Radiano

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Radiano
Círculo radians.gif
Um arco de um círculo com o mesmo comprimento que o raio desse círculo subtende um ângulo de 1 radiano. A circunferência subtende um ângulo de 2 π radianos.
Informação geral
Sistema de unidadesSI
Unidade deÂngulo
Símbolorad,  c  ou r
Conversões
1 rad em...... é igual a ...
   miliradianos   1000 mil
   voltas   1/2 πvirar
   graus   180°/π≈ 57,296°
   gradianos   200g _/π≈ 63,662 g

O radiano , denotado pelo símbolo rad , é a unidade de ângulo derivada do SI e é a unidade padrão de medida angular usada em muitas áreas da matemática . A unidade era anteriormente uma unidade suplementar do SI (antes dessa categoria ser abolida em 1995). [1] O radiano é definido no SI como sendo uma unidade adimensional com 1 rad = 1. [2] Seu símbolo é muitas vezes omitido, especialmente na escrita matemática.

Definição

Um radiano é definido como o ângulo subtendido do centro de um círculo que intercepta um arco de comprimento igual ao raio do círculo. [3] Mais geralmente, a magnitude em radianos de um ângulo subtendido é igual à razão entre o comprimento do arco e o raio do círculo; isto é, θ = s / r , onde θ é o ângulo subtendido em radianos, s é o comprimento do arco e r é o raio. Um ângulo reto é exatamenteπ/2radianos. [4]

A magnitude em radianos de uma revolução completa (360 graus) é o comprimento de toda a circunferência dividido pelo raio, ou 2 π r / r , ou 2 π . Assim, 2 π radianos é igual a 360 graus, significando que um radiano é igual a 180/ π graus ≈ 57,29577 95130 82320 876... graus. [5]

A relação 2 π rad = 360° pode ser derivada usando a fórmula para o comprimento do arco ,. Como radiano é a medida de um ângulo que subtende um arco de comprimento igual ao raio do círculo,. Isso pode ser ainda mais simplificado para. Multiplicando ambos os lados por 360° dá 360° = 2 π rad .

Símbolo da unidade

O Escritório Internacional de Pesos e Medidas [4] e a Organização Internacional para Padronização [6] especificam rad como o símbolo do radiano. Símbolos alternativos que estavam em uso em 1909 são c (a letra sobrescrita c, para "medida circular"), a letra r, ou um R sobrescrito , [7] mas essas variantes são raramente usadas, pois podem ser confundidas com um grau símbolo (°) ou um raio (r). Portanto, um valor de 1,2 radianos seria escrito hoje como 1,2 rad; notações arcaicas podem incluir 1,2 r, 1,2 rad , 1,2 c ou 1,2 R.

Na escrita matemática, o símbolo "rad" é ​​frequentemente omitido. Ao quantificar um ângulo na ausência de qualquer símbolo, assumem-se radianos e, quando se trata de graus, o sinal de grau ° é usado.

Análise dimensional

O radiano é definido como θ = s / r , onde θ é o ângulo subtendido em radianos, s é o comprimento do arco e r é o raio. Um radiano corresponde ao ângulo para o qual s = r , portanto 1 radiano = 1 m/m. [8] No entanto,deve ser usado apenas para expressar ângulos, não para expressar razões de comprimentos em geral. [4] Um cálculo semelhante usando a área de um setor circular θ = 2 A / r 2 dá 1 radiano como 1 m 2/m 2. [9] O fato chave é que o radiano é uma unidade adimensional igual a 1 . No SI 2019, o radiano é definido de acordo como 1 rad = 1. [10] É uma prática há muito estabelecida em matemática e em todas as áreas da ciência fazer uso de. [11] [12] Em 1993, o Comitê Métrico AAPT especificou que o radiano deveria aparecer explicitamente em quantidades somente quando valores numéricos diferentes fossem obtidos quando outras medidas de ângulo fossem usadas, como nas quantidades de medida de ângulo (rad), velocidade angular (rad/s), aceleração angular (rad/s 2 ) e rigidez torcional (N⋅m/rad), e não nas quantidades de torque (N⋅m) e momento angular (kg⋅m 2 /s). [13]

