Parábola


Em matemática , uma parábola é uma curva plana que é simétrica em espelho e tem aproximadamente o formato de U. Ela se encaixa em várias descrições matemáticas superficialmente diferentes, que podem ser todas provadas para definir exatamente as mesmas curvas.
Uma descrição de uma parábola envolve um ponto (o foco ) e uma reta (a diretriz ). O foco não está na diretriz. A parábola é o lugar geométrico dos pontos naquele plano que são equidistantes da diretriz e do foco. Outra descrição de uma parábola é como uma seção cônica , criada a partir da interseção de uma superfície cônica circular reta e um plano paralelo a outro plano que é tangente à superfície cônica. [a]
O gráfico de uma função quadrática (com ) é uma parábola com seu eixo paralelo ao eixo y . Por outro lado, cada parábola é o gráfico de uma função quadrática.
A linha perpendicular à diretriz e passando pelo foco (ou seja, a linha que divide a parábola pelo meio) é chamada de "eixo de simetria". O ponto onde a parábola intercepta seu eixo de simetria é chamado de " vértice " e é o ponto onde a parábola é mais acentuadamente curvada. A distância entre o vértice e o foco, medida ao longo do eixo de simetria, é a "distância focal". O " latus rectum " é a corda da parábola que é paralela à diretriz e passa pelo foco. As parábolas podem abrir para cima, para baixo, para a esquerda, para a direita ou em alguma outra direção arbitrária. Qualquer parábola pode ser reposicionada e redimensionada para se encaixar exatamente em qualquer outra parábola — ou seja, todas as parábolas são geometricamente semelhantes .
As parábolas têm a propriedade de que, se forem feitas de material que reflita luz , então a luz que viaja paralelamente ao eixo de simetria de uma parábola e atinge seu lado côncavo é refletida para seu foco, independentemente de onde na parábola a reflexão ocorre. Por outro lado, a luz que se origina de uma fonte pontual no foco é refletida em um feixe paralelo (" colimado "), deixando a parábola paralela ao eixo de simetria. Os mesmos efeitos ocorrem com o som e outras ondas . Essa propriedade reflexiva é a base de muitos usos práticos das parábolas.
A parábola tem muitas aplicações importantes, desde uma antena parabólica ou microfone parabólico até refletores de faróis de automóveis e o design de mísseis balísticos . É frequentemente usada em física , engenharia e muitas outras áreas.
História
O primeiro trabalho conhecido sobre seções cônicas foi feito por Menaechmus no século IV a.C. Ele descobriu uma maneira de resolver o problema de duplicar o cubo usando parábolas. (A solução, no entanto, não atende aos requisitos da construção com régua e compasso .) A área delimitada por uma parábola e um segmento de reta, o chamado "segmento de parábola", foi computada por Arquimedes pelo método da exaustão no século III a.C., em sua Quadratura da Parábola . O nome "parábola" é devido a Apolônio , que descobriu muitas propriedades das seções cônicas. Significa "aplicação", referindo-se ao conceito de "aplicação de áreas", que tem uma conexão com esta curva, como Apolônio havia provado. [1] A propriedade foco-diretiva da parábola e outras seções cônicas é devida a Pappus .
Galileu mostrou que a trajetória de um projétil segue uma parábola, uma consequência da aceleração uniforme devido à gravidade.
A ideia de que um refletor parabólico poderia produzir uma imagem já era bem conhecida antes da invenção do telescópio refletor . [2] Projetos foram propostos no início e meados do século XVII por muitos matemáticos , incluindo René Descartes , Marin Mersenne , [3] e James Gregory . [4] Quando Isaac Newton construiu o primeiro telescópio refletor em 1668, ele pulou o uso de um espelho parabólico devido à dificuldade de fabricação, optando por um espelho esférico . Espelhos parabólicos são usados na maioria dos telescópios refletores modernos e em antenas parabólicas e receptores de radar . [5]
Definição como um locus de pontos
Uma parábola pode ser definida geometricamente como um conjunto de pontos ( locus dos pontos ) no plano euclidiano:
O ponto médio da perpendicular do foco à diretriz é chamado de vértice , e a reta é o eixo de simetria da parábola.
Em um sistema de coordenadas cartesianas
Eixo de simetria paralelo aoeeixo

Se introduzirmos coordenadas cartesianas , tais que e a diretriz tem a equação , obtemos para um ponto da equação . Resolvendo para produz
Esta parábola tem formato de U ( abertura para cima ).
A corda horizontal através do foco (veja a figura na seção de abertura) é chamada de latus rectum ; uma metade dela é o semi-latus rectum . O latus rectum é paralelo à diretriz. O semi-latus rectum é designado pela letra . Da figura obtém-se
O latus rectum é definido similarmente para as outras duas cônicas – a elipse e a hipérbole. O latus rectum é a linha traçada através de um foco de uma seção cônica paralela à diretriz e terminada em ambos os sentidos pela curva. Para qualquer caso, é o raio do círculo osculante no vértice. Para uma parábola, o semi-latus rectum, , é a distância do foco da diretriz. Usando o parâmetro , a equação da parábola pode ser reescrita como
De forma mais geral, se o vértice for , o foco e a diretriz , obtém-se a equação
Observações :
- No caso da parábola tem abertura para baixo.
- A presunção de que o eixo é paralelo ao eixo y permite considerar uma parábola como o gráfico de um polinômio de grau 2 e, inversamente: o gráfico de um polinômio arbitrário de grau 2 é uma parábola (veja a próxima seção).
- Se trocarmos e , obtemos equações da forma . Essas parábolas abrem para a esquerda (se ) ou para a direita (se ).
Posição geral

Se o foco for , e a diretriz , então obtém-se a equação
(o lado esquerdo da equação usa a forma normal de Hesse de uma linha para calcular a distância ).
Para uma equação paramétrica de uma parábola em posição geral, veja § Como imagem afim da parábola unitária.
A equação implícita de uma parábola é definida por um polinômio irredutível de grau dois: tal que ou, equivalentemente, tal que é o quadrado de um polinômio linear .
Como um gráfico de uma função

A seção anterior mostra que qualquer parábola com a origem como vértice e o eixo y como eixo de simetria pode ser considerada como o gráfico de uma função
Pois as parábolas estão abrindo para o topo, e para estão abrindo para o fundo (veja a figura). Da seção acima obtém-se:
- O foco é ,
- a distância focal , o reto semi-latus é ,
- o vértice é ,
- a diretriz tem a equação ,
- a tangente no ponto tem a equação .
Pois a parábola é a parábola unitária com equação . Seu foco é , o semi-latus rectum , e a diretriz tem a equação .
A função geral do grau 2 é Completar o quadrado produz que é a equação de uma parábola com
- o eixo (paralelo ao eixo y ),
- a distância focal , o semi-latus reto ,
- o vértice ,
- o foco ,
- a diretriz ,
- o ponto da parábola que intercepta o eixo y tem coordenadas ,
- a tangente em um ponto no eixo y tem a equação .
Semelhança com a parábola unitária

