paradoxo de russell

Da Wikipédia, a enciclopédia livre

Na lógica matemática , o paradoxo de Russell (também conhecido como antinomia de Russell ) é um paradoxo da teoria dos conjuntos publicado pelo filósofo e matemático britânico Bertrand Russell em 1901. [1] [2] O paradoxo de Russell mostra que toda teoria dos conjuntos que contém um princípio de compreensão irrestrito leva a contradições. [3] O paradoxo já havia sido descoberto independentemente em 1899 pelo matemático alemão Ernst Zermelo . [4] No entanto, Zermelo não publicou a ideia, que ficou conhecida apenas por David Hilbert , Edmund Husserl e outros acadêmicos da Universidade de Göttingen . No final da década de 1890, Georg Cantor – considerado o fundador da moderna teoria dos conjuntos – já havia percebido que sua teoria levaria a uma contradição, como disse por carta a Hilbert e Richard Dedekind . [5]

Segundo o princípio da compreensão irrestrita, para qualquer propriedade suficientemente bem definida , existe o conjunto de todos e somente os objetos que possuem aquela propriedade. Seja R o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos. Se R não é um membro de si mesmo, então sua definição implica que ele é um membro de si mesmo; no entanto, se é um membro de si mesmo, então não é um membro de si mesmo, pois é o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos. A contradição resultante é o paradoxo de Russell. Em símbolos:

Russell também mostrou que uma versão do paradoxo poderia ser derivada no sistema axiomático construído pelo filósofo e matemático alemão Gottlob Frege , minando assim a tentativa de Frege de reduzir a matemática à lógica e questionar o programa logicista . Duas maneiras influentes de evitar o paradoxo foram propostas em 1908: a teoria dos tipos do próprio Russell e a teoria dos conjuntos de Zermelo . Em particular, os axiomas de Zermelo restringiam o princípio da compreensão ilimitada. Com as contribuições adicionais de Abraham Fraenkel , a teoria dos conjuntos de Zermelo desenvolveu-se na agora padrão teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (comumente conhecida como ZFC ao incluir oaxioma da escolha ). A principal diferença entre a solução de Russell e Zermelo para o paradoxo é que Zermelo modificou os axiomas da teoria dos conjuntos, mantendo uma linguagem lógica padrão, enquanto Russell modificou a própria linguagem lógica. A linguagem do ZFC, com a ajuda de Thoralf Skolem , acabou sendo a da lógica de primeira ordem . [6]

Apresentação informal

A maioria dos conjuntos comumente encontrados não são membros de si mesmos. Por exemplo, considere o conjunto de todos os quadrados em um plano . Este conjunto não é ele mesmo um quadrado no plano, portanto não é um membro de si mesmo. Chamemos um conjunto de "normal" se não for membro de si mesmo, e de "anormal" se for membro de si mesmo. Claramente, cada conjunto deve ser normal ou anormal. O conjunto dos quadrados no plano é normal. Em contraste, o conjunto complementar que contém tudo o que não é um quadrado no plano não é um quadrado no plano e, portanto, é um de seus próprios membros e, portanto, anormal.

Agora consideramos o conjunto de todos os conjuntos normais, R , e tentamos determinar se R é normal ou anormal. Se R fosse normal, estaria contido no conjunto de todos os conjuntos normais (ele próprio) e, portanto, seria anormal; por outro lado, se R fosse anormal, não estaria contido no conjunto de todos os conjuntos normais (ele próprio) e, portanto, seria normal. Isso leva à conclusão de que R não é normal nem anormal: o paradoxo de Russell.

Apresentação formal

O termo " teoria ingênua dos conjuntos " é usado de várias maneiras. Em um uso, a teoria ingênua dos conjuntos é uma teoria formal, que é formulada em uma linguagem de primeira ordem com um predicado não lógico binário , e isso inclui o Axioma da extensionalidade :

e o esquema do axioma da compreensão irrestrita :

para qualquer fórmulacom a variável x como uma variável livre dentro. Substitutoparaobter

Então, por instanciação existencial (reutilizando o símbolo) e instanciação universal temos

uma contradição. Portanto, essa teoria ingênua dos conjuntos é inconsistente . [7]

Respostas da teoria de conjuntos

A partir do princípio da explosão da lógica clássica , qualquer proposição pode ser provada a partir de uma contradição . Portanto, a presença de contradições como o paradoxo de Russell em uma teoria axiomática dos conjuntos é desastrosa; já que se qualquer fórmula puder ser provada como verdadeira, ela destrói o significado convencional de verdade e falsidade. Além disso, como a teoria dos conjuntos era vista como a base para um desenvolvimento axiomático de todos os outros ramos da matemática, o paradoxo de Russell ameaçava os fundamentos da matemática como um todo. Isso motivou uma grande quantidade de pesquisas por volta da virada do século 20 para desenvolver uma teoria dos conjuntos consistente (livre de contradições).

