Derivativo parcial

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Em matemática , uma derivada parcial de uma função de várias variáveis ​​é sua derivada em relação a uma dessas variáveis, com as outras mantidas constantes (em oposição à derivada total , na qual todas as variáveis ​​podem variar). Derivadas parciais são usadas em cálculo vetorial e geometria diferencial .

A derivada parcial de uma funçãoem relacao a variavelé denotado de várias maneiras por

,,,,, ou.

Às vezes, por, a derivada parcial deem relação aé indicado comoComo uma derivada parcial geralmente tem os mesmos argumentos que a função original, sua dependência funcional às vezes é explicitamente representada pela notação, como em:

O símbolo usado para denotar derivadas parciais é . Um dos primeiros usos conhecidos deste símbolo em matemática é pelo Marquês de Condorcet de 1770, que o usou para diferenças parciais. A notação derivada parcial moderna foi criada por Adrien-Marie Legendre (1786) (embora mais tarde ele a tenha abandonado, Carl Gustav Jacob Jacobi reintroduziu o símbolo em 1841). [1]

Definição

Como as derivadas ordinárias, a derivada parcial é definida como um limite . Seja U um subconjunto aberto deeuma função. A derivada parcial de f no pontoem relação à i -ésima variável x i é definida como

Mesmo que todas as derivadas parciais ∂f / ∂x i ( a ) existam em um dado ponto a , a função não precisa ser contínua nesse ponto. No entanto, se todas as derivadas parciais existem em uma vizinhança de a e são contínuas nela, então f é totalmente diferenciável nessa vizinhança e a derivada total é contínua. Neste caso, diz-se que f é uma função C 1 . Isso pode ser usado para generalizar para funções com valor vetorial,, usando cuidadosamente um argumento componentwise.

A derivada parcialpode ser vista como outra função definida em U e pode novamente ser parcialmente diferenciada. Se todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem são contínuas em um ponto (ou em um conjunto), f é chamada de função C 2 nesse ponto (ou nesse conjunto); neste caso, as derivadas parciais podem ser trocadas pelo teorema de Clairaut :

Notação

Para os exemplos a seguir, deixeser uma função eme.

Derivadas parciais de primeira ordem:

Derivadas parciais de segunda ordem:

Derivadas mistas de segunda ordem :

Derivadas parciais e mistas de ordem superior:

Ao lidar com funções de múltiplas variáveis, algumas dessas variáveis ​​podem estar relacionadas entre si, portanto, pode ser necessário especificar explicitamente quais variáveis ​​estão sendo mantidas constantes para evitar ambiguidade. Em campos como a mecânica estatística , a derivada parcial deem relação a, contençãoeconstante, muitas vezes é expressa como

Convencionalmente, para clareza e simplicidade de notação, a função de derivada parcial e o valor da função em um ponto específico são combinados incluindo os argumentos da função quando o símbolo de derivada parcial (notação de Leibniz) é usado. Assim, uma expressão como

é usado para a função, enquanto

pode ser usado para o valor da função no ponto. No entanto, essa convenção falha quando queremos calcular a derivada parcial em um ponto como. Nesse caso, a avaliação da função deve ser expressa de uma maneira complicada como

ou

para usar a notação de Leibniz. Assim, nesses casos, pode ser preferível usar a notação do operador diferencial de Euler comcomo o símbolo da derivada parcial em relação à i - ésima variável. Por exemplo, alguém escreveriapara o exemplo descrito acima, enquanto a expressãorepresenta a função derivada parcial em relação à 1ª variável. [2]

Para derivadas parciais de ordem superior, a derivada parcial (função) deem relação à variável j é denotada. Isso é,, de modo que as variáveis ​​sejam listadas na ordem em que as derivadas são obtidas e, portanto, na ordem inversa de como a composição dos operadores geralmente é notada. É claro que o teorema de Clairaut implica quedesde que as condições de regularidade comparativamente suaves em f sejam satisfeitas.

Gradiente

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis ​​é o caso de uma função de valor escalar f ( x 1 , ..., x n ) em um domínio no espaço euclidiano(por exemplo, emou). Neste caso f tem uma derivada parcial ∂f / ∂x j em relação a cada variável x j . No ponto a , essas derivadas parciais definem o vetor

Esse vetor é chamado de gradiente de f em a . Se f é diferenciável em todos os pontos de algum domínio, então o gradiente é uma função de valor vetorial ∇ f que leva o ponto a ao vetor ∇ f ( a ). Consequentemente, o gradiente produz um campo vetorial .