Dois objetos no plano euclidiano são semelhantes se um pode ser transformado no outro por uma semelhança , isto é, uma composição arbitrária de movimentos rígidos ( translações e rotações ) e escalas uniformes .
Uma parábola com vértice pode ser transformada pela translação para uma com a origem como vértice. Uma rotação adequada em torno da origem pode então transformar a parábola para uma que tenha o eixo y como eixo de simetria. Portanto, a parábola pode ser transformada por um movimento rígido para uma parábola com uma equação . Tal parábola pode então ser transformada pela escala uniforme na parábola unitária com equação . Assim, qualquer parábola pode ser mapeada para a parábola unitária por uma similaridade. [6]
Uma abordagem sintética , usando triângulos semelhantes, também pode ser usada para estabelecer este resultado. [7]
O resultado geral é que duas seções cônicas (necessariamente do mesmo tipo) são semelhantes se e somente se elas têm a mesma excentricidade. [6] Portanto, apenas círculos (todos com excentricidade 0) compartilham essa propriedade com parábolas (todos com excentricidade 1), enquanto elipses e hipérboles gerais não.
Existem outras transformações afins simples que mapeiam a parábola na parábola unitária, como . Mas esse mapeamento não é uma similaridade, e apenas mostra que todas as parábolas são afinicamente equivalentes (veja § Como a imagem afim da parábola unitária).
Como uma seção cônica especial

O lápis de seções cônicas com eixo x como eixo de simetria, um vértice na origem (0, 0) e o mesmo semi-latus reto pode ser representado pela equação com a excentricidade .
- Pois a cônica é um círculo (círculo osculante do lápis),
- para uma elipse ,
- para a parábola com equação
- para uma hipérbole (veja a imagem).
Em coordenadas polares

Se p > 0 , a parábola com equação (abertura à direita) tem a representação polar onde .
Seu vértice é , e seu foco é .
Se deslocarmos a origem para o foco, isto é, , obtemos a equação
Observação 1: A inversão desta forma polar mostra que uma parábola é o inverso de um cardióide .
Observação 2: A segunda forma polar é um caso especial de um lápis de cônicas com foco (veja a imagem): ( é a excentricidade).
Seção cônica e forma quadrática
Diagrama, descrição e definições

O diagrama representa um cone com seu eixo AV . O ponto A é seu ápice . Uma seção transversal inclinada do cone, mostrada em rosa, é inclinada do eixo pelo mesmo ângulo θ , que o lado do cone. De acordo com a definição de uma parábola como uma seção cônica, o limite desta seção transversal rosa EPD é uma parábola.
Uma seção transversal perpendicular ao eixo do cone passa pelo vértice P da parábola. Esta seção transversal é circular, mas parece elíptica quando vista obliquamente, como é mostrado no diagrama. Seu centro é V, e PK é um diâmetro. Chamaremos seu raio de r .
Outra perpendicular ao eixo, seção transversal circular do cone está mais distante do ápice A do que a que acabamos de descrever. Ela tem uma corda DE , que une os pontos onde a parábola intercepta o círculo. Outra corda BC é a bissetriz perpendicular de DE e é consequentemente um diâmetro do círculo. Essas duas cordas e o eixo de simetria da parábola PM se interceptam no ponto M.
Todos os pontos rotulados, exceto D e E, são coplanares . Eles estão no plano de simetria de toda a figura. Isso inclui o ponto F, que não é mencionado acima. Ele é definido e discutido abaixo, em § Posição do foco.
Vamos chamar o comprimento de DM e de EM de x , e o comprimento de PM de y .
Derivação de equação quadrática
Os comprimentos de BM e CM são:
- (triângulo BPM é isósceles , porque
- (PMCK é um paralelogramo ).
Usando o teorema das cordas de intersecção nas cordas BC e DE , obtemos
Substituindo:
Reorganizando:
Para qualquer cone e parábola dados, r e θ são constantes, mas x e y são variáveis que dependem da altura arbitrária na qual a seção transversal horizontal BECD é feita. Esta última equação mostra a relação entre essas variáveis. Elas podem ser interpretadas como coordenadas cartesianas dos pontos D e E, em um sistema no plano rosa com P como sua origem. Como x é ao quadrado na equação, o fato de D e E estarem em lados opostos do eixo y não é importante. Se a seção transversal horizontal se move para cima ou para baixo, em direção ou para longe do ápice do cone, D e E se movem ao longo da parábola, sempre mantendo a relação entre x e y mostrada na equação. A curva parabólica é, portanto, o locus dos pontos onde a equação é satisfeita, o que a torna um gráfico cartesiano da função quadrática na equação.
Distância focal
Foi provado em uma seção anterior que se uma parábola tem seu vértice na origem e se abre na direção y positiva , então sua equação é y = x 2/4 p , onde f é sua distância focal. [b] Comparando isso com a última equação acima, mostra que a distância focal da parábola no cone é r sen θ .
Posição do foco
No diagrama acima, o ponto V é o pé da perpendicular do vértice da parábola ao eixo do cone. O ponto F é o pé da perpendicular do ponto V ao plano da parábola. [c] Por simetria, F está no eixo de simetria da parábola. O ângulo VPF é complementar a θ , e o ângulo PVF é complementar ao ângulo VPF, portanto o ângulo PVF é θ . Como o comprimento de PV é r , a distância de F do vértice da parábola é r sen θ . É mostrado acima que essa distância é igual à distância focal da parábola, que é a distância do vértice ao foco. O foco e o ponto F estão, portanto, igualmente distantes do vértice, ao longo da mesma linha, o que implica que eles são o mesmo ponto. Portanto, o ponto F, definido acima, é o foco da parábola .
Esta discussão começou com a definição de uma parábola como uma seção cônica, mas agora levou a uma descrição como um gráfico de uma função quadrática. Isso mostra que essas duas descrições são equivalentes. Ambas definem curvas exatamente do mesmo formato.
Prova alternativa com esferas de Dandelin

