Estatisticas

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Gráficos de dispersão são usados ​​em estatísticas descritivas para mostrar as relações observadas entre diferentes variáveis, aqui usando o conjunto de dados de flores Iris .

Estatística é a disciplina que diz respeito à coleta, organização, análise, interpretação e apresentação de dados . [1] [2] [3] Ao aplicar a estatística a um problema científico, industrial ou social, é convencional começar com uma população estatística ou um modelo estatístico a ser estudado. As populações podem ser diversos grupos de pessoas ou objetos, como "todas as pessoas que vivem em um país" ou "cada átomo compondo um cristal". A estatística lida com todos os aspectos dos dados, incluindo o planejamento da coleta de dados em termos de planejamento de pesquisas e experimentos . [4]

Quando os dados do censo não podem ser coletados, os estatísticos coletam dados desenvolvendo projetos de experimentos específicos e amostras de pesquisa . A amostragem representativa garante que as inferências e conclusões podem razoavelmente se estender da amostra para a população como um todo. Um estudo experimental envolve fazer medições do sistema em estudo, manipular o sistema e, em seguida, fazer medições adicionais usando o mesmo procedimento para determinar se a manipulação modificou os valores das medições. Em contraste, um estudo observacional não envolve manipulação experimental.

Dois métodos estatísticos principais são usados ​​na análise de dados : estatística descritiva , que resume os dados de uma amostra usando índices como a média ou o desvio padrão , e estatística inferencial , que tira conclusões de dados que estão sujeitos a variação aleatória (por exemplo, erros observacionais, variação de amostragem). [5] As estatísticas descritivas estão mais frequentemente preocupadas com dois conjuntos de propriedades de uma distribuição (amostra ou população): tendência central (ou localização ) busca caracterizar o valor central ou típico da distribuição, enquanto a dispersão (ouvariabilidade ) caracteriza a extensão em que os membros da distribuição se afastam de seu centro e uns dos outros. As inferências sobre estatística matemática são feitas no âmbito da teoria da probabilidade , que trata da análise de fenômenos aleatórios.

Um procedimento estatístico padrão envolve a coleta de dados que conduzem ao teste da relação entre dois conjuntos de dados estatísticos, ou um conjunto de dados e dados sintéticos extraídos de um modelo idealizado. Uma hipótese é proposta para a relação estatística entre os dois conjuntos de dados, e esta é comparada como uma alternativa a uma hipótese nula idealizada de nenhuma relação entre dois conjuntos de dados. A rejeição ou refutação da hipótese nula é feita por meio de testes estatísticos que quantificam o sentido em que o nulo pode ser provado falso, dados os dados que são usados ​​no teste. Trabalhando a partir de uma hipótese nula, duas formas básicas de erro são reconhecidas: erros Tipo I (a hipótese nula é falsamente rejeitada dando um "falso positivo") eErros do tipo II (a hipótese nula falha em ser rejeitada e uma relação real entre as populações é perdida, resultando em um "falso negativo"). [6] Vários problemas passaram a ser associados a este framework, variando desde a obtenção de um tamanho de amostra suficiente até a especificação de uma hipótese nula adequada. [5]

Os processos de medição que geram dados estatísticos também estão sujeitos a erros. Muitos desses erros são classificados como aleatórios (ruído) ou sistemáticos ( viés ), mas outros tipos de erros (por exemplo, asneira, como quando um analista relata unidades incorretas) também podem ocorrer. A presença de dados ausentes ou censura pode resultar em estimativas tendenciosas e técnicas específicas foram desenvolvidas para resolver esses problemas.

Introdução

Estatística é um corpo matemático da ciência que pertence à coleta, análise, interpretação ou explicação e apresentação de dados , [7] ou como um ramo da matemática . [8] Alguns consideram a estatística uma ciência matemática distinta, em vez de um ramo da matemática. Embora muitas investigações científicas façam uso de dados, as estatísticas preocupam-se com o uso de dados no contexto de incerteza e com a tomada de decisão diante da incerteza. [9] [10]

Ao aplicar estatísticas a um problema, é prática comum começar com uma população ou processo a ser estudado. As populações podem ser diversos tópicos, como "todas as pessoas que vivem em um país" ou "cada átomo compondo um cristal". Idealmente, os estatísticos compilam dados sobre toda a população (uma operação chamada censo ). Isso pode ser organizado por institutos governamentais de estatística. As estatísticas descritivas podem ser usadas para resumir os dados da população. Descritores numéricos incluem média e desvio padrão para dados contínuos (como renda), enquanto frequência e porcentagem são mais úteis em termos de descrição de dados categóricos (como educação).

Quando um censo não é viável, um subconjunto escolhido da população, denominado amostra, é estudado. Uma vez que uma amostra representativa da população é determinada, os dados são coletados para os membros da amostra em um ambiente de observação ou experimental . Novamente, a estatística descritiva pode ser usada para resumir os dados da amostra. No entanto, o desenho da amostra contém um elemento de aleatoriedade; portanto, os descritores numéricos da amostra também estão sujeitos à incerteza. Para tirar conclusões significativas sobre toda a população, a estatística inferencial é necessária. Ele usa padrões nos dados da amostra para fazer inferências sobre a população representada enquanto leva em consideração a aleatoriedade. Essas inferências podem assumir a forma de responder a perguntas sim / não sobre os dados (teste de hipótese ), estimando características numéricas dos dados ( estimativa ), descrevendo associações dentro dos dados ( correlação ) e modelando relacionamentos dentro dos dados (por exemplo, usando análise de regressão ). A inferência pode se estender à previsão , predição e estimativa de valores não observados na população em estudo ou associados a ela. Pode incluir extrapolação e interpolação de séries temporais ou dados espaciais e mineração de dados .