Em 1908, Ernst Zermelo propôs uma axiomatização da teoria dos conjuntos que evitava os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos, substituindo a compreensão arbitrária dos conjuntos por axiomas de existência mais fracos, como seu axioma da separação ( Aussonderung ). Modificações a esta teoria axiomática proposta na década de 1920 por Abraham Fraenkel , Thoralf Skolem e pelo próprio Zermelo resultaram na teoria dos conjuntos axiomática chamada ZFC . Essa teoria tornou-se amplamente aceita quando o axioma de escolha de Zermelo deixou de ser controverso, e ZFC permaneceu como a teoria axiomática canônica até os dias atuais.

O ZFC não assume que, para cada propriedade, existe um conjunto de todas as coisas que satisfazem essa propriedade. Em vez disso, afirma que, dado qualquer conjunto X , existe qualquer subconjunto de X definível usando a lógica de primeira ordem . O objeto R discutido acima não pode ser construído dessa maneira e, portanto, não é um conjunto ZFC. Em algumas extensões do ZFC , objetos como R são chamados de classes apropriadas .

O ZFC não fala sobre tipos, embora a hierarquia cumulativa tenha uma noção de camadas que se assemelham a tipos. O próprio Zermelo nunca aceitou a formulação de ZFC de Skolem usando a linguagem da lógica de primeira ordem. Como observa José Ferreirós, Zermelo insistiu que "as funções proposicionais (condições ou predicados) usadas para separar subconjuntos, bem como as funções de substituição, podem ser 'totalmente arbitrárias' [ganz beliebig ]"; a interpretação moderna dada a esta afirmação é que Zermelo queria incluir a quantificação de ordem superior para evitar o paradoxo de Skolem . Por volta de 1930, Zermelo também introduziu (aparentemente independentemente de von Neumann), o axioma da fundação, assim - como Ferreirós observa - "ao proibir conjuntos 'circulares' e 'não fundamentados', ele [ZFC] incorporou uma das motivações cruciais da TT [teoria dos tipos] - o princípio dos tipos de argumentos". Este ZFC de 2ª ordem preferido por Zermelo, incluindo axioma de fundação, permitiu uma rica hierarquia cumulativa. Ferreirós escreve que "as 'camadas' de Zermelo são essencialmente as mesmas que os tipos nas versões contemporâneas de TT simples [teoria dos tipos] oferecidas por Gödel e Tarski. Pode-se descrever a hierarquia cumulativa na qual Zermelo desenvolveu seus modelos como o universo de um cumulativo TT em que tipos transfinitos são permitidos (uma vez que adotamos um ponto de vista impredicativo, abandonando a ideia de que classes são construídas, não é antinatural aceitar tipos transfinitos). simples TT e ZFC agora podem ser considerados como sistemas que 'falam' essencialmente sobre os mesmos objetos pretendidos. A principal diferença é que TT depende de uma forte lógica de ordem superior, enquanto Zermelo empregou lógica de segunda ordem e ZFC também pode receber uma formulação de primeira ordem. A 'descrição' de primeira ordem da hierarquia cumulativa é muito mais fraca, como mostra a existência de modelos enumeráveis ​​(paradoxo de Skolem), mas possui algumas vantagens importantes."[8]

Em ZFC, dado um conjunto A , é possível definir um conjunto B que consiste exatamente nos conjuntos de A que não são membros de si mesmos. B não pode estar em A pelo mesmo raciocínio no Paradoxo de Russell. Essa variação do paradoxo de Russell mostra que nenhum conjunto contém tudo.

Por meio do trabalho de Zermelo e outros, especialmente John von Neumann , a estrutura do que alguns veem como objetos "naturais" descritos por ZFC acabou se tornando clara; eles são os elementos do universo von Neumann , V , construído a partir do conjunto vazio iterando transfinitamente a operação do conjunto de potências . Assim, agora é possível novamente raciocinar sobre conjuntos de maneira não axiomática sem entrar em conflito com o paradoxo de Russell, ou seja, raciocinando sobre os elementos de V . Se é apropriado pensar em conjuntos desta forma é um ponto de discórdia entre os pontos de vista rivais na filosofia da matemática .