Uma prova alternativa pode ser feita usando esferas de Dandelin . Ela funciona sem cálculo e usa apenas considerações geométricas elementares (veja a derivação abaixo).
A intersecção de um cone vertical por um plano , cuja inclinação da vertical é a mesma que uma geratriz (também conhecida como linha geradora, uma linha que contém o ápice e um ponto na superfície do cone) do cone, é uma parábola (curva vermelha no diagrama).
Esta geratriz é a única geratriz do cone que é paralela ao plano . Caso contrário, se houver duas geratriz paralelas ao plano de intersecção, a curva de intersecção será uma hipérbole (ou hipérbole degenerada , se as duas geratriz estiverem no plano de intersecção). Se não houver nenhuma geratriz paralela ao plano de intersecção, a curva de intersecção será uma elipse ou um círculo (ou um ponto ).
Seja plano o plano que contém o eixo vertical do cone e a linha . A inclinação do plano em relação à vertical é a mesma da linha, o que significa que, visto de lado (ou seja, o plano é perpendicular ao plano ), .
Para provar a propriedade diretriz de uma parábola (veja § Definição como um locus de pontos acima), usa-se uma esfera de Dandelin , que é uma esfera que toca o cone ao longo de um círculo e plano no ponto . O plano que contém o círculo intercepta o plano na linha . Há uma simetria de espelho no sistema que consiste no plano , esfera de Dandelin e o cone (o plano de simetria é ).
Como o plano que contém o círculo é perpendicular ao plano , e , sua linha de intersecção também deve ser perpendicular ao plano . Como a linha está no plano , .
Acontece que esse é o foco da parábola e é a diretriz da parábola.
- Seja um ponto arbitrário da curva de intersecção.
- A geratriz do cone que contém intercepta o círculo no ponto .
- Os segmentos de reta e são tangentes à esfera e, portanto, têm o mesmo comprimento.
- A geratriz intercepta o círculo no ponto . Os segmentos de reta e são tangentes à esfera e, portanto, têm o mesmo comprimento.
- Seja linha a reta paralela e passando pelo ponto . Como , e o ponto está no plano , linha deve estar no plano . Como , sabemos disso também.
- Seja ponto o pé da perpendicular do ponto à reta , ou seja, é um segmento de reta , e portanto .
- Do teorema da interceptação e sabemos que . Como , sabemos que , o que significa que a distância de para o foco é igual à distância de para a diretriz .
Prova da propriedade reflexiva

A propriedade reflexiva afirma que se uma parábola pode refletir luz, então a luz que entra nela viajando paralelamente ao eixo de simetria é refletida em direção ao foco. Isso é derivado da óptica geométrica , com base na suposição de que a luz viaja em raios.
Considere a parábola y = x 2 . Como todas as parábolas são semelhantes, este caso simples representa todas as outras.
Construção e definições
O ponto E é um ponto arbitrário na parábola. O foco é F, o vértice é A (a origem) e a reta FA é o eixo de simetria. A reta EC é paralela ao eixo de simetria, intercepta o eixo x em D e intercepta a diretriz em C. O ponto B é o ponto médio do segmento de reta FC .
Deduções
O vértice A é equidistante do foco F e da diretriz. Como C está na diretriz, as coordenadas y de F e C são iguais em valor absoluto e opostas em sinal. B é o ponto médio de FC . Sua coordenada x é metade daquela de D, ou seja, x /2 . A inclinação da reta BE é o quociente dos comprimentos de ED e BD , que é x 2/x /2 = 2 x . Mas 2 x também é a inclinação (primeira derivada) da parábola em E. Portanto, a reta BE é a tangente à parábola em E.
As distâncias EF e EC são iguais porque E está na parábola, F é o foco e C está na diretriz. Portanto, como B é o ponto médio de FC , os triângulos △FEB e △CEB são congruentes (três lados), o que implica que os ângulos marcados com α são congruentes. (O ângulo acima de E é verticalmente oposto ao ângulo ∠BEC.) Isso significa que um raio de luz que entra na parábola e chega em E viajando paralelamente ao eixo de simetria será refletido pela linha BE, então ele viaja ao longo da linha EF , como mostrado em vermelho no diagrama (assumindo que as linhas podem de alguma forma refletir a luz). Como BE é a tangente à parábola em E, a mesma reflexão será feita por um arco infinitesimal da parábola em E. Portanto, a luz que entra na parábola e chega em E viajando paralelamente ao eixo de simetria da parábola é refletida pela parábola em direção ao seu foco.
Esta conclusão sobre a luz refletida se aplica a todos os pontos da parábola, como é mostrado no lado esquerdo do diagrama. Esta é a propriedade reflexiva.
Outras consequências
Há outros teoremas que podem ser deduzidos simplesmente do argumento acima.
Propriedade da bissecção da tangente
A prova acima e o diagrama que a acompanha mostram que a tangente BE bissecta o ângulo ∠FEC. Em outras palavras, a tangente à parábola em qualquer ponto bissecta o ângulo entre as retas que unem o ponto ao foco e perpendicularmente à diretriz.
Intersecção de uma tangente e perpendicular do foco

Como os triângulos △FBE e △CBE são congruentes, FB é perpendicular à tangente BE . Como B está no eixo x , que é a tangente à parábola em seu vértice, segue-se que o ponto de intersecção entre qualquer tangente a uma parábola e a perpendicular do foco a essa tangente está na linha que é tangente à parábola em seu vértice. Veja o diagrama animado [8] e a curva pedal .
Reflexão da luz que atinge o lado convexo
Se a luz viaja ao longo da linha CE , ela se move paralelamente ao eixo de simetria e atinge o lado convexo da parábola em E. Fica claro no diagrama acima que essa luz será refletida diretamente para longe do foco, ao longo de uma extensão do segmento FE .
Provas alternativas

As provas acima das propriedades de bissecção reflexiva e tangente usam uma linha de cálculo. Aqui, uma prova geométrica é apresentada.
Neste diagrama, F é o foco da parábola, e T e U estão em sua diretriz. P é um ponto arbitrário na parábola. PT é perpendicular à diretriz, e a reta MP bissecta o ângulo ∠FPT. Q é outro ponto na parábola, com QU perpendicular à diretriz. Sabemos que FP = PT e FQ = QU . Claramente, QT > QU , então QT > FQ . Todos os pontos na bissetriz MP são equidistantes de F e T, mas Q está mais perto de F do que de T. Isso significa que Q está à esquerda de MP , ou seja, no mesmo lado dela que o foco. O mesmo seria verdade se Q estivesse localizado em qualquer outro lugar na parábola (exceto no ponto P), então a parábola inteira, exceto o ponto P, está no lado do foco de MP . Portanto, MP é a tangente à parábola em P. Como ela bissecta o ângulo ∠FPT, isso prova a propriedade da bissecção da tangente.
A lógica do último parágrafo pode ser aplicada para modificar a prova acima da propriedade reflexiva. Ela efetivamente prova que a linha BE é a tangente à parábola em E se os ângulos α forem iguais. A propriedade reflexiva segue conforme mostrado anteriormente.
Construção de pinos e cordas