Estatística matemática

A estatística matemática é a aplicação da matemática à estatística. As técnicas matemáticas usadas para isso incluem análise matemática , álgebra linear , análise estocástica , equações diferenciais e teoria de probabilidade teórica de medida . [11] [12]

História

Gerolamo Cardano , um pioneiro na matemática da probabilidade.

Os primeiros escritos sobre inferência estatística datam de matemáticos e criptógrafos árabes , durante a Idade de Ouro islâmica entre os séculos VIII e XIII. Al-Khalil (717-786) escreveu o Livro de Mensagens Criptográficas , que contém o primeiro uso de permutações e combinações , para listar todas as palavras árabes possíveis com e sem vogais. [13] Em seu livro, Manuscript on Deciphering Cryptographic Messages, Al-Kindi deu uma descrição detalhada de como usar a análise de frequência para decifrar mensagens criptografadas . Al-Kindi também fez o primeiro uso conhecido deinferência estatística , enquanto ele e mais tarde criptógrafos árabes desenvolveram os primeiros métodos estatísticos para decodificar mensagens criptografadas. Ibn Adlan (1187–1268) posteriormente deu uma contribuição importante, sobre o uso do tamanho da amostra na análise de frequência. [13]

Os primeiros escritos europeus sobre estatísticas datam de 1663, com a publicação de observações naturais e políticas sobre as contas de mortalidade, de John Graunt . [14] As primeiras aplicações de pensamento estatístico girava em torno das necessidades dos Estados de política de base em dados demográficos e econômicos, daí o seu stat- etimologia . O escopo da disciplina de estatística se ampliou no início do século 19 para incluir a coleta e análise de dados em geral. Hoje, a estatística é amplamente empregada no governo, negócios e ciências naturais e sociais.

Os fundamentos matemáticos da estatística moderna foram lançados no século 17 com o desenvolvimento da teoria da probabilidade por Gerolamo Cardano , Blaise Pascal e Pierre de Fermat . A teoria matemática da probabilidade surgiu do estudo dos jogos de azar , embora o conceito de probabilidade já fosse examinado no direito medieval e por filósofos como Juan Caramuel . [15] O método dos mínimos quadrados foi descrito pela primeira vez por Adrien-Marie Legendre em 1805.

Karl Pearson , fundador da estatística matemática.

O campo moderno da estatística surgiu no final do século 19 e no início do século 20 em três estágios. [16] A primeira onda, na virada do século, foi liderada pelo trabalho de Francis Galton e Karl Pearson , que transformaram a estatística em uma disciplina matemática rigorosa usada para análise, não apenas na ciência, mas também na indústria e na política . As contribuições de Galton incluíram a introdução dos conceitos de desvio padrão , correlação , análise de regressão e a aplicação desses métodos ao estudo da variedade de características humanas - altura, peso, comprimento dos cílios, entre outros. [17] Pearson desenvolveu oCoeficiente de correlação momento-produto de Pearson , definido como momento-produto, [18] o método dos momentos para o ajuste de distribuições às amostras e a distribuição de Pearson , entre muitas outras coisas. [19] Galton e Pearson fundaram Biometrika como o primeiro periódico de estatística matemática e bioestatística (então chamada de biometria), e o último fundou o primeiro departamento de estatística universitária do mundo na University College London . [20]

Ronald Fisher cunhou o termo hipótese nula durante o experimento Lady Tasting tea , que "nunca é provado ou estabelecido, mas possivelmente é refutado, no decorrer da experimentação". [21] [22]

A segunda onda das décadas de 1910 e 20 foi iniciada por William Sealy Gosset e atingiu seu ponto culminante nas percepções de Ronald Fisher , que escreveu os livros didáticos que iriam definir a disciplina acadêmica em universidades ao redor do mundo. As publicações mais importantes de Fisher foram seu artigo seminal de 1918, A Correlação entre Parentes na Suposição de Herança Mendeliana (que foi o primeiro a usar o termo estatístico, variância ), seu trabalho clássico de 1925 Statistical Methods for Research Workers e seu 1935 The Design of Experiments , [23] [24] [25] onde desenvolveu um projeto rigoroso de experimentosmodelos. Ele originou os conceitos de suficiência , estatística auxiliar , discriminador linear de Fisher e informação de Fisher . [26] Em seu livro de 1930, The Genetics Theory of Natural Selection , ele aplicou estatística a vários conceitos biológicos , como o princípio de Fisher [27] (que AWF Edwards chamou de "provavelmente o argumento mais celebrado da biologia evolucionária ") e a fuga de Fisherian , [28] ] [29] [30] [31] [32] [33] um conceito emseleção sexual sobre um efeito de fuga de feedback positivo encontrado na evolução .

