Raio

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Círculo com circunferência C em preto, diâmetro D em azul, raio R em vermelho e centro ou origem O em verde.

Na geometria clássica , um raio de um círculo ou esfera é qualquer um dos segmentos de linha do centro ao perímetro e, no uso mais moderno, também é o comprimento. O nome vem do latim radius , que significa raio, mas também o raio de uma roda de carruagem. [1] O plural de radius pode ser radii (do plural latino) ou o plural do inglês convencional radiuses . [2] A abreviatura típica e o nome da variável matemática para o raio é R ou r. Por extensão, o diâmetroD é definido como o dobro do raio: [3]

Se um objeto não tem um centro, o termo pode se referir ao seu circumradius , o raio de seu círculo circunscrito ou esfera circunscrita . Em ambos os casos, o raio pode ser mais da metade do diâmetro, que geralmente é definido como a distância máxima entre quaisquer dois pontos da figura. O raio de uma figura geométrica geralmente é o raio do maior círculo ou esfera contida nela. O raio interno de um anel, tubo ou outro objeto oco é o raio de sua cavidade.

Para polígonos regulares , o raio é o mesmo que seu circumradius. [4] O raio de um polígono regular também é chamado de apótema . Na teoria dos grafos , o raio de um grafo é o mínimo sobre todos os vértices u da distância máxima de u a qualquer outro vértice do grafo. [5]

O raio do círculo com perímetro ( circunferência ) C é

Fórmula

Para muitas figuras geométricas, o raio tem uma relação bem definida com outras medidas da figura.

Círculos

O raio de um círculo de área A é

O raio do círculo que passa pelos três pontos não colineares P 1 , P 2 e P 3 é dado por

onde θ é o ângulo P 1 P 2 P 3 . Esta fórmula usa a lei dos senos . Se os três pontos são dados por suas coordenadas ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) e ( x 3 , y 3 ) , o raio pode ser expresso como

Polígonos regulares

n R n
3 0,577 350...
4 0,707 106...
5 0,850 650...
6 1,0
7 1.152 382...
8 1.306 562...
9 1.461 902...
10 1.618 033...
Um quadrado, por exemplo ( n = 4)

O raio r de um polígono regular com n lados de comprimento s é dado por r = R n s , onde Valores de R n para pequenos valores de n são dados na tabela. Se s = 1 , esses valores também são os raios dos polígonos regulares correspondentes.


Hipercubos

O raio de um hipercubo d - dimensional com lado s é

Uso em sistemas de coordenadas

Coordenadas polares

O sistema de coordenadas polares é um sistema de coordenadas bidimensional no qual cada ponto em um plano é determinado por uma distância de um ponto fixo e um ângulo de uma direção fixa.

O ponto fixo (análogo à origem de um sistema cartesiano ) é chamado de pólo , e o raio do pólo na direção fixa é o eixo polar . A distância do pólo é chamada de coordenada radial ou raio , e o ângulo é a coordenada angular , ângulo polar ou azimute . [6]

Coordenadas cilíndricas

No sistema de coordenadas cilíndricas, há um eixo de referência escolhido e um plano de referência escolhido perpendicular a esse eixo. A origem do sistema é o ponto onde todas as três coordenadas podem ser dadas como zero. Esta é a interseção entre o plano de referência e o eixo.

O eixo é chamado de eixo cilíndrico ou longitudinal , para diferenciá-lo do eixo polar , que é o raio que se encontra no plano de referência, começando na origem e apontando na direção de referência.

A distância do eixo pode ser chamada de distância radial ou raio , enquanto a coordenada angular é algumas vezes chamada de posição angular ou azimute . O raio e o azimute são juntos chamados de coordenadas polares , pois correspondem a um sistema de coordenadas polares bidimensional no plano que passa pelo ponto, paralelo ao plano de referência. A terceira coordenada pode ser chamada de altura ou altitude (se o plano de referência for considerado horizontal), posição longitudinal , [7] ou posição axial . [8]

Coordenadas esféricas

Em um sistema de coordenadas esféricas, o raio descreve a distância de um ponto de uma origem fixa. Sua posição é definida pelo ângulo polar medido entre a direção radial e uma direção zênite fixa, e o ângulo azimute, o ângulo entre a projeção ortogonal da direção radial em um plano de referência que passa pela origem e é ortogonal ao zênite , e uma direção de referência fixa nesse plano.

Veja também

Referências

  1. ^ Definição de raio em dictionary.reference.com. Acessado em 2009-08-08.
  2. ^ "Raio - definição e mais do dicionário Merriam-Webster livre" . Merriam-webster . com . Recuperado em 22/05/2012 .
  3. ^ Definição de raio em mathwords.com. Acessado em 2009-08-08.
  4. Barnett Rich, Christopher Thomas (2008), Schaum's Outline of Geometry , 4ª edição, 326 páginas. Profissional da McGraw-Hill. ISBN 0-07-154412-7 , ISBN 978-0-07-154412-2 . Versão online acessada em 2009-08-08.  
  5. ^ Jonathan L. Gross, Jay Yellen (2006), teoria dos grafos e suas aplicações . 2ª edição, 779 páginas; Imprensa CRC. ISBN 1-58488-505-X , 9781584885054. Versão online acessada em 2009-08-08. 
  6. ^ Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason (ed.). Matemática Avançada: Pré-cálculo com Matemática Discreta e Análise de Dados . Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
  7. ^ Krafft, C.; Volokitin, AS (1 de janeiro de 2002). "Interação de feixe de elétrons ressonante com várias ondas híbridas inferiores" . Física dos Plasmas . 9 (6): 2786-2797. Bibcode : 2002PhPl....9.2786K . doi : 10.1063/1.1465420 . ISSN 1089-7674 . Arquivado a partir do original em 14 de abril de 2013 . Recuperado em 9 de fevereiro de 2013 . ...em coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) ... e Z=v bz t é a posição longitudinal... 
  8. ^ Groisman, Alexandre; Steinberg, Victor (1997-02-24). "Pares de vórtices solitários em fluxo viscoelástico Couette". Cartas de Revisão Física . Sociedade Americana de Física (APS). 78 (8): 1460-1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G . doi : 10.1103/physrevlett.78.1460 . ISSN 0031-9007 . S2CID 54814721 .   "[...] onde r , θ e z são coordenadas cilíndricas [...] em função da posição axial [...]"