Ângulo

duas linhas dobradas em um ponto
Um ângulo verde formado por dois raios vermelhos no sistema de coordenadas cartesianas

Na geometria euclidiana , ângulo é a figura formada por dois raios , chamados de lados do ângulo, compartilhando uma extremidade comum, chamada de vértice do ângulo. [1] Os ângulos formados por dois raios também são conhecidos como ângulos planos , pois estão no plano que contém os raios. Os ângulos também são formados pela intersecção de dois planos; estes são chamados ângulos diédricos . Duas curvas que se cruzam também podem definir um ângulo, que é o ângulo dos raios tangentes às respectivas curvas no seu ponto de intersecção.

A magnitude de um ângulo é chamada de medida angular ou simplesmente “ângulo”. O ângulo de rotação é uma medida convencionalmente definida como a razão entre o comprimento de um arco circular e seu raio e pode ser um número negativo . No caso de ângulo geométrico, o arco é centrado no vértice e delimitado pelos lados. No caso de rotação , o arco é centrado no centro da rotação e delimitado por qualquer outro ponto e sua imagem pela rotação.

História e etimologia

A palavra ângulo vem da palavra latina angulus , que significa "canto". Palavras cognatas incluem o grego ἀγκύλος ( ankylοs ) que significa "torto, curvado" e a palavra inglesa " tornozelo ". Ambos estão conectados com a raiz proto-indo-européia *ank- , que significa "dobrar" ou "curvar-se". [2]

Euclides define um ângulo plano como a inclinação entre si, em um plano, de duas linhas que se encontram e não ficam retas uma em relação à outra. Segundo o metafísico neoplatônico Proclus , um ângulo deve ser uma qualidade, uma quantidade ou uma relação. O primeiro conceito, ângulo como qualidade, foi utilizado por Eudemos de Rodes , que considerava o ângulo um desvio de uma linha reta ; a segunda, ângulo como qualidade, de Carpo de Antioquia , que o considerava como o intervalo ou espaço entre as linhas que se cruzam; Euclides adotou o terceiro: ângulo como relação. [3]

Identificando ângulos

Em expressões matemáticas , é comum usar letras gregas ( α , β , γ , θ , φ ,...) como variáveis ​​que denotam o tamanho de algum ângulo [4] (o símbolo π normalmente não é usado para este propósito para evitar confusão com a constante denotada por esse símbolo ). Letras romanas minúsculas ( abc ,...) também são usadas. Em contextos onde isso não é confuso, um ângulo pode ser denotado pela letra romana maiúscula indicando seu vértice. Veja as figuras neste artigo para exemplos.

Os três pontos definidores também podem identificar ângulos em figuras geométricas. Por exemplo, o ângulo com o vértice A formado pelos raios AB e AC (isto é, as meias-linhas do ponto A através dos pontos B e C) é denotado ∠BAC ou . Onde não há risco de confusão, o ângulo pode às vezes ser referido apenas por um único vértice (neste caso, "ângulo A").

De outras maneiras, um ângulo denotado como, digamos, ∠BAC pode se referir a qualquer um dos quatro ângulos: o ângulo no sentido horário de B a C em torno de A, o ângulo no sentido anti-horário de B a C em torno de A, o ângulo no sentido horário de C a B em torno de A. , ou o ângulo anti-horário de C a B em torno de A, onde a direção em que o ângulo é medido determina seu sinal (ver § Ângulos sinalizados ). No entanto, em muitas situações geométricas, é evidente a partir do contexto que se entende o ângulo positivo menor ou igual a 180 graus e, nestes casos, não surge ambiguidade. Caso contrário, para evitar ambiguidade, convenções específicas podem ser adotadas de modo que, por exemplo, ∠BAC sempre se refira ao ângulo anti-horário (positivo) de B a C em torno de A e ∠CAB ao ângulo anti-horário (positivo) de C a B em torno de A.

Tipos de ângulos

Ângulos individuais

Existe alguma terminologia comum para ângulos, cuja medida é sempre não negativa (ver § Ângulos assinados ):

  • Um ângulo igual a 0° ou não girado é chamado de ângulo zero. [5]
  • Um ângulo menor que um ângulo reto (menos de 90°) é chamado de ângulo agudo [6] ("agudo" que significa " aguçado ").
  • Um ângulo igual a1/4 gire (90° ouπ/2radianos) é chamado de ângulo reto . Duas linhas que formam um ângulo reto são chamadas normais , ortogonais ou perpendiculares . [7]
  • Um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo reto (entre 90° e 180°) é chamado de ângulo obtuso [6] ("obtuso" que significa "rombo").
  • Um ângulo igual a1/2 a rotação (180° ou π radianos) é chamada de ângulo reto . [5]
  • Um ângulo maior que um ângulo reto, mas menor que 1 volta (entre 180° e 360°) é chamado de ângulo reflexo .
  • Um ângulo igual a 1 volta (360° ou 2 π radianos) é denominado ângulo completo , ângulo completo , ângulo redondo ou perigônio .
  • Um ângulo que não é múltiplo de um ângulo reto é chamado de ângulo oblíquo .