A onda final, que viu principalmente o refinamento e a expansão de desenvolvimentos anteriores, surgiu do trabalho colaborativo entre Egon Pearson e Jerzy Neyman nos anos 1930. Eles introduziram os conceitos de erro " Tipo II ", poder de um teste e intervalos de confiança . Jerzy Neyman, em 1934, mostrou que a amostragem aleatória estratificada era, em geral, um método melhor de estimativa do que a amostragem intencional (quota). [34]

Hoje, os métodos estatísticos são aplicados em todos os campos que envolvem a tomada de decisão, para fazer inferências precisas a partir de um corpo de dados agrupados e para tomar decisões diante da incerteza com base em metodologia estatística. O uso de computadores modernos acelerou cálculos estatísticos em grande escala e também tornou possíveis novos métodos que são impraticáveis ​​de serem executados manualmente. A estatística continua a ser uma área de pesquisa ativa, por exemplo, sobre o problema de como analisar big data . [35]

Dados estatísticos

A coleta de dados

Amostragem

Quando os dados do censo completo não podem ser coletados, os estatísticos coletam dados de amostra desenvolvendo projetos de experimentos específicos e amostras de pesquisa . A própria estatística também fornece ferramentas para predição e previsão por meio de modelos estatísticos .

Para usar uma amostra como guia para toda a população, é importante que ela realmente represente a população geral. A amostragem representativa garante que as inferências e conclusões podem se estender com segurança da amostra para a população como um todo. Um grande problema reside em determinar até que ponto a amostra escolhida é realmente representativa. As estatísticas oferecem métodos para estimar e corrigir qualquer tendência nos procedimentos de amostra e coleta de dados. Existem também métodos de desenho experimental para experimentos que podem amenizar esses problemas no início de um estudo, fortalecendo sua capacidade de discernir verdades sobre a população.

A teoria da amostragem é parte da disciplina matemática da teoria da probabilidade . A probabilidade é usada em estatística matemática para estudar as distribuições amostrais das estatísticas amostrais e, de maneira mais geral, as propriedades dos procedimentos estatísticos . O uso de qualquer método estatístico é válido quando o sistema ou população em consideração satisfaz os pressupostos do método. A diferença de ponto de vista entre a teoria da probabilidade clássica e a teoria da amostragem é, grosso modo, que a teoria da probabilidade começa a partir dos parâmetros dados de uma população total para deduzirprobabilidades que pertencem às amostras. A inferência estatística, entretanto, se move na direção oposta - inferindo indutivamente a partir de amostras para os parâmetros de uma população maior ou total.

Estudos experimentais e observacionais

Um objetivo comum para um projeto de pesquisa estatística é investigar a causalidade e, em particular, tirar uma conclusão sobre o efeito das mudanças nos valores dos preditores ou variáveis ​​independentes nas variáveis ​​dependentes . Existem dois tipos principais de estudos estatísticos causais: estudos experimentais e estudos observacionais. Em ambos os tipos de estudos, é observado o efeito das diferenças de uma variável independente (ou variáveis) sobre o comportamento da variável dependente. A diferença entre os dois tipos está na forma como o estudo é realmente conduzido. Cada um pode ser muito eficaz. Um estudo experimental envolve fazer medições do sistema em estudo, manipular o sistema e, em seguida, fazer medições adicionais usando o mesmo procedimento para determinar se a manipulação modificou os valores das medições. Em contraste, um estudo observacional não envolve manipulação experimental . Em vez disso, os dados são coletados e as correlações entre os preditores e a resposta são investigadas. Embora as ferramentas de análise de dados funcionem melhor com dados de estudos randomizados, eles também são aplicados a outros tipos de dados - como experimentos naturais e estudos observacionais [36] - para os quais um estatístico usaria um método de estimativa modificado e mais estruturado (por exemplo, Diferença na estimativa de diferenças e variáveis ​​instrumentais , entre muitos outros) que produzir estimadores consistentes .

Experimentos

As etapas básicas de um experimento estatístico são:

  1. Planejar a pesquisa, incluindo encontrar o número de repetições do estudo, usando as seguintes informações: estimativas preliminares quanto ao tamanho dos efeitos do tratamento , hipóteses alternativas e a variabilidade experimental estimada . A consideração da seleção de sujeitos experimentais e da ética da pesquisa é necessária. Os estatísticos recomendam que os experimentos comparem (pelo menos) um novo tratamento com um tratamento ou controle padrão, para permitir uma estimativa imparcial da diferença nos efeitos do tratamento.
  2. Projeto de experimentos , usando bloqueio para reduzir a influência de variáveis de confusão e atribuição aleatória de tratamentos aos indivíduos para permitir estimativas imparciais dos efeitos do tratamento e do erro experimental. Nesta fase, os experimentadores e estatísticos escrevem o protocolo experimental que guiará a execução da experiência e que especifica a análise primária dos dados experimentais.
  3. Realizando o experimento seguindo o protocolo experimental e analisando os dados seguindo o protocolo experimental.
  4. Examinar ainda mais o conjunto de dados em análises secundárias, para sugerir novas hipóteses para estudo futuro.
  5. Documentar e apresentar os resultados do estudo.

As experiências com o comportamento humano têm preocupações especiais. O famoso estudo Hawthorne examinou as mudanças no ambiente de trabalho na fábrica Hawthorne da Western Electric Company . Os pesquisadores estavam interessados ​​em determinar se o aumento da iluminação aumentaria a produtividade dos trabalhadores da linha de montagem . Os pesquisadores primeiro mediram a produtividade na planta, depois modificaram a iluminação em uma área da planta e verificaram se as mudanças na iluminação afetavam a produtividade. Descobriu-se que a produtividade realmente melhorou (nas condições experimentais). No entanto, o estudo é muito criticado hoje por erros em procedimentos experimentais, especificamente pela falta de um grupo de controle ecegueira . O efeito Hawthorne refere-se à descoberta de que um resultado (neste caso, a produtividade do trabalhador) mudou devido à própria observação. Aqueles no estudo de Hawthorne se tornaram mais produtivos não porque a iluminação foi alterada, mas porque eles estavam sendo observados. [37]

Estudo observacional

Um exemplo de estudo observacional é aquele que explora a associação entre tabagismo e câncer de pulmão. Esse tipo de estudo normalmente usa uma pesquisa para coletar observações sobre a área de interesse e, em seguida, realiza uma análise estatística. Nesse caso, os pesquisadores coletariam observações de fumantes e não fumantes, talvez por meio de um estudo de coorte , e então procurariam o número de casos de câncer de pulmão em cada grupo. [38] Um estudo de caso-controle é outro tipo de estudo observacional no qual pessoas com e sem o resultado de interesse (por exemplo, câncer de pulmão) são convidadas a participar e seus históricos de exposição são coletados.

