Sexagesimal

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Sexagesimal , também conhecido como base 60 ou sexagenário , [1] é um sistema numeral com sessenta como base . Originou-se com os antigos sumérios no 3º milênio aC, foi passado para os antigos babilônios e ainda é usado - de forma modificada - para medir tempo , ângulos e coordenadas geográficas .

O número 60, um número superior altamente composto , tem doze fatores , a saber, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60, dos quais 2, 3 e 5 são primos . números . Com tantos fatores, muitas frações envolvendo números sexagesimais são simplificadas. Por exemplo, uma hora pode ser dividida igualmente em seções de 30 minutos, 20 minutos, 15 minutos, 12 minutos, 10 minutos, 6 minutos, 5 minutos, 4 minutos, 3 minutos, 2 minutos e 1 minuto. 60 é o menor número divisível por todos os números de 1 a 6; ou seja, é o menor múltiplo comum de 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Neste artigo, todos os dígitos sexagesimais são representados como números decimais, exceto onde indicado de outra forma. Por exemplo, 10 significa o número dez e 60 significa o número sessenta .

Origem

Usando o polegar e apontando para cada um dos três ossos dos dedos em cada dedo, é possível que as pessoas contem nos dedos até 12 em uma única mão. Um sistema de contagem tradicional ainda em uso em muitas regiões da Ásia funciona dessa maneira e poderia ajudar a explicar a ocorrência de sistemas numerais baseados em 12 e 60, além daqueles baseados em 10, 20 e 5. Nesse sistema, a outra mão de uma pessoa contaria o número de vezes que 12 foi alcançado em sua primeira mão. Os cinco dedos contariam cinco conjuntos de 12, ou sessenta. [2] [3] No entanto, o sistema sexagesimal babilônico foi baseado em seis grupos de dez, não cinco grupos de 12.

Segundo Otto Neugebauer , as origens do sexagesimal não são tão simples, consistentes ou singulares no tempo como muitas vezes são retratadas. Ao longo de seus muitos séculos de uso, que continuam até hoje para tópicos especializados como tempo, ângulos e sistemas de coordenadas astronômicas, as notações sexagesimais sempre continham uma forte corrente de notação decimal, como em como os dígitos sexagesimais são escritos. Seu uso também sempre incluiu (e continua a incluir) inconsistências em onde e como as várias bases devem representar números mesmo dentro de um único texto. [4]

Cedo proto-cuneiforme (4º milênio aC) e sinais cuneiformes para o sistema sexagesimal (60, 600, 3600, etc.)

O driver mais poderoso para o uso rigoroso e totalmente autoconsistente do sexagesimal sempre foram suas vantagens matemáticas para escrever e calcular frações. Nos textos antigos, isso aparece no fato de que o sexagesimal é usado de maneira mais uniforme e consistente em tabelas matemáticas de dados. [4] Outro fator prático que ajudou a expandir o uso do sexagesimal no passado, ainda que menos consistente do que nas tabelas matemáticas, foram suas vantagens decisivas para comerciantes e compradores por facilitar as transações financeiras diárias quando envolviam barganhar e dividir grandes quantidades de dinheiro. bens. O shekel primitivo em particular era um sexagésimo de um mana, [4]embora os gregos mais tarde tenham forçado essa relação para a proporção mais compatível com a base 10 de um shekel sendo um quinquagésimo de uma mina .

Além das tabelas matemáticas, as inconsistências em como os números eram representados na maioria dos textos se estendiam até os símbolos cuneiformes mais básicos usados ​​para representar quantidades numéricas. [4]Por exemplo, o símbolo cuneiforme para 1 era uma elipse feita aplicando a extremidade arredondada da caneta em um ângulo com a argila, enquanto o símbolo sexagesimal para 60 era um oval maior ou "grande 1". Mas dentro dos mesmos textos em que esses símbolos eram usados, o número 10 era representado como um círculo feito pela aplicação da extremidade arredondada do estilo perpendicular ao barro, e um círculo maior ou "10 grande" era usado para representar 100. símbolos de quantidade numérica multibase podem ser misturados entre si e com abreviações, mesmo dentro de um único número. Os detalhes e até mesmo as magnitudes implícitas (já que o zero não foi usado de forma consistente) eram idiomáticos para os períodos de tempo, culturas e quantidades ou conceitos específicos que estavam sendo representados. Embora essas representações dependentes de contexto de quantidades numéricas sejam fáceis de criticar em retrospecto, nos tempos modernos ainda temos dezenas de exemplos usados ​​regularmente de mistura de bases dependentes de tópicos, incluindo a recente inovação de adicionar frações decimais a coordenadas astronômicas sexagesimais. [4]

