuncírculo único, um círculo que passa por todos os três vértices, cujo centro é a interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.

Além disso, todo triângulo tem uma circunelipse Steiner única , que passa pelos vértices do triângulo e tem seu centro no baricentro do triângulo. De todas as elipses que passam pelos vértices do triângulo, ela tem a menor área.

A hipérbole de Kiepert é a única cônica que passa pelos três vértices do triângulo, seu centróide e seu circuncentro.

De todos os triângulos contidos em um determinado polígono convexo, existe um triângulo com área máxima cujos vértices são todos vértices do polígono dado. [39]

Especificando a localização de um ponto em um triângulo

Uma maneira de identificar localizações de pontos dentro (ou fora) de um triângulo é colocar o triângulo em uma localização e orientação arbitrárias no plano cartesiano e usar coordenadas cartesianas. Embora conveniente para muitos propósitos, essa abordagem tem a desvantagem de os valores das coordenadas de todos os pontos serem dependentes do posicionamento arbitrário no plano.

Dois sistemas evitam esse recurso, de modo que as coordenadas de um ponto não são afetadas movendo o triângulo, girando-o ou refletindo-o como em um espelho, qualquer um dos quais resulta em um triângulo congruente, ou mesmo redimensionando-o para fornecer um triângulo semelhante :

  • As coordenadas trilineares especificam as distâncias relativas de um ponto dos lados, de modo que as coordenadasindicam que a razão entre a distância do ponto do primeiro lado e sua distância do segundo lado é, etc
  • Coordenadas baricêntricas da formaespecifique a localização do ponto pelos pesos relativos que teriam que ser colocados nos três vértices para equilibrar o triângulo sem peso no ponto dado.

Triângulos não planares

Um triângulo não-planar é um triângulo que não está contido em um plano (plano). Alguns exemplos de triângulos não-planares em geometrias não euclidianas são triângulos esféricos em geometria esférica e triângulos hiperbólicos em geometria hiperbólica .

Enquanto as medidas dos ângulos internos em triângulos planares sempre somam 180°, um triângulo hiperbólico tem medidas de ângulos que somam menos de 180°, e um triângulo esférico tem medidas de ângulos que somam mais de 180°. Um triângulo hiperbólico pode ser obtido desenhando em uma superfície curvada negativamente, como uma superfície de sela , e um triângulo esférico pode ser obtido desenhando em uma superfície curvada positivamente, como uma esfera . Assim, se desenharmos um triângulo gigante na superfície da Terra, descobriremos que a soma das medidas de seus ângulos é maior que 180°; na verdade, será entre 180° e 540°. [40]Em particular, é possível desenhar um triângulo em uma esfera tal que a medida de cada um de seus ângulos internos seja igual a 90°, somando um total de 270°.

Especificamente, em uma esfera a soma dos ângulos de um triângulo é

180° × (1 + 4 f ),

onde f é a fração da área da esfera que é delimitada pelo triângulo. Por exemplo, suponha que desenhamos um triângulo na superfície da Terra com vértices no Pólo Norte, em um ponto no equador a 0° de longitude e um ponto no equador a 90° de longitude oeste . A linha do grande círculo entre os dois últimos pontos é o equador, e a linha do grande círculo entre qualquer um desses pontos e o Pólo Norte é uma linha de longitude; portanto, existem ângulos retos nos dois pontos do equador. Além disso, o ângulo no Pólo Norte também é de 90° porque os outros dois vértices diferem em 90° de longitude. Então a soma dos ângulos neste triângulo é 90° + 90° + 90° = 270°. O triângulo abrange 1/4 do hemisfério norte (90°/360° visto do Pólo Norte) e, portanto, 1/8 da superfície da Terra, então na fórmula f = 1/8 ; assim, a fórmula dá corretamente a soma dos ângulos do triângulo como 270°.