Um abuso comum de notação é definir o operador del (∇) como segue no espaço euclidiano tridimensional com vetores unitários :

Ou, mais geralmente, para o espaço euclidiano n - dimensionalcom coordenadase vetores unitários:

Derivada direcional

Um gráfico de contorno de, mostrando o vetor gradiente em preto e o vetor unitárioescalado pela derivada direcional na direção deem laranja. O vetor gradiente é mais longo porque o gradiente aponta na direção de maior taxa de aumento de uma função.

A derivada direcional de uma função escalar

ao longo de um vetor

é a função definido pelo limite [3]

Esta definição é válida em uma ampla gama de contextos, por exemplo, onde a norma de um vetor (e, portanto, um vetor unitário) é indefinida. [4]

Exemplo

Suponha que f seja uma função de mais de uma variável. Por exemplo,

.
Um gráfico de z = x 2 + xy + y 2 . Para a derivada parcial em (1, 1) que deixa y constante, a linha tangente correspondente é paralela ao plano xz .
Uma fatia do gráfico acima mostrando a função no plano xz em y = 1 . Observe que os dois eixos são mostrados aqui com escalas diferentes. A inclinação da reta tangente é 3.

O gráfico desta função define uma superfície no espaço euclidiano . Para cada ponto dessa superfície, há um número infinito de linhas tangentes . A diferenciação parcial é o ato de escolher uma dessas linhas e encontrar sua inclinação . Normalmente, as linhas de maior interesse são aquelas que são paralelas ao-plano, e aqueles que são paralelos ao-plano (que resulta de segurar ououconstante, respectivamente).

Para encontrar a inclinação da reta tangente à função eme paralelo ao-avião, tratamoscomo uma constante. O gráfico e este plano são mostrados à direita. Abaixo, vemos como a função fica no plano. Encontrando a derivada da equação assumindo queé uma constante, descobrimos que a inclinação deno pontoé:

.

Então em, por substituição, a inclinação é 3. Portanto,

no ponto. Ou seja, a derivada parcial deem relação anoé 3, como mostrado no gráfico.

A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis:

Em outras palavras, todo valor de y define uma função, denotada por f y , que é uma função de uma variável x . [nota 1] Ou seja,

Nesta seção, a notação subscrita f y denota uma função contingente a um valor fixo de y , e não uma derivada parcial.

Uma vez que um valor de y é escolhido, digamos a , então f ( x , y ) determina uma função f a que traça uma curva x 2 + ax + a 2 no-plano:

.

Nesta expressão, a é uma constante , não uma variável , então f a é uma função de apenas uma variável real, que é x . Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável se aplica:

.

O procedimento acima pode ser executado para qualquer escolha de um arquivo . A montagem das derivadas em uma função fornece uma função que descreve a variação de f na direção x :

Esta é a derivada parcial de f em relação a x . Aqui ∂ é um d arredondado chamado símbolo de derivada parcial ; para distingui-lo da letra d , às vezes é pronunciado "parcial".

Derivadas parciais de ordem superior

Derivadas parciais de segunda ordem e ordem superior são definidas de forma análoga às derivadas de ordem superior de funções univariadas. Para a funçãoa segunda derivada parcial "própria" em relação a x é simplesmente a derivada parcial da derivada parcial (ambas em relação a x ): [5] : 316–318 

A derivada parcial cruzada em relação a x e y é obtida tomando a derivada parcial de f em relação a x e, em seguida, tomando a derivada parcial do resultado em relação a y , para obter

O teorema de Schwarz afirma que se as segundas derivadas são contínuas, a expressão para a derivada parcial cruzada não é afetada por qual variável a derivada parcial é tomada em relação à primeira e qual é a segunda. Isso é,

ou equivalente

Derivadas parciais próprias e cruzadas aparecem na matriz Hessiana que é usada nas condições de segunda ordem em problemas de otimização .

Análogo antiderivado

Existe um conceito para derivadas parciais que é análogo às antiderivadas para derivadas regulares. Dada uma derivada parcial, ela permite a recuperação parcial da função original.

Considere o exemplo de

A integral "parcial" pode ser tomada em relação a x (tratando y como constante, de maneira semelhante à diferenciação parcial):

Aqui, a "constante" de integração não é mais uma constante, mas sim uma função de todas as variáveis ​​da função original, exceto x . A razão para isso é que todas as outras variáveis ​​são tratadas como constantes ao tirar a derivada parcial, então qualquer função que não envolvadesaparecerá ao tomar a derivada parcial, e temos que levar em conta isso quando tomamos a antiderivada. A maneira mais geral de representar isso é fazer com que a "constante" represente uma função desconhecida de todas as outras variáveis.

Assim, o conjunto de funções, onde g é qualquer função de um argumento, representa todo o conjunto de funções nas variáveis ​​x , y que poderiam ter produzido a derivada parcial de x.