Os nomes, intervalos e unidades de medida são mostrados na tabela abaixo:

Nome   ângulo zero ângulo agudo ângulo certo ângulo obtuso ângulo reto ângulo reflexo perigônio
Unidade Intervalo
vez   0 turno (0,1/4) vez 1/4vez (1/4,1/2) vez 1/2vez (1/2, 1) virar 1 turno
radiano 0 radical (0,1/2π )rad 1/2πrad (1/2π , π )rad πrad ( π , 2 π ) rad 2πrad
grau   (0, 90)° 90° (90, 180)° 180° (180, 360)° 360°
vai   0g (0, 100) g 100g (100, 200) g 200g (200, 400) g 400g

Verticais epares de ângulos adjacentes

Os ângulos A e B são um par de ângulos verticais; os ângulos C e D são um par de ângulos verticais. Marcas hachuradas são usadas aqui para mostrar a igualdade dos ângulos.

Quando duas retas se cruzam em um ponto, formam-se quatro ângulos. Em pares, esses ângulos são nomeados de acordo com sua localização em relação ao outro.

  • Um par de ângulos opostos entre si, formado por duas linhas retas que se cruzam e formam um formato de "X", são chamados de ângulos verticais ou ângulos opostos ou ângulos verticalmente opostos . Eles são abreviados como vert. op. ∠s . [8]

    A igualdade de ângulos verticalmente opostos é chamada de teorema do ângulo vertical . Eudemo de Rodes atribuiu a prova a Tales de Mileto . [9] [10] A proposição mostrou que, uma vez que ambos os ângulos verticais de um par são complementares a ambos os ângulos adjacentes, os ângulos verticais são iguais em medida. De acordo com uma nota histórica, [10] quando Tales visitou o Egito, ele observou que sempre que os egípcios traçavam duas linhas que se cruzavam, eles mediam os ângulos verticais para ter certeza de que eram iguais. Tales concluiu que seria possível provar que todos os ângulos verticais são iguais se aceitassemos algumas noções gerais, como:

    • Todos os ângulos retos são iguais.
    • Iguais somados a iguais são iguais.
    • Iguais subtraídos de iguais são iguais.

    Quando dois ângulos adjacentes formam uma linha reta, eles são complementares. Portanto, se assumirmos que a medida do ângulo A é igual a x , a medida do ângulo C seria 180° − x . Da mesma forma, a medida do ângulo D seria 180° − x . Tanto o ângulo C quanto o ângulo D têm medidas iguais a 180° − x e são congruentes. Como o ângulo B é complementar aos ângulos C e D , qualquer uma dessas medidas de ângulo pode ser usada para determinar a medida do ângulo B. Usando a medida do ângulo C ou do ângulo D , descobrimos que a medida do ângulo B é 180° − (180° − x ) = 180° − 180° + x = x . Portanto, tanto o ângulo A quanto o ângulo B têm medidas iguais a x e são iguais em medida.

    Os ângulos A e B são adjacentes.
  • Ângulos adjacentes , muitas vezes abreviados como adj. ∠s são ângulos que compartilham um vértice e uma aresta comuns, mas não compartilham nenhum ponto interno. Ou seja, são ângulos lado a lado ou adjacentes, compartilhando um “braço”. Ângulos adjacentes que somam um ângulo reto, um ângulo reto ou um ângulo completo são especiais e são respectivamente chamados de ângulos complementares , suplementares e complementares (ver § Combinação de pares de ângulos abaixo).

Uma transversal é uma linha que cruza um par de linhas (geralmente paralelas) e está associada a ângulos externos , ângulos internos , ângulos externos alternativos , ângulos internos alternativos , ângulos correspondentes e ângulos internos consecutivos . [11]

Combinando pares de ângulos

O postulado da adição de ângulo afirma que se B está no interior do ângulo AOC, então

Ou seja, a medida do ângulo AOC é a soma da medida do ângulo AOB e da medida do ângulo BOC.

Três pares de ângulos especiais envolvem a soma de ângulos:

Os ângulos complementares a e b ( b é o complemento de a e a é o complemento de b ).
  • Ângulos complementares são pares de ângulos cujas medidas somam um ângulo reto (1/4girar, 90°, ouπ/2radianos). [12] Se os dois ângulos complementares são adjacentes, seus lados não compartilhados formam um ângulo reto. Na geometria euclidiana, os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares porque a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, e o ângulo reto é responsável por 90 graus.

    O adjetivo complementar vem do latim complementum , associado ao verbo complere , “encher”. Um ângulo agudo é “preenchido” pelo seu complemento para formar um ângulo reto.

