Segundo momento da área

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O segundo momento de área , ou segundo momento de área , ou momento quadrático de área e também conhecido como momento de inércia de área , é uma propriedade geométrica de uma área que reflete como seus pontos são distribuídos em relação a um eixo arbitrário. O segundo momento da área é tipicamente denotado com um(para um eixo que se encontra no plano da área) ou com um(para um eixo perpendicular ao plano). Em ambos os casos, é calculado com uma integral múltipla sobre o objeto em questão. Sua dimensão é L (comprimento) à quarta potência. Sua unidade de dimensão, ao trabalhar com o Sistema Internacional de Unidades , é metros à quarta potência, m 4 , ou polegadas à quarta potência, em 4 , ao trabalhar no Sistema Imperial de Unidades .

Na engenharia estrutural , o segundo momento de área de uma viga é uma importante propriedade utilizada no cálculo da deflexão da viga e no cálculo da tensão causada por um momento aplicado à viga. Para maximizar o segundo momento de área, uma grande fração da área da seção transversal de uma viga I está localizada na distância máxima possível do centroide da seção transversal da viga. O segundo momento plano da área fornece informações sobre a resistência de uma viga à flexão devido a um momento aplicado, força ou carga distribuídaperpendicular ao seu eixo neutro , em função de sua forma. O segundo momento polar de área fornece informações sobre a resistência de uma viga à deflexão torcional , devido a um momento aplicado paralelo à sua seção transversal, em função de sua forma.

Diferentes disciplinas usam o termo momento de inércia (MOI) para se referir a diferentes momentos . Pode referir-se a qualquer um dos segundos momentos planares da área (muitas vezesou, em relação a algum plano de referência), ou o segundo momento polar da área (, onde r é a distância a algum eixo de referência). Em cada caso a integral é sobre todos os elementos infinitesimais de área , dA , em alguma seção transversal bidimensional. Em física , momento de inércia é estritamente o segundo momento de massa em relação à distância de um eixo:, onde r é a distância a algum eixo de rotação potencial, e a integral é sobre todos os elementos infinitesimais de massa , dm , em um espaço tridimensional ocupado por um objeto  Q . O MOI, nesse sentido, é o análogo da massa para problemas rotacionais. Na engenharia (especialmente mecânica e civil), o momento de inércia comumente se refere ao segundo momento da área. [1]

Definição

Uma forma arbitrária. ρ é a distância radial ao elemento d A , com projeções xey nos eixos .

O segundo momento de área para uma forma arbitrária  R em relação a um eixo arbitrárioé definido como

Onde

  • é o elemento de área infinitesimal, e
  • é a distância perpendicular ao eixo. [2]

Por exemplo, quando o eixo de referência desejado é o eixo x, o segundo momento da área(frequentemente indicado como) pode ser calculado em coordenadas cartesianas como

O segundo momento da área é crucial na teoria de Euler-Bernoulli de vigas esbeltas.

Momento do produto da área

Mais geralmente, o momento produto da área é definido como [3]

Teorema dos eixos paralelos

Uma forma com eixo centroidal x . O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para obter o segundo momento de área em relação ao eixo x' .

Às vezes é necessário calcular o segundo momento da área de uma forma em relação a umeixo diferente do eixo centroidal da forma. No entanto, muitas vezes é mais fácil derivar o segundo momento da área em relação ao seu eixo centroidal,, e use o teorema dos eixos paralelos para derivar o segundo momento da área em relação aoeixo. O teorema dos eixos paralelos afirma

Onde

  • é a área da forma e
  • é a distância perpendicular entre oemachados. [4] [5]

Uma afirmação semelhante pode ser feita sobre umeixo e o centroide paraleloeixo. Ou, em geral, qualquer centroidaleixo e paraleloeixo.

Teorema do eixo perpendicular

Para simplificar o cálculo, muitas vezes é desejável definir o momento polar da área (em relação a um eixo perpendicular) em termos de dois momentos de inércia da área (ambos em relação aos eixos no plano). O caso mais simples refere-separae.

Esta relação baseia-se no teorema de Pitágoras que relacionaeparae na linearidade de integração .

Formas compostas

Para áreas mais complexas, geralmente é mais fácil dividir a área em uma série de formas "mais simples". O segundo momento de área para toda a forma é a soma do segundo momento de áreas de todas as suas partes em torno de um eixo comum. Isso pode incluir formas que estão "faltando" (ou seja, buracos, formas ocas, etc.), caso em que o segundo momento da área das áreas "faltas" são subtraídos, em vez de adicionados. Em outras palavras, o segundo momento de área de peças “faltantes” é considerado negativo para o método de formas compostas.

