Superiorização

A superiorização é um método iterativo para otimização restrita . É usado para melhorar a eficácia de um método iterativo cuja convergência é resiliente a certos tipos de perturbações. Tais perturbações são projetadas para "forçar" o algoritmo perturbado a produzir resultados mais úteis para a aplicação pretendida do que aqueles produzidos pelo algoritmo iterativo original. O algoritmo perturbado é chamado de versão superiorizada do algoritmo original não perturbado. Se o algoritmo original for computacionalmente eficiente e útil em termos da aplicação alvo e se as perturbações forem baratas para calcular, o método pode ser usado para orientar iterações sem custo adicional de cálculo.

Areas de aplicação

A metodologia de superiorização é muito geral e tem sido usada com sucesso em muitas aplicações práticas importantes, como reconstrução iterativa de imagens a partir de suas projeções, [1] [2] [3] tomografia computadorizada por emissão de fóton único , [4] radioterapia [5] ] [6] [7] e testes não destrutivos , [8] apenas para citar alguns. Uma edição especial da revista Inverse Problems [9] é dedicada à superiorização, tanto na teoria [10] [11] [12] quanto nas aplicações. [3] [6] [7]

Redução da função objetivo e relação com otimização restrita

Um caso importante de superiorização é quando o algoritmo original está "em busca de viabilidade" (no sentido de que se esforça para encontrar algum ponto em uma região viável que seja compatível com uma família de restrições) e as perturbações que são introduzidas na iterativa original algoritmo visa reduzir (não necessariamente minimizar) uma determinada função de mérito. Nesse caso, a superiorização ocupa um lugar único na teoria e na prática da otimização .

Muitos métodos de otimização restrita são baseados em métodos de otimização irrestrita que são adaptados para lidar com restrições. Tal é, por exemplo, a classe de métodos de gradiente projetado em que a etapa interna de minimização irrestrita "lidera" o processo e uma projeção sobre todo o conjunto de restrições (a região viável) é realizada após cada etapa de minimização, a fim de recuperar a viabilidade. Esta projeção no conjunto de restrições é em si um problema de otimização não trivial e a necessidade de resolvê-lo a cada iteração dificulta os métodos de gradiente projetado e limita sua eficácia apenas a conjuntos viáveis ​​​​que são "simples de projetar". Os métodos de barreira ou métodos de penalidade também são baseados na otimização irrestrita combinada com vários "complementos" que garantem que as restrições sejam preservadas. Os métodos de regularização incorporam as restrições em uma função objetivo "regularizada" e prosseguem com métodos de solução irrestritos para a nova função objetivo regularizada.

Em contraste com estas abordagens, a metodologia de superiorização pode ser vista como uma forma antípoda de pensar. Em vez de adaptar algoritmos de minimização irrestrita para lidar com restrições, adapta algoritmos de busca de viabilidade para reduzir os valores da função de mérito. Isso é feito mantendo a natureza de busca de viabilidade do algoritmo e sem pagar um alto preço computacional. Além disso, foram desenvolvidas abordagens de uso geral para superiorizar automaticamente algoritmos iterativos para grandes classes de conjuntos de restrições e funções de mérito; eles fornecem algoritmos para muitas tarefas de aplicativo.

Outras fontes

A metodologia de superiorização e a resiliência à perturbação dos algoritmos são revisadas em [13] [14] [15] ver também. [16] O trabalho atual sobre superiorização pode ser apreciado em uma página da Internet continuamente atualizada. [17] SNARK14 [18] é um pacote de software para a reconstrução de imagens 2D a partir de projeções 1D que possui a capacidade integrada de superiorizar qualquer algoritmo iterativo para qualquer função de mérito.