    A diferença entre um ângulo e um ângulo reto é chamada de complemento do ângulo. [13]

    Se os ângulos A e B são complementares, as seguintes relações são válidas:

    (A tangente de um ângulo é igual à cotangente do seu complemento e a sua secante é igual à cossecante do seu complemento.)

    O prefixoco- ” nos nomes de algumas razões trigonométricas refere-se à palavra “complementar”.

    Os ângulos a e b são ângulos suplementares .
  • Dois ângulos que somam um ângulo reto (1/2giro, 180° ou π radianos) são chamados de ângulos suplementares . [14]

    Se os dois ângulos suplementares são adjacentes (ou seja, têm um vértice comum e compartilham apenas um lado), seus lados não compartilhados formam uma linha reta . Esses ângulos são chamados de par linear de ângulos . [15] No entanto, os ângulos suplementares não precisam estar na mesma linha e podem ser separados no espaço. Por exemplo, os ângulos adjacentes de um paralelogramo são suplementares, e os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico (aquele cujos vértices caem todos em um único círculo) são suplementares.

    Se um ponto P é exterior a um círculo com centro O, e se as linhas tangentes de P tocam o círculo nos pontos T e Q, então ∠TPQ e ∠TOQ são complementares.

    Os senos dos ângulos suplementares são iguais. Seus cossenos e tangentes (a menos que indefinidos) são iguais em magnitude, mas têm sinais opostos.

    Na geometria euclidiana, qualquer soma de dois ângulos em um triângulo é suplementar ao terceiro porque a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo reto.

    Os ângulos AOB e COD são conjugados, pois formam um ângulo completo. Considerando magnitudes, 45° + 315° = 360°.
  • Dois ângulos que somam um ângulo completo (1 volta, 360° ou 2 π radianos) são chamados de ângulos complementares ou ângulos conjugados . [16]

    A diferença entre um ângulo e um ângulo completo é denominada explemento do ângulo ou conjugado de um ângulo.

Ângulos relacionados ao polígono

Ângulos internos e externos.
  • Um ângulo que faz parte de um polígono simples é chamado de ângulo interno se estiver dentro desse polígono simples. Um polígono côncavo simples possui pelo menos um ângulo interno, ou seja, um ângulo reflexo.
    Na geometria euclidiana , as medidas dos ângulos internos de um triângulo somam π radianos, 180°, ou1/2vez; as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo simples somam 2 π radianos, 360° ou 1 volta. Em geral, as medidas dos ângulos internos de um polígono convexo simples com n lados somam ( n  - 2) π   radianos, ou ( n  - 2)180 graus, ( n  - 2)2 ângulos retos, ou ( n  - 2)1/2 vez.
  • O suplemento de um ângulo interno é denominado ângulo externo ; isto é, um ângulo interno e um ângulo externo formam um par linear de ângulos. Existem dois ângulos externos em cada vértice do polígono, cada um determinado pela extensão de um dos dois lados do polígono que se encontram no vértice; esses dois ângulos são verticais e, portanto, iguais. Um ângulo externo mede a quantidade de rotação que se deve fazer em um vértice para traçar o polígono. [17] Se o ângulo interno correspondente for um ângulo reflexo, o ângulo externo deverá ser considerado negativo . Mesmo num polígono não simples, pode ser possível definir o ângulo exterior. Ainda assim, será necessário escolher uma orientação do plano (ou superfície ) para decidir o sinal da medida do ângulo externo.
    Na geometria euclidiana, a soma dos ângulos externos de um polígono convexo simples, se apenas um dos dois ângulos externos for assumido em cada vértice, será uma volta completa (360°). O ângulo externo aqui poderia ser chamado de ângulo externo suplementar . Ângulos externos são comumente usados ​​em programas Logo Turtle ao desenhar polígonos regulares.
  • Em um triângulo , as bissetrizes de dois ângulos externos e a bissetriz do outro ângulo interno são concorrentes (se encontram em um único ponto). [18] : 149 
  • Em um triângulo, três pontos de intersecção, cada um de uma bissetriz de um ângulo externo com o lado oposto estendido , são colineares . [18] : pág. 149 
  • Em um triângulo, três pontos de intersecção, dois entre uma bissetriz do ângulo interno e o lado oposto, e o terceiro entre a outra bissetriz do ângulo externo e o lado oposto estendido são colineares. [18] : 149 
  • Alguns autores usam o nome ângulo externo de um polígono simples para significar o ângulo externo exemplificativo ( não suplemento!) do ângulo interno. [19] Isso entra em conflito com o uso acima.

Ângulos relacionados ao plano

  • O ângulo entre dois planos (como duas faces adjacentes de um poliedro ) é chamado ângulo diédrico . [13] Pode ser definido como o ângulo agudo entre duas linhas normais aos planos.
  • O ângulo entre um plano e uma linha reta que se cruza é igual a noventa graus menos o ângulo entre a linha que se cruza e a linha que passa pelo ponto de intersecção e é normal ao plano.