A definição de uma parábola pelo seu foco e diretriz pode ser usada para desenhá-la com a ajuda de pinos e cordas: [9]
- Escolha o foco e a diretriz da parábola.
- Pegue um triângulo de um esquadro e prepare uma corda com comprimento (veja o diagrama).
- Prenda uma ponta da corda no ponto do triângulo e a outra no foco .
- Posicione o triângulo de modo que a segunda aresta do ângulo reto fique livre para deslizar ao longo da diretriz.
- Pegue uma caneta e segure o barbante firmemente no triângulo.
- Ao mover o triângulo ao longo da diretriz, a caneta desenha um arco de parábola, por causa de (veja a definição de uma parábola).
Propriedades relacionadas ao teorema de Pascal
Uma parábola pode ser considerada como a parte afim de uma cônica projetiva não degenerada com um ponto na linha do infinito , que é a tangente em . As degenerações de 5, 4 e 3 pontos do teorema de Pascal são propriedades de uma cônica lidando com pelo menos uma tangente. Se considerarmos essa tangente como a linha no infinito e seu ponto de contato como o ponto no infinito do eixo y , obtemos três afirmações para uma parábola.
As seguintes propriedades de uma parábola lidam apenas com termos connect , intersect , parallel , que são invariantes de similaridades . Então, é suficiente provar qualquer propriedade para a parábola unitária com equação .
Propriedade de 4 pontos

Qualquer parábola pode ser descrita em um sistema de coordenadas adequado por uma equação .
Prova: cálculo simples para a parábola unitária .
Aplicação: A propriedade dos 4 pontos de uma parábola pode ser usada para a construção do ponto , enquanto e são dados.
Observação: a propriedade de 4 pontos de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 5 pontos do teorema de Pascal.
Propriedade de 3 pontos–1 tangente

Sejam três pontos da parábola com equação e a intersecção da reta secante com a reta e a intersecção da reta secante com a reta (veja figura). Então a tangente no ponto é paralela à reta . (As retas e são paralelas ao eixo da parábola.)
Prova: pode ser realizada para a parábola unitária . Um cálculo curto mostra: a reta tem declive que é o declive da tangente no ponto .
Aplicação: A propriedade tangente-3-pontos-1 de uma parábola pode ser usada para a construção da tangente no ponto , enquanto são fornecidos.
Observação: A propriedade da tangente de 3 pontos e 1 de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 4 pontos do teorema de Pascal.
Propriedade de 2 pontos–2 tangentes

Sejam dois pontos da parábola com equação , e a intersecção da tangente no ponto com a reta , e a intersecção da tangente no ponto com a reta (veja a figura). Então a secante é paralela à reta . (As retas e são paralelas ao eixo da parábola.)
Prova: cálculo direto para a parábola unitária .
Aplicação: A propriedade 2 pontos–2 tangentes pode ser usada para a construção da tangente de uma parábola no ponto , se e a tangente em forem dados.
Observação 1: A propriedade de 2 pontos–2 tangentes de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 3 pontos do teorema de Pascal.
Observação 2: A propriedade de 2 pontos e 2 tangentes não deve ser confundida com a seguinte propriedade de uma parábola, que também lida com 2 pontos e 2 tangentes, mas não está relacionada ao teorema de Pascal.
Direção do eixo

As afirmações acima pressupõem o conhecimento da direção do eixo da parábola, para construir os pontos . A propriedade a seguir determina os pontos por dois pontos dados e suas tangentes apenas, e o resultado é que a reta é paralela ao eixo da parábola.
Deixar
- sejam dois pontos da parábola e sejam suas tangentes;
- seja a intersecção das tangentes ,
- seja a intersecção da reta paralela a através com a reta paralela a através (veja a imagem).
Então a reta é paralela ao eixo da parábola e tem a equação
Prova: pode ser feita (como as propriedades acima) para a parábola unitária .
Aplicação: Esta propriedade pode ser usada para determinar a direção do eixo de uma parábola, se dois pontos e suas tangentes forem dados. Uma maneira alternativa é determinar os pontos médios de duas cordas paralelas, veja a seção sobre cordas paralelas.
Observação: Esta propriedade é uma versão afim do teorema de dois triângulos em perspectiva de uma cônica não degenerada. [10]
Geração Steiner
Parábola

Steiner estabeleceu o seguinte procedimento para a construção de uma cônica não degenerada (ver Cônica de Steiner ):
Este procedimento pode ser usado para uma construção simples de pontos na parábola :
- Considere o lápis no vértice e o conjunto de retas paralelas ao eixo y .
- Seja um ponto na parábola, e , .
- O segmento de reta é dividido em n segmentos igualmente espaçados, e essa divisão é projetada (na direção ) no segmento de reta (veja a figura). Essa projeção dá origem a um mapeamento projetivo do lápis para o lápis .
- A intersecção da reta e da i -ésima paralela ao eixo y é um ponto na parábola.
Prova: cálculo simples.
Observação: A geração de Steiner também está disponível para elipses e hipérboles .
Parábola dupla

Uma parábola dual consiste no conjunto de tangentes de uma parábola ordinária.
A geração de Steiner de uma cônica pode ser aplicada à geração de uma cônica dual alterando os significados de pontos e retas:
Para gerar elementos de uma parábola dual, começa-se com
- três pontos não alinhados,
- divide as seções de linha e cada uma em segmentos de linha igualmente espaçados e adiciona números conforme mostrado na imagem.
- Então as retas são tangentes de uma parábola, portanto elementos de uma parábola dual.
- A parábola é uma curva de Bézier de grau 2 com pontos de controle .
A prova é uma consequência do algoritmo de Casteljau para uma curva de Bézier de grau 2.
Ângulos inscritos e a forma de 3 pontos

Uma parábola com equação é determinada unicamente por três pontos com coordenadas x diferentes . O procedimento usual para determinar os coeficientes é inserir as coordenadas do ponto na equação. O resultado é um sistema linear de três equações, que pode ser resolvido por eliminação gaussiana ou regra de Cramer , por exemplo. Uma maneira alternativa usa o teorema do ângulo inscrito para parábolas.
A seguir, o ângulo de duas retas será medido pela diferença das inclinações da reta em relação à diretriz da parábola. Ou seja, para uma parábola de equação o ângulo entre duas retas de equações é medido por
Analogamente ao teorema do ângulo inscrito para círculos, temos o teorema do ângulo inscrito para parábolas : [11] [12]
(Prova: cálculo simples: se os pontos estão em uma parábola, pode-se traduzir as coordenadas para obter a equação , então temos se os pontos estão na parábola.)
Uma consequência é que a equação (em ) da parábola determinada por 3 pontos com coordenadas x diferentes é (se duas coordenadas x são iguais, não há parábola com diretriz paralela ao eixo x , que passe pelos pontos) Multiplicando pelos denominadores que dependem de um obtém-se a forma mais padrão
Relação pólo-polar