Referências

  1. ^ GT Herman, Fundamentos de tomografia computadorizada: reconstrução de imagens a partir de projeções, Springer-Verlag, Londres, Reino Unido, 2ª edição, 2009. doi :10.1007/978-1-84628-723-7
  2. ^ ES Helou, MVW Zibetti e EX Miqueles, Superiorização de algoritmos de otimização incremental para reconstrução estatística de imagens tomográficas, Inverse Problems, Vol. 33 (2017), 044010. doi :10.1088/1361-6420/33/4/044010
  3. ^ ab Q. Yang, W. Cong e G. Wang, reconstrução de imagem CT multienergia baseada em superiorização, Inverse Problems, Vol. 33 (2017), 044014. doi :10.1088/1361-6420/aa5e0a
  4. ^ S. Luo e T. Zhou, Superiorização do algoritmo EM e sua aplicação em tomografia computadorizada por emissão de fóton único (SPECT), Inverse Problems and Imaging, Vol. 223–246, (2014). doi :10.3934/ipi.2014.8.223
  5. ^ R. Davidi, Y. Censor, RW Schulte, S. Geneser e L. Xing, Algoritmos de busca de viabilidade e superiorização aplicados ao planejamento de tratamento inverso em radioterapia, Contemporary Mathematics, Vol. 636, pp. doi :10.1090/conm/636/12729
  6. ^ ab E. Bonacker, A. Gibali, KH. Küfer e P. Süss, Aceleração da otimização lexicográfica por superiorização e suas aplicações ao tratamento de radioterapia do câncer, Inverse Problems, Vol. 33 (2017), 044012. doi :10.1088/1361-6420/33/4/044012
  7. ^ ab J. Zhu e S. Penfold, Superiorização da variação total na reconstrução de TC de energia dupla para planejamento de tratamento com terapia de prótons, Inverse Problems, Vol. 33 (2017), 044013.doi : 10.1088/1361-6420/33/4/04401
  8. ^ MJ Schrapp e GT Herman, Fusão de dados em tomografia computadorizada de raios X usando uma abordagem de superiorização, Review of Scientific Instruments, Vol. 85, 053701 (9pp), (2014). doi :10.1063/1.4872378
  9. ^ Superiorização: Teoria e Aplicações, Edição Especial da revista Inverse Problems, Volume 33, Número 4, abril de 2017
  10. ^ H. Ele e HK. Xu, Metodologia de resiliência e superiorização de perturbações de mapeamentos médios, Inverse Problems, Vol. 33 (2017), 044007.doi : 10.1088/1361-6420/33/4/044007
  11. ^ Hong Kong. Xu, Resiliência de perturbação limitada e técnicas de superiorização para o método de gradiente escalonado projetado, Inverse Problems, Vol. 33 (2017), 044008. doi :10.1088/1361-6420/33/4/044008
  12. ^ Nikazad, Touraj e Mokhtar Abbasi. "Um tratamento unificado de alguns métodos iterativos de ponto fixo perturbado com um conjunto infinito de operadores." Problemas Inversos 33.4 (2017): 044002. doi :10.1088/1361-6420/33/4/044002
  13. ^ GT Herman, E. Garduño, R. Davidi e Y. Censor, Superiorização: Uma heurística de otimização para física médica, Medical Physics, Vol. 39, pp. doi :10.1118/1.4745566
  14. ^ GT Herman, Superiorização para análise de imagens, em: Análise Combinatória de Imagens, Lecture Notes in Computer Science Vol. 8466, Springer, 2014, pp. doi :10.1007/978-3-319-07148-0_1
  15. ^ Y. Censor, Superiorização fraca e forte: Entre a busca de viabilidade e a minimização, Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta-Seria Matematica, Vol. 23, pp. 41–54, (2015). doi :10.1515/auom-2015-0046
  16. ^ Y. Censor, R. Davidi, GT Herman, RW Schulte e L. Tetruashvili, Minimização de subgradiente projetada versus superiorização, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 730–747, (2014). doi :10.1007/s10957-013-0408-3
  17. ^ “Superiorização” . matemática.haifa.ac.il .
  18. ^ "Snark14 - Página inicial" . turing.iimas.unam.mx .
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