Projeção paralela

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Na geometria tridimensional , uma projeção paralela (ou projeção axonométrica ) é uma projeção de um objeto no espaço tridimensional em um plano fixo , conhecido como plano de projeção ou plano de imagem , onde os raios , conhecidos como linhas de visão ou projeção retas , são paralelas entre si. É uma ferramenta básica em geometria descritiva . A projeção é chamada de ortográfica se os raios são perpendiculares (ortogonais) ao plano da imagem, eoblíquas ou enviesadas se não forem.

Visão geral

Terminologia e notações de projeção paralela. Os dois segmentos de linhas paralelas azuis à direita permanecem paralelos quando projetados no plano da imagem à esquerda.

Uma projeção paralela é um caso particular de projeção em matemática e projeção gráfica em desenho técnico . As projeções paralelas podem ser vistas como o limite de uma projeção central ou perspectiva , na qual os raios passam por um ponto fixo chamado centro ou mirante , à medida que esse ponto se desloca em direção ao infinito. Dito de outra forma, uma projeção paralela corresponde a uma projeção em perspectiva com uma distância focal infinita (a distância entre a lente e o ponto focal na fotografia ) ou " zoom". Além disso, em projeções paralelas, as linhas que são paralelas no espaço tridimensional permanecem paralelas na imagem projetada bidimensionalmente.

Uma projeção em perspectiva de um objeto é muitas vezes considerada mais realista do que uma projeção paralela, pois se assemelha mais à visão humana e à fotografia . No entanto, as projeções paralelas são populares em aplicações técnicas, pois o paralelismo das linhas e faces de um objeto é preservado, e medições diretas podem ser feitas a partir da imagem. Dentre as projeções paralelas, as projeções ortográficas são vistas como as mais realistas, sendo comumente utilizadas por engenheiros. Por outro lado, certos tipos de projeções oblíquas (por exemplo , projeção cavalheiresca , projeção militar ) são muito simples de implementar e são usadas para criar imagens pictóricas rápidas e informais de objetos.

O termo projeção paralela é usado na literatura para descrever tanto o procedimento em si (uma função de mapeamento matemático) quanto a imagem resultante produzida pelo procedimento .

Propriedades

Duas projeções paralelas de um cubo. Em uma projeção ortográfica (à esquerda), as linhas de projeção são perpendiculares ao plano da imagem (rosa). Em uma projeção oblíqua (à direita), as linhas de projeção estão em um ângulo de inclinação em relação ao plano da imagem.

Toda projeção paralela tem as seguintes propriedades:

  • É definido exclusivamente por seu plano de projeção Π e a direçãodas linhas de projeção (paralelas). A direção não deve ser paralela ao plano de projeção.
  • Qualquer ponto do espaço tem uma única imagem no plano de projeção Π , e os pontos de Π são fixos.
  • Qualquer linha não paralela à direçãoé mapeado em uma linha; qualquer linha paralela aé mapeado em um ponto.
  • As linhas paralelas são mapeadas em linhas paralelas ou em um par de pontos (se forem paralelas a).
  • A proporção do comprimento de dois segmentos de linha em uma linha permanece inalterada. Como um caso especial, os pontos médios são mapeados em pontos médios.
  • O comprimento de um segmento de reta paralelo ao plano de projeção permanece inalterado . O comprimento de qualquer segmento de linha é reduzido se a projeção for ortográfica. [ esclarecimentos necessários ]
  • Qualquer círculo que esteja em um plano paralelo ao plano de projeção é mapeado em um círculo com o mesmo raio. Qualquer outro círculo é mapeado em uma elipse ou em um segmento de linha (se a direçãoé paralelo ao plano do círculo).
  • Os ângulos em geral não são preservados. Mas os ângulos retos com uma linha paralela ao plano de projeção permanecem inalterados.
  • Qualquer retângulo é mapeado em um paralelogramo ou um segmento de linha (seé paralelo ao plano do retângulo).
  • Qualquer figura em um plano paralelo ao plano da imagem é congruente à sua imagem.