Outras soluções para o paradoxo de Russell, com uma estratégia subjacente mais próxima da teoria dos tipos , incluem os Novos Fundamentos de Quine e a teoria dos conjuntos de Scott-Potter . Ainda outra abordagem é definir a relação de pertinência múltipla com o esquema de compreensão adequadamente modificado, como na teoria do conjunto de extensão dupla .

História

Russell descobriu o paradoxo em maio [9] ou junho de 1901. [10] Por seu próprio relato em sua Introdução à filosofia matemática de 1919 , ele "tentou descobrir alguma falha na prova de Cantor de que não existe o maior cardeal". [11] Em uma carta de 1902, [12] ele anunciou a descoberta a Gottlob Frege do paradoxo no Begriffsschrift de Frege de 1879 e enquadrou o problema em termos de lógica e teoria dos conjuntos, e em particular em termos da definição de função de Frege : [ um] [b]

Há apenas um ponto em que encontrei uma dificuldade. Você afirma (p. 17 [p. 23 acima]) que uma função também pode atuar como o elemento indeterminado. Eu acreditava nisso anteriormente, mas agora essa visão me parece duvidosa por causa da seguinte contradição. Seja w o predicado: ser um predicado que não pode ser predicado de si mesmo. w pode ser predicado de si mesmo? De cada resposta segue seu oposto. Portanto, devemos concluir que w não é um predicado. Da mesma forma, não há classe (como uma totalidade) daquelas classes que, cada uma tomada como uma totalidade, não pertencem a si mesmas. A partir disso, concluo que, em certas circunstâncias, uma coleção definível [Menge] não forma uma totalidade.

Russell continuaria a cobri-lo longamente em seu 1903 The Principles of Mathematics , onde ele repetiu seu primeiro encontro com o paradoxo: [13]

Antes de nos despedirmos das questões fundamentais, é necessário examinar mais detalhadamente a contradição singular, já mencionada, a respeito dos predicados não predicáveis ​​de si mesmos. ... Posso mencionar que fui levado a isso no esforço de reconciliar a prova de Cantor...."

Russell escreveu a Frege sobre o paradoxo no momento em que Frege preparava o segundo volume de seu Grundgesetze der Arithmetik . [14] Frege respondeu a Russell muito rapidamente; sua carta datada de 22 de junho de 1902 apareceu, com o comentário de van Heijenoort em Heijenoort 1967: 126–127. Frege então escreveu um apêndice admitindo o paradoxo, [15] e propôs uma solução que Russell endossaria em seu Principles of Mathematics , [16] mas mais tarde foi considerado por alguns como insatisfatório. [17] De sua parte, Russell trabalhou nas gráficas e acrescentou um apêndice sobre a doutrina dos tipos . [18]

Ernst Zermelo em seu (1908) Uma nova prova da possibilidade de uma boa ordenação (publicado ao mesmo tempo em que publicou "a primeira teoria axiomática dos conjuntos") [19] reivindicou a descoberta anterior da antinomia na teoria ingênua dos conjuntos de Cantor . Ele afirma: "E, no entanto, mesmo a forma elementar que Russell 9 deu às antinomias da teoria dos conjuntos poderia tê-los persuadido [J. König, Jourdain, F. Bernstein] de que a solução dessas dificuldades não deve ser buscada na rendição de boa ordenação, mas apenas em uma restrição adequada da noção de conjunto". [20] A nota de rodapé 9 é onde ele afirma:

9 1903 , pp. 366–368. Eu mesmo, entretanto, descobri essa antinomia, independentemente de Russell, e a comuniquei antes de 1903 ao professor Hilbert, entre outros . [21]

Frege enviou uma cópia de seu Grundgesetze der Arithmetik para Hilbert; como observado acima, o último volume de Frege mencionou o paradoxo que Russell havia comunicado a Frege. Depois de receber o último volume de Frege, em 7 de novembro de 1903, Hilbert escreveu uma carta a Frege na qual dizia, referindo-se ao paradoxo de Russell: "Acredito que o Dr. Zermelo o descobriu três ou quatro anos atrás". Um relato escrito do argumento real de Zermelo foi descoberto no Nachlass de Edmund Husserl . [22]

Em 1923, Ludwig Wittgenstein propôs "eliminar" o paradoxo de Russell da seguinte forma:

A razão pela qual uma função não pode ser seu próprio argumento é que o sinal para uma função já contém o protótipo de seu argumento e não pode conter a si mesmo. Pois suponhamos que a função F(fx) pudesse ser seu próprio argumento: nesse caso haveria uma proposição F(F(fx)) , na qual a função externa F e a função interna F devem ter significados diferentes, pois o interno tem a forma O(fx) e o externo tem a forma Y(O(fx)) . Apenas a letra 'F' é comum às duas funções, mas a letra por si só não significa nada. Isso fica imediatamente claro se em vez de F(Fu) escrevermos (do): F(Ou) . Ou = Fu. Isso elimina o paradoxo de Russell. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)

Russell e Alfred North Whitehead escreveram seus três volumes Principia Mathematica na esperança de alcançar o que Frege não conseguiu fazer. Eles procuraram banir os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos , empregando uma teoria dos tipos que conceberam para esse fim. Embora tenham conseguido fundamentar a aritmética de certa forma, não é de todo evidente que o tenham feito por meios puramente lógicos. Embora o Principia Mathematica evitasse os paradoxos conhecidos e permitisse a derivação de grande parte da matemática, seu sistema deu origem a novos problemas.

De qualquer forma, Kurt Gödel em 1930–31 provou que enquanto a lógica de grande parte do Principia Mathematica , agora conhecida como lógica de primeira ordem , é completa , a aritmética de Peano é necessariamente incompleta se for consistente . Isso é amplamente – embora não universalmente – considerado como tendo mostrado que o programa logicista de Frege é impossível de ser concluído.

Em 2001, uma Conferência Internacional do Centenário celebrando os primeiros cem anos do paradoxo de Russell foi realizada em Munique e seus procedimentos foram publicados. [10]

Versões aplicadas

Existem algumas versões desse paradoxo que estão mais próximas das situações da vida real e podem ser mais fáceis de entender para os não-lógicos. Por exemplo, o paradoxo do barbeiro supõe um barbeiro que barbeia todos os homens que não se barbeiam e só os homens que não se barbeiam. Quando se pensa se o barbeiro deve se barbear ou não, o paradoxo começa a surgir.

Uma refutação fácil das "versões leigas", como o paradoxo do barbeiro, parece ser que tal barbeiro não existe, ou que o barbeiro tem alopecia , ou é uma mulher, e nos dois últimos casos o barbeiro não se barbeia, e assim pode existir sem paradoxo. O ponto principal do paradoxo de Russell é que a resposta "tal conjunto não existe" significa que a definição da noção de conjunto dentro de uma dada teoria é insatisfatória. Observe a diferença entre as declarações "tal conjunto não existe" e "é um conjunto vazio ". É como a diferença entre dizer "Não há balde" e dizer "O balde está vazio".

Uma exceção notável ao exposto acima pode ser o paradoxo Grelling-Nelson , no qual palavras e significado são os elementos do cenário, em vez de pessoas e cortes de cabelo. Embora seja fácil refutar o paradoxo do barbeiro dizendo que tal barbeiro não existe (e não pode existir), é impossível dizer algo semelhante sobre uma palavra significativamente definida.

Uma maneira de dramatizar o paradoxo é a seguinte: suponha que toda biblioteca pública tenha que compilar um catálogo de todos os seus livros. Como o próprio catálogo é um dos livros da biblioteca, alguns bibliotecários o incluem no catálogo para completá-lo; enquanto outros o deixam de fora, pois ser um dos livros da biblioteca é evidente. Agora imagine que todos esses catálogos são enviados para a biblioteca nacional. Alguns deles se incluem em suas listas, outros não. O bibliotecário nacional compila dois catálogos principais - um de todos os catálogos que listam a si mesmos e um de todos os que não o fazem.

A questão é: esses catálogos principais devem listar a si mesmos? O 'Catálogo de todos os catálogos que se listam' não é problema. Se o bibliotecário não incluí-lo em sua própria listagem, ele continua sendo um verdadeiro catálogo daqueles catálogos que incluem a si mesmos. Se ele o incluir, continua sendo um verdadeiro catálogo daqueles que se listam. No entanto, assim como o bibliotecário não pode errar com o primeiro catálogo mestre, ele está fadado ao fracasso com o segundo. Quando se trata do 'Catálogo de todos os catálogos que não se listam', o bibliotecário não pode incluí-lo em sua própria listagem, porque assim se incluiria e, portanto, pertenceria ao outro catálogo, o dos catálogos que se incluem . No entanto, se o bibliotecário omitir, o catálogo estará incompleto. De qualquer jeito,

Aplicações e tópicos relacionados

Paradoxos do tipo Russell

Conforme ilustrado acima para o paradoxo do barbeiro, o paradoxo de Russell não é difícil de estender. Pegar:

Forme a frase:

O ⟨V⟩er que ⟨V⟩s são todos (e apenas aqueles) que não ⟨V⟩ eles mesmos,

Às vezes, o "all" é substituído por "all ⟨V⟩ers".