Uso

Matemática babilônica

O sistema sexagesimal usado na antiga Mesopotâmia não era um sistema puro de base 60, no sentido de que não usava 60 símbolos distintos para seus dígitos . Em vez disso, os dígitos cuneiformes usavam dez como uma sub-base na forma de uma notação de valor de sinal : um dígito sexagesimal era composto por um grupo de marcas estreitas em forma de cunha representando unidades até nove ( Babilônico 1.svg, Babilônico 2.svg, Babilônico 3.svg, Babilônico 4.svg, ... , Babilônico 9.svg) e um grupo de marcas largas em forma de cunha representando até cinco dezenas ( Babilônico 10.svg, Babilônico 20.svg, Babilônico 30.svg, Babilônico 40.svg, Babilônico 50.svg). O valor do dígito era a soma dos valores de suas partes componentes:

numerais babilônicos.svg

Números maiores que 59 foram indicados por vários blocos de símbolos desta forma em notação de valor posicional . Como não havia símbolo para zero , nem sempre é imediatamente óbvio como um número deve ser interpretado, e seu verdadeiro valor às vezes deve ter sido determinado por seu contexto. Por exemplo, os símbolos para 1 e 60 são idênticos. [5] [6] Textos babilônicos posteriores usavam um espaço reservado ( dígito babilônico 0.svg) para representar zero, mas apenas nas posições mediais, e não no lado direito do número, como fazemos em números como13 200 . [6]

Outros usos históricos

No calendário chinês , é comumente usado um ciclo sexagenário , no qual os dias ou anos são nomeados por posições em uma sequência de dez hastes e em outra sequência de 12 ramos. O mesmo caule e galho se repetem a cada 60 passos neste ciclo.

O Livro VIII da República de Platão envolve uma alegoria do casamento centrada no número 60 4 =12 960 000 e seus divisores. Este número tem a representação sexagesimal particularmente simples 1,0,0,0,0. Estudiosos posteriores invocaram tanto a matemática babilônica quanto a teoria musical na tentativa de explicar essa passagem. [7]

O Almagesto de Ptolomeu , um tratado sobre astronomia matemática escrito no século II dC, usa a base 60 para expressar as partes fracionárias dos números. Em particular, sua tabela de cordas , que foi essencialmente a única tabela trigonométrica extensa por mais de um milênio, tem partes fracionárias de um grau na base 60 e era essencialmente equivalente a uma tabela moderna de valores da função seno .

Astrônomos medievais também usavam números sexagesimais para anotar o tempo. Al-Biruni primeiro subdividiu a hora sexagesimalmente em minutos , segundos , terços e quartos em 1000 enquanto discutia os meses judaicos. [8] Por volta de 1235 João de Sacrobosco continuou esta tradição, embora Nothaft pensasse que Sacrobosco foi o primeiro a fazê-lo. [9] A versão parisiense das tabelas alfonsinas (ca. 1320) usava o dia como unidade básica de tempo, registrando múltiplos e frações de um dia em notação de base 60. [10]

O sistema de numeração sexagesimal continuou a ser freqüentemente usado por astrônomos europeus para realizar cálculos até 1671. [11] Por exemplo, Jost Bürgi em Fundamentum Astronomiae (apresentado ao imperador Rudolf II em 1592), seu colega Ursus em Fundamentum Astronomicum , e possivelmente também Henry Briggs , usou tabelas de multiplicação baseadas no sistema sexagesimal no final do século XVI, para calcular os senos. [12]

No final do século 18 e início do século 19, descobriu-se que os astrônomos tâmeis faziam cálculos astronômicos, contando com conchas usando uma mistura de notações decimais e sexagesimais desenvolvidas por astrônomos helenísticos . [13]

Os sistemas numéricos de base 60 também foram usados ​​em algumas outras culturas que não têm relação com os sumérios, por exemplo, pelo povo Ekari da Nova Guiné Ocidental . [14] [15]

Uso moderno

Os usos modernos para o sistema sexagesimal incluem medição de ângulos , coordenadas geográficas , navegação eletrônica e tempo . [16]

Uma hora de tempo é dividida em 60 minutos e um minuto é dividido em 60 segundos. Assim, uma medida de tempo como 3:23:17 (3 horas, 23 minutos e 17 segundos) pode ser interpretada como um número sexagesimal inteiro (sem ponto sexagesimal), significando 3 × 60 2 + 23 × 60 1 + 17 × 60 0 segundos . No entanto, cada um dos três dígitos sexagesimais neste número (3, 23 e 17) é escrito usando o sistema decimal .

