Parábola

Parte de uma parábola (azul), com diversas características (outras cores). A parábola completa não tem pontos finais. Nesta orientação, estende-se infinitamente para a esquerda, para a direita e para cima.
A parábola é um membro da família das seções cônicas .

Em matemática , uma parábola é uma curva plana simétrica ao espelho e aproximadamente em forma de U. Ele se ajusta a várias descrições matemáticas superficialmente diferentes , que podem ser comprovadas para definir exatamente as mesmas curvas.

Uma descrição de uma parábola envolve um ponto (o foco ) e uma linha (a diretriz ). O foco não está na diretriz. A parábola é o lugar geométrico dos pontos desse plano que são equidistantes da diretriz e do foco. Outra descrição de uma parábola é como uma seção cônica , criada a partir da intersecção de uma superfície cônica circular reta e um plano paralelo a outro plano que é tangente à superfície cônica. [a]

O gráfico de uma função quadrática (com ) é uma parábola com seu eixo paralelo ao eixo y . Por outro lado, cada parábola é o gráfico de uma função quadrática.

A reta perpendicular à diretriz e que passa pelo foco (ou seja, a reta que divide a parábola ao meio) é chamada de "eixo de simetria". O ponto onde a parábola intercepta seu eixo de simetria é chamado de “ vértice ” e é o ponto onde a parábola é curvada mais acentuadamente. A distância entre o vértice e o foco, medida ao longo do eixo de simetria, é a “distância focal”. O “ latus rectum ” é a corda da parábola que é paralela à diretriz e passa pelo foco. As parábolas podem abrir para cima, para baixo, para a esquerda, para a direita ou em alguma outra direção arbitrária. Qualquer parábola pode ser reposicionada e redimensionada para caber exatamente em qualquer outra parábola – ou seja, todas as parábolas são geometricamente semelhantes .

As parábolas têm a propriedade de que, se forem feitas de material que reflete a luz , então a luz que viaja paralelamente ao eixo de simetria de uma parábola e atinge seu lado côncavo é refletida para seu foco, independentemente de onde a reflexão ocorre na parábola. Por outro lado, a luz que se origina de uma fonte pontual no foco é refletida em um feixe paralelo (" colimado "), deixando a parábola paralela ao eixo de simetria. Os mesmos efeitos ocorrem com o som e outras ondas . Esta propriedade reflexiva é a base de muitos usos práticos das parábolas.

A parábola tem muitas aplicações importantes, desde uma antena parabólica ou microfone parabólico até refletores de faróis de automóveis e design de mísseis balísticos . É freqüentemente usado em física , engenharia e muitas outras áreas.

História

Bússola parabólica desenhada por Leonardo da Vinci

O primeiro trabalho conhecido sobre seções cônicas foi feito por Menaechmus no século 4 aC. Ele descobriu uma maneira de resolver o problema de duplicar o cubo usando parábolas. (A solução, no entanto, não atende aos requisitos da construção com régua e compasso .) A área delimitada por uma parábola e um segmento de reta, o chamado "segmento de parábola", foi calculada por Arquimedes pelo método de exaustão em século III a.C., em sua A Quadratura da Parábola . O nome "parábola" se deve a Apolônio , que descobriu muitas propriedades das seções cônicas. Significa “aplicação”, referindo-se ao conceito de “aplicação de áreas”, que tem ligação com esta curva, como Apolônio comprovou. [1] A propriedade foco-diretriz da parábola e outras seções cônicas é devida a Pappus .

Galileu mostrou que a trajetória de um projétil segue uma parábola, consequência da aceleração uniforme da gravidade.

A ideia de que um refletor parabólico poderia produzir uma imagem já era bem conhecida antes da invenção do telescópio refletor . [2] Projetos foram propostos do início a meados do século XVII por muitos matemáticos , incluindo René Descartes , Marin Mersenne , [3] e James Gregory . [4] Quando Isaac Newton construiu o primeiro telescópio refletor em 1668, ele deixou de usar um espelho parabólico devido à dificuldade de fabricação, optando por um espelho esférico . Os espelhos parabólicos são usados ​​na maioria dos telescópios refletores modernos e em antenas parabólicas e receptores de radar . [5]

Definição como um lugar geométrico de pontos

Uma parábola pode ser definida geometricamente como um conjunto de pontos ( localidade dos pontos ) no plano euclidiano:

Uma parábola é um conjunto de pontos, tal que para qualquer ponto do conjunto a distância a um ponto fixo , o foco , é igual à distância a uma linha fixa , a diretriz :

O ponto médio da perpendicular do foco à diretriz é chamado de vértice , e a reta é o eixo de simetria da parábola.

Em um sistema de coordenadas cartesianas

Eixo de simetria paralelo ao eixo y

Parábola com eixo paralelo ao eixo y ; p é o reto semi-latus

Se introduzirmos coordenadas cartesianas , tais que a diretriz tenha a equação , obtemos um ponto da equação . Resolvendo os rendimentos

Esta parábola tem formato de U ( abrindo para cima ).