Tipos

Classificação da projeção paralela e algumas projeções 3D
Uma projeção paralela corresponde a uma projeção em perspectiva com um ponto de vista hipotético; ou seja, aquele em que a câmera fica a uma distância infinita do objeto e tem uma distância focal infinita, ou "zoom".
Várias projeções e como são produzidas

Projeção ortográfica

A projeção ortográfica é derivada dos princípios da geometria descritiva , e é um tipo de projeção paralela onde os raios de projeção são perpendiculares ao plano de projeção. É o tipo de projeção de escolha para desenhos de trabalho . O termo ortográfico às vezes é reservado especificamente para representações de objetos em que os eixos ou planos principais do objeto também são paralelos ao plano de projeção (ou ao papel no qual a projeção ortográfica ou paralela é desenhada). No entanto, o termo visão primária também é usado. Em projeções multivista, são produzidas até seis imagens de um objeto, com cada plano de projeção perpendicular a um dos eixos coordenados. No entanto, quando os planos ou eixos principais de um objeto não são paralelos ao plano de projeção, mas sim inclinados até certo ponto para revelar vários lados do objeto, eles são chamados de vistas auxiliares ou pictóricas . Às vezes, o termo projeção axonométrica é reservado apenas para essas vistas e é justaposto ao termo projeção ortográfica . Mas a projeção axonométrica pode ser descrita com mais precisão como sendo sinônimo de projeção paralela , e a projeção ortográfica um tipo de projeção.projeção axonométrica .

As vistas primárias incluem plantas , elevações e cortes ; e as projeções isométricas , dimétricas e trimétricas podem ser consideradas vistas auxiliares . Uma característica típica (mas não obrigatória) das projeções ortográficas multivista é que um eixo do espaço geralmente é exibido como vertical.

Quando a direção de visualização é perpendicular à superfície do objeto representado, independentemente da orientação do objeto, ela é chamada de projeção normal . Assim, no caso de um cubo orientado com o sistema de coordenadas de um espaço, as vistas primárias do cubo seriam consideradas projeções normais .

Projeção oblíqua

Comparação de vários tipos de projeção gráfica . A presença de um ou mais ângulos principais de 90° geralmente é uma boa indicação de que a perspectiva é oblíqua .

Em uma projeção oblíqua , os raios de projeção paralelos não são perpendiculares ao plano de visão, mas atingem o plano de projeção em um ângulo diferente de noventa graus. [1]Tanto na projeção ortográfica quanto na oblíqua, as linhas paralelas no espaço aparecem paralelas na imagem projetada. Devido à sua simplicidade, a projeção oblíqua é usada exclusivamente para fins pictóricos e não para desenhos formais de trabalho. Em um desenho pictórico oblíquo, os ângulos exibidos que separam os eixos de coordenadas, bem como os fatores de escorço (escala), são arbitrários. A distorção criada é geralmente atenuada pelo alinhamento de um plano do objeto imageado para ser paralelo ao plano de projeção, criando uma imagem em tamanho real do plano escolhido. Tipos especiais de projeções oblíquas incluem projeção militar , de cavalaria e de gabinete . [2]

Representação analítica

Se o plano da imagem é dado pela equaçãoe a direção de projeção por, então a linha de projeção através do pontoé parametrizado por

com.

A imagemdoé a intersecção da linhacom avião; é dado pela equação

Em vários casos, essas fórmulas podem ser simplificadas.

(S1) Se pudermos escolher os vetoresede tal modo que, a fórmula para a imagem simplifica para

(S2) Em uma projeção ortográfica, os vetoresesão paralelos. Neste caso, pode-se escolhere um consegue

(S3) Se pudermos escolher os vetoresede tal modo que, e se o plano da imagem contém a origem, tem-see a projeção paralela é um mapeamento linear :

(Aquié a matriz identidade eo produto exterior .)

A partir desta representação analítica de uma projeção paralela pode-se deduzir a maioria das propriedades indicadas nas seções anteriores.

História

A axonometria teve origem na China . [3] Sua função na arte chinesa era diferente da perspectiva linear na arte européia, pois sua perspectiva não era objetiva ou vista de fora. Em vez disso, seus padrões usavam projeções paralelas dentro da pintura que permitiam ao espectador considerar tanto o espaço quanto a progressão contínua do tempo em um pergaminho. [4] De acordo com o autor científico e jornalista do Medium Jan Krikke, a axonometria, e a gramática pictórica que a acompanha, assumiu um novo significado com a introdução da computação visual e do desenho de engenharia . [4] [3] [5] [6]

O conceito de isometria existia em uma forma empírica grosseira há séculos, bem antes do professor William Farish (1759-1837) da Universidade de Cambridge ser o primeiro a fornecer regras detalhadas para o desenho isométrico. [7] [8]

