Paralelogramo

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Paralelogramo
Paralelogram.svg
Este paralelogramo é um losango , pois não tem ângulos retos e lados desiguais.
Tipoquadrilátero , trapézio
Arestas e vértices4
Grupo de simetriaC 2 , [2] + ,
Áreab × h (base × altura);
ab sin θ (produto dos lados adjacentes pelo seno do ângulo do vértice determinado por eles)
Propriedadesconvexo

Na geometria euclidiana , um paralelogramo é um quadrilátero simples (sem auto-intersecção ) com dois pares de lados paralelos . Os lados opostos ou opostos de um paralelogramo são de igual comprimento e os ângulos opostos de um paralelogramo são de mesma medida. A congruência de lados opostos e ângulos opostos é uma consequência direta do postulado das paralelas euclidianas e nenhuma condição pode ser provada sem recorrer ao postulado das paralelas euclidianas ou a uma de suas formulações equivalentes.

Em comparação, um quadrilátero com apenas um par de lados paralelos é um trapézio em inglês americano ou um trapézio em inglês britânico.

A contraparte tridimensional de um paralelogramo é um paralelepípedo .

A etimologia (em grego παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon , uma forma "de linhas paralelas") reflete a definição.

Casos especiais

  • Retângulo – Um paralelogramo com quatro ângulos de mesmo tamanho (ângulos retos).
  • Losango - Um paralelogramo com quatro lados de igual comprimento. Qualquer paralelogramo que não seja um retângulo nem um losango era tradicionalmente chamado de losango , mas esse termo não é usado na matemática moderna. [1]
  • Quadrado – Um paralelogramo com quatro lados de igual comprimento e ângulos de igual tamanho (ângulos retos).

Caracterizações

Um quadrilátero simples (sem auto-interseção) é um paralelogramo se e somente se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira: [2] [3]

  • Dois pares de lados opostos são paralelos (por definição).
  • Dois pares de lados opostos são iguais em comprimento.
  • Dois pares de ângulos opostos são iguais em medida.
  • As diagonais se bissetam.
  • Um par de lados opostos é paralelo e igual em comprimento.
  • Ângulos adjacentes são suplementares .
  • Cada diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos congruentes .
  • A soma dos quadrados dos lados é igual à soma dos quadrados das diagonais. (Esta é a lei do paralelogramo .)
  • Tem simetria rotacional de ordem 2.
  • A soma das distâncias de qualquer ponto interior aos lados é independente da localização do ponto. [4] (Esta é uma extensão do teorema de Viviani .)
  • Existe um ponto X no plano do quadrilátero com a propriedade de que toda linha reta que passa por X divide o quadrilátero em duas regiões de igual área. [5]

Assim, todos os paralelogramos têm todas as propriedades listadas acima e, inversamente , se apenas uma dessas afirmações for verdadeira em um quadrilátero simples, então é um paralelogramo.

Outras propriedades

  • Os lados opostos de um paralelogramo são paralelos (por definição) e, portanto, nunca se cruzam.
  • A área de um paralelogramo é o dobro da área de um triângulo criado por uma de suas diagonais.
  • A área de um paralelogramo também é igual à magnitude do produto vetorial vetorial de dois lados adjacentes .
  • Qualquer linha que passa pelo ponto médio de um paralelogramo corta a área. [6]
  • Qualquer transformação afim não degenerada leva um paralelogramo para outro paralelogramo.
  • Um paralelogramo tem simetria rotacional de ordem 2 (até 180°) (ou ordem 4 se for um quadrado). Se também tiver exatamente duas linhas de simetria reflexiva, então deve ser um losango ou um oblongo (um retângulo não quadrado). Se tiver quatro linhas de simetria reflexiva, é um quadrado .
  • O perímetro de um paralelogramo é 2( a + b ) onde a e b são os comprimentos dos lados adjacentes.
  • Ao contrário de qualquer outro polígono convexo, um paralelogramo não pode ser inscrito em nenhum triângulo com menos de duas vezes sua área. [7]
  • Os centros de quatro quadrados todos construídos interna ou externamente nos lados de um paralelogramo são os vértices de um quadrado. [8]
  • Se duas linhas paralelas aos lados de um paralelogramo são construídas paralelamente a uma diagonal, então os paralelogramos formados em lados opostos dessa diagonal são iguais em área. [8]
  • As diagonais de um paralelogramo o dividem em quatro triângulos de mesma área.

Fórmula de área

Um diagrama mostrando como um paralelogramo pode ser reorganizado na forma de um retângulo
Um paralelogramo pode ser rearranjado em um retângulo com a mesma área.
Animação para a fórmula de área.

Todas as fórmulas de área para quadriláteros convexos gerais se aplicam a paralelogramos. Outras fórmulas são específicas para paralelogramos:

Um paralelogramo com base b e altura h pode ser dividido em um trapézio e um triângulo retângulo e rearranjado em um retângulo , como mostra a figura à esquerda. Isso significa que a área de um paralelogramo é a mesma de um retângulo com a mesma base e altura:

A área do paralelogramo é a área da região azul, que é o interior do paralelogramo

A fórmula da área base × altura também pode ser derivada usando a figura à direita. A área K do paralelogramo à direita (a área azul) é a área total do retângulo menos a área dos dois triângulos laranja. A área do retângulo é

e a área de um único triângulo laranja é

Portanto, a área do paralelogramo é

Outra fórmula de área, para dois lados B e C e ângulo θ, é

A área de um paralelogramo com lados B e C ( BC ) e ângulona intersecção das diagonais é dado por [9]

Quando o paralelogramo é especificado a partir dos comprimentos B e C de dois lados adjacentes juntamente com o comprimento D 1 de qualquer diagonal, então a área pode ser encontrada pela fórmula de Heron . Especificamente é

Ondee o fator principal 2 vem do fato de que a diagonal escolhida divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.