A corda horizontal que passa pelo foco (veja a imagem na seção de abertura) é chamada de latus rectum ; metade dele é o reto semi-latus . O latus reto é paralelo à diretriz. O reto semi-latus é designado pela letra . Da imagem obtém-se

O latus reto é definido de forma semelhante para as outras duas cônicas – a elipse e a hipérbole. O latus rectum é a linha traçada através de um foco de uma seção cônica paralela à diretriz e terminada em ambos os sentidos pela curva. Para qualquer caso, é o raio do círculo osculante no vértice. Para uma parábola, o semi-latus reto, , é a distância do foco à diretriz. Usando o parâmetro , a equação da parábola pode ser reescrita como

Mais geralmente, se o vértice for , o foco e a diretriz , obtém-se a equação

Observações :

  1. No caso da parábola tem abertura para baixo.
  2. A presunção de que o eixo é paralelo ao eixo y permite considerar uma parábola como o gráfico de um polinômio de grau 2 e, inversamente: o gráfico de um polinômio arbitrário de grau 2 é uma parábola (ver próxima seção).
  3. Se trocarmos e , obteremos equações da forma . Essas parábolas abrem para a esquerda (se ) ou para a direita (se ).

Posição geral

Parábola: posição geral

Se o foco for e a diretriz , então obtém-se a equação

(o lado esquerdo da equação usa a forma normal de Hesse de uma linha para calcular a distância ).

Para uma equação paramétrica de uma parábola em posição geral, consulte § Como imagem afim da parábola unitária.

A equação implícita de uma parábola é definida por um polinômio irredutível de grau dois:

tal que ou, equivalentemente, tal que é o quadrado de um polinômio linear .

Como um gráfico de uma função

Parábolas

A seção anterior mostra que qualquer parábola com a origem como vértice e o eixo y como eixo de simetria pode ser considerada como o gráfico de uma função

Pois as parábolas abrem para cima e abrem para baixo (ver imagem). Da seção acima obtém-se:

  • O foco é ,
  • a distância focal , o reto semi-latus é ,
  • o vértice é ,
  • a diretriz tem a equação ,
  • a tangente no ponto tem a equação .

Pois a parábola é a parábola unitária com equação . Seu foco é , o semi-latus reto , e a diretriz tem a equação .

A função geral do grau 2 é

Completando os rendimentos quadrados
que é a equação de uma parábola com
  • o eixo (paralelo ao eixo y ),
  • a distância focal , o reto semi-latus ,
  • o vértice ,
  • o foco ,
  • a diretriz ,
  • o ponto da parábola que cruza o eixo y tem coordenadas ,
  • a tangente em um ponto do eixo y tem a equação .

Semelhança com a parábola unitária

Quando a parábola é dimensionada uniformemente pelo fator 2, o resultado é a parábola

Dois objetos no plano euclidiano são semelhantes se um pode ser transformado no outro por uma semelhança , ou seja, uma composição arbitrária de movimentos rígidos ( translações e rotações ) e escalas uniformes .

Uma parábola com vértice pode ser transformada pela translação em uma com origem como vértice. Uma rotação adequada em torno da origem pode então transformar a parábola em uma que tenha o eixo y como eixo de simetria. Portanto, a parábola pode ser transformada por um movimento rígido em uma parábola com uma equação . Tal parábola pode então ser transformada pela escala uniforme na parábola unitária com a equação . Assim, qualquer parábola pode ser mapeada na parábola unitária por uma similaridade. [6]

Uma abordagem sintética , utilizando triângulos semelhantes, também pode ser utilizada para estabelecer este resultado. [7]

O resultado geral é que duas seções cônicas (necessariamente do mesmo tipo) são semelhantes se e somente se tiverem a mesma excentricidade. [6] Portanto, apenas os círculos (todos com excentricidade 0) compartilham esta propriedade com as parábolas (todos com excentricidade 1), enquanto elipses e hipérboles gerais não.

Existem outras transformações afins simples que mapeiam a parábola na parábola unitária, como . Mas este mapeamento não é uma semelhança, e apenas mostra que todas as parábolas são afimmente equivalentes (ver § Como imagem afim da parábola unitária).

Como uma seção cônica especial

Lápis de cônicas com vértice comum

O lápis de seções cônicas com eixo x como eixo de simetria, um vértice na origem (0, 0) e o mesmo reto semi-latus pode ser representado pela equação

com a excentricidade .
  • Pois a cônica é um círculo (círculo osculador do lápis),
  • para uma elipse ,
  • para a parábola com equação
  • para uma hipérbole (ver imagem).

Em coordenadas polares

Lápis de cônicas com foco comum

Se p > 0 , a parábola com equação (abrindo para a direita) tem a representação polar

onde .

Seu vértice é e seu foco é .

Se mudarmos a origem para o foco, ou seja, , obtemos a equação

Observação 1: A inversão desta forma polar mostra que uma parábola é o inverso de um cardióide .

Observação 2: A segunda forma polar é um caso especial de lápis de cônicas com foco (ver figura):

( é a excentricidade).

Seção cônica e forma quadrática

Diagrama, descrição e definições

Cone com seções transversais

O diagrama representa um cone com eixo AV . O ponto A é seu ápice . Uma seção transversal inclinada do cone, mostrada em rosa, é inclinada em relação ao eixo pelo mesmo ângulo θ que a lateral do cone. De acordo com a definição de uma parábola como uma seção cônica, o limite desta seção transversal rosa EPD é uma parábola.

Uma seção transversal perpendicular ao eixo do cone passa pelo vértice P da parábola. Esta seção transversal é circular, mas parece elíptica quando vista obliquamente, como mostra o diagrama. Seu centro é V e PK é um diâmetro. Chamaremos seu raio de  r .