Medindo ângulos

O tamanho de um ângulo geométrico é geralmente caracterizado pela magnitude da menor rotação que mapeia um dos raios no outro. Diz-se que ângulos de mesmo tamanho são igualmente congruentes ou iguais em medida .

Em alguns contextos, como identificar um ponto em um círculo ou descrever a orientação de um objeto em duas dimensões em relação a uma orientação de referência, ângulos que diferem por um múltiplo exato de uma volta completa são efetivamente equivalentes. Em outros contextos, como identificar um ponto em uma curva espiral ou descrever a rotação cumulativa de um objeto em duas dimensões em relação a uma orientação de referência, ângulos que diferem por um múltiplo diferente de zero de uma volta completa não são equivalentes.

A medida do ângulo θ éé/Rradianos .

Para medir um ângulo θ , um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado, por exemplo, com um compasso . A razão entre o comprimento s do arco e o raio r do círculo é o número de radianos no ângulo: [20]

Convencionalmente, em matemática e no SI , o radiano é tratado como sendo igual à unidade adimensional 1, sendo assim normalmente omitido.

O ângulo expresso por outra unidade angular pode então ser obtido multiplicando o ângulo por uma constante de conversão adequada da formak/, onde k é a medida de uma volta completa expressa na unidade escolhida (por exemplo, k = 360° para graus ou 400 grad para grados ):

O valor de θ assim definido é independente do tamanho do círculo: se o comprimento do raio for alterado, então o comprimento do arco muda na mesma proporção, portanto a razão s / r permanece inalterada. [nota 1]

Unidades

Definição de 1 radiano

Ao longo da história, os ângulos foram medidos em diversas unidades . Estas são conhecidas como unidades angulares , sendo as unidades mais contemporâneas o grau (°), o radiano (rad) e o gradiano (grad), embora muitas outras tenham sido utilizadas ao longo da história . [22] A maioria das unidades de medida angular são definidas de tal forma que uma volta (ou seja, o ângulo subtendido pela circunferência de um círculo em seu centro) é igual a n unidades, para algum número inteiro n . Duas exceções são o radiano (e seus submúltiplos decimais) e a parte do diâmetro.

No Sistema Internacional de Quantidades , um ângulo é definido como uma quantidade adimensional e, em particular, a unidade radiano é adimensional. Esta convenção afeta o modo como os ângulos são tratados na análise dimensional .

A tabela a seguir lista algumas unidades usadas para representar ângulos.