Em um sistema de coordenadas adequado, qualquer parábola pode ser descrita por uma equação . A equação da tangente em um ponto é Obtém-se a função no conjunto de pontos da parábola sobre o conjunto de tangentes.
Obviamente, esta função pode ser estendida para o conjunto de todos os pontos de para uma bijeção entre os pontos de e as retas com equações . O mapeamento inverso é Esta relação é chamada de relação polo–polar da parábola , onde o ponto é o polo , e a reta correspondente é polar .
Por cálculo, verificam-se as seguintes propriedades da relação polo-polar da parábola:
- Para um ponto (polo) na parábola, o polar é a tangente neste ponto (veja a imagem: ).
- Para um polo fora da parábola, os pontos de intersecção de sua polar com a parábola são os pontos de contato das duas tangentes que passam (veja a figura: ).
- Para um ponto dentro da parábola, o polar não tem ponto em comum com a parábola (veja a figura: e ).
- O ponto de intersecção de duas linhas polares (por exemplo, ) é o polo da linha de conexão de seus polos (no exemplo: ).
- O foco e a diretriz da parábola são um par polo-polar.
Observação: Relações polo-polares também existem para elipses e hipérboles.
Propriedades tangentes
Duas propriedades tangentes relacionadas ao latus reto
Seja a linha de simetria que intercepta a parábola no ponto Q, e denote o foco como ponto F e sua distância do ponto Q como f . Seja a perpendicular à linha de simetria, através do foco, intercepta a parábola em um ponto T. Então (1) a distância de F a T é 2 f , e (2) uma tangente à parábola no ponto T intercepta a linha de simetria em um ângulo de 45°. [13] : 26

Propriedade ortóptica
Se duas tangentes a uma parábola são perpendiculares entre si, então elas se cruzam na diretriz. Por outro lado, duas tangentes que se cruzam na diretriz são perpendiculares. Em outras palavras, em qualquer ponto da diretriz a parábola inteira subtende um ângulo reto.
Teorema de Lambert
Sejam três tangentes a uma parábola formando um triângulo. Então o teorema de Lambert afirma que o foco da parábola está no circuncírculo do triângulo. [14] [8] : Corolário 20
O inverso de Tsukerman ao teorema de Lambert afirma que, dadas três retas que limitam um triângulo, se duas das retas são tangentes a uma parábola cujo foco está no circuncírculo do triângulo, então a terceira reta também é tangente à parábola. [15]
Fatos relacionados a acordes e arcos
Distância focal calculada a partir de parâmetros de uma corda
Suponha que uma corda cruza uma parábola perpendicular ao seu eixo de simetria. Seja o comprimento da corda entre os pontos onde ela intercepta a parábola c e a distância do vértice da parábola à corda, medida ao longo do eixo de simetria, d . A distância focal, f , da parábola é dada por
Suponha que um sistema de coordenadas cartesianas seja usado de modo que o vértice da parábola esteja na origem, e o eixo de simetria seja o eixo y . A parábola se abre para cima. É mostrado em outra parte deste artigo que a equação da parábola é 4 fy = x 2 , onde f é a distância focal. Na extremidade x positiva da corda, x = c/2 e y = d . Como esse ponto está na parábola, essas coordenadas devem satisfazer a equação acima. Portanto, por substituição,. Disto,.
Área delimitada entre uma parábola e uma corda

A área delimitada entre uma parábola e uma corda (veja o diagrama) é dois terços da área de um paralelogramo que a circunda. Um lado do paralelogramo é a corda, e o lado oposto é uma tangente à parábola. [16] [17] A inclinação dos outros lados paralelos é irrelevante para a área. Frequentemente, como aqui, eles são desenhados paralelos ao eixo de simetria da parábola, mas isso é arbitrário.
Um teorema equivalente a este, mas diferente em detalhes, foi derivado por Arquimedes no século III a.C. Ele usou as áreas de triângulos, em vez da do paralelogramo. [d] Veja A Quadratura da Parábola .
Se a corda tem comprimento b e é perpendicular ao eixo de simetria da parábola, e se a distância perpendicular do vértice da parábola à corda é h , o paralelogramo é um retângulo, com lados de b e h . A área A do segmento parabólico delimitado pela parábola e pela corda é, portanto,
Esta fórmula pode ser comparada com a área de um triângulo :1/2 bh .
Em geral, a área delimitada pode ser calculada da seguinte forma. Primeiro, localize o ponto na parábola onde sua inclinação é igual à da corda. Isso pode ser feito com cálculo ou usando uma linha que seja paralela ao eixo de simetria da parábola e passe pelo ponto médio da corda. O ponto necessário é onde essa linha intercepta a parábola. [e] Então, usando a fórmula dada em Distância de um ponto a uma linha , calcule a distância perpendicular desse ponto à corda. Multiplique isso pelo comprimento da corda para obter a área do paralelogramo e, em seguida, por 2/3 para obter a área delimitada necessária.
Corolário sobre pontos médios e finais de acordes