Outra seção transversal circular perpendicular ao eixo do cone está mais distante do vértice A do que a que acabamos de descrever. Possui uma corda DE , que une os pontos onde a parábola intercepta o círculo. Outra corda BC é a bissetriz perpendicular de DE e é, conseqüentemente, um diâmetro do círculo. Essas duas cordas e o eixo de simetria PM da parábola se cruzam no ponto M.

Todos os pontos rotulados, exceto D e E, são coplanares . Eles estão no plano de simetria de toda a figura. Isto inclui o ponto F, que não é mencionado acima. Está definido e discutido a seguir, em § Posição do foco.

Chamemos o comprimento de DM e de EM de x e o comprimento de PM  de y .

Derivação da equação quadrática

Os comprimentos de BM e CM são:

  •  (o triângulo BPM é isósceles , porque ),
  •  (PMCK é um paralelogramo ).

Usando o teorema dos acordes que se cruzam nos acordes BC e DE , obtemos

Substituindo:

Reorganizando:

Para qualquer cone e parábola, r e θ são constantes, mas x e y são variáveis ​​que dependem da altura arbitrária na qual a seção transversal horizontal BECD é feita. Esta última equação mostra a relação entre essas variáveis. Podem ser interpretadas como coordenadas cartesianas dos pontos D e E, num sistema no plano rosa tendo P como origem. Como x é elevado ao quadrado na equação, o fato de D e E estarem em lados opostos do eixo y não é importante. Se a seção transversal horizontal se move para cima ou para baixo, aproximando-se ou afastando-se do vértice do cone, D e E se movem ao longo da parábola, sempre mantendo a relação entre x e y mostrada na equação. A curva parabólica é, portanto, o lugar geométrico dos pontos onde a equação é satisfeita, o que a torna um gráfico cartesiano da função quadrática na equação.

Comprimento focal

Foi provado na seção anterior que se uma parábola tem seu vértice na origem e se abre na direção y positiva , então sua equação é y =x 2/4f, onde f é sua distância focal. [b] Comparando isso com a última equação acima mostra que a distância focal da parábola no cone é r sen θ .

Posição do foco

No diagrama acima, o ponto V é o pé da perpendicular do vértice da parábola ao eixo do cone. O ponto F é o pé da perpendicular do ponto V ao plano da parábola. [c] Por simetria, F está no eixo de simetria da parábola. O ângulo VPF é complementar a θ , e o ângulo PVF é complementar ao ângulo VPF, portanto o ângulo PVF é θ . Como o comprimento de PV é r , a distância de F ao vértice da parábola é r sen θ . É mostrado acima que esta distância é igual à distância focal da parábola, que é a distância do vértice ao foco. O foco e o ponto F estão portanto igualmente distantes do vértice, ao longo da mesma reta, o que implica que são o mesmo ponto. Portanto, o ponto F, definido acima, é o foco da parábola .

Esta discussão começou com a definição de uma parábola como uma seção cônica, mas agora levou a uma descrição como gráfico de uma função quadrática. Isso mostra que essas duas descrições são equivalentes. Ambos definem curvas exatamente do mesmo formato.

Prova alternativa com esferas Dandelin

Parábola (vermelha): vista de projeção lateral e vista de projeção superior de um cone com uma esfera Dandelin

Uma prova alternativa pode ser feita usando esferas de Dandelin . Funciona sem cálculo e utiliza apenas considerações geométricas elementares (veja a derivação abaixo).

A intersecção de um cone vertical por um plano , cuja inclinação da vertical é a mesma que uma geratriz (também conhecida como linha geradora, uma linha que contém o vértice e um ponto na superfície do cone) do cone, é uma parábola (curva vermelha no diagrama).

Esta geratriz é a única geratriz do cone paralela ao plano . Caso contrário, se existirem duas geratrizes paralelas ao plano de interseção, a curva de interseção será uma hipérbole (ou hipérbole degenerada , se as duas geratrizes estiverem no plano de interseção). Se não houver geratriz paralela ao plano de interseção, a curva de interseção será uma elipse ou um círculo (ou um ponto ).

Seja avião o plano que contém o eixo vertical do cone e da linha . A inclinação do plano em relação à vertical é igual à linha, significa que, visto de lado (ou seja, o plano é perpendicular ao plano ) ,.

Para provar a propriedade diretriz de uma parábola (ver § Definição como lugar geométrico de pontos acima), usa-se uma esfera de Dandelin , que é uma esfera que toca o cone ao longo de um círculo e plano no ponto . O plano que contém o círculo intercepta o plano na linha . Existe uma simetria espelhada no sistema que consiste no plano , na esfera de Dandelin e no cone (o plano de simetria é ).

Como o plano que contém o círculo é perpendicular ao plano e , sua linha de interseção também deve ser perpendicular ao plano . Como a linha está no plano , .

Acontece que é o foco da parábola e é a diretriz da parábola.

  1. Let Ser um ponto arbitrário da curva de intersecção.
  2. A geratriz do cone que contém o círculo cruza no ponto .
  3. Os segmentos de linha e são tangenciais à esfera e, portanto, têm comprimento igual.
  4. A geratriz cruza o círculo no ponto . Os segmentos de linha e são tangenciais à esfera e, portanto, têm comprimento igual.
  5. Seja linha a linha paralela e passando pelo ponto . Como o ponto está no plano , a linha deve estar no plano . Desde então , sabemos disso também.
  6. Seja o ponto o pé da perpendicular do ponto à reta , ou seja, é um segmento de reta e, portanto , .
  7. Do teorema da interceptação e sabemos disso . Como sabemos isso , o que significa que a distância do foco é igual à distância da diretriz .