A partir da fórmula da soma dos ângulos acima, também podemos ver que a superfície da Terra é localmente plana: Se desenharmos um triângulo arbitrariamente pequeno na vizinhança de um ponto na superfície da Terra, a fração f da superfície da Terra que é delimitada pelo triângulo será ser arbitrariamente próximo de zero. Nesse caso, a fórmula da soma dos ângulos é simplificada para 180°, que sabemos ser o que a geometria euclidiana nos diz para triângulos em uma superfície plana.

Triângulos em construção

O Flatiron Building em Nova York tem a forma de um prisma triangular

Os retângulos têm sido a forma geométrica mais popular e comum para edifícios, pois a forma é fácil de empilhar e organizar; como padrão, é fácil projetar móveis e acessórios para caber dentro de edifícios de formato retangular. Mas os triângulos, embora mais difíceis de usar conceitualmente, fornecem muita força. Como a tecnologia de computador ajuda os arquitetos a projetar novos edifícios criativos, as formas triangulares estão se tornando cada vez mais predominantes como partes de edifícios e como a forma principal de alguns tipos de arranha-céus, bem como de materiais de construção. Em Tóquio, em 1989, os arquitetos se perguntaram se era possível construir uma torre de 500 andares para fornecer espaço de escritório acessível para esta cidade densamente lotada, mas com o perigo de terremotos para edifícios, os arquitetos consideraram que uma forma triangular seria necessária se tal edifício fosse construído. [41]

Na cidade de Nova York , à medida que a Broadway cruza as principais avenidas, os blocos resultantes são cortados como triângulos, e os prédios foram construídos nessas formas; um desses edifícios é o Flatiron Building , de formato triangular, que os corretores admitem ter um "conjunto de espaços desajeitados que não acomodam facilmente móveis de escritório modernos", mas isso não impediu que a estrutura se tornasse um ícone de referência. [42] Designers fizeram casas na Noruega usando temas triangulares. [43] Formas triangulares apareceram em igrejas [44] bem como em edifícios públicos, incluindo faculdades [45] , bem como suportes para projetos residenciais inovadores. [46]

Os triângulos são resistentes; enquanto um retângulo pode colapsar em um paralelogramo da pressão a um de seus pontos, os triângulos têm uma força natural que suporta estruturas contra pressões laterais. Um triângulo não mudará de forma a menos que seus lados sejam dobrados, estendidos ou quebrados ou se suas juntas quebrarem; em essência, cada um dos três lados suporta os outros dois. Um retângulo, em contraste, é mais dependente da força de suas juntas em um sentido estrutural. Alguns designers inovadores propuseram fazer tijolos não de retângulos, mas com formas triangulares que podem ser combinadas em três dimensões. [47]É provável que os triângulos sejam usados ​​cada vez mais de novas maneiras à medida que a arquitetura aumenta em complexidade. É importante lembrar que os triângulos são fortes em termos de rigidez, mas enquanto embalados em um arranjo de mosaico , os triângulos não são tão fortes quanto os hexágonos sob compressão (daí a prevalência de formas hexagonais na natureza ). No entanto, os triângulos tesselados ainda mantêm uma resistência superior para cantilever , e esta é a base para uma das estruturas feitas pelo homem mais fortes, a treliça tetraédrica .

Veja também

Notas

  1. Euclides define triângulos isósceles com base no número de lados iguais, ou seja, apenas dois lados iguais . Uma abordagem alternativa define triângulos isósceles com base em propriedades compartilhadas, ou seja, triângulos equiláteros são um caso especial de triângulos isósceles . wikt: Triângulo isósceles
  2. ^ Os n ângulos externos de qualquer polígono convexo de n ladossomam 360 graus.
  3. Novamente, em todos os casos, as "imagens espelhadas" também são semelhantes.
  4. ^ Todos os pares de triângulos congruentes também são semelhantes; mas nem todos os pares de triângulos semelhantes são congruentes.

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links externos