Da mesma forma, a unidade prática de medida angular é o grau , do qual há 360 (seis sessenta) em um círculo. Existem 60 minutos de arco em um grau e 60 segundos de arco em um minuto.

YAML

Na versão 1.1 [17] do formato de armazenamento de dados YAML , sexagesimais são suportados para escalares simples, e formalmente especificados tanto para inteiros [18] quanto para números de ponto flutuante. [19] Isso levou a confusão, como por exemplo, alguns endereços MAC seriam reconhecidos como sexagesimais e carregados como inteiros, enquanto outros não eram e carregados como strings. No YAML 1.2, o suporte para sexagesimais foi descartado. [20]

Anotações

Nos textos astronômicos gregos helenísticos , como os escritos de Ptolomeu , os números sexagesimais eram escritos usando numerais alfabéticos gregos , com cada dígito sexagesimal sendo tratado como um número distinto. Os astrônomos helenísticos adotaram um novo símbolo para zero,°, que se transformou ao longo dos séculos em outras formas, incluindo a letra grega omicron, ο, normalmente significando 70, mas permitido em um sistema sexagesimal onde o valor máximo em qualquer posição é 59. [21] [22] Os gregos limitaram seu uso de números sexagesimais à parte fracionária de um número. [23]

Nos textos latinos medievais, os números sexagesimais eram escritos com algarismos arábicos ; os diferentes níveis de frações foram denotados minuta (ou seja, fração), minuta secunda , minuta tertia , etc. mais acentos. John Wallis , em sua Mathesis universalis , generalizou essa notação para incluir múltiplos maiores de 60; dando como exemplo o número 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗; onde os números à esquerda são multiplicados por potências maiores de 60, os números à direita são divididos por potências de 60 e o número marcado com o zero sobrescrito é multiplicado por 1. [24] Essa notação leva aos sinais modernos para graus, minutos e segundos. A mesma nomenclatura de minuto e segundo também é usada para unidades de tempo, e a notação moderna para tempo com horas, minutos e segundos escritos em decimal e separados uns dos outros por dois pontos pode ser interpretada como uma forma de notação sexagesimal.

Em alguns sistemas de uso, cada posição além do ponto sexagesimal era numerada, usando raízes latinas ou francesas : prime ou primus , seconde ou secundus , tierce , quatre , quinte , etc. de um grau um "segundo". Até pelo menos o século XVIII,1/60de um segundo foi chamado de "tierce" ou "terceiro". [25] [26]

Na década de 1930, Otto Neugebauer introduziu um sistema de notação moderno para números babilônicos e helenísticos que substitui a notação decimal moderna de 0 a 59 em cada posição, usando um ponto-e-vírgula (;) para separar as partes inteiras e fracionárias do número e usando uma vírgula (,) para separar as posições dentro de cada porção. [27] Por exemplo, o mês sinódico médio usado pelos astrônomos babilônicos e helenísticos e ainda usado no calendário hebraico é 29;31,50,8,20 dias. Essa notação é usada neste artigo.

Frações e números irracionais

Frações

No sistema sexagesimal, qualquer fração em que o denominador seja um número regular (tendo apenas 2, 3 e 5 em sua fatoração prima ) pode ser expressa exatamente. [28] Aqui são mostradas todas as frações deste tipo em que o denominador é menor ou igual a 60:

12 = 0;30
13 = 0;20
14 = 0;15
15 = 0;12
16 = 0;10
18 = 0;7,30
19 = 0;6,40
110 = 0;6
112 = 0;5
115 = 0;4
1/16 = 0; 3,45
1/18 = 0 ; 3,20
120 = 0;3
1/24 = 0 ;2,30
1/25 = 0; 2,24
1/27 = 0 ; 2,13,20
130 = 0;2
1/32 = 0 ; 1,52,30
136 = 0;1,40
140 = 0;1,30
145 = 0;1,20
148 = 0;1,15
150 = 0;1,12
1/54 = 0 ;1,6,40
160 = 0;1

No entanto, os números que não são regulares formam frações repetidas mais complicadas . Por exemplo:

17 = 0; 8,34,17 (a barra indica a sequência de dígitos sexagesimais 8,34,17 repete infinitas vezes)
111 = 0; 5,27,16,21,49
1/13 = 0 ; 4,36,55,23
114 = 0;4, 17,8,34
1/17 = 0 ; 3,31,45,52,56,28,14,7
1/19 = 0 ; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
1/59 = 0 ; 1
1/61 = 0 ; 0,59

O fato de os dois números adjacentes a sessenta, 59 e 61, serem ambos números primos implica que frações que se repetem com um período de um ou dois dígitos sexagesimais só podem ter múltiplos regulares de 59 ou 61 como seus denominadores, e que outros números não regulares têm frações que se repetem com um período mais longo.