Prova da propriedade reflexiva

Propriedade reflexiva de uma parábola

A propriedade reflexiva afirma que se uma parábola pode refletir luz, então a luz que entra nela viajando paralelamente ao eixo de simetria é refletida em direção ao foco. Isto é derivado da óptica geométrica , com base na suposição de que a luz viaja em raios.

Considere a parábola y = x 2 . Como todas as parábolas são semelhantes, este caso simples representa todos os outros.

Construção e definições

O ponto E é um ponto arbitrário na parábola. O foco é F, o vértice é A (a origem) e a linha FA é o eixo de simetria. A reta EC é paralela ao eixo de simetria, intercepta o eixo x em D e intercepta a diretriz em C. O ponto B é o ponto médio do segmento de reta FC .

Deduções

O vértice A é equidistante do foco F e da diretriz. Como C está na diretriz, as coordenadas y de F e C são iguais em valor absoluto e opostas em sinal. B é o ponto médio de FC . Sua coordenada x é metade de D, ou seja, x /2 . A inclinação da linha BE é o quociente dos comprimentos de ED e BD , que éx 2/x /2= 2x . Mas 2 x também é a inclinação (primeira derivada) da parábola em E. Portanto, a reta BE é a tangente à parábola em E.

As distâncias EF e EC são iguais porque E está na parábola, F é o foco e C está na diretriz. Portanto, como B é o ponto médio de FC , os triângulos △FEB e △CEB são congruentes (três lados), o que implica que os ângulos marcados como α são congruentes. (O ângulo acima de E é verticalmente oposto ao ângulo ∠BEC.) Isso significa que um raio de luz que entra na parábola e chega em E viajando paralelo ao eixo de simetria será refletido pela linha BE , então ele viaja ao longo da linha EF , conforme mostrado em vermelho no diagrama (assumindo que as linhas possam de alguma forma refletir a luz). Como BE é a tangente à parábola em E, a mesma reflexão será feita por um arco infinitesimal da parábola em E. Portanto, a luz que entra na parábola e chega em E viajando paralelamente ao eixo de simetria da parábola é refletida pela parábola em direção ao seu foco.

Esta conclusão sobre a luz refletida aplica-se a todos os pontos da parábola, conforme mostrado no lado esquerdo do diagrama. Esta é a propriedade reflexiva.

Outras consequências

Existem outros teoremas que podem ser deduzidos simplesmente do argumento acima.

Propriedade de bissecção tangente

A prova acima e o diagrama que a acompanha mostram que a tangente BE divide o ângulo ∠FEC ao meio. Em outras palavras, a tangente à parábola em qualquer ponto divide ao meio o ângulo entre as retas que unem o ponto ao foco e perpendicularmente à diretriz.

Interseção de uma tangente e perpendicular ao foco

Perpendicular do foco à tangente

Como os triângulos △FBE e △CBE são congruentes, FB é perpendicular à tangente BE . Como B está no eixo x , que é a tangente à parábola em seu vértice, segue-se que o ponto de intersecção entre qualquer tangente a uma parábola e a perpendicular do foco a essa tangente está na reta que é tangencial ao parábola em seu vértice. Veja o diagrama animado [8] e a curva do pedal .

Reflexão da luz atingindo o lado convexo

Se a luz viaja ao longo da linha CE , ela se move paralelamente ao eixo de simetria e atinge o lado convexo da parábola em E. Fica claro no diagrama acima que esta luz será refletida diretamente para longe do foco, ao longo de uma extensão de o segmento FE .

Provas alternativas

Parábola e tangente

As provas acima das propriedades de bissecção reflexiva e tangente usam uma linha de cálculo. Aqui é apresentada uma prova geométrica.

Neste diagrama, F é o foco da parábola e T e U estão em sua diretriz. P é um ponto arbitrário na parábola. PT é perpendicular à diretriz e a linha MP divide o ângulo ∠FPT. Q é outro ponto da parábola, com QU perpendicular à diretriz. Sabemos que FP  =  PT e FQ  =  QU . Claramente, QT  >  QU , então QT  >  FQ . Todos os pontos da bissetriz MP são equidistantes de F e T, mas Q está mais próximo de F do que de T. Isso significa que Q está à esquerda de MP , ou seja, do mesmo lado dele que o foco. O mesmo seria verdade se Q estivesse localizado em qualquer outro lugar da parábola (exceto no ponto P), então toda a parábola, exceto o ponto P, está no lado do foco de MP . Portanto, MP é a tangente à parábola em P. Como ela divide o ângulo ∠FPT ao meio, isso prova a propriedade da bissecção da tangente.

A lógica do último parágrafo pode ser aplicada para modificar a prova da propriedade reflexiva acima. Prova efetivamente que a reta BE é a tangente à parábola em E se os ângulos α forem iguais. A propriedade reflexiva segue conforme mostrado anteriormente.

Construção de pinos e cordas

Parábola: construção de corda de alfinete

A definição de uma parábola por seu foco e diretriz pode ser usada para desenhá-la com ajuda de alfinetes e barbantes: [9]

  1. Escolha o foco e a diretriz da parábola.
  2. Pegue um triângulo de um esquadro e prepare um barbante com comprimento (veja o diagrama).
  3. Prenda uma ponta do barbante na ponta do triângulo e a outra no foco .
  4. Posicione o triângulo de forma que a segunda aresta do ângulo reto fique livre para deslizar ao longo da diretriz.
  5. Pegue uma caneta e segure o barbante bem preso ao triângulo.
  6. Ao mover o triângulo ao longo da diretriz, a caneta desenha um arco de parábola, por causa de (ver definição de parábola).