Giacomo Prando diz que "o estado atual das coisas leva inevitavelmente a aparições e desaparecimentos fantasmagóricos do radiano na análise dimensional das equações físicas". [14] Por exemplo, uma massa pendurada por uma corda de uma polia irá subir ou descer y = centímetros, onde r é o raio da polia em centímetros e θ é o ângulo que a polia gira em radianos. Ao multiplicar r por θ a unidade de radianos de desaparece do resultado. Da mesma forma na fórmula para a velocidade angular de uma roda rolante, ω = v / r , radianos aparecem nas unidades deω mas não no lado direito. [15] Anthony French chama esse fenômeno de "um problema perene no ensino da mecânica". [16] Oberhofer diz que o conselho típico de ignorar radianos durante a análise dimensional e adicionar ou remover radianos em unidades de acordo com a convenção e o conhecimento contextual é "pedagogicamente insatisfatório". [17]

Pelo menos uma dúzia de cientistas fizeram propostas para tratar o radiano como uma unidade básica de medida definindo sua própria dimensão de "ângulo", já em 1936 e recentemente em 2022. [18] [19] [20] Revisão de propostas de Quincey esboça duas classes de proposta. A primeira opção altera a unidade de um raio para metros por radiano, mas isso é incompatível com a análise dimensional para a área de um círculo , π r 2 . A outra opção é introduzir uma constante dimensional. De acordo com Quincey esta abordagem é "logicamente rigorosa" em comparação com o SI, mas requer "a modificação de muitas equações matemáticas e físicas familiares". [21]

Em particular, Quincey identifica a proposta de Torrens, de introduzir uma constante η igual a 1 radiano inverso (1 rad −1 ) de maneira semelhante à introdução da constante ε 0 . [21] Com esta mudança a fórmula para o ângulo subtendido no centro de um círculo, s = , é modificada para se tornar s = ηrθ , e a série de Taylor para o seno de um ângulo θ se torna: [20] [22]

A função maiúsculaé a função "completa" que recebe um argumento com uma dimensão de ângulo e é independente das unidades expressas, [22] enquantoé a função tradicional em números puros que assume que seu argumento está em radianos. [23] pode ser denotadose estiver claro que se trata do formulário completo. [20] [24]

SI pode ser considerado em relação a esta estrutura como um sistema de unidade natural onde a equação η = 1 é considerada válida, ou similarmente 1 rad = 1. Esta convenção de radianos permite a omissão de η em fórmulas matemáticas. [25]

Uma constante dimensional para ângulo é "bastante estranha" e a dificuldade de modificar equações para adicionar a constante dimensional provavelmente impedirá o uso generalizado. [20] Definir radiano como uma unidade básica pode ser útil para software, onde a desvantagem de equações mais longas é mínima. [26] Por exemplo, a biblioteca de unidades Boost define unidades angulares com uma plane_angledimensão. [27] e o sistema de unidades do Mathematica também considera os ângulos como tendo uma dimensão de ângulo. [28] [29]

Conversões

Conversão de ângulos comuns
Voltas radianos Graus Gradianos
0 volta 0 rad 0g _
1/24virar π/12radical 15° 16+2/3g
1/16virar π/8radical 22,5° 25g _
1/12virar π/6radical 30° 33+1/3g
1/10virar π/5radical 36° 40g _
1/8virar π/4radical 45° 50g _
1/2 πvirar 1 rad c. 57,3° c. 63,7 g
1/6virar π/3radical 60° 66+2/3g
1/5virar 2 π/5radical 72° 80g _
1/4virar π/2radical 90° 100g _
1/3virar 2 π/3radical 120° 133+1/3g
2/5virar 4 π/5radical 144° 160g _
1/2virar π rad 180° 200g _
3/4virar _/2radical 270° 300g _
1 volta 2 π rad 360° 400g _

Entre graus

Como dito, um radiano é igual a. Assim, para converter de radianos para graus, multiplique por.

Por exemplo:

Por outro lado, para converter de graus para radianos, multiplique por.

Por exemplo:

Os radianos podem ser convertidos em espiras (revoluções completas) dividindo o número de radianos por 2 π .

Entre gradianos

radianos é igual a uma volta , que é, por definição, 400 gradianos (400 gons ou 400 g ). Então, para converter de radianos para gradianos multiplique por, e para converter de gradianos para radianos multiplique por. Por exemplo,

Uso

Matemática

Alguns ângulos comuns, medidos em radianos. Todos os polígonos grandes neste diagrama são polígonos regulares .

