planímetro

Um planímetro , também conhecido como platômetro , é um instrumento de medição usado para determinar a área de uma forma bidimensional arbitrária.

Construção

Existem vários tipos de planímetros, mas todos operam de maneira semelhante. A maneira precisa em que eles são construídos varia, com os principais tipos de planímetros mecânicos sendo polares, lineares e Prytz ou planímetros "hatchet". O matemático suíço Jakob Amsler-Laffon construiu o primeiro planímetro moderno em 1854, cujo conceito foi iniciado por Johann Martin Hermann em 1814. Muitos desenvolvimentos seguiram o famoso planímetro de Amsler, incluindo versões eletrônicas.

O tipo Amsler (polar) consiste em uma articulação de duas barras. No final de um link há um ponteiro, usado para traçar em torno do limite da forma a ser medida. A outra extremidade da articulação gira livremente sobre um peso que a impede de se mover. Perto da junção dos dois elos há uma roda medidora de diâmetro calibrado, com uma escala para mostrar a rotação fina e uma engrenagem helicoidal para uma escala auxiliar de contador de voltas. À medida que o contorno da área é traçado, essa roda rola na superfície do desenho. O operador ajusta a roda, gira o contador para zero e então traça o ponteiro ao redor do perímetro da forma. Quando o traçado estiver completo, as escalas na roda de medição mostrarão a área da forma.

Quando a roda de medição do planímetro se move perpendicularmente ao seu eixo, ela rola e esse movimento é registrado. Quando a roda de medição se move paralelamente ao seu eixo, a roda derrapa sem rolar, então esse movimento é ignorado. Isso significa que o planímetro mede a distância percorrida por sua roda medidora, projetada perpendicularmente ao eixo de rotação da roda medidora. A área da forma é proporcional ao número de voltas pelas quais a roda de medição gira.

O planímetro polar é restrito por projeto para medir áreas dentro dos limites determinados por seu tamanho e geometria. No entanto, o tipo linear não tem restrição em uma dimensão, pois pode rolar. Suas rodas não devem escorregar, porque o movimento deve ser limitado a uma linha reta.

Desenvolvimentos do planímetro podem estabelecer a posição do primeiro momento de área ( centro de massa ), e até mesmo do segundo momento de área .

As imagens mostram os princípios de um planímetro linear e polar. O ponteiro M em uma extremidade do planímetro segue o contorno C da superfície S a ser medida. Para o planímetro linear, o movimento do "cotovelo" E é restrito ao eixo y . Para o planímetro polar, o "cotovelo" é conectado a um braço com sua outra extremidade O em uma posição fixa. Conectada ao braço ME está a roda de medição com seu eixo de rotação paralelo a ME. Um movimento do braço ME pode ser decomposto em um movimento perpendicular a ME, fazendo com que a roda gire, e um movimento paralelo a ME, fazendo com que a roda derrape, sem contribuir para sua leitura.

Princípio

Princípio do planímetro linear

O funcionamento do planímetro linear pode ser explicado medindo a área de um retângulo ABCD (ver imagem). Movendo-se com o ponteiro de A para B, o braço EM percorre o paralelogramo amarelo, com área igual a PQ×EM. Esta área também é igual à área do paralelogramo A"ABB". A roda de medição mede a distância PQ (perpendicular a EM). Movendo-se de C para D, o braço EM move-se pelo paralelogramo verde, com área igual à área do retângulo D"DCC". A roda de medição agora se move na direção oposta, subtraindo esta leitura da anterior. Os movimentos ao longo de BC e DA são os mesmos, mas opostos, então eles se cancelam sem nenhum efeito líquido na leitura da roda. O resultado líquido é a medição da diferença das áreas amarela e verde, que é a área de ABCD.

derivação matemática

A operação de um planímetro linear pode ser justificada pela aplicação do teorema de Green sobre as componentes do campo vetorial N, dado por:

onde b é a coordenada y do cotovelo E.

Este campo vetorial é perpendicular ao braço de medição EM:

e tem um tamanho constante, igual ao comprimento m do braço de medição:

Então:

porque:

O lado esquerdo da equação acima, que é igual à área A delimitada pelo contorno, é proporcional à distância medida pela roda de medição, com fator de proporcionalidade m , o comprimento do braço de medição.

A justificativa para a derivação acima reside em observar que o planímetro linear registra apenas o movimento perpendicular ao seu braço de medição, ou quando

é diferente de zero. Quando esta quantidade é integrada sobre a curva fechada C, segue-se o teorema de Green e a área.

coordenadas polares

A conexão com o teorema de Green pode ser entendida em termos de integração em coordenadas polares : em coordenadas polares, a área é calculada pela integral onde a forma que está sendo integrada é quadrática em r, o que significa que a taxa na qual a área muda em relação à mudança no ângulo varia quadraticamente com o raio.

Para uma equação paramétrica em coordenadas polares, onde r e θ variam em função do tempo, isso se torna

Para um planímetro polar, a rotação total da roda é proporcional à medida que a rotação é proporcional à distância percorrida, que em qualquer ponto do tempo é proporcional ao raio e à variação do ângulo, como na circunferência de um círculo ( ) .

Este último integrando pode ser reconhecido como a derivada do integrando anterior (em relação a r ), e mostra que um planímetro polar calcula a integral de área em termos da derivada , que se reflete no teorema de Green, que iguala uma integral de linha de um função em um contorno (1-dimensional) para a integral (2-dimensional) da derivada.

Veja também

Referências

Fontes

  • Bryant, John; Sangwin, Chris (2007), "Capítulo 8: Em busca de cabides", How Round is your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet , Princeton University Press, pp. 138–171, ISBN 978-0-691-13118-4
  • Gatterdam, RW (1981), "O planímetro como exemplo do teorema de Green", The American Mathematical Monthly , 88 (9): 701–704, doi : 10.2307/2320679, JSTOR  2320679
  • Hodgson, John L. (1 de abril de 1929), "Integration of flow meter diagrams", Journal of Scientific Instruments , 6 (4): 116–118, Bibcode :1929JScI....6..116H, doi :10.1088/0950 -7671/6/4/302
  • Horsburgh, EM (1914), Celebração do Tricentenário de Napier: Manual da Exposição de Relíquias de Napier e de Livros, Instrumentos e Dispositivos para Facilitar o Cálculo, The Royal Society of Edinburgh
  • Jennings, G. (1985), Geometria Moderna com Aplicações , Springer
  • Lowell, LI (1954), "Comentários sobre o planímetro polar", The American Mathematical Monthly , 61 (7): 467–469, doi : 10.2307/2308082, JSTOR  2308082
  • Wheatley, JY (1908), O planímetro polar, Nova York: Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

links externos

  • Planímetro de Machadinha
  • P. Kunkel: local de Whistleralley, o planímetro
  • Prato de planímetro de Larry
  • Página do planímetro de Wuerzburg
  • página planímetro de Robert Foote
  • Modelo de computador de um planímetro
  • As explicações do planímetro de Tanya Leise e como a roda do planímetro gira
  • Faça um planímetro simples
  • Foto: Geógrafos usando planímetros (1940–1941)
  • O. Knill e D. Winter: Teorema de Green e o Planímetro