Propriedades relacionadas ao teorema de Pascal

Uma parábola pode ser considerada como a parte afim de uma cônica projetiva não degenerada com um ponto na reta do infinito , que é a tangente em . As degenerações de 5, 4 e 3 pontos do teorema de Pascal são propriedades de uma cônica que lida com pelo menos uma tangente. Se considerarmos esta tangente como a reta no infinito e seu ponto de contato como o ponto no infinito do eixo y , obteremos três afirmações para uma parábola.

As seguintes propriedades de uma parábola tratam apenas de termos conectar , cruzar , paralelo , que são invariantes de semelhanças . Portanto, é suficiente provar qualquer propriedade para a parábola unitária com equação .

Propriedade de 4 pontos

Propriedade de 4 pontos de uma parábola

Qualquer parábola pode ser descrita em um sistema de coordenadas adequado por uma equação .

Sejam quatro pontos da parábola , e a intersecção da reta secante com a reta e seja a interseção da reta secante com a reta (ver figura). Então a reta secante é paralela à reta . (As linhas e são paralelas ao eixo da parábola.)

Prova: cálculo direto para a parábola unitária .

Aplicação: A propriedade de 4 pontos de uma parábola pode ser usada para a construção do ponto , enquanto e são dados.

Observação: a propriedade de 4 pontos de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 5 pontos do teorema de Pascal.

Propriedade de 3 pontos – 1 tangente

Propriedade de 3 pontos – 1 tangente

Sejam três pontos da parábola com equação e a intersecção da reta secante com a reta e a interseção da reta secante com a reta (ver figura). Então a tangente no ponto é paralela à reta . (As linhas e são paralelas ao eixo da parábola.)

Prova: pode ser realizada para a parábola unitária . Um breve cálculo mostra: a linha tem inclinação que é a inclinação da tangente no ponto .

Aplicação: A propriedade 3 pontos-1-tangente de uma parábola pode ser usada para a construção da tangente no ponto , enquanto são fornecidas.

Observação: A propriedade de 3 pontos-1-tangente de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 4 pontos do teorema de Pascal.

Propriedade de 2 pontos – 2 tangentes

Propriedade de 2 pontos – 2 tangentes

Sejam dois pontos da parábola com equação , e a intersecção da tangente no ponto com a reta , e a intersecção da tangente no ponto com a reta (ver figura). Então a secante é paralela à reta . (As linhas e são paralelas ao eixo da parábola.)

Prova: cálculo direto para a parábola unitária .

Aplicação: A propriedade 2 pontos – 2 tangentes pode ser usada para a construção da tangente de uma parábola no ponto , se e a tangente em forem dados.

Observação 1: A propriedade de 2 pontos – 2 tangentes de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 3 pontos do teorema de Pascal.

Observação 2: A propriedade 2 pontos – 2 tangentes não deve ser confundida com a seguinte propriedade de uma parábola, que também trata de 2 pontos e 2 tangentes, mas não está relacionada ao teorema de Pascal.

Direção do eixo

Construção da direção do eixo

As afirmações acima pressupõem o conhecimento da direção do eixo da parábola, para a construção dos pontos . A propriedade a seguir determina os pontos por dois pontos dados e suas tangentes apenas, e o resultado é que a reta é paralela ao eixo da parábola.

Deixar

  1. sejam dois pontos da parábola e sejam suas tangentes;
  2. ser a intersecção das tangentes ,
  3. ser a intersecção da linha paralela com a linha paralela ( ver imagem).

Então a reta é paralela ao eixo da parábola e tem a equação

Prova: pode ser feita (como as propriedades acima) para a parábola unitária .

Aplicação: Esta propriedade pode ser utilizada para determinar a direção do eixo de uma parábola, se forem dados dois pontos e suas tangentes. Uma forma alternativa é determinar os pontos médios de duas cordas paralelas, consulte a seção sobre cordas paralelas.

Observação: Esta propriedade é uma versão afim do teorema de dois triângulos em perspectiva de uma cônica não degenerada. [10]

Geração Steiner

Parábola

Geração de Steiner de uma parábola

Steiner estabeleceu o seguinte procedimento para a construção de uma cônica não degenerada (ver cônica de Steiner ):

Dados dois lápis de retas em dois pontos (todas as retas contendo e respectivamente) e um mapeamento projetivo, mas não em perspectiva, de sobre , os pontos de intersecção das retas correspondentes formam uma seção cônica projetiva não degenerada.

Este procedimento pode ser usado para uma construção simples de pontos na parábola :

  • Considere o lápis no vértice e o conjunto de retas paralelas ao eixo y .
    1. Seja um ponto na parábola e , .
    2. O segmento de reta é dividido em n segmentos igualmente espaçados, e essa divisão é projetada (na direção ) no segmento de reta (ver figura). Esta projeção dá origem a um mapeamento projetivo de lápis para lápis .
    3. A intersecção da linha e do i -ésimo paralelo ao eixo y é um ponto na parábola.

Prova: cálculo direto.

Observação: A geração de Steiner também está disponível para elipses e hipérboles .

Parábola dupla

Parábola dupla e curva de Bézier de grau 2 (direita: ponto da curva e pontos de divisão para parâmetro )

Uma parábola dupla consiste no conjunto de tangentes de uma parábola comum.