Tipos de dados

Várias tentativas foram feitas para produzir uma taxonomia de níveis de medição . O psicofísico Stanley Smith Stevens definiu escalas nominais, ordinais, de intervalo e de razão. As medições nominais não têm uma ordem de classificação significativa entre os valores e permitem qualquer transformação um-para-um (injetiva). Medidas ordinais têm diferenças imprecisas entre valores consecutivos, mas têm uma ordem significativa para esses valores e permitem qualquer transformação que preserva a ordem. As medições de intervalo têm distâncias significativas entre as medições definidas, mas o valor zero é arbitrário (como no caso das medições de longitude e temperatura em Celsius ou Fahrenheit) e permite qualquer transformação linear. As medições de razão têm um valor zero significativo e as distâncias entre as diferentes medições definidas e permitem qualquer transformação de reescalonamento.

Como as variáveis ​​em conformidade apenas com as medições nominais ou ordinais não podem ser razoavelmente medidas numericamente, às vezes elas são agrupadas como variáveis ​​categóricas , enquanto as medições de razão e intervalo são agrupadas como variáveis ​​quantitativas , que podem ser discretas ou contínuas , devido à sua natureza numérica. Essas distinções podem muitas vezes ser correlacionadas livremente com o tipo de dados em ciência da computação, em que variáveis ​​categóricas dicotômicas podem ser representadas com o tipo de dados Booleano , variáveis ​​categóricas politômicas com números inteiros arbitrariamente atribuídos no tipo de dados integrale variáveis ​​contínuas com o tipo de dados real envolvendo computação de ponto flutuante . Mas o mapeamento de tipos de dados de ciência da computação para tipos de dados estatísticos depende de qual categorização do último está sendo implementada.

Outras categorizações foram propostas. Por exemplo, Mosteller e Tukey (1977) [39] distinguiram notas, classificações, frações contadas, contagens, quantias e saldos. Nelder (1990) [40] descreveu contagens contínuas, proporções contínuas, proporções de contagem e modos categóricos de dados. (Ver também: Chrisman (1998), [41] van den Berg (1991). [42] )

A questão de saber se é ou não apropriado aplicar diferentes tipos de métodos estatísticos a dados obtidos de diferentes tipos de procedimentos de medição é complicada por questões relativas à transformação de variáveis ​​e à interpretação precisa das questões de pesquisa. "A relação entre os dados e o que eles descrevem reflete meramente o fato de que certos tipos de afirmações estatísticas podem ter valores de verdade que não são invariáveis ​​sob algumas transformações. Se uma transformação é ou não sensata de contemplar depende da pergunta que se está tentando responder . " [43] : 82

Métodos

Estatística descritiva

Uma estatística descritiva (no sentido do substantivo contável) é uma estatística resumida que descreve ou resume quantitativamente as características de uma coleção de informações , [44] enquanto a estatística descritiva no sentido do substantivo massivo é o processo de usar e analisar essas estatísticas. A estatística descritiva se distingue da estatística inferencial (ou estatística indutiva), na medida em que a estatística descritiva visa resumir uma amostra , em vez de usar os dados para aprender sobre a população que a amostra de dados representa.

Estatística inferencial

A inferência estatística é o processo de usar a análise de dados para deduzir propriedades de uma distribuição de probabilidade subjacente . [45] A análise estatística inferencial infere propriedades de uma população , por exemplo, testando hipóteses e derivando estimativas. Supõe-se que o conjunto de dados observado é uma amostra de uma população maior. A estatística inferencial pode ser comparada com a estatística descritiva . A estatística descritiva preocupa-se apenas com as propriedades dos dados observados e não se baseia na suposição de que os dados vêm de uma população maior.

Terminologia e teoria da estatística inferencial

Estatísticas, estimadores e quantidades pivot

Considere variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma independente (IID) com uma determinada distribuição de probabilidade : a inferência estatística padrão e a teoria de estimativa definem uma amostra aleatória como o vetor aleatório dado pelo vetor coluna dessas variáveis ​​IID. [46] A população que está sendo examinada é descrita por uma distribuição de probabilidade que pode ter parâmetros desconhecidos.

Uma estatística é uma variável aleatória que é uma função da amostra aleatória, mas não uma função de parâmetros desconhecidos . A distribuição de probabilidade da estatística, entretanto, pode ter parâmetros desconhecidos. Considere agora uma função do parâmetro desconhecido: um estimador é uma estatística usada para estimar tal função. Os estimadores comumente usados ​​incluem a média da amostra , a variância da amostra não enviesada e a covariância da amostra .

Uma variável aleatória que é uma função da amostra aleatória e do parâmetro desconhecido, mas cuja distribuição de probabilidade não depende do parâmetro desconhecido é chamada de quantidade pivô ou pivô. Os pivôs amplamente usados ​​incluem o escore z , a estatística qui-quadrado e o valor t de Student .