Um exemplo seria "pintar":

O pintor que pinta são todos (e apenas aqueles) que não se pintam .

ou "eleger"

O eleito ou ( representante ), que elege são todos os que não se elegem .

No episódio da 8ª temporada de The Big Bang Theory , "The Skywalker Intrusion", Sheldon Cooper analisa a música " Play That Funky Music ", concluindo que a letra apresenta um exemplo musical do Paradoxo de Russell. [23]

Os paradoxos que se enquadram neste esquema incluem:

  • O barbeiro com "barba" .
  • O paradoxo de Russell original com "conter": O contêiner (Set) que contém todos (contêineres) que não contêm a si mesmos.
  • O paradoxo de Grelling-Nelson com "descritor": O descritor (palavra) que descreve todas as palavras, que não descrevem a si mesmas.
  • O paradoxo de Richard com "denotar": O denotador (número) que denota todos os denotadores (números) que não denotam a si mesmos. (Nesse paradoxo, todas as descrições de números recebem um número atribuído. O termo "que denota todos os denotadores (números) que não denotam a si mesmos" é aqui chamado de Richardiano .)
  • "Eu estou mentindo.", ou seja, o paradoxo do mentiroso e o paradoxo de Epimênides , cujas origens são antigas
  • Paradoxo de Russell-Myhill

Paradoxos relacionados

Veja também

Notas

  1. ^ A seguir, pág. 17 refere-se a uma página no Begriffsschrift original e a página 23 refere-se à mesma página em van Heijenoort 1967
  2. Notavelmente, esta carta não foi publicada até van Heijenoort 1967—aparece com o comentário de van Heijenoort em van Heijenoort 1967:124–125.