A geração de Steiner de uma cônica pode ser aplicada à geração de uma cônica dupla alterando os significados de pontos e retas:

Sejam dados dois conjuntos de pontos em duas linhas , e um mapeamento projetivo, mas não em perspectiva, entre esses conjuntos de pontos, então as linhas de conexão dos pontos correspondentes formam uma cônica dupla não degenerada.

Para gerar elementos de uma parábola dupla, começa-se com

  1. três pontos não em uma linha,
  2. divide as seções de linha e cada uma em segmentos de linha igualmente espaçados e adiciona números conforme mostrado na imagem.
  3. Então as retas são tangentes de uma parábola, portanto elementos de uma parábola dupla.
  4. A parábola é uma curva de Bézier de grau 2 com os pontos de controle .

A prova é uma consequência do algoritmo de Casteljau para uma curva de Bézier de grau 2.

Ângulos inscritos e a forma de 3 pontos

Ângulos inscritos de uma parábola

Uma parábola com equação é determinada exclusivamente por três pontos com diferentes coordenadas x . O procedimento usual para determinar os coeficientes é inserir as coordenadas do ponto na equação. O resultado é um sistema linear de três equações, que pode ser resolvido por eliminação gaussiana ou pela regra de Cramer , por exemplo. Uma forma alternativa usa o teorema do ângulo inscrito para parábolas.

A seguir, o ângulo de duas retas será medido pela diferença das inclinações da reta em relação à diretriz da parábola. Ou seja, para uma parábola de equação, o ângulo entre duas retas de equações é medido por

Análogo ao teorema do ângulo inscrito para círculos, tem-se o teorema do ângulo inscrito para parábolas : [11] [12]

Quatro pontos com coordenadas x diferentes (ver imagem) estão em uma parábola com equação se e somente se os ângulos em e tiverem a mesma medida, conforme definido acima. Aquilo é,

(Prova: cálculo direto: se os pontos estiverem em uma parábola, pode-se traduzir as coordenadas para obter a equação , então será feito se os pontos estiverem na parábola.)

Uma consequência é que a equação (in ) da parábola determinada por 3 pontos com coordenadas x diferentes é (se duas coordenadas x são iguais, não existe parábola com diretriz paralela ao eixo x , que passa pelos pontos)

Multiplicando pelos denominadores que dependem de um obtém-se a forma mais padronizada

Relação pólo-polar

Parábola: relação pólo-polar

Num sistema de coordenadas adequado, qualquer parábola pode ser descrita por uma equação . A equação da tangente em um ponto é

Obtém-se a função
no conjunto de pontos da parábola no conjunto de tangentes.

Obviamente, esta função pode ser estendida ao conjunto de todos os pontos de uma bijeção entre os pontos de e as retas com equações . O mapeamento inverso é

Essa relação é chamada de relação pólo-polar da parábola , onde o ponto é o pólo e a linha correspondente é polar .

Pelo cálculo, verificam-se as seguintes propriedades da relação pólo-polar da parábola:

  • Para um ponto (pólo) na parábola, o polar é a tangente neste ponto (ver figura: ).
  • Para um pólo fora da parábola, os pontos de intersecção do seu polar com a parábola são os pontos de contacto das duas tangentes que passam (ver figura: ).
  • Para um ponto dentro da parábola, o polar não tem ponto em comum com a parábola (ver imagem: e ).
  • O ponto de intersecção de duas linhas polares (por exemplo, ) é o pólo da linha de ligação dos seus pólos (no exemplo: ).
  • O foco e a diretriz da parábola são um par pólo-polar.

Observação: As relações pólo-polar também existem para elipses e hipérboles.

Propriedades tangentes

Duas propriedades tangentes relacionadas ao latus rectum

Deixe a linha de simetria cruzar a parábola no ponto Q e denotar o foco como ponto F e sua distância do ponto Q como f . Deixe a perpendicular à linha de simetria, através do foco, cruzar a parábola em um ponto T. Então (1) a distância de F a T é 2 f , e (2) uma tangente à parábola no ponto T intercepta a linha de simetria em um ângulo de 45°. [13] : 26 

Tangentes perpendiculares se cruzam na diretriz

Propriedade ortóptica

Se duas tangentes a uma parábola são perpendiculares entre si, então elas se cruzam na diretriz. Por outro lado, duas tangentes que se cruzam na diretriz são perpendiculares. Em outras palavras, em qualquer ponto da diretriz toda a parábola subtende um ângulo reto.

Teorema de Lambert

Deixe três tangentes a uma parábola formar um triângulo. Então o teorema de Lambert afirma que o foco da parábola está na circunferência circunscrita ao triângulo. [14] [8] : Corolário 20 

A conversão de Tsukerman ao teorema de Lambert afirma que, dadas três retas que limitam um triângulo, se duas das retas são tangentes a uma parábola cujo foco está na circunferência circunscrita ao triângulo, então a terceira reta também é tangente à parábola. [15]

Fatos relacionados a acordes e arcos

Distância focal calculada a partir dos parâmetros de um acorde

Suponha que uma corda cruze uma parábola perpendicular ao seu eixo de simetria. Seja c o comprimento da corda entre os pontos onde ela cruza a parábola e a distância do vértice da parábola à corda, medida ao longo do eixo de simetria, seja d . A distância focal, f , da parábola é dada por

Prova

Suponha que um sistema de coordenadas cartesianas seja usado tal que o vértice da parábola esteja na origem e o eixo de simetria seja o eixo y . A parábola se abre para cima. É mostrado em outra parte deste artigo que a equação da parábola é 4 fy = x 2 , onde f é a distância focal. Na extremidade x positiva do acorde, x =c/2e y = d . Como este ponto está na parábola, estas coordenadas devem satisfazer a equação acima. Portanto, por substituição, . A partir disso, .