Entre dois estimadores de um determinado parâmetro, aquele com menor erro quadrático médio é considerado mais eficiente . Além disso, um estimador é considerado não enviesado se seu valor esperado for igual ao valor verdadeiro do parâmetro desconhecido sendo estimado, e não enviesado assintoticamente se seu valor esperado convergir no limite para o valor verdadeiro de tal parâmetro.

Outras propriedades desejáveis ​​para estimadores incluem: estimadores UMVUE que têm a menor variância para todos os valores possíveis do parâmetro a ser estimado (esta geralmente é uma propriedade mais fácil de verificar do que eficiência) e estimadores consistentes que convergem em probabilidade para o valor verdadeiro de tal parâmetro .

Isso ainda deixa a questão de como obter estimadores em uma dada situação e realizar o cálculo, vários métodos foram propostos: o método dos momentos , o método da máxima verossimilhança , o método dos mínimos quadrados e o método mais recente de estimar equações .

Hipótese nula e hipótese alternativa

A interpretação da informação estatística pode freqüentemente envolver o desenvolvimento de uma hipótese nula que é geralmente (mas não necessariamente) que não existe relação entre as variáveis ​​ou que nenhuma mudança ocorreu ao longo do tempo. [47] [48]

A melhor ilustração para um novato é a situação difícil enfrentada por um julgamento criminal. A hipótese nula, H 0 , afirma que o réu é inocente, enquanto a hipótese alternativa, H 1 , afirma que o réu é culpado. A acusação vem por causa da suspeita de culpa. O H 0 (status quo) se opõe a H 1 e é mantido a menos que H 1 seja apoiado por evidências "além de uma dúvida razoável". No entanto, "não rejeitar H 0 ", neste caso, não implica inocência, mas apenas que as evidências foram insuficientes para condenar. Portanto, o júri não aceita necessariamente H 0, mas falha em rejeitar H0 . Embora não se possa "provar" uma hipótese nula, pode-se testar o quão perto ela está de ser verdadeira com um teste de potência , que testa erros do tipo II .

O que os estatísticos chamam de hipótese alternativa é simplesmente uma hipótese que contradiz a hipótese nula .

Erro

Trabalhando a partir de uma hipótese nula , duas grandes categorias de erro são reconhecidas:

  • Erros do tipo I em que a hipótese nula é falsamente rejeitada, dando um "falso positivo".
  • Erros do tipo II em que a hipótese nula falha em ser rejeitada e uma diferença real entre as populações é perdida, resultando em um "falso negativo".

O desvio padrão se refere à extensão em que as observações individuais em uma amostra diferem de um valor central, como a média da amostra ou da população, enquanto o erro padrão se refere a uma estimativa da diferença entre a média da amostra e a média da população.

Um erro estatístico é o valor pelo qual uma observação difere de seu valor esperado , um resíduo é o valor que uma observação difere do valor que o estimador do valor esperado assume em uma determinada amostra (também chamado de previsão).

O erro quadrático médio é usado para obter estimadores eficientes , uma classe de estimadores amplamente usada. A raiz do erro quadrático médio é simplesmente a raiz quadrada do erro quadrático médio.

Um ajuste de mínimos quadrados: em vermelho os pontos a serem ajustados, em azul a linha ajustada.

Muitos métodos estatísticos procuram minimizar a soma residual dos quadrados e são chamados de " métodos dos mínimos quadrados " em contraste com os desvios mínimos absolutos . O último atribui peso igual aos erros pequenos e grandes, enquanto o primeiro atribui maior peso aos erros grandes. A soma residual dos quadrados também é diferenciável , o que fornece uma propriedade útil para fazer a regressão . Os mínimos quadrados aplicados à regressão linear são chamados de método dos mínimos quadrados ordinários e os mínimos quadrados aplicados à regressão não linear são chamados de mínimos quadrados não lineares. Também em um modelo de regressão linear, a parte não determinística do modelo é chamada de termo de erro, perturbação ou mais simplesmente ruído. Tanto a regressão linear quanto a não linear são tratadas em mínimos quadrados polinomiais , que também descreve a variância em uma previsão da variável dependente (eixo y) como uma função da variável independente (eixo x) e os desvios (erros, ruído, perturbações) da curva estimada (ajustada).

Os processos de medição que geram dados estatísticos também estão sujeitos a erros. Muitos desses erros são classificados como aleatórios (ruído) ou sistemáticos ( viés ), mas outros tipos de erros (por exemplo, asneira, como quando um analista relata unidades incorretas) também podem ser importantes. A presença de dados ausentes ou censura pode resultar em estimativas tendenciosas e técnicas específicas foram desenvolvidas para resolver esses problemas. [49]

Estimativa de intervalo
Intervalos de confiança : a linha vermelha é o valor verdadeiro da média neste exemplo, as linhas azuis são intervalos de confiança aleatórios para 100 realizações.