Exemplos

Veja a lista de segundos momentos da área para outras formas.

Retângulo com centroide na origem

Retângulo com base b e altura h

Considere um retângulo de basee alturacujo centroide está localizado na origem.representa o segundo momento da área em relação ao eixo x;representa o segundo momento da área em relação ao eixo y;representa o momento polar de inércia em relação ao eixo z.

Usando o teorema do eixo perpendicular obtemos o valor de.

Anel centrado na origem

Anel com raio interno r 1 e raio externo r 2

Considere um anel cujo centro está na origem, o raio externo é, e o raio interno é. Por causa da simetria do anel, o centróide também se encontra na origem. Podemos determinar o momento polar de inércia,, sobre aeixo pelo método de formas compostas. Este momento polar de inércia é equivalente ao momento polar de inércia de um círculo com raiomenos o momento polar de inércia de um círculo com raio, ambos centrados na origem. Primeiro, vamos derivar o momento polar de inércia de um círculo com raioem relação à origem. Neste caso, é mais fácil calcular diretamentecomo já temos, que tem tanto umecomponente. Em vez de obter o segundo momento de área a partir de coordenadas cartesianas como feito na seção anterior, vamos calcularediretamente usando coordenadas polares .

Agora, o momento polar de inércia em relação aoeixo de um anel é simplesmente, como dito acima, a diferença dos segundos momentos de área de um círculo com raioe um círculo com raio.

Alternativamente, poderíamos alterar os limites dointegral na primeira vez para refletir o fato de que há um buraco. Isso seria feito assim.

Qualquer polígono

Um polígono simples. Aqui,, o ponto de observação "7" é idêntico ao ponto 1.

O segundo momento da área em relação à origem para qualquer polígono simples no plano XY pode ser calculado em geral pela soma das contribuições de cada segmento do polígono depois de dividir a área em um conjunto de triângulos. Esta fórmula está relacionada com a fórmula do cadarço e pode ser considerada um caso especial do teorema de Green .

Supõe-se que um polígono tenhavértices, numerados no sentido anti-horário. Se os vértices do polígono forem numerados no sentido horário, os valores retornados serão negativos, mas os valores absolutos estarão corretos.

Ondesão as coordenadas do-º vértice do polígono, para. Também,são considerados iguais às coordenadas do primeiro vértice, ou seja,e. [6] [7] [8] [9]

Veja também

Referências

  1. ^ Cerveja, Ferdinand P. (2013). Mecânica Vetorial para Engenheiros (10ª ed.). Nova York: McGraw-Hill. pág. 471. ISBN 978-0-07-339813-6. O termo segundo momento é mais apropriado do que o termo momento de inércia, pois, logicamente, este último deve ser usado apenas para denotar integrais de massa (ver Seção 9.11). Na prática de engenharia, no entanto, o momento de inércia é usado em conexão com áreas e massas.
  2. ^ Pilkey, Walter D. (2002). Análise e Projeto de Vigas Elásticas . John Wiley & Sons, Inc. p. 15 . ISBN 978-0-471-38152-5.
  3. ^ Cerveja, Ferdinand P. (2013). "Capítulo 9.8: Produto de inércia". Mecânica Vetorial para Engenheiros (10ª ed.). Nova York: McGraw-Hill. pág. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.
  4. ^ Hibbeler, RC (2004). Estática e Mecânica dos Materiais (Segunda ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-028127-1 . 
  5. ^ Cerveja, Ferdinand P. (2013). "Capítulo 9.6: Teorema dos eixos paralelos". Mecânica Vetorial para Engenheiros (10ª ed.). Nova York: McGraw-Hill. pág. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.
  6. ^ Hally, David (1987). Cálculo dos Momentos dos Polígonos (PDF) (Relatório Técnico). Defesa Nacional Canadense. Memorando Técnico 87/209. Arquivado (PDF) do original em 23 de março de 2020.
  7. ^ Obregón, Joaquin (2012). Simetria Mecânica . Casa do Autor. ISBN 978-1-4772-3372-6.
  8. ^ Steger, Carsten (1996). "Sobre o cálculo de momentos arbitrários de polígonos" (PDF) . S2CID 17506973 . Arquivado a partir do original (PDF) em 2018-10-03.   {{cite journal}}:Cite journal requer |journal=( ajuda )
  9. ^ Soerjadi, Ir. R. "Sobre o Cálculo dos Momentos de um Polígono, com Algumas Aplicações" .