Um corolário da discussão acima é que se uma parábola tem várias cordas paralelas, seus pontos médios estão todos em uma linha paralela ao eixo de simetria. Se tangentes à parábola forem desenhadas através dos pontos finais de qualquer uma dessas cordas, as duas tangentes se cruzam nessa mesma linha paralela ao eixo de simetria (veja Direção do eixo de uma parábola). [f]
Comprimento do arco
Se um ponto X estiver localizado em uma parábola com distância focal f , e se p for a distância perpendicular de X ao eixo de simetria da parábola, então os comprimentos dos arcos da parábola que terminam em X podem ser calculados a partir de f e p como segue, assumindo que todos eles são expressos nas mesmas unidades. [g]
Esta quantidade s é o comprimento do arco entre X e o vértice da parábola.
O comprimento do arco entre X e o ponto simetricamente oposto no outro lado da parábola é 2 s .
A distância perpendicular p pode receber um sinal positivo ou negativo para indicar em qual lado do eixo de simetria X está situado. Inverter o sinal de p inverte os sinais de h e s sem alterar seus valores absolutos. Se essas quantidades forem assinadas, o comprimento do arco entre quaisquer dois pontos na parábola é sempre mostrado pela diferença entre seus valores de s . O cálculo pode ser simplificado usando as propriedades dos logaritmos:
Isso pode ser útil, por exemplo, no cálculo do tamanho do material necessário para fazer um refletor parabólico ou uma calha parabólica .
Este cálculo pode ser usado para uma parábola em qualquer orientação. Ele não é restrito à situação em que o eixo de simetria é paralelo ao eixo y .
Uma construção geométrica para encontrar uma área de setor
S é o foco, e V é o vértice principal da parábola VG. Desenhe VX perpendicular a SV.
Pegue qualquer ponto B em VG e desenhe uma perpendicular BQ de B a VX. Desenhe a perpendicular ST cruzando BQ, estendida se necessário, em T. Em B, desenhe a perpendicular BJ, cruzando VX em J.
Para a parábola, o segmento VBV, a área delimitada pela corda VB e pelo arco VB, é igual a ∆VBQ / 3, também .
A área do setor parabólico .
Como os triângulos TSB e QBJ são semelhantes,
Portanto, a área do setor parabólico e pode ser encontrada a partir do comprimento de VJ, como encontrado acima.
Um círculo que passa por S, V e B também passa por J.
Por outro lado, se um ponto, B na parábola VG deve ser encontrado de modo que a área do setor SVB seja igual a um valor especificado, determine o ponto J em VX e construa um círculo através de S, V e J. Como SJ é o diâmetro, o centro do círculo está em seu ponto médio, e ele fica na bissetriz perpendicular de SV, a uma distância de metade de VJ de SV. O ponto B necessário é onde este círculo intercepta a parábola.
Se um corpo traça o caminho da parábola devido a uma força quadrada inversa direcionada para S, a área SVB aumenta a uma taxa constante conforme o ponto B se move para frente. Segue-se que J se move a uma velocidade constante ao longo de VX conforme B se move ao longo da parábola.
Se a velocidade do corpo no vértice onde ele está se movendo perpendicularmente a SV for v , então a velocidade de J será igual a 3 v /4 .
A construção pode ser estendida simplesmente para incluir o caso em que nenhum raio coincide com o eixo SV como segue. Seja A um ponto fixo em VG entre V e B, e o ponto H seja a intersecção em VX com a perpendicular a SA em A. Do acima, a área do setor parabólico .
Por outro lado, se for necessário encontrar o ponto B para uma área SAB específica, encontre o ponto J de HJ e o ponto B como antes. Pelo Livro 1, Proposição 16, Corolário 6 dos Principia de Newton , a velocidade de um corpo se movendo ao longo de uma parábola com uma força direcionada ao foco é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio. Se a velocidade em A for v , então no vértice V ela é , e o ponto J se move a uma velocidade constante de .
A construção acima foi idealizada por Isaac Newton e pode ser encontrada no Livro 1 da Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposição 30.
Distância focal e raio de curvatura no vértice
A distância focal de uma parábola é metade do seu raio de curvatura no vértice.
- Prova
-
A imagem está invertida. AB é o eixo x . C é a origem. O é o centro. A é ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . CP = y . OP = ( R − y ) . Outros pontos e linhas são irrelevantes para este propósito.
-
O raio de curvatura no vértice é duas vezes a distância focal. As medidas mostradas no diagrama acima estão em unidades do latus rectum, que é quatro vezes a distância focal.
Considere um ponto ( x , y ) em um círculo de raio R e com centro no ponto (0, R ) . O círculo passa pela origem. Se o ponto estiver próximo da origem, o teorema de Pitágoras mostra que
Mas se ( x , y ) estiver extremamente próximo da origem, já que o eixo x é tangente ao círculo, y é muito pequeno comparado com x , então y 2 é desprezível comparado com os outros termos. Portanto, extremamente próximo da origem
( 1 ) |
Compare isso com a parábola
( 2 ) |
que tem seu vértice na origem, abre-se para cima e tem distância focal f (veja as seções anteriores deste artigo).
As equações (1) e (2) são equivalentes se R = 2 f . Portanto, esta é a condição para que o círculo e a parábola coincidam na origem e extremamente perto dela. O raio de curvatura na origem, que é o vértice da parábola, é o dobro da distância focal.
- Corolário
Um espelho côncavo, que é um pequeno segmento de uma esfera, se comporta aproximadamente como um espelho parabólico, focalizando luz paralela em um ponto intermediário entre o centro e a superfície da esfera.
Como a imagem afim da parábola unitária

Outra definição de parábola usa transformações afins :
Representação paramétrica
Uma transformação afim do plano euclidiano tem a forma , onde é uma matriz regular ( o determinante não é 0) e é um vetor arbitrário. Se são os vetores coluna da matriz , a parábola unitária é mapeada na parábola onde
- é um ponto da parábola,
- é um vetor tangente no ponto ,
- é paralelo ao eixo da parábola (eixo de simetria através do vértice).
Vértice
Em geral, os dois vetores não são perpendiculares e não são o vértice, a menos que a transformação afim seja uma similaridade .
O vetor tangente no ponto é . No vértice o vetor tangente é ortogonal a . Portanto o parâmetro do vértice é a solução da equação que é e o vértice é
Distância focal e foco
A distância focal pode ser determinada por uma transformação de parâmetro adequada (que não altera a forma geométrica da parábola). A distância focal é Portanto, o foco da parábola é
Representação implícita
Resolvendo a representação paramétrica para pela regra de Cramer e usando , obtém-se a representação implícita
Parábola no espaço
A definição de uma parábola nesta seção fornece uma representação paramétrica de uma parábola arbitrária, mesmo no espaço, se for permitido que haja vetores no espaço.
Como curva de Bézier quadrática

Uma curva de Bézier quadrática é uma curva definida por três pontos , e , chamados seus pontos de controle :
Esta curva é um arco de uma parábola (ver § Como imagem afim da parábola unitária).
Integração numérica

Em um método de integração numérica, substitui-se o gráfico de uma função por arcos de parábolas e integra-se os arcos da parábola. Uma parábola é determinada por três pontos. A fórmula para um arco é
O método é chamado de regra de Simpson .
Como seção plana de quádrica
As seguintes quádricas contêm parábolas como seções planas:
- cone elíptico ,
- cilindro parabólico ,
- parabolóide elíptico ,
- parabolóide hiperbólico,
- hiperbolóide de uma folha,
- hiperboloide de duas folhas.
-
Cone elíptico
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Cilindro parabólico
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Parabolóide elíptico
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Paraboloide hiperbólico
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Hiperbolóide de uma folha
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Hiperboloide de duas folhas
Como trissectriz