nome número em uma volta em graus descrição
radiano ≈57°17′ O radiano é determinado pela circunferência de um círculo que tem comprimento igual ao raio do círculo ( n  = 2 π  = 6,283...). É o ângulo subtendido por um arco de círculo que tem o mesmo comprimento que o raio do círculo. O símbolo de radiano é rad . Uma volta equivale a 2 π  radianos e um radiano equivale a180°/π, ou cerca de 57,2958 graus. Freqüentemente, especialmente em textos matemáticos, um radiano é considerado igual a um, resultando na omissão da unidade rad . O radiano é usado em praticamente todos os trabalhos matemáticos além da geometria simples e prática devido, por exemplo, às propriedades agradáveis ​​e "naturais" que as funções trigonométricas exibem quando seus argumentos estão em radianos. O radiano é a unidade (derivada) de medida angular no SI .
grau 360 O grau , denotado por um pequeno círculo sobrescrito (°), é 1/360 de volta, então uma volta equivale a 360°. Uma vantagem desta antiga subunidade sexagesimal é que muitos ângulos comuns na geometria simples são medidos como um número inteiro de graus. As frações de um grau podem ser escritas em notação decimal normal (por exemplo, 3,5° para três graus e meio), mas as subunidades sexagesimais "minuto" e "segundo" do sistema "grau-minuto-segundo" (discutidas a seguir) são também em uso, especialmente para coordenadas geográficas e em astronomia e balística ( n  = 360)
minuto de arco 21.600 0°1′ O minuto de arco (ou MOA , arc Minute ou apenas minuto ) é1/60de um grau =1/21.600vez. É denotado por um único primo (′). Por exemplo, 3° 30′ é igual a 3 × 60 + 30 = 210 minutos ou 3 + 30/60= 3,5 graus. Às vezes é usado um formato misto com frações decimais, por exemplo, 3° 5,72′ = 3 + 5,72/60graus. Uma milha náutica foi historicamente definida como um minuto de arco ao longo de um grande círculo da Terra. ( n  = 21.600).
arco-segundo 1.296.000 0°0′1″ O segundo do arco (ou arcsecond , ou apenas second ) é1/60de um minuto de arco e1/3600de um diploma ( n  = 1.296.000). É denotado por um duplo primo (″). Por exemplo, 3° 7′ 30″ é igual a 3 +7/60+30/3600graus, ou 3,125 graus.
graduado 400 0°54′ O grad , também chamado de grade , gradian ou gon . É uma subunidade decimal do quadrante. Um ângulo reto tem 100 graus. Um quilômetro foi historicamente definido como um centigrado de arco ao longo de um meridiano da Terra, portanto o quilômetro é o análogo decimal da milha náutica sexagesimal ( n  = 400). O graduado é usado principalmente em triangulação e levantamento continental .
vez 1 360° A volta é o ângulo subentendido pela circunferência de um círculo em seu centro. Uma volta é igual a 2 π ou tau radianos.
ângulo horário 24 15° O ângulo horário astronômico é1/24 vez. Como este sistema é adequado para medir objetos que circulam uma vez por dia (como a posição relativa das estrelas), as subunidades sexagesimais são chamadas de minuto de tempo e segundo de tempo . Eles são distintos e 15 vezes maiores que minutos e segundos de arco. 1 hora = 15° =π/12 radical =1/6 quádruplo =1/24 turno = 16+2/3 graduado.
(bússola) ponto 32 11,25° O ponto ou vento , utilizado na navegação , é1/32de uma volta. 1 ponto =1/8de um ângulo reto = 11,25° = 12,5 graus. Cada ponto é subdividido em quatro quartos de ponto, então uma volta equivale a 128.
miliradiano 2000π ≈0,057° O miliradiano verdadeiro é definido como um milésimo de radiano, o que significa que uma rotação de uma volta seria igual a exatamente 2.000π mrad (ou aproximadamente 6.283,185 mrad). Quase todas as miras para armas de fogo são calibradas para esta definição. Além disso, três outras definições relacionadas são usadas para artilharia e navegação, muitas vezes chamadas de 'mil', que são aproximadamente iguais a um miliradiano. Sob essas três outras definições, uma volta representa exatamente 6.000, 6.300 ou 6.400 mils, abrangendo a faixa de 0,05625 a 0,06 graus (3,375 a 3,6 minutos). Em comparação, o miliradiano é aproximadamente 0,05729578 graus (3,43775 minutos). Um " mil da OTAN " é definido como1/6400de uma volta. Assim como com o miliradiano, cada uma das outras definições se aproxima da propriedade útil de subtensões do miliradiano, ou seja, que o valor de um miliradiano é aproximadamente igual ao ângulo subtendido por uma largura de 1 metro vista a 1 km de distância (/6400= 0,0009817... ≈1/1000).
grau binário 256 1°33'45" O grau binário , também conhecido como radiano binário ou brad ou medição angular binária (BAM) . [23] O grau binário é usado na computação para que um ângulo possa ser representado de forma eficiente em um único byte (embora com precisão limitada). Outras medidas do ângulo utilizadas na computação podem basear-se na divisão de uma volta inteira em 2 n partes iguais para outros valores de n .

[24] É1/256de uma volta. [23]

π radiano 2 180° A unidade de múltiplos de π radianos (MUL π ) é implementada na calculadora científica RPN WP 43S . [25] [26] [27] Veja também: Operações recomendadas IEEE 754
quadrante 4 90° Um quadrante é um1/4 gire e também conhecido como ângulo reto . O quadrante é a unidade nos Elementos de Euclides . Em alemão, o símbolo foi usado para denotar um quadrante. 1 quádruplo = 90° =π/2 radical =1/4turno = 100 graus.
sextante 6 60° O sextante era a unidade usada pelos babilônios , [28] [29] O grau, minuto de arco e segundo de arco são subunidades sexagesimais da unidade babilônica. É fácil construir com régua e compasso. É o ângulo do triângulo equilátero ou é1/6 vez. 1 unidade babilônica = 60° = π /3 rad ≈ 1,047197551 rad.
hexacontade 60 A hexacontade é uma unidade utilizada por Eratóstenes . É igual a 6°, então uma volta inteira foi dividida em 60 hexacontadas.
pechus 144 a 180 2° a 2+1/2° O pechus era uma unidade babilônica igual a cerca de 2° ou 2+1/2°.
parte de diâmetro ≈376,991 ≈0,95493° A parte do diâmetro (ocasionalmente usada na matemática islâmica) é1/60radiano. Uma "parte de diâmetro" tem aproximadamente 0,95493°. Existem cerca de 376.991 peças de diâmetro por volta.
zam 224 ≈1,607° Na antiga Arábia, um turno era subdividido em 32 Akhnam, e cada akhnam era subdividido em 7 zam, de modo que um turno equivale a 224 zam.