Área delimitada entre uma parábola e uma corda

Parábola (magenta) e linha (azul claro inferior) incluindo um acorde (azul). A área delimitada entre eles está em rosa. A própria corda termina nos pontos onde a linha cruza a parábola.

A área delimitada entre uma parábola e uma corda (ver diagrama) é dois terços da área de um paralelogramo que a rodeia. Um lado do paralelogramo é a corda e o lado oposto é uma tangente à parábola. [16] [17] A inclinação dos outros lados paralelos é irrelevante para a área. Freqüentemente, como aqui, eles são desenhados paralelamente ao eixo de simetria da parábola, mas isso é arbitrário.

Um teorema equivalente a este, mas diferente em detalhes, foi derivado por Arquimedes no século III aC. Ele usou as áreas dos triângulos, em vez do paralelogramo. [d] Veja A Quadratura da Parábola .

Se a corda tiver comprimento b e for perpendicular ao eixo de simetria da parábola, e se a distância perpendicular do vértice da parábola à corda for h , o paralelogramo é um retângulo, com lados de b e h . A área A do segmento parabólico delimitado pela parábola e pela corda é, portanto

Esta fórmula pode ser comparada com a área de um triângulo:1/2bh .

Em geral, a área fechada pode ser calculada da seguinte forma. Primeiro, localize o ponto na parábola onde sua inclinação é igual à da corda. Isso pode ser feito com cálculo ou usando uma linha paralela ao eixo de simetria da parábola e que passa pelo ponto médio da corda. O ponto necessário é onde esta linha cruza a parábola. [e] Em seguida, usando a fórmula dada em Distância de um ponto a uma reta , calcule a distância perpendicular deste ponto à corda. Multiplique isso pelo comprimento da corda para obter a área do paralelogramo e depois por 2/3 para obter a área fechada necessária.

Corolário sobre pontos médios e finais de acordes

Pontos médios de acordes paralelos

Um corolário da discussão acima é que se uma parábola tem várias cordas paralelas, todos os seus pontos médios estão numa linha paralela ao eixo de simetria. Se tangentes à parábola forem traçadas através dos pontos finais de qualquer uma dessas cordas, as duas tangentes se cruzam nesta mesma linha paralela ao eixo de simetria (ver direção do eixo de uma parábola). [f]

Comprimento do arco

Se um ponto X está localizado em uma parábola com distância focal f , e se p é a distância perpendicular de X ao eixo de simetria da parábola, então os comprimentos dos arcos da parábola que terminam em X podem ser calculados a partir de f e p da seguinte maneira, assumindo que todos sejam expressos nas mesmas unidades. [g]

Esta quantidade s é o comprimento do arco entre X e o vértice da parábola.

O comprimento do arco entre X e o ponto simetricamente oposto do outro lado da parábola é 2 s .

A distância perpendicular p pode receber um sinal positivo ou negativo para indicar em que lado do eixo de simetria X está situado. Inverter o sinal de p inverte os sinais de h e s sem alterar seus valores absolutos. Se estas quantidades estiverem sinalizadas, o comprimento do arco entre quaisquer dois pontos da parábola é sempre mostrado pela diferença entre os seus valores de s . O cálculo pode ser simplificado usando as propriedades dos logaritmos:

Isto pode ser útil, por exemplo, no cálculo do tamanho do material necessário para fazer um refletor parabólico ou uma calha parabólica .

Este cálculo pode ser usado para uma parábola em qualquer orientação. Não se restringe à situação em que o eixo de simetria é paralelo ao eixo y .

Uma construção geométrica para encontrar uma área setorial

Proposta de área setorial 30

S é o foco e V é o vértice principal da parábola VG. Desenhe VX perpendicular a SV.

Pegue qualquer ponto B em VG e desenhe uma perpendicular BQ de B a VX. Desenhe a perpendicular ST cruzando BQ, estendida se necessário, em T. Em B desenhe a perpendicular BJ, cruzando VX em J.

Para a parábola, o segmento VBV, a área delimitada pela corda VB e pelo arco VB, é igual a ∆VBQ / 3, também .

A área do setor parabólico .

Como os triângulos TSB e QBJ são semelhantes,

Portanto, a área do setor parabólico e pode ser encontrada a partir do comprimento de VJ, conforme encontrado acima.

Um círculo que passa por S, V e B também passa por J.

Por outro lado, se um ponto B na parábola VG for encontrado de modo que a área do setor SVB seja igual a um valor especificado, determine o ponto J em VX e construa um círculo através de S, V e J. Como SJ é o diâmetro, o centro do círculo está em seu ponto médio e está na bissetriz perpendicular de SV, a uma distância de meio VJ de SV. O ponto B necessário é onde este círculo intercepta a parábola.

Se um corpo traça o caminho da parábola devido a uma força do inverso do quadrado dirigida em direção a S, a área SVB aumenta a uma taxa constante à medida que o ponto B se move para frente. Segue-se que J se move com velocidade constante ao longo de VX enquanto B se move ao longo da parábola.