A maioria dos estudos mostra apenas parte de uma população, então os resultados não representam totalmente a população inteira. Quaisquer estimativas obtidas na amostra apenas se aproximam do valor da população. Os intervalos de confiança permitem que os estatísticos expressem o quão próximo a estimativa da amostra corresponde ao valor verdadeiro em toda a população. Freqüentemente, eles são expressos como intervalos de confiança de 95%. Formalmente, um intervalo de confiança de 95% para um valor é um intervalo em que, se a amostragem e a análise fossem repetidas nas mesmas condições (produzindo um conjunto de dados diferente), o intervalo incluiria o valor verdadeiro (população) em 95% de todos os casos possíveis . Isso não significa que a probabilidade de que o valor verdadeiro esteja no intervalo de confiança seja de 95%. Do frequentistaperspectiva, tal afirmação nem mesmo faz sentido, pois o valor verdadeiro não é uma variável aleatória . O valor verdadeiro está ou não dentro do intervalo fornecido. No entanto, é verdade que, antes de qualquer dado ser amostrado e dado um plano de como construir o intervalo de confiança, a probabilidade é de 95% de que o intervalo ainda a ser calculado cubra o valor verdadeiro: neste ponto, o os limites do intervalo são variáveis ​​aleatórias ainda a serem observadas . Uma abordagem que produz um intervalo que pode ser interpretado como tendo uma determinada probabilidade de conter o valor verdadeiro é usar um intervalo confiável da estatística Bayesiana : essa abordagem depende de uma maneira diferente de interpretar o que se entende por "probabilidade", ou seja, uma probabilidade Bayesiana .

Em princípio, os intervalos de confiança podem ser simétricos ou assimétricos. Um intervalo pode ser assimétrico porque funciona como limite inferior ou superior para um parâmetro (intervalo do lado esquerdo ou intervalo do lado direito), mas também pode ser assimétrico porque o intervalo dos dois lados é construído violando a simetria em torno da estimativa. Às vezes, os limites de um intervalo de confiança são atingidos assintoticamente e são usados ​​para aproximar os limites verdadeiros.

Significância

As estatísticas raramente fornecem uma resposta simples do tipo Sim / Não à pergunta em análise. A interpretação geralmente se reduz ao nível de significância estatística aplicada aos números e frequentemente se refere à probabilidade de um valor rejeitar com precisão a hipótese nula (às vezes chamada de valor p ).

Neste gráfico, a linha preta é a distribuição de probabilidade para a estatística de teste , a região crítica é o conjunto de valores à direita do ponto de dados observado (valor observado da estatística de teste) e o valor p é representado pela área verde.

A abordagem padrão [46] é testar uma hipótese nula contra uma hipótese alternativa. Uma região crítica é o conjunto de valores do estimador que leva a refutar a hipótese nula. A probabilidade de erro tipo I é, portanto, a probabilidade de que o estimador pertença à região crítica dado que a hipótese nula é verdadeira ( significância estatística ) e a probabilidade de erro tipo II é a probabilidade de o estimador não pertencer à região crítica dada que a hipótese alternativa é verdadeira. O poder estatístico de um teste é a probabilidade de ele rejeitar corretamente a hipótese nula quando a hipótese nula for falsa.

Referir-se à significância estatística não significa necessariamente que o resultado geral seja significativo em termos do mundo real. Por exemplo, em um grande estudo de um medicamento, pode ser demonstrado que o medicamento tem um efeito benéfico estatisticamente significativo, mas muito pequeno, de modo que é improvável que o medicamento ajude o paciente de forma perceptível.

Embora, em princípio, o nível aceitável de significância estatística possa estar sujeito a debate, o nível de significância é o maior valor de p que permite ao teste rejeitar a hipótese nula. Esse teste é logicamente equivalente a dizer que o valor p é a probabilidade, supondo que a hipótese nula seja verdadeira, de observar um resultado pelo menos tão extremo quanto a estatística de teste . Portanto, quanto menor o nível de significância, menor a probabilidade de cometer o erro tipo I.

Alguns problemas são geralmente associados a esta estrutura (ver crítica do teste de hipótese ):

  • Uma diferença que é altamente significativa em termos estatísticos pode ainda não ter significado prático, mas é possível formular testes de forma adequada para explicar isso. Uma resposta envolve ir além de relatar apenas o nível de significância para incluir o valor p ao relatar se uma hipótese é rejeitada ou aceita. O valor de p, entretanto, não indica o tamanho ou a importância do efeito observado e também pode parecer exagerar a importância de pequenas diferenças em grandes estudos. Uma abordagem melhor e cada vez mais comum é relatar intervalos de confiança . Embora estes sejam produzidos a partir dos mesmos cálculos dos testes de hipótese ou p-valores, eles descrevem o tamanho do efeito e a incerteza que o cerca.
  • Falácia da condicional transposta, também conhecida como falácia do promotor : as críticas surgem porque a abordagem de teste de hipótese força uma hipótese (a hipótese nula ) a ser favorecida, uma vez que o que está sendo avaliado é a probabilidade do resultado observado dada a hipótese nula e não a probabilidade de hipótese nula dado o resultado observado. Uma alternativa a essa abordagem é oferecida pela inferência Bayesiana , embora exija o estabelecimento de uma probabilidade a priori . [50]
  • Rejeitar a hipótese nula não prova automaticamente a hipótese alternativa.
  • Como tudo na estatística inferencial, ele depende do tamanho da amostra e, portanto, em caudas grossas , os valores de p podem ser seriamente mal calculados. [ esclarecimento necessário ]
Exemplos

Alguns testes e procedimentos estatísticos bem conhecidos são:

Análise exploratória de dados

A análise exploratória de dados ( EDA ) é uma abordagem para analisar conjuntos de dados para resumir suas características principais, geralmente com métodos visuais. Um modelo estatístico pode ser usado ou não, mas principalmente EDA é para ver o que os dados podem nos dizer além da modelagem formal ou tarefa de teste de hipótese.