Análise dimensional

O ângulo plano pode ser definido como θ = s / r , onde θ é o ângulo subtendido em radianos, s é o comprimento do arco e r é o raio. Um radiano corresponde ao ângulo para o qual s = r , portanto 1 radiano = 1 m/m . [30] No entanto, rad deve ser usado apenas para expressar ângulos, não para expressar proporções de comprimentos em geral. [31] Um cálculo semelhante usando a área de um setor circular θ = 2 A / r 2 dá 1 radiano como 1 m 2 /m 2 . [32] O fato principal é que o radiano é uma unidade adimensional igual a 1 . No SI 2019, o radiano é definido como 1 rad = 1 . [33] É uma prática estabelecida há muito tempo na matemática e em todas as áreas da ciência fazer uso de rad = 1 . [34] [35]

Giacomo Prando escreve que "o estado atual das coisas leva inevitavelmente a aparecimentos e desaparecimentos fantasmagóricos do radiano na análise dimensional das equações físicas". [36] Por exemplo, um objeto pendurado por um fio em uma polia subirá ou cairá y = centímetros, onde r é o raio da polia em centímetros e θ é o ângulo que a polia gira em radianos. Ao multiplicar r por θ a unidade radianos desaparece do resultado. Da mesma forma, na fórmula para a velocidade angular de uma roda em movimento, ω = v / r , os radianos aparecem nas unidades de ω , mas não no lado direito. [37] Anthony French chama esse fenômeno de "um problema perene no ensino de mecânica". [38] Oberhofer diz que o conselho típico de ignorar radianos durante a análise dimensional e adicionar ou remover radianos em unidades de acordo com a convenção e o conhecimento contextual é "pedagogicamente insatisfatório". [39]

Em 1993, o Comitê Métrico da Associação Americana de Professores de Física especificou que o radiano deveria aparecer explicitamente em quantidades apenas quando diferentes valores numéricos fossem obtidos quando outras medidas angulares fossem usadas, como nas quantidades de medida angular (rad), velocidade angular (rad /s), aceleração angular (rad/s 2 ) e rigidez torcional (N⋅m/rad), e não nas quantidades de torque (N⋅m) e momento angular (kg⋅m 2 /s). [40]

Pelo menos uma dúzia de cientistas entre 1936 e 2022 fizeram propostas para tratar o radiano como uma unidade básica de medida para uma quantidade (e dimensão) básica de "ângulo plano". [41] [42] [43] A revisão das propostas de Quincey descreve duas classes de propostas. A primeira opção altera a unidade do raio para metros por radiano, mas isso é incompatível com a análise dimensional para a área de um círculo , π r 2 . A outra opção é introduzir uma constante dimensional. De acordo com Quincey esta abordagem é "logicamente rigorosa" em comparação com SI, mas requer "a modificação de muitas equações matemáticas e físicas familiares". [44] Uma constante dimensional para ângulo é "bastante estranha" e a dificuldade de modificar equações para adicionar a constante dimensional provavelmente impedirá o uso generalizado. [43]

Em particular, Quincey identifica a proposta de Torrens de introduzir uma constante η igual a 1 radiano inverso (1 rad −1 ) de uma forma semelhante à introdução da constante ε 0 . [44] [a] Com esta mudança, a fórmula para o ângulo subentendido no centro de um círculo, s = , é modificada para se tornar s = ηrθ , e a série de Taylor para o seno de um ângulo θ torna-se: [43] [45]

onde . A função Sin maiúsculo é a função "completa" que aceita um argumento com dimensão de ângulo e é independente das unidades expressas, [45] enquanto sin rad é a função tradicional em números puros que assume que seu argumento está em radianos. [46] pode ser denotado se estiver claro que se refere ao formulário completo. [43] [47]

O SI atual pode ser considerado em relação a esta estrutura como um sistema de unidades naturais onde a equação η = 1 é considerada válida, ou similarmente, 1 rad = 1 . Esta convenção de radianos permite a omissão de η em fórmulas matemáticas. [48]

Definir radiano como unidade base pode ser útil para software, onde a desvantagem de equações mais longas é mínima. [49] Por exemplo, a biblioteca de unidades Boost define unidades angulares com uma plane_angledimensão, [50] e o sistema de unidades do Mathematica considera de forma semelhante que os ângulos têm uma dimensão angular. [51] [52]

Ângulos assinados

Medindo a partir do eixo x , os ângulos no círculo unitário contam como positivos no sentido anti-horário e negativos no sentido horário .

Freqüentemente é útil impor uma convenção que permita que valores angulares positivos e negativos representem orientações e/ou rotações em direções opostas ou "sentido" em relação a alguma referência.

Num sistema de coordenadas cartesianas bidimensional , um ângulo é normalmente definido pelos seus dois lados, com o seu vértice na origem. O lado inicial está no eixo x positivo , enquanto o outro lado ou lado terminal é definido pela medida do lado inicial em radianos, graus ou voltas, com ângulos positivos representando rotações em direção ao eixo y positivo e ângulos negativos representando rotações em direção ao eixo y negativo . Quando as coordenadas cartesianas são representadas pela posição padrão , definida pelo eixo x para a direita e o eixo y para cima, as rotações positivas são no sentido anti-horário e os ciclos negativos são no sentido horário .