No cálculo e na maioria dos outros ramos da matemática além da geometria prática , os ângulos são universalmente medidos em radianos. Isso ocorre porque radianos têm uma "naturalidade" matemática que leva a uma formulação mais elegante de vários resultados importantes.

Mais notavelmente, os resultados em análises envolvendo funções trigonométricas podem ser expressos com elegância, quando os argumentos das funções são expressos em radianos. Por exemplo, o uso de radianos leva à fórmula de limite simples

que é a base de muitas outras identidades em matemática, incluindo

[5]

Por causa dessas e de outras propriedades, as funções trigonométricas aparecem em soluções de problemas matemáticos que não estão obviamente relacionados aos significados geométricos das funções (por exemplo, as soluções da equação diferencial , a avaliação da integrale assim por diante). Em todos esses casos, verifica-se que os argumentos para as funções são mais naturalmente escritos na forma que corresponde, em contextos geométricos, à medida em radianos de ângulos.

As funções trigonométricas também possuem expansões em série simples e elegantes quando radianos são usados. Por exemplo, quando x está em radianos, a série de Taylor para sen  x se torna:

Se x fosse expresso em graus, então a série conteria fatores confusos envolvendo potências de π /180: se x é o número de graus, o número de radianos é y = π x / 180 , então

Em um espírito semelhante, relações matematicamente importantes entre as funções seno e cosseno e a função exponencial (veja, por exemplo, a fórmula de Euler ) podem ser estabelecidas de forma elegante, quando os argumentos das funções estão em radianos (e confusos caso contrário).

Física

O radiano é amplamente utilizado na física quando são necessárias medições angulares. Por exemplo, a velocidade angular é normalmente medida em radianos por segundo (rad/s). Uma revolução por segundo é igual a 2 π radianos por segundo.

Da mesma forma, a aceleração angular é frequentemente medida em radianos por segundo por segundo (rad/s 2 ).

Para fins de análise dimensional , as unidades de velocidade angular e aceleração angular são s −1 e s −2 respectivamente.

Da mesma forma, a diferença de fase de duas ondas também pode ser medida em radianos. Por exemplo, se a diferença de fase de duas ondas é ( n ⋅2 π ) radianos, onde n é um número inteiro, eles são considerados em fase , enquanto que se a diferença de fase de duas ondas é ( n ⋅2 π + π ), onde n é um número inteiro, eles são considerados em antifase.

Prefixos e variantes

Prefixos métricos para submúltiplos são usados ​​com radianos. Um miliradiano (mrad) é um milésimo de um radiano (0,001 rad), ou seja, 1 rad = 10 3 mrad . Existem 2 π × 1000 miliradianos (≈ 6283,185 mrad) em um círculo. Então um miliradiano está logo abaixo1/6283do ângulo subtendido por um círculo completo. Esta unidade de medida angular de um círculo é de uso comum pelos fabricantes de miras telescópicas que usam telêmetros (estadiamétricos) em retículas . A divergência dos feixes de laser também é geralmente medida em miliradianos.

O mil angular é uma aproximação do miliradiano usado pela OTAN e outras organizações militares na artilharia e na segmentação . Cada mil angular representa1/6400de um círculo e é15/8% ou 1,875% menor que o miliradiano. Para os pequenos ângulos normalmente encontrados no trabalho de mira, a conveniência de usar o número 6400 no cálculo supera os pequenos erros matemáticos que ele introduz. No passado, outros sistemas de artilharia usaram diferentes aproximações para1/2000 π; por exemplo, a Suécia usou o1/6300 Streck e a URSS usaram1/6000. Sendo baseado no miliradiano, o mil da OTAN subtende aproximadamente 1 m a uma distância de 1000 m (em ângulos tão pequenos, a curvatura é insignificante).

Prefixos menores que mili- são úteis na medição de ângulos extremamente pequenos. Microrradianos (μrad,10 −6  rad ) e nanorradianos (nrad,10 −9  rad ) são usados ​​em astronomia e também podem ser usados ​​para medir a qualidade do feixe de lasers com divergência ultrabaixa. Mais comum é o segundo de arco , que éπ/648.000 rad (cerca de 4,8481 microrradianos).