Se todas as derivadas parciais de uma função são conhecidas (por exemplo, com o gradiente ), então as primitivas podem ser combinadas através do processo acima para reconstruir a função original até uma constante. Ao contrário do caso de variável única, no entanto, nem todo conjunto de funções pode ser o conjunto de todas as (primeiras) derivadas parciais de uma única função. Em outras palavras, nem todo campo vetorial é conservativo .

Aplicativos

Geometria

O volume de um cone depende da altura e do raio

O volume V de um cone depende da altura do cone h e seu raio r de acordo com a fórmula

A derivada parcial de V em relação a r é

que representa a taxa com que o volume de um cone muda se seu raio for variado e sua altura for mantida constante. A derivada parcial em relação aé igual aque representa a taxa com que o volume muda se sua altura for variada e seu raio for mantido constante.

Em contraste, a derivada total de V em relação a r e h são respectivamente

e

A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação das dependências indiretas entre variáveis ​​nas derivadas parciais.

Se (por alguma razão arbitrária) as proporções do cone têm que permanecer as mesmas, e a altura e o raio estão em uma razão fixa k ,

Isso dá a derivada total em relação a r :

que simplifica para:

Da mesma forma, a derivada total em relação a h é:

A derivada total em relação a r e h do volume pretendido como função escalar dessas duas variáveis ​​é dada pelo vetor gradiente

.

Otimização

Derivadas parciais aparecem em qualquer problema de otimização baseado em cálculo com mais de uma variável de escolha. Por exemplo, em economia , uma empresa pode desejar maximizar o lucro π( x , y ) em relação à escolha das quantidades x e y de dois tipos diferentes de produção. As condições de primeira ordem para esta otimização são π x = 0 = π y . Como ambas as derivadas parciais π x e π y geralmente serão funções de ambos os argumentos x e y , essas duas condições de primeira ordem formam umasistema de duas equações em duas incógnitas .

Termodinâmica, mecânica quântica e física matemática

Derivadas parciais aparecem em equações termodinâmicas como a equação de Gibbs-Duhem , na mecânica quântica como a equação de onda de Schrõdinger , bem como em outras equações da física matemática . Aqui, as variáveis ​​mantidas constantes em derivadas parciais podem ser razões de variáveis ​​simples como frações molares x i no exemplo a seguir envolvendo as energias de Gibbs em um sistema de mistura ternária:

Expresse frações molares de um componente como funções da fração molar de outros componentes e razões molares binárias:

Os quocientes diferenciais podem ser formados em razões constantes como as acima:

As razões X, Y, Z de frações molares podem ser escritas para sistemas ternários e multicomponentes:

que pode ser usado para resolver equações diferenciais parciais como:

Esta igualdade pode ser rearranjada para ter quociente diferencial de frações molares em um lado.

Redimensionamento de imagem

Derivadas parciais são fundamentais para algoritmos de redimensionamento de imagem com reconhecimento de destino. Amplamente conhecido como escultura de costura , esses algoritmos exigem que cada pixel em uma imagem seja atribuído a uma 'energia' numérica para descrever sua dissimilaridade em relação aos pixels adjacentes ortogonais. O algoritmo então remove progressivamente linhas ou colunas com a energia mais baixa. A fórmula estabelecida para determinar a energia de um pixel (magnitude do gradiente em um pixel) depende muito das construções das derivadas parciais.

Economia

Derivadas parciais desempenham um papel proeminente na economia , na qual a maioria das funções que descrevem o comportamento econômico postula que o comportamento depende de mais de uma variável. Por exemplo, uma função de consumo social pode descrever o valor gasto em bens de consumo como dependente tanto da renda quanto da riqueza; a propensão marginal a consumir é então a derivada parcial da função consumo em relação à renda.

Veja também

Notas

  1. ^ Isso também pode ser expresso como a conjunção entre as construções do espaço do produto e do espaço da função .

Referências

  1. ^ Miller, Jeff (2009-06-14). "Primeiros usos de símbolos de cálculo" . Primeiros usos de vários símbolos matemáticos . Recuperado 2009-02-20 .
  2. ^ Spivak, M. (1965). Cálculo em Variedades . Nova York: WA Benjamin, Inc. p. 44. ISBN 9780805390216.
  3. ^ R. Wrede; MR Spiegel (2010). Cálculo Avançado (3ª ed.). Série Esboço de Schaum. ISBN 978-0-07-162366-7.
  4. A aplicabilidade se estende a funções sobre espaços sem métrica e a variedades diferenciáveis , como na relatividade geral .
  5. ^ Chiang, Alpha C. Métodos fundamentais de economia matemática , McGraw-Hill, terceira edição, 1984.

Links externos