Uso indevido

O uso indevido de estatísticas pode produzir erros sutis, mas sérios na descrição e interpretação - sutis no sentido de que até mesmo profissionais experientes cometem tais erros, e sérios no sentido de que podem levar a erros de decisão devastadores. Por exemplo, a política social, a prática médica e a confiabilidade de estruturas como pontes dependem do uso adequado de estatísticas.

Mesmo quando as técnicas estatísticas são aplicadas corretamente, os resultados podem ser difíceis de interpretar para quem não tem experiência. A significância estatística de uma tendência nos dados - que mede até que ponto uma tendência pode ser causada por variação aleatória na amostra - pode ou não concordar com um senso intuitivo de sua significância. O conjunto de habilidades estatísticas básicas (e ceticismo) de que as pessoas precisam para lidar adequadamente com as informações em suas vidas diárias é conhecido como alfabetização estatística .

Há uma percepção geral de que o conhecimento estatístico é frequentemente mal utilizado intencionalmente , encontrando maneiras de interpretar apenas os dados que são favoráveis ​​ao apresentador. [51] A desconfiança e a incompreensão das estatísticas estão associadas à citação: " Existem três tipos de mentiras: mentiras, mentiras malditas e estatísticas ". O uso indevido de estatísticas pode ser inadvertido e intencional, e o livro How to Lie with Statistics [51] descreve uma série de considerações. Na tentativa de lançar luz sobre o uso e mau uso de estatísticas, são realizadas revisões de técnicas estatísticas usadas em campos específicos (por exemplo, Warne, Lazo, Ramos e Ritter (2012)). [52]

Maneiras de evitar o uso indevido de estatísticas incluem o uso de diagramas adequados e evitar tendências . [53] O uso indevido pode ocorrer quando as conclusões são generalizadas e afirmadas como representativas de mais do que realmente são, muitas vezes por negligenciar deliberada ou inconscientemente o viés de amostragem. [54] Os gráficos de barras são indiscutivelmente os diagramas mais fáceis de usar e entender, e podem ser feitos manualmente ou com programas de computador simples. [53] Infelizmente, a maioria das pessoas não procura preconceitos ou erros, então eles não são notados. Assim, muitas vezes as pessoas podem acreditar que algo é verdadeiro, mesmo que não seja bem representado . [54]Para tornar os dados coletados por estatísticas confiáveis ​​e precisos, a amostra coletada deve ser representativa do todo. [55] De acordo com Huff, "A confiabilidade de uma amostra pode ser destruída por [viés] ... permita-se algum grau de ceticismo." [56]

Para auxiliar na compreensão das estatísticas, Huff propôs uma série de perguntas a serem feitas em cada caso: [51]

  • Quem disse isso? (Ele / ela tem um machado para moer?)
  • Como ele sabe? (Ele / ela tem recursos para conhecer os fatos?)
  • O que está a faltar? (Ele / ela nos dá uma imagem completa?)
  • Alguém mudou de assunto? (Ele / ela nos oferece a resposta certa para o problema errado?)
  • Isso faz sentido? (Sua conclusão é lógica e consistente com o que já sabemos?)
A variável de confusão problema: X e Y podem ser correlacionados, não porque não há relação causal entre eles, mas, porque ambos dependem de uma terceira variável Z . Z é chamado de fator de confusão.

Má interpretação: correlação

O conceito de correlação é particularmente notável pela confusão potencial que pode causar. A análise estatística de um conjunto de dados freqüentemente revela que duas variáveis ​​(propriedades) da população em consideração tendem a variar juntas, como se estivessem conectadas. Por exemplo, um estudo de renda anual que também analisa a idade da morte pode descobrir que as pessoas pobres tendem a ter vidas mais curtas do que as pessoas ricas. As duas variáveis ​​são ditas correlacionadas; no entanto, eles podem ou não ser a causa um do outro. O fenômeno de correlação pode ser causado por um terceiro fenômeno, anteriormente não considerado, chamado de variável oculta ou variável de confusão. Por esse motivo, não há como inferir imediatamente a existência de uma relação causal entre as duas variáveis.

Aplicações

Estatística aplicada, estatísticas teóricas e estatísticas matemáticas

A estatística aplicada compreende a estatística descritiva e a aplicação de estatística inferencial. [57] [58] A estatística teórica diz respeito aos argumentos lógicos subjacentes à justificativa de abordagens para inferência estatística , bem como abrange a estatística matemática . A estatística matemática inclui não apenas a manipulação de distribuições de probabilidade necessárias para derivar resultados relacionados a métodos de estimativa e inferência, mas também vários aspectos da estatística computacional e do projeto de experimentos .

Os consultores de estatística podem ajudar organizações e empresas que não possuem conhecimento interno relevante para suas questões específicas.

Aprendizado de máquina e mineração de dados

Modelos de aprendizado de máquina são modelos estatísticos e probabilísticos que capturam padrões nos dados por meio do uso de algoritmos computacionais.