Uma parábola pode ser usada como uma trissetriz , ou seja, permite a trissecção exata de um ângulo arbitrário com régua e compasso. Isso não está em contradição com a impossibilidade de uma trissecção de ângulo apenas com construções de régua e compasso , pois o uso de parábolas não é permitido nas regras clássicas para construções de régua e compasso.
Para trissecar , coloque sua perna no eixo x de modo que o vértice esteja na origem do sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas também contém a parábola . O círculo unitário com raio 1 ao redor da origem intercepta a outra perna do ângulo , e a partir deste ponto de intersecção desenhe a perpendicular no eixo y . O paralelo ao eixo y através do ponto médio dessa perpendicular e a tangente no círculo unitário em interceptam em . O círculo ao redor com raio intercepta a parábola em . A perpendicular de no eixo x intercepta o círculo unitário em , e é exatamente um terço de .
A correção dessa construção pode ser vista mostrando que a coordenada x de é . Resolver o sistema de equações dado pelo círculo ao redor e a parábola leva à equação cúbica . A fórmula do ângulo triplo então mostra que é de fato uma solução dessa equação cúbica.
Esta trissecção remonta a René Descartes , que a descreveu no seu livro La Géométrie (1637). [18]
Generalizações
Se substituirmos os números reais por um campo arbitrário , muitas propriedades geométricas da parábola ainda serão válidas:
- Uma reta intercepta no máximo dois pontos.
- Em qualquer ponto a reta é a tangente.
Fenômenos essencialmente novos surgem se o campo tem característica 2 (isto é, ): as tangentes são todas paralelas.
Na geometria algébrica , a parábola é generalizada pelas curvas normais racionais , que têm coordenadas ( x , x2 , x3 , ..., xn ) ; a parábola padrão é o caso n = 2 , e o caso n = 3 é conhecido como cúbica torcida . Uma generalização adicional é dada pela variedade Veronese , quando há mais de uma variável de entrada.
Na teoria das formas quadráticas , a parábola é o gráfico da forma quadrática x 2 (ou outras escalas), enquanto o paraboloide elíptico é o gráfico da forma quadrática positiva definida x 2 + y 2 (ou escalas), e o paraboloide hiperbólico é o gráfico da forma quadrática indefinida x 2 − y 2 . Generalizações para mais variáveis produzem mais objetos desse tipo.
As curvas y = x p para outros valores de p são tradicionalmente chamadas de parábolas superiores e foram originalmente tratadas implicitamente, na forma x p = ky q para p e q ambos inteiros positivos, em cuja forma são vistas como curvas algébricas. Elas correspondem à fórmula explícita y = x p / q para uma potência fracionária positiva de x . Potências fracionárias negativas correspondem à equação implícita x p y q = k e são tradicionalmente chamadas de hipérboles superiores . Analiticamente, x também pode ser elevado a uma potência irracional (para valores positivos de x ); as propriedades analíticas são análogas a quando x é elevado a potências racionais, mas a curva resultante não é mais algébrica e não pode ser analisada pela geometria algébrica.
No mundo físico
Na natureza, aproximações de parábolas e paraboloides são encontradas em muitas situações diversas. O exemplo mais conhecido da parábola na história da física é a trajetória de uma partícula ou corpo em movimento sob a influência de um campo gravitacional uniforme sem resistência do ar (por exemplo, uma bola voando pelo ar, negligenciando o atrito do ar ).
A trajetória parabólica dos projéteis foi descoberta experimentalmente no início do século XVII por Galileu , que realizou experimentos com bolas rolando em planos inclinados. Mais tarde, ele também provou isso matematicamente em seu livro Diálogo sobre Duas Novas Ciências . [19] [h] Para objetos estendidos no espaço, como um mergulhador saltando de um trampolim, o próprio objeto segue um movimento complexo à medida que gira, mas o centro de massa do objeto, no entanto, se move ao longo de uma parábola. Como em todos os casos no mundo físico, a trajetória é sempre uma aproximação de uma parábola. A presença de resistência do ar, por exemplo, sempre distorce a forma, embora em baixas velocidades, a forma seja uma boa aproximação de uma parábola. Em velocidades mais altas, como na balística, a forma é altamente distorcida e não se assemelha a uma parábola.
Outra situação hipotética em que parábolas podem surgir, de acordo com as teorias da física descritas nos séculos XVII e XVIII por Sir Isaac Newton , é em órbitas de dois corpos , por exemplo, o caminho de um pequeno planetoide ou outro objeto sob a influência da gravitação do Sol . Órbitas parabólicas não ocorrem na natureza; órbitas simples mais comumente se assemelham a hipérboles ou elipses . A órbita parabólica é o caso intermediário degenerado entre esses dois tipos de órbita ideal. Um objeto seguindo uma órbita parabólica viajaria na velocidade de escape exata do objeto que orbita; objetos em órbitas elípticas ou hiperbólicas viajam a menos ou mais do que a velocidade de escape, respectivamente. Cometas de longo período viajam perto da velocidade de escape do Sol enquanto se movem pelo sistema solar interno, então seus caminhos são quase parabólicos.
Aproximações de parábolas também são encontradas no formato dos cabos principais em uma ponte pênsil simples . A curva das correntes de uma ponte pênsil é sempre uma curva intermediária entre uma parábola e uma catenária , mas na prática a curva é geralmente mais próxima de uma parábola devido ao peso da carga (ou seja, a estrada) ser muito maior do que os próprios cabos, e nos cálculos a fórmula polinomial de segundo grau de uma parábola é usada. [20] [21] Sob a influência de uma carga uniforme (como um deck suspenso horizontal), o cabo em formato de catenária é deformado em direção a uma parábola (veja Catenária § Curva da ponte pênsil ). Ao contrário de uma corrente inelástica, uma mola pendurada livremente de comprimento não tensionado zero assume o formato de uma parábola. Os cabos de pontes pênseis estão, idealmente, puramente em tensão, sem ter que suportar outras forças, por exemplo, flexão. Da mesma forma, as estruturas de arcos parabólicos estão puramente em compressão.
Os paraboloides também surgem em várias situações físicas. O exemplo mais conhecido é o refletor parabólico , que é um espelho ou dispositivo reflexivo semelhante que concentra luz ou outras formas de radiação eletromagnética em um ponto focal comum ou, inversamente, colima a luz de uma fonte pontual no foco em um feixe paralelo. O princípio do refletor parabólico pode ter sido descoberto no século III a.C. pelo geômetra Arquimedes , que, de acordo com uma lenda duvidosa, [22] construiu espelhos parabólicos para defender Siracusa contra a frota romana , concentrando os raios solares para incendiar os conveses dos navios romanos. O princípio foi aplicado a telescópios no século XVII. Hoje, os refletores paraboloides podem ser comumente observados em grande parte do mundo em antenas de recepção e transmissão de micro -ondas e antenas parabólicas.
Em microfones parabólicos , um refletor parabólico é usado para focalizar o som em um microfone, proporcionando-lhe um desempenho altamente direcional.
Paraboloides também são observados na superfície de um líquido confinado em um recipiente e girado em torno do eixo central. Neste caso, a força centrífuga faz com que o líquido suba pelas paredes do recipiente, formando uma superfície parabólica. Este é o princípio por trás do telescópio de espelho líquido .
Aeronaves usadas para criar um estado de ausência de peso para fins de experimentação, como o " Vomit Comet " da NASA , seguem uma trajetória vertical parabólica por breves períodos para traçar o curso de um objeto em queda livre , o que produz o mesmo efeito da gravidade zero para a maioria dos propósitos.