Em muitos contextos, um ângulo de − θ é efetivamente equivalente a um ângulo de "uma volta completa menos θ ". Por exemplo, uma orientação representada como −45° é efetivamente igual a uma orientação definida como 360° − 45° ou 315°. Embora a posição final seja a mesma, uma rotação física (movimento) de -45° não é a mesma que uma rotação de 315° (por exemplo, a rotação de uma pessoa segurando uma vassoura apoiada em um chão empoeirado deixaria traços visualmente diferentes de regiões varridas no chão).

Na geometria tridimensional, "sentido horário" e "anti-horário" não têm significado absoluto, portanto a direção dos ângulos positivos e negativos deve ser definida em termos de uma orientação , que normalmente é determinada por um vetor normal que passa pelo vértice do ângulo e perpendicular ao plano em que se encontram os raios do ângulo.

Na navegação , os rumos ou azimutes são medidos em relação ao norte. Por convenção, visto de cima, os ângulos de direção são positivos no sentido horário, portanto, uma direção de 45° corresponde a uma orientação nordeste. As orientações negativas não são usadas na navegação, portanto, uma orientação noroeste corresponde a uma orientação de 315°.

Ângulos equivalentes

  • Ângulos que têm a mesma medida (ou seja, a mesma magnitude) são considerados iguais ou congruentes . Um ângulo é definido por sua medida e não depende dos comprimentos dos lados do ângulo (por exemplo, todos os ângulos retos têm medidas iguais).
  • Dois ângulos que compartilham lados terminais, mas diferem em tamanho por um múltiplo inteiro de uma volta, são chamados de ângulos coterminais .
  • O ângulo de referência (às vezes chamado de ângulo relacionado ) para qualquer ângulo θ na posição padrão é o ângulo agudo positivo entre o lado terminal de θ e o eixo x (positivo ou negativo). [53] [54] Processualmente, a magnitude do ângulo de referência para um determinado ângulo pode ser determinada tomando o módulo da magnitude do ângulo 1/2gire, 180°, ou π radianos, parando então se o ângulo for agudo, caso contrário, tomando o ângulo suplementar, 180° menos a magnitude reduzida. Por exemplo, um ângulo de 30 graus já é um ângulo de referência, e um ângulo de 150 graus também tem um ângulo de referência de 30 graus (180° - 150°). Os ângulos de 210° e 510° correspondem também a um ângulo de referência de 30 graus (210° mod 180° = 30°, 510° mod 180° = 150° cujo ângulo suplementar é 30°).

Quantidades relacionadas

Para uma unidade angular, é definitivo que o postulado da adição de ângulo seja válido. Algumas quantidades relacionadas a ângulos onde o postulado da adição de ângulos não é válido incluem:

  • A inclinação ou gradiente é igual à tangente do ângulo; um gradiente é frequentemente expresso como uma porcentagem. Para valores muito pequenos (menos de 5%), a inclinação de uma linha é aproximadamente a medida em radianos do seu ângulo com a direção horizontal.
  • A propagação entre duas linhas é definida na geometria racional como o quadrado do seno do ângulo entre as linhas. Como o seno de um ângulo e o seno do seu ângulo suplementar são iguais, qualquer ângulo de rotação que mapeie uma das linhas na outra leva ao mesmo valor para a dispersão entre as linhas.
  • Embora raramente feito, pode-se relatar os resultados diretos de funções trigonométricas , como o seno do ângulo.

Ângulos entre curvas

O ângulo entre as duas curvas em P é definido como o ângulo entre as tangentes A e B em P .

O ângulo entre uma linha e uma curva (ângulo misto) ou entre duas curvas que se cruzam (ângulo curvilíneo) é definido como o ângulo entre as tangentes no ponto de intersecção. Vários nomes (agora raramente, ou nunca, usados) foram dados a casos particulares: - anficírtico (Gr. ἀμφί , em ambos os lados, κυρτός, convexo) ou cissoidal (Gr. κισσός, hera), biconvexo; xistroidal ou sistroidal (Gr. ξυστρίς, uma ferramenta para raspagem), côncavo-convexo; anficoélico (Gr. κοίλη, um oco) ou angulus lunularis , bicôncavo. [55]

Bissecção e trissecção de ângulos

Os antigos matemáticos gregos sabiam como dividir um ângulo ao meio (dividi-lo em dois ângulos de igual medida) usando apenas um compasso e uma régua, mas só podiam trissectar certos ângulos. Em 1837, Pierre Wantzel mostrou que esta construção não poderia ser realizada para a maioria dos ângulos.

Produto escalar e generalizações

No espaço euclidiano , o ângulo θ entre dois vetores euclidianos uev está relacionado ao seu produto escalar e aos seus comprimentos pela fórmula

Esta fórmula fornece um método fácil para encontrar o ângulo entre dois planos (ou superfícies curvas) a partir de seus vetores normais e entre linhas oblíquas a partir de suas equações vetoriais.

