Ângulo certo

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Um ângulo reto é igual a 90 graus.
Um segmento de linha (AB) desenhado de modo a formar ângulos retos com uma linha (CD).

Em geometria e trigonometria , um ângulo reto é um ângulo de exatamente 90 graus ou π/2 radianos [1] correspondente a um quarto de volta . [2] Se um raio é colocado de modo que seu ponto final esteja em uma linha e os ângulos adjacentes sejam iguais, então eles são ângulos retos. [3] O termo é um calque do latim angulus rectus ; aqui rectus significa "vertical", referindo-se à vertical perpendicular a uma linha de base horizontal.

Conceitos geométricos intimamente relacionados e importantes são as linhas perpendiculares , ou seja, as linhas que formam ângulos retos em seu ponto de interseção, e a ortogonalidade , que é a propriedade de formar ângulos retos, geralmente aplicada a vetores . A presença de um ângulo reto em um triângulo é o fator que define os triângulos retângulos , [4] tornando o ângulo reto básico para a trigonometria.

Etimologia

O significado de direito em ângulo reto possivelmente se refere ao adjetivo latino rectus 'reto, reto, ereto, perpendicular'. Um equivalente grego é orthos 'reto; perpendicular' (ver ortogonalidade ).

Em geometria elementar

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos. Um quadrado tem quatro ângulos retos, além de lados de igual comprimento.

O teorema de Pitágoras afirma como determinar quando um triângulo é um triângulo retângulo .

Símbolos

Triângulo reto, com o ângulo reto mostrado através de um pequeno quadrado.
Outra opção de indicar diagramaticamente um ângulo reto, usando uma curva de ângulo e um pequeno ponto.

Em Unicode , o símbolo para um ângulo reto é U+221F RIGHT ANGLE (HTML  ∟ · ∟ ). Não deve ser confundido com o símbolo de formato semelhante U+231ECANTO ESQUERDO INFERIOR (HTML  · ). Os símbolos relacionados são U+22BEÂNGULO RETO COM ARCO (HTML  · ), U+299CVARIANTE DE ÂNGULO RETO COM QUADRADO (HTML  · ), e U+299DÂNGULO RETO MEDIDO COM PONTO (HTML  · ). [5] ⌞  ⌞, ⌞ ⊾  ⊾ ⦜  ⦜ ⦝  ⦝

Nos diagramas, o fato de um ângulo ser um ângulo reto é geralmente expresso pela adição de um pequeno ângulo reto que forma um quadrado com o ângulo no diagrama, como visto no diagrama de um triângulo retângulo (em inglês britânico, um ângulo reto triângulo) para a direita. O símbolo para um ângulo medido, um arco, com um ponto, é usado em alguns países europeus, incluindo países de língua alemã e Polônia, como um símbolo alternativo para um ângulo reto. [6]

Euclides

Os ângulos retos são fundamentais nos Elementos de Euclides . Eles são definidos no Livro 1, definição 10, que também define linhas perpendiculares. A definição 10 não usa medidas numéricas de graus, mas toca no cerne do que é um ângulo reto, ou seja, duas linhas retas que se cruzam para formar dois ângulos iguais e adjacentes. [7] As linhas retas que formam ângulos retos são chamadas de perpendiculares. [8] Euclides usa ângulos retos nas definições 11 e 12 para definir ângulos agudos (aqueles menores que um ângulo reto) e ângulos obtusos (aqueles maiores que um ângulo reto). [9] Dois ângulos são chamados complementares se sua soma for um ângulo reto. [10]

Livro 1 Postulado 4 afirma que todos os ângulos retos são iguais, o que permite que Euclides use um ângulo reto como uma unidade para medir outros ângulos. O comentarista de Euclides, Proclo , deu uma prova desse postulado usando os postulados anteriores, mas pode-se argumentar que essa prova faz uso de algumas suposições ocultas. Saccheri também deu uma prova, mas usando uma suposição mais explícita. Na axiomatização da geometria de Hilbert , esta afirmação é dada como um teorema, mas somente depois de muito trabalho de base. Pode-se argumentar que, mesmo que o postulado 4 possa ser comprovado pelos anteriores, na ordem em que Euclides apresenta seu material é necessário incluí-lo, pois sem ele o postulado 5, que usa o ângulo reto como unidade de medida, não faz senso.[11]

Conversão para outras unidades

Um ângulo reto pode ser expresso em diferentes unidades:

  • 1/4 virar
  • 90° ( graus )
  • π/2 radianos
  • 100 grad (também chamado de grade , gradian ou gon )
  • 8 pontos (de uma bússola de 32 pontos )
  • 6 horas ( ângulo horário astronômico )

Regra de 3-4-5

Ao longo da história, carpinteiros e pedreiros conheceram uma maneira rápida de confirmar se um ângulo é um verdadeiro "ângulo reto". Baseia-se no triplo pitagórico mais conhecido (3, 4, 5) e assim chamado de "regra do 3-4-5". A partir do ângulo em questão, correndo uma linha reta ao longo de um lado exatamente 3 unidades de comprimento, e ao longo do segundo lado exatamente 4 unidades de comprimento, criará uma hipotenusa (a linha mais longa oposta ao ângulo reto que conecta as duas extremidades medidas) de exatamente 5 unidades de comprimento. Esta medição pode ser feita rapidamente e sem instrumentos técnicos. A lei geométrica por trás da medição é o teorema de Pitágoras ("

Teorema de Tales

Construção da perpendicular à meia linha h do ponto P (aplicável não apenas no ponto final A, M é livremente selecionável), animação no final com pausa de 10 s
Construção alternativa se P fora da meia linha h e a distância A a P' for pequena (B é livremente selecionável),
animação no final com pausa de 10 s

O teorema de Tales afirma que um ângulo inscrito em um semicírculo (com um vértice no semicírculo e seus raios definidores passando pelas extremidades do semicírculo) é um ângulo reto.

Dois exemplos de aplicação em que estão incluídos o ângulo reto e o teorema de Tales (ver animações).

Veja também

Referências

  1. ^ "ângulo reto" . Referência aberta de matemática . Recuperado em 26 de abril de 2017 .
  2. ^ Wentworth p. 11
  3. ^ Wentworth p. 8
  4. ^ Wentworth p. 40
  5. ^ Operadores matemáticos de gráficos de código de caracteres Unicode 5.2, símbolos matemáticos diversos-B
  6. ^ Müller-Philipp, Susanne; Gorski, Hans-Joachim (2011). Leitfaden Geometrie [ Handbook Geometry ] (em alemão). Springer. ISBN 9783834886163.
  7. ^ Heath p. 181
  8. ^ Heath p. 181
  9. ^ Heath p. 181
  10. ^ Wentworth p. 9
  11. ^ Heath pp. 200-201 para o parágrafo