Galeria
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Uma bola quicando capturada com um flash estroboscópico a 25 imagens por segundo. A bola se torna significativamente não esférica após cada quique, especialmente após o primeiro. Isso, junto com o giro e a resistência do ar , faz com que a curva varrida se desvie ligeiramente da parábola perfeita esperada.
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Trajetórias parabólicas da água em uma fonte.
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O caminho (em vermelho) do Cometa Kohoutek enquanto passava pelo sistema solar interno, mostrando sua forma quase parabólica. A órbita azul é a da Terra.
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Os cabos de sustentação das pontes suspensas seguem uma curva intermediária entre uma parábola e uma catenária .
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A Rainbow Bridge sobre o Rio Niágara , conectando o Canadá (esquerda) aos Estados Unidos (direita). O arco parabólico está em compressão e carrega o peso da estrada.
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Arcos parabólicos usados na arquitetura
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Forma parabólica formada por uma superfície líquida em rotação. Dois líquidos de densidades diferentes preenchem completamente um espaço estreito entre duas folhas de plástico transparente. O vão entre as folhas é fechado na parte inferior, nas laterais e na parte superior. Todo o conjunto está girando em torno de um eixo vertical que passa pelo centro. (Veja Forno rotativo )
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Microfone parabólico com refletor de plástico opticamente transparente usado em um jogo de futebol americano universitário.
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Conjunto de calhas parabólicas para coletar energia solar
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O físico Stephen Hawking em uma aeronave voando em uma trajetória parabólica para simular gravidade zero
Veja também
- Cônica degenerada
- Cúpula § Cúpula parabolóide
- Equação diferencial parcial parabólica
- Equação quadrática
- Função quadrática
- Constante parabólica universal
- Seções cônicas confocais § Parábolas confocais
Notas de rodapé
- ^ O plano tangencial toca a superfície cônica ao longo de uma linha que passa pelo ápice do cone.
- ^ Conforme declarado acima, a distância focal de uma parábola é a distância entre seu vértice e o foco.
- ^ O ponto V é o centro da seção transversal circular menor do cone. O ponto F está no plano (rosa) da parábola, e a reta VF é perpendicular ao plano da parábola.
- ^ Arquimedes provou que a área do segmento parabólico fechado era 4/3 tão grande quanto a de um triângulo que ele inscreveu dentro do segmento fechado. Pode ser facilmente demonstrado que o paralelogramo tem o dobro da área do triângulo, então a prova de Arquimedes também prova o teorema com o paralelogramo.
- ^ Este método pode ser facilmente provado correto por cálculo. Também era conhecido e usado por Arquimedes, embora ele tenha vivido quase 2000 anos antes do cálculo ser inventado.
- ^ Uma prova desta sentença pode ser inferida da prova da propriedade ortóptica, acima. É mostrado ali que as tangentes à parábola y = x 2 em ( p , p 2 ) e ( q , q 2 ) se cruzam em um ponto cuja coordenada x é a média de p e q . Assim, se houver uma corda entre esses dois pontos, o ponto de intersecção das tangentes tem a mesma coordenada x que o ponto médio da corda.
- ^ Neste cálculo, a raiz quadrada q deve ser positiva. A quantidade ln a é o logaritmo natural de a .
- ^ No entanto, essa forma parabólica, como Newton reconheceu, é apenas uma aproximação da forma elíptica real da trajetória e é obtida assumindo que a força gravitacional é constante (não apontando para o centro da Terra) na área de interesse. Frequentemente, essa diferença é insignificante e leva a uma fórmula mais simples para rastrear o movimento.
Referências
- ^ "Você pode realmente derivar fórmulas cônicas de um cone? – Derivando o sintoma da parábola – Mathematical Association of America" . Recuperado em 30 de setembro de 2016 .
- ^ Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Teoria básica de design e seu desenvolvimento histórico (2ª ed.). Springer. pág. 3. ISBN 3-540-40106-7.Extrato da página 3.
- ^ Stargazer , pág. 115.
- ^ Stargazer , pp. 123, 132.
- ^ Fitzpatrick, Richard (14 de julho de 2007). "Espelhos esféricos". Eletromagnetismo e Óptica, palestras . Universidade do Texas em Austin . Óptica Paraxial . Recuperado em 5 de outubro de 2011 .
- ^ ab Kumpel, PG (1975), "Figuras semelhantes sempre têm a mesma forma?", The Mathematics Teacher , 68 (8): 626–628, doi :10.5951/MT.68.8.0626, ISSN 0025-5769.
- ^ Shriki, Atara; David, Hamatal (2011), "Similaridade de parábolas – uma perspectiva geométrica", Learning and Teaching Mathematics , 11 : 29–34.
- ^ ab Tsukerman, Emmanuel (2013). "Sobre polígonos que admitem uma reta de Simson como análogos discretos de parábolas" (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 197–208.
- ^ Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen , Leyden, 1659, p. 334.
- ^ Geometrias de círculos planares, uma introdução aos planos de Moebius, Laguerre e Minkowski, p. 36.
- ^ E. Hartmann, Nota de aula Geometrias de círculos planares, uma introdução aos planos de Möbius, Laguerre e Minkowski, p. 72.
- ^ W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973).
- ^ Downs, JW (2003). Seções cônicas práticas . Dover Publishing.[ ISBN ausente ]
- ^ Sondow, Jonathan (2013). "O parbelos, um análogo parabólico do arbelos". American Mathematical Monthly . 120 (10): 929–935. arXiv : 1210.2279 . doi :10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID 33402874.
- ^ Tsukerman, Emmanuel (2014). "Solução do problema de Sondow: uma prova sintética da propriedade de tangência do parbelos". American Mathematical Monthly . 121 (5): 438–443. arXiv : 1210.5580 . doi :10.4169/amer.math.monthly.121.05.438. S2CID 21141837.
- ^ "Sovrn Container". Mathwarehouse.com . Recuperado em 2016-09-30 .
- ^ "Parábola". Mysite.du.edu . Recuperado em 2016-09-30 .
- ^ Yates, Robert C. (1941). "O Problema da Trissecção". Revista Nacional de Matemática . 15 (4): 191–202. doi :10.2307/3028133. JSTOR 3028133.
- ^ Diálogo sobre duas novas ciências (1638) (O movimento dos projéteis: Teorema 1).
- ^ Troyano, Leonardo Fernández (2003). Engenharia de pontes: uma perspectiva global. Thomas Telford. pág. 536. ISBN 0-7277-3215-3.
- ^ Drewry, Charles Stewart (1832). Um livro de memórias sobre pontes suspensas. Universidade de Oxford. p. 159.
- ^ Middleton, WE Knowles (dezembro de 1961). "Arquimedes, Kircher, Buffon e os Espelhos Ardentes". Isis . 52 (4). Publicado por: The University of Chicago Press em nome da The History of Science Society: 533–543. doi :10.1086/349498. JSTOR 228646. S2CID 145385010.
Leitura adicional
- Lockwood, EH (1961). Um livro de curvas . Cambridge University Press.
Links externos
- "Parábola", Enciclopédia de Matemática , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Parábola". Mundo Matemático .
- Foco interativo de arrasto de parábola, veja eixo de simetria, diretriz, formas padrão e de vértice
- Triângulo de Arquimedes e quadratura da parábola no corte do nó
- Duas tangentes à parábola no corte do nó
- Parábola como envelope de linhas retas no corte do nó
- Espelho Parabólico em corte-o-nó
- Três tangentes de parábola no corte do nó
- Propriedades focais da parábola no corte do nó
- Parábola como envelope II em corte-do-nó
- A semelhança da parábola em Dynamic Geometry Sketches, esboço de geometria dinâmica interativo.
- Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659