Farish publicou suas idéias no artigo de 1822 "On Isometric Perspective", no qual reconheceu a "necessidade de desenhos técnicos de trabalho precisos e livres de distorção óptica. Isso o levaria a formular isometria. Isometria significa "medidas iguais" porque a mesma escala é usado para altura, largura e profundidade". [9]

A partir de meados do século XIX, de acordo com Jan Krikke (2006) [ 9] a isometria tornou-se uma “ferramenta inestimável para os engenheiros, e logo em seguida a axonometria e a isometria foram incorporadas ao currículo dos cursos de formação arquitetônica na Europa e nos EUA . da axonometria veio na década de 1920, quando os arquitetos modernistas da Bauhaus e De Stijl a abraçaram". [9] Arquitetos De Stijl como Theo van Doesburg usaram axonometria para seus projetos arquitetônicos , o que causou sensação quando exibido em Paris em 1923". [9]

Desde a década de 1920, a axonometria, ou perspectiva paralela, forneceu uma importante técnica gráfica para artistas, arquitetos e engenheiros. Como a perspectiva linear, a axonometria ajuda a representar o espaço tridimensional em um plano de imagem bidimensional. Geralmente vem como um recurso padrão de sistemas CAD e outras ferramentas de computação visual. [4]

Limitações

Neste desenho, a esfera azul é duas unidades mais alta que a vermelha. No entanto, esta diferença de elevação não é aparente se cobrirmos a metade direita da imagem.
As escadas de Penrose retratam uma escada que parece subir (no sentido anti-horário) ou descer (no sentido horário), mas forma um loop contínuo.

Objetos desenhados com projeção paralela não parecem maiores ou menores à medida que ficam mais próximos ou mais distantes do observador. Embora vantajoso para desenhos arquitetônicos , onde as medições devem ser feitas diretamente da imagem, o resultado é uma distorção percebida, pois, diferentemente da projeção em perspectiva , não é assim que a visão humana ou a fotografia normalmente funcionam. Também pode resultar facilmente em situações em que a profundidade e a altitude são difíceis de medir, como mostrado na ilustração à direita.

Essa ambiguidade visual tem sido explorada na op art , assim como nos desenhos de "objetos impossíveis". Embora não estritamente paralela, a Cachoeira de MC Escher (1961) é uma imagem bem conhecida, na qual um canal de água parece viajar sem ajuda ao longo de um caminho descendente, apenas para, paradoxalmente, cair novamente ao retornar à sua fonte. A água parece assim desobedecer à lei da conservação da energia .

Veja também

Referências

  • Esboço de Schaum: Geometria Descritiva , McGraw-Hill, (1 de junho de 1962), ISBN  978-0070272903
  • Joseph Malkevitch (abril de 2003), "Mathematics and Art" , Feature Column Archive , American Mathematical Society
  • Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (dezembro de 1978), "Planar Geometric Projections and Viewing Transformations", ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, doi : 10.1145/356744.356750 , S2CID  708008
  1. ^ Maynard, Patric (2005). Desenho de distinções: as variedades de expressão gráfica . Imprensa da Universidade de Cornell. pág. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
  2. ^ Desai, Apurva A. (22 de outubro de 2008). Computação Gráfica . PHI Aprendizagem Unip. Ltda. p. 242. ISBN 978-81-203-3524-0.
  3. ^ a b Krikke, janeiro (2018-01-02). "Por que o mundo depende de uma "perspectiva" chinesa" .
  4. ^ a b c Jan Krikke (2000). "Axonometria: uma questão de perspectiva". In: Computação Gráfica e Aplicações, IEEE Jul/Ago 2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.
  5. ^ Krikke, J. (julho de 2000). "Axonometria: Uma Questão de Perspectiva" . IEEE Computação Gráfica e Aplicações . 20 (4): 7–11. doi : 10.1109/38.851742 .
  6. ^ "Uma perspectiva chinesa para o ciberespaço?" .
  7. ^ Barclay G. Jones (1986). Proteger a arquitetura histórica e as coleções de museus de desastres naturais . Universidade de Michigan. ISBN 0-409-90035-4 . pág. 243. 
  8. ^ Charles Edmund Moorhouse (1974). Mensagens visuais: comunicação gráfica para alunos do último ano .
  9. ^ a b c d J. Krikke (1996). " Uma perspectiva chinesa para o ciberespaço? Arquivado em 2009-06-01 no Wayback Machine ". In: International Institute for Asian Studies Newsletter , 9, verão de 1996.
  10. ^ William Farish (1822) "Em Perspectiva Isométrica". In: Cambridge Philosophical Transactions . 1 (1822).