Estatísticas em academia

A estatística é aplicável a uma ampla variedade de disciplinas acadêmicas , incluindo ciências naturais e sociais , governo e negócios. Estatísticas de negócios aplicam métodos estatísticos em econometria , auditoria e produção e operações, incluindo melhoria de serviços e pesquisa de marketing. [59] Um estudo de duas revistas em biologia tropical descobriu que os 12 testes estatísticos mais frequentes são: Análise de Variância (ANOVA), Teste Qui-Quadrado , Teste T de Student , Regressão Linear , Coeficiente de Correlação de Pearson , Teste U de Mann-Whitney, Teste de Kruskal-Wallis , Índice de Diversidade de Shannon , Teste de Tukey , Análise de Cluster , Teste de Correlação de Classificação de Spearman e Análise de Componentes Principais . [60]

Um curso de estatística típico cobre estatística descritiva, probabilidade, distribuições binomial e normal , teste de hipóteses e intervalos de confiança, regressão linear e correlação. [61] Cursos estatísticos fundamentais modernos para estudantes de graduação enfocam a seleção correta de testes, interpretação de resultados e uso de software de estatística livre . [60]

Computação estatística

Os aumentos rápidos e sustentados no poder de computação a partir da segunda metade do século 20 tiveram um impacto substancial na prática da ciência estatística. Os primeiros modelos estatísticos eram quase sempre da classe dos modelos lineares , mas computadores poderosos, juntamente com algoritmos numéricos adequados , aumentaram o interesse em modelos não lineares (como redes neurais ), bem como na criação de novos tipos, como modelos lineares generalizados e modelos multiníveis .

O aumento do poder de computação também levou à crescente popularidade de métodos computacionalmente intensivos baseados em reamostragem , como testes de permutação e bootstrap , enquanto técnicas como a amostragem de Gibbs tornaram o uso de modelos bayesianos mais viáveis. A revolução do computador tem implicações para o futuro das estatísticas, com uma nova ênfase nas estatísticas "experimentais" e "empíricas". Um grande número de softwares estatísticos para fins gerais e especiais estão agora disponíveis. Exemplos de software disponível com capacidade de computação estatística complexa incluem programas como Mathematica , SAS , SPSS eR .

Estatísticas de negócio

No mundo dos negócios, "estatística" é uma ferramenta amplamente utilizada de gerenciamento e suporte à decisão . É particularmente aplicado na gestão financeira , gestão de marketing e produção , serviços e gestão de operações . [62] [63] As estatísticas também são amplamente utilizadas na contabilidade e auditoria de gestão . A disciplina de Ciências da Administração formaliza o uso da estatística e de outras matemáticas nos negócios. ( Econometria é a aplicação de métodos estatísticos a dados econômicosa fim de dar conteúdo empírico às relações econômicas .)

Um curso típico de "Estatísticas de Negócios" é destinado a especializações em negócios e cobre [64] estatísticas descritivas ( coleta , descrição, análise e resumo de dados), probabilidade (normalmente as distribuições binomial e normal ), teste de hipóteses e intervalos de confiança regressão linear e correlação; Os cursos (de acompanhamento) podem incluir previsões , séries temporais , árvores de decisão , regressão linear múltipla e outros tópicos de análise de negócios de forma mais geral. Veja também Matemática empresarial § Nível universitário. Os programas de certificação profissional , como o CFA , geralmente incluem tópicos de estatísticas.

Estatística aplicada a matemática ou as artes

Tradicionalmente, a estatística preocupava-se em fazer inferências usando uma metodologia semipadronizada que era "aprendizado obrigatório" na maioria das ciências. [ carece de fontes? ] Esta tradição mudou com o uso de estatísticas em contextos não inferenciais. O que antes era considerado um assunto árido, tomado em muitos campos como uma exigência de graduação, agora é visto com entusiasmo. [de acordo com quem? ] Inicialmente ridicularizado por alguns puristas matemáticos, agora é considerada uma metodologia essencial em certas áreas.

  • Na teoria dos números , gráficos de dispersão de dados gerados por uma função de distribuição podem ser transformados com ferramentas familiares usadas em estatísticas para revelar padrões subjacentes, que podem então levar a hipóteses.
  • Métodos de estatística, incluindo métodos preditivos de previsão, são combinados com a teoria do caos e a geometria fractal para criar trabalhos em vídeo considerados de grande beleza. [ citação necessária ]
  • O processo de arte de Jackson Pollock baseou-se em experimentos artísticos pelos quais distribuições subjacentes na natureza foram artisticamente reveladas. [ carece de fontes? ] Com o advento dos computadores, os métodos estatísticos foram aplicados para formalizar esses processos naturais orientados por distribuição para fazer e analisar a arte em vídeo em movimento. [ citação necessária ]
  • Métodos de estatística podem ser usados ​​de forma preditiva na arte da performance , como em um truque de cartas baseado em um processo de Markov que funciona apenas algumas vezes, cuja ocasião pode ser prevista usando metodologia estatística.
  • A estatística pode ser usada para criar arte predicativamente, como na música estatística ou estocástica inventada por Iannis Xenakis , onde a música é específica para a performance. Embora esse tipo de arte nem sempre saia como esperado, ele se comporta de maneiras que são previsíveis e ajustáveis ​​usando estatísticas.

Disciplinas especializadas

Técnicas estatísticas são usados em uma ampla gama de tipos de pesquisa científica e social, incluindo: bioestatística , biologia computacional , sociologia computacional , biologia rede , ciências sociais , sociologia e pesquisa social . Alguns campos de investigação usam estatísticas aplicadas de forma tão extensa que possuem terminologia especializada . Essas disciplinas incluem:

Além disso, existem tipos específicos de análise estatística que também desenvolveram sua própria terminologia e metodologia especializadas:

As estatísticas também constituem uma ferramenta básica fundamental nos negócios e na manufatura. É usado para entender a variabilidade dos sistemas de medição, processos de controle (como no controle de processo estatístico ou SPC), para resumir dados e para tomar decisões baseadas em dados. Nessas funções, é uma ferramenta-chave e talvez a única ferramenta confiável.

Veja também

Fundações e principais áreas de estatísticas

Referências

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    Dois livros abertos são:

Outras leituras

Ligações externas