Área em termos de coordenadas cartesianas de vértices

Deixar vetorese deixardenotar a matriz com elementos de a e b . Então a área do paralelogramo gerado por a e b é igual a.

Deixar vetorese deixar. Então a área do paralelogramo gerado por a e b é igual a.

Deixar pontos. Então a área do paralelogramo com vértices em a , b e c é equivalente ao valor absoluto do determinante de uma matriz construída usando a , b e c como linhas com a última coluna preenchida usando uns como segue:

Prova de que as diagonais se bissectam

Paralelogramo ABCD

Para provar que as diagonais de um paralelogramo se bissetam, usaremos triângulos congruentes :

(ângulos internos alternados são iguais em medida)
(ângulos alternos internos são iguais em medida) .

(uma vez que estes são ângulos que uma transversal faz com as linhas paralelas AB e DC ).

Além disso, o lado AB é igual em comprimento ao lado DC , pois os lados opostos de um paralelogramo são iguais em comprimento.

Portanto, os triângulos ABE e CDE são congruentes (postulado ASA, dois ângulos correspondentes e o lado incluído ).

Portanto,

Como as diagonais AC e BD se dividem em segmentos de igual comprimento, as diagonais se bissetam.

Separadamente, como as diagonais AC e BD se bissetam no ponto E , o ponto E é o ponto médio de cada diagonal.

Rede de paralelogramos

Os paralelogramos podem ladrilhar o plano por translação. Se as arestas são iguais ou os ângulos são retos, a simetria da rede é maior. Estes representam as quatro redes de Bravais em 2 dimensões .

Treliças
Forma Praça Retângulo Losango Paralelogramo
Sistema Quadrado
(tetragonal)
Retangular
(ortorrômbico)
Retangular centrado
(ortorrômbico)
Oblíquo
(monoclínico)
Restrições α=90°, a=b α=90° a=b Nenhum
Simetria p4m, [4,4], ordem 8 n pmm, [∞,2,∞], ordem 4 n p1, [∞ + ,2,∞ + ], ordem 2 n
Forma Telhas isoédricas p4-56.png Telhas isoédricas p4-54.png Telhas isoédricas p4-55.png Telhas isoédricas p4-50.png

Paralelogramas decorrentes de outras figuras

Prova sem palavras do teorema de Varignon :
  1. Um quadrilátero arbitrário e suas diagonais.
  2. As bases de triângulos semelhantes são paralelas à diagonal azul.
  3. Idem para a diagonal vermelha.
  4. Os pares de bases formam um paralelogramo com metade da área do quadrilátero, A q , como a soma das áreas dos quatro triângulos grandes, A l é 2 A q (cada um dos dois pares reconstrói o quadrilátero), enquanto que o dos pares menores triângulos, A s é um quarto de A l (metade das dimensões lineares resulta em um quarto de área), e a área do paralelogramo é A q menos A s .

Triângulo Automediano

Um triângulo automediano é aquele cujas medianas estão nas mesmas proporções que seus lados (embora em uma ordem diferente). Se ABC é um triângulo automediano no qual o vértice A está oposto ao lado a , G é o centróide (onde as três medianas de ABC se cruzam), e AL é uma das medianas estendidas de ABC com L no circuncírculo de ABC , então BGCL é um paralelogramo.

Paralelogramo Varignon

Os pontos médios dos lados de um quadrilátero arbitrário são os vértices de um paralelogramo, chamado de paralelogramo de Varignon. Se o quadrilátero é convexo ou côncavo (ou seja, não se auto-intersecciona), então a área do paralelogramo de Varignon é metade da área do quadrilátero.

Paralelogramo tangente de uma elipse

Para uma elipse , dois diâmetros são ditos conjugados se e somente se a linha tangente à elipse em um ponto final de um diâmetro é paralela ao outro diâmetro. Cada par de diâmetros conjugados de uma elipse tem um paralelogramo tangente correspondente , às vezes chamado de paralelogramo delimitador, formado pelas linhas tangentes à elipse nas quatro extremidades dos diâmetros conjugados. Todos os paralelogramos tangentes para uma dada elipse têm a mesma área.

É possível reconstruir uma elipse a partir de qualquer par de diâmetros conjugados, ou de qualquer paralelogramo tangente.

Faces de um paralelepípedo

Um paralelepípedo é uma figura tridimensional cujas seis faces são paralelogramos.

Veja também

Referências

  1. ^ "CIMT - A página não está mais disponível nos servidores da Universidade de Plymouth" (PDF) . www.cimt.plymouth.ac.uk . Arquivado a partir do original (PDF) em 14/05/2014.
  2. ^ Owen Byer, Felix Lazebnik e Deirdre Smeltzer , Métodos para Geometria Euclidiana , Associação Matemática da América, 2010, pp. 51-52.
  3. ^ Zalman Usiskin e Jennifer Griffin, "A Classificação dos Quadriláteros. Um Estudo da Definição", Publicação da Era da Informação, 2008, p. 22.
  4. Chen, Zhibo e Liang, Tian. "O inverso do teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
  5. ^ Problema 5, 2006 Olimpíadas Matemáticas Britânicas , [1] .
  6. Dunn, JA e JE Pretty, "Halving a triângulo", Mathematical Gazette 56, maio de 1972, p. 105.
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Triangle circunscrevendo" . Wolfram Math World .
  8. ^ a b Weisstein, Eric W. "Paralelogramo." De MathWorld - Um recurso da Web da Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html
  9. Mitchell, Douglas W., "A área de um quadrilátero", Mathematical Gazette , julho de 2009.

Links externos