Referências

  1. ^ Russell, Bertrand, "Correspondence with Frege}. Em Gottlob Frege Philosophical and Mathematical Correspondence . Traduzido por Hans Kaal., University of Chicago Press, Chicago, 1980.
  2. ^ Russel, Bertrand. Os Princípios da Matemática . 2d. ed. Reimpressão, Nova York: WW Norton & Company, 1996. (Publicado pela primeira vez em 1903.)
  3. ^ Irvine, AD, H. Deutsch (2021). "Paradoxo de Russell". Enciclopédia de Filosofia de Stanford (edição da primavera de 2021), EN Zalta (ed.), URL=< https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/ >
  4. ^ Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Descoberta de Zermelo do "Paradoxo de Russell", Historia Mathematica 8.
  5. ^ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor , Birkhäuser, 1985, ISBN  3-764-31770-1
  6. ^ AA Fraenkel; Y. Bar-Hillel; A. Levy (1973). Fundamentos da Teoria dos Conjuntos . Elsevier. pp. 156–157. ISBN 978-0-08-088705-0.
  7. ^ Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (2014). "Paradoxo de Russell" . Em Zalta, Edward N. (ed.). A Enciclopédia de Filosofia de Stanford .
  8. José Ferreirós (2008). Labirinto do pensamento: uma história da teoria dos conjuntos e seu papel na matemática moderna (2ª ed.). Springer. § Hierarquia cumulativa de Zermelo pp. 374-378. ISBN 978-3-7643-8350-3.
  9. ^ The Autobiography of Bertrand Russell , George Allen and Unwin Ltd., 1971, página 147: "No final do período quaresmal [1901], voltei para Fernhurst, onde comecei a trabalhar para escrever a dedução lógica da matemática que depois se tornou Principia Mathematica . Achei que o trabalho estava quase terminado , mas no mês de maio[ênfase adicionada] Tive um revés intelectual [...]. Cantor tinha uma prova de que não existe o maior número, e parecia-me que o número de todas as coisas no mundo deveria ser o maior possível. Consequentemente, examinei sua prova com alguma minúcia e me esforcei para aplicá-la à classe de todas as coisas que existem. Isso me levou a considerar aquelas classes que não são membros de si mesmas e a perguntar se a classe de tais classes é ou não um membro de si mesma. Eu descobri que qualquer uma das respostas implica sua contradição".
  10. ^ a b Godehard Link (2004), Cem anos do paradoxo de Russell , p. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, recuperado em 22/02/2016
  11. ^ Russel 1920:136
  12. ^ Gottlob Frege, Michael Beaney (1997), O leitor Frege , p. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, recuperado em 22/02/2016. Também van Heijenoort 1967: 124–125
  13. ^ Russel 1903:101
  14. cf comentário de van Heijenoort antes da Carta de Frege a Russell em van Heijenoort 1967:126.
  15. Comentário de van Heijenoort, cf van Heijenoort 1967:126; Frege inicia sua análise com este comentário excepcionalmente honesto: "Dificilmente algo mais lamentável pode acontecer a um escritor científico do que ter um dos alicerces de seu edifício abalado após o término do trabalho. Essa foi a posição em que fui colocado por uma carta do Sr. Bertrand Russell, justamente quando a impressão deste volume estava quase concluída" (Apêndice de Grundgesetze der Arithmetik, vol. II , em The Frege Reader , p.279, tradução de Michael Beaney
  16. ^ cf comentário de van Heijenoort, cf van Heijenoort 1967:126. O texto adicionado diz o seguinte: " Nota . O segundo volume de Gg., que apareceu tarde demais para ser notado no Apêndice, contém uma discussão interessante da contradição (pp. 253–265), sugerindo que a solução deve ser encontrado negando que duas funções proposicionais que determinam classes iguais devem ser equivalentes. Como parece muito provável que esta seja a verdadeira solução, o leitor é fortemente recomendado a examinar o argumento de Frege sobre o ponto" (Russell 1903:522); A abreviatura Gg. significa Grundgezetze der Arithmetik de Frege . Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903.
  17. Livio afirma que "Embora Frege tenha feito algumas tentativas desesperadas de remediar seu sistema de axiomas, ele não teve sucesso. A conclusão pareceu desastrosa..." Livio 2009:188. Mas van Heijenoort em seu comentário antes da Carta de Frege (1902) a Russelldescreve a "saída" proposta por Frege com algum detalhe - o assunto tem a ver com a "'transformação da generalização de uma igualdade em uma igualdade de cursos de valores. Para Frege, uma função é algo incompleto, 'insaturado'"; isso parece contradizer a noção contemporânea de uma "função em extensão"; veja a redação de Frege na página 128: "Incidentalmente, parece-me que a expressão 'um predicado é predicado de si mesmo' não é exata. ...Portanto, eu preferiria dizer que 'um conceito é predicado de sua própria extensão' [ etc]". Mas ele vacila no final de sua sugestão de que uma função-como-conceito-em-extensão pode ser escrita como predicado de sua função. van Heijenoort cita Quine: "Para um estudo tardio e completo da 'saída' de Frege, 145–159; reimpresso em Quine 1955b : Apêndice. Completude da teoria da quantificação. Teorema de Loewenheim , incluído como um panfleto com parte da terceira impressão (1955) de Quine 1950 e incorporado na edição revisada (1959), 253-260" (cf. REFERÊNCIAS em van Heijenoort 1967:649)
  18. Russell menciona esse fato a Frege, cf o comentário de van Heijenoort antes da Carta de Frege (1902) a Russell em van Heijenoort 1967:126
  19. Comentário de van Heijenoort antes de Zermelo (1908a) Investigações nos fundamentos da teoria dos conjuntos I em van Heijenoort 1967:199
  20. van Heijenoort 1967:190–191. Na seção anterior a esta, ele se opõe veementemente à noção de impredicatividade conforme definida por Poincaré (e que logo será adotada por Russell também, em sua Lógica matemática de 1908 baseada na teoria dos tipos cf van Heijenoort 1967:150–182).
  21. Ernst Zermelo (1908) Uma nova prova da possibilidade de uma boa ordenação em van Heijenoort 1967:183–198. Livio 2009:191 relata que Zermelo "descobriu o paradoxo de Russell de forma independente já em 1900"; Livio, por sua vez, cita Ewald 1996 e van Heijenoort 1967 (cf. Livio 2009:268).
  22. ^ B. Rang e W. Thomas, "a descoberta de Zermelo do 'Paradoxo de Russell'", Historia Mathematica , v. 8 n. 1, 1981, pp. 15–22. doi : 10.1016/0315-0860(81)90002-1
  23. ^ ""Toque aquela música divertida que era a número 1 há 40 anos" . Rádio Pública de Minnesota . 27 de setembro de 2016 . Recuperado em 30 de janeiro de 2022 .

Fontes

Links externos