Produto Interno

Para definir ângulos em um espaço de produto interno real abstrato , substituímos o produto escalar euclidiano ( · ) pelo produto interno , ou seja

Num espaço de produto interno complexo , a expressão para o cosseno acima pode fornecer valores não reais, por isso é substituída por

ou, mais comumente, usando o valor absoluto, com

A última definição ignora a direção dos vetores. Assim, descreve o ângulo entre subespaços unidimensionais e gerado pelos vetores e correspondentemente.

Ângulos entre subespaços

A definição do ângulo entre subespaços unidimensionais e dada por

em um espaço de Hilbert pode ser estendido a subespaços de dimensões finitas. Dados dois subespaços , com , isso leva a uma definição de ângulos chamados ângulos canônicos ou principais entre subespaços.

Ângulos na geometria Riemanniana

Na geometria Riemanniana , o tensor métrico é usado para definir o ângulo entre duas tangentes . Onde U e V são vetores tangentes e g ij são os componentes do tensor métrico G ,

Ângulo hiperbólico

Um ângulo hiperbólico é um argumento de uma função hiperbólica assim como o ângulo circular é o argumento de uma função circular . A comparação pode ser visualizada como o tamanho das aberturas de um setor hiperbólico e de um setor circular , pois as áreas desses setores correspondem às magnitudes dos ângulos em cada caso. Ao contrário do ângulo circular, o ângulo hiperbólico é ilimitado. Quando as funções circulares e hiperbólicas são vistas como séries infinitas em seu argumento angular, as circulares são apenas formas de séries alternadas das funções hiperbólicas. Esta tessitura dos dois tipos de ângulo e função foi explicada por Leonhard Euler em Introdução à Análise do Infinito .

Ângulos em geografia e astronomia

Na geografia , a localização de qualquer ponto da Terra pode ser identificada através de um sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica a latitude e longitude de qualquer local em termos de ângulos subentendidos no centro da Terra, usando o equador e (geralmente) o meridiano de Greenwich como referências.

Na astronomia , um determinado ponto na esfera celeste (isto é, a posição aparente de um objeto astronômico) pode ser identificado usando qualquer um dos vários sistemas de coordenadas astronômicas , onde as referências variam de acordo com o sistema particular. Os astrônomos medem a separação angular de duas estrelas imaginando duas linhas que passam pelo centro da Terra , cada uma cruzando uma das estrelas. O ângulo entre essas linhas e a separação angular entre as duas estrelas podem ser medidos.

Tanto na geografia quanto na astronomia, uma direção de mira pode ser especificada em termos de um ângulo vertical , como altitude / elevação em relação ao horizonte , bem como o azimute em relação ao norte .

Os astrônomos também medem o tamanho aparente dos objetos como um diâmetro angular . Por exemplo, a lua cheia tem um diâmetro angular de aproximadamente 0,5° quando vista da Terra. Poderíamos dizer: “O diâmetro da Lua subtende um ângulo de meio grau”. A fórmula de ângulo pequeno pode converter essa medida angular em uma relação distância/tamanho.

Outras aproximações astronômicas incluem:

  • 0,5° é o diâmetro aproximado do Sol e da Lua vistos da Terra.
  • 1° é a largura aproximada do dedo mínimo no comprimento do braço.
  • 10° é a largura aproximada de um punho fechado no comprimento do braço.
  • 20° é a largura aproximada de uma envergadura no comprimento do braço.

Essas medidas dependem de cada sujeito e as informações acima devem ser tratadas apenas como aproximações aproximadas .

Na astronomia, a ascensão reta e a declinação são geralmente medidas em unidades angulares, expressas em termos de tempo, com base em um dia de 24 horas.

Unidade Símbolo Graus Radianos Voltas Outro
Hora h 15° π 12 rad 1⁄24 volta
Minuto eu 0°15' π 720 rad 1⁄1.440 volta 1⁄60 horas
Segundo é 0°0′15″ π 43200 rad 186.400 turnos 1⁄60 minutos

Veja também

Notas

  1. ^ Esta abordagem requer, no entanto, uma prova adicional de que a medida do ângulo não muda com a mudança do raio r , além da questão das "unidades de medida escolhidas". Uma abordagem mais suave é medir o ângulo pelo comprimento do arco do círculo unitário correspondente. Aqui, "unidade" pode ser escolhida como adimensional, no sentido de que é o número real 1 associado ao segmento unitário na reta real. Veja Radoslav M. Dimitrić, por exemplo. [21]
  1. ^ Outras propostas incluem a abreviatura "rad" (Brinsmade 1936), a notação (Romain 1962) e as constantes ם (Brownstein 1997), ◁ (Lévy-Leblond 1998), k (Foster 2010), θ C (Quincey 2021) e (Mohr et al. 2022).

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 Este artigo incorpora texto de uma publicação agora em domínio públicoChisholm, Hugh , ed. (1911), "Angle", Encyclopædia Britannica , vol. 2 (11ª ed.), Cambridge University Press, p. 14

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