Números irracionais

Tabuinha babilônica YBC 7289 mostrando o número sexagesimal 1;24,51,10 aproximando  2

As representações de números irracionais em qualquer sistema numérico posicional (incluindo decimal e sexagesimal) não terminam nem se repetem .

A raiz quadrada de 2 , o comprimento da diagonal de um quadrado unitário , foi aproximada pelos babilônios do Antigo Período Babilônico ( 1900 aC – 1650 aC ) como

[29]

Porque 2  ≈ 1.414 213 56 ... é um número irracional , não pode ser expresso exatamente em sexagesimal (ou mesmo qualquer sistema de base inteira), mas sua expansão sexagesimal começa 1;24,51,10,7,46,6,4, 44... ( OEISA070197 )

O valor de π usado pelo matemático e cientista grego Ptolomeu era 3;8,30 = 3 +8/60+30/60 2=377/1203.141 666 .... [30] Jamshīd al-Kāshī , um matemático persa do século 15 , calculou 2 π como uma expressão sexagesimal para seu valor correto quando arredondado para nove subdígitos (assim para1/60 9); seu valor para 2 π foi 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50. [31] [32] Como 2 acima, 2 π é um número irracional e não pode ser expresso exatamente em sexagesimal. Sua expansão sexagesimal começa 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEISA091649 )


Veja também

Referências

  1. ^ Pronunciado / s ɛ k s ə ɛ s ɪ m əl / e / s ɛ k s æ ɪ n ər i / ; veja "sexagesimal" , Oxford English Dictionary (Online ed.), Oxford University Press (assinatura ou associação de instituição participante necessária)
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  3. ^ Macey, Samuel L. (1989), The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure , Atlanta, Geórgia: University of Georgia Press, p. 92, ISBN 978-0-8203-3796-8
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  7. Barton, George A. (1908), "Sobre a origem babilônica do número nupcial de Platão", Journal of the American Oriental Society , 29 : 210–219, doi : 10.2307/592627 , JSTOR 592627 . McClain, Ernest G .; Platão (1974), "Musical "Casamentos" na "República" de Platão", Journal of Music Theory , 18 (2): 242-272, doi : 10.2307/843638 , JSTOR  843638
  8. Al-Biruni (1879) [1000], The Chronology of Ancient Nations , traduzido por Sachau, C. Edward, pp. 147–149
  9. ^ Nothaft, C. Philipp E. (2018), Erro escandaloso: Reforma do calendário e astronomia calendárgica na Europa Medieval , Oxford: Oxford University Press, p. 126, ISBN 9780198799559, Sacrobosco mudou para frações sexagesimais, mas as tornou mais adequadas ao uso computacional, aplicando-as não ao dia, mas à hora, inaugurando assim o uso de horas, minutos e segundos que ainda prevalece no século XXI.
  10. ^ Nothaft, C. Philipp E. (2018), Erro escandaloso: Reforma do calendário e astronomia calendárgica na Europa Medieval , Oxford: Oxford University Press, p. 196, ISBN 9780198799559, Uma característica notável das Tabelas Alfonsinas em sua encarnação latino-parisiense é a estrita 'sexagesimalização' de todos os parâmetros tabulados, pois ... movimentos e intervalos de tempo foram consistentemente dissolvidos em múltiplos de base 60 e frações de dias ou graus.
  11. Newton, Isaac (1671), The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines. , Londres : Henry Woodfall (publicado em 1736), p. 146, A mais notável delas é a Escala Sexagesimal ou Sexagesimal de Aritmética, de uso frequente entre os Astrônomos, que expressa todos os Números, Inteiros ou Frações possíveis, Racionais ou Surdos, pelas Potências de Sessenta , e certos Coeficientes numerais não superiores a cinquenta e um. nove.
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  13. Neugebauer, Otto (1952), "Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India", Osiris , 10 : 252–276, doi : 10.1086/368555 , S2CID 143591575 ; reimpresso em Neugebauer, Otto (1983), Astronomy and History: Selected Essays , New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90844-7
  14. Bowers, Nancy (1977), "numeração Kapauku: Reckoning, racismo, bolsa de estudos e sistemas de contagem melanésia" (PDF) , Journal of the Polynesian Society , 86 (1): 105–116, arquivado a partir do original (PDF) em 05-03-2009
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Leitura adicional

  • Ifrah, Georges (1999), A História Universal dos Números: Da Pré-história à Invenção do Computador , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
  • Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Escrituração Arcaica , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6

Links externos