História

século 18 e 19

O conceito de medida radiano, em oposição ao grau de um ângulo, é normalmente creditado a Roger Cotes em 1714. [30] [31] Ele descreveu o radiano em tudo menos no nome, e reconheceu sua naturalidade como uma unidade de medida angular. Antes de o termo radiano se tornar difundido, a unidade era comumente chamada de medida circular de um ângulo. [32]

A ideia de medir ângulos pelo comprimento do arco já estava em uso por outros matemáticos. Por exemplo, al-Kashi (c. 1400) usava as chamadas partes de diâmetro como unidades, onde uma parte de diâmetro era1/60radiano. Eles também usaram subunidades sexagesimais da parte do diâmetro. [33]

O termo radiano apareceu pela primeira vez impresso em 5 de junho de 1873, em questões de exame estabelecidas por James Thomson (irmão de Lord Kelvin ) no Queen's College , Belfast . Ele havia usado o termo já em 1871, enquanto em 1869, Thomas Muir , então da Universidade de St Andrews , vacilava entre os termos rad , radial e radiano . Em 1874, após uma consulta com James Thomson, Muir adotou radiano . [34] [35] [36] O nome radiano não foi adotado universalmente por algum tempo depois disso.A Trigonometria da Escola de Longmans ainda chamava a medida circular radiano quando publicada em 1890. [37]

Como uma unidade SI

Como Paul Quincey et al. escreve, "o status de ângulos dentro do Sistema Internacional de Unidades (SI) tem sido uma fonte de controvérsia e confusão." [38] Em 1960, a CGPM estabeleceu o SI e o radiano foi classificado como uma "unidade suplementar" junto com o esterradiano. Essa classe especial foi oficialmente considerada "como unidades básicas ou como unidades derivadas", pois a CGPM não conseguiu decidir se o radiano era uma unidade básica ou uma unidade derivada. [39] Richard Nelson escreve "Esta ambiguidade [na classificação das unidades suplementares] levou a uma discussão animada sobre sua interpretação adequada." [40] Em maio de 1980, o Comitê Consultivo de Unidades (CCU)considerou uma proposta para fazer radianos uma unidade de base SI, usando uma constante α 0 = 1 rad , [41] [25] mas recusou para evitar uma reviravolta na prática atual. [25]

Em outubro de 1980, a CGPM decidiu que as unidades suplementares eram unidades derivadas adimensionais para as quais a CGPM permitia a liberdade de usá-las ou não usá-las em expressões para unidades derivadas do SI, [40] com base em que "[não existe formalismo] que está em ao mesmo tempo coerente e conveniente e em que as grandezas ângulo plano e ângulo sólido podem ser consideradas como grandezas de base" e que "[a possibilidade de tratar o radiano e o esterradiano como unidades de base do SI] compromete a coerência interna do SI com base apenas em sete unidades básicas". [42]Em 1995, a CGPM eliminou a classe de unidades suplementares e definiu o radiano e o esterradiano como "unidades derivadas adimensionais, cujos nomes e símbolos podem, mas não precisam, ser usados ​​em expressões para outras unidades derivadas do SI, conforme for conveniente". [43] . Mikhail Kalinin, escrevendo em 2019, criticou a decisão da CGPM de 1980 como "infundada" e diz que a decisão da CGPM de 1995 usou argumentos inconsistentes e introduziu "numerosas discrepâncias, inconsistências e contradições nas palavras do SI". [44]

Na reunião de 2013 da CCU, Peter Mohr fez uma apresentação sobre supostas inconsistências decorrentes da definição do radiano como uma unidade adimensional em vez de uma unidade de base. O presidente da CCU, Ian M. Mills, declarou que este é um "problema formidável" e o Grupo de Trabalho da CCU sobre Ângulos e Quantidades Adimensionais no SI foi estabelecido. [45] O CCU reuniu-se mais recentemente em 2021, mas não chegou a um consenso. Um pequeno número de membros argumentou fortemente que o radiano deveria ser uma unidade básica, mas a maioria sentiu que o status quo era aceitável ou que a mudança causaria mais problemas do que resolveria. Um grupo de trabalho foi estabelecido para "revisar o uso histórico de unidades suplementares do SI e considerar se a reintrodução seria benéfica", entre outras atividades.[46] [47]

Veja também

Referências

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links externos

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