Se a velocidade do corpo no vértice onde ele se move perpendicularmente a SV for v , então a velocidade de J é igual a 3 v /4 .

A construção pode ser estendida simplesmente para incluir o caso em que nenhum dos raios coincide com o eixo SV como segue. Seja A um ponto fixo em VG entre V e B, e o ponto H seja a intersecção em VX com a perpendicular a SA em A. Do exposto acima, a área do setor parabólico .

Por outro lado, se for necessário encontrar o ponto B para uma área específica SAB, encontre o ponto J de HJ e o ponto B como antes. Pelo Livro 1, Proposição 16, Corolário 6 dos Principia de Newton , a velocidade de um corpo movendo-se ao longo de uma parábola com uma força direcionada ao foco é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio. Se a velocidade em A é v , então no vértice V ela é , e o ponto J se move a uma velocidade constante de .

A construção acima foi idealizada por Isaac Newton e pode ser encontrada no Livro 1 do Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposição 30.

Distância focal e raio de curvatura no vértice

A distância focal de uma parábola é metade do seu raio de curvatura no seu vértice.

Prova

Considere um ponto ( x , y ) em um círculo de raio R e com centro no ponto (0, R ) . O círculo passa pela origem. Se o ponto estiver próximo da origem, o teorema de Pitágoras mostra que

Mas se ( x , y ) estiver extremamente próximo da origem, visto que o eixo x é uma tangente ao círculo, y é muito pequeno comparado com x , então y 2 é insignificante comparado com os outros termos. Portanto, extremamente próximo da origem

( 1 )

Compare isso com a parábola

( 2 )

que tem seu vértice na origem, abre para cima e tem distância focal f (veja as seções anteriores deste artigo).

As equações (1) e (2) são equivalentes se R = 2 f . Portanto, esta é a condição para que o círculo e a parábola coincidam na origem e extremamente próximos dela. O raio de curvatura na origem, que é o vértice da parábola, é o dobro da distância focal.

Corolário

Um espelho côncavo que é um pequeno segmento de uma esfera comporta-se aproximadamente como um espelho parabólico, focalizando luz paralela a um ponto a meio caminho entre o centro e a superfície da esfera.

Como a imagem afim da parábola unitária

Parábola como imagem afim da parábola unitária

Outra definição de parábola usa transformações afins :

Qualquer parábola é a imagem afim da parábola unitária com equação .

Representação paramétrica

Uma transformação afim do plano euclidiano tem a forma , onde é uma matriz regular ( o determinante não é 0) e é um vetor arbitrário. Se forem os vetores coluna da matriz , a parábola unitária é mapeada na parábola

onde
  • é um ponto da parábola,
  • é um vetor tangente no ponto ,
  • é paralelo ao eixo da parábola (eixo de simetria através do vértice).

Vértice

Em geral, os dois vetores não são perpendiculares e não são o vértice, a menos que a transformação afim seja uma semelhança .

O vetor tangente no ponto é . No vértice, o vetor tangente é ortogonal a . Portanto, o parâmetro do vértice é a solução da equação

qual é
e o vértice é

Distância focal e foco

A distância focal pode ser determinada por uma transformação de parâmetro adequada (que não altera a forma geométrica da parábola). A distância focal é

Portanto, o foco da parábola é

Representação implícita

Resolvendo a representação paramétrica pela regra de Cramer e usando , obtém-se a representação implícita

Parábola no espaço

A definição de uma parábola nesta seção fornece uma representação paramétrica de uma parábola arbitrária, mesmo no espaço, se permitirmos que sejam vetores no espaço.

Como curva quadrática de Bézier

Curva quadrática de Bézier e seus pontos de controle

Uma curva quadrática de Bézier é uma curva definida por três pontos e , chamada de pontos de controle :

Esta curva é um arco de parábola (ver § Como imagem afim da parábola unitária).

Integração numérica

Regra de Simpson: o gráfico de uma função é substituído por um arco de parábola

Num método de integração numérica substitui-se o gráfico de uma função por arcos de parábolas e integra-se os arcos de parábola. Uma parábola é determinada por três pontos. A fórmula para um arco é

O método é chamado de regra de Simpson .

Como seção plana da quádrica

As seguintes quádricas contêm parábolas como seções planas:

Como trissectriz

Trissecção de ângulo com parábola

Uma parábola pode ser usada como trissetriz , ou seja, permite a trissecção exata de um ângulo arbitrário com régua e compasso. Isso não está em contradição com a impossibilidade de uma trissecção de ângulo apenas com construções de compasso e régua , já que o uso de parábolas não é permitido nas regras clássicas para construções de compasso e régua.

Para fazer a trissecção , coloque sua perna no eixo x de forma que o vértice esteja na origem do sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas também contém a parábola . O círculo unitário com raio 1 em torno da origem cruza a outra perna do ângulo e, a partir deste ponto de interseção, desenhe a perpendicular no eixo y . O paralelo ao eixo y através do ponto médio dessa perpendicular e a tangente no círculo unitário se cruzam em . O círculo ao redor com raio intercepta a parábola em . A perpendicular ao eixo x cruza o círculo unitário em e é exatamente um terço de .

A exatidão desta construção pode ser vista mostrando que a coordenada x de é . Resolver o sistema de equações dado pelo círculo ao redor e pela parábola leva à equação cúbica . A fórmula do ângulo triplo mostra então que é de fato uma solução dessa equação cúbica.

Esta trisecção remonta a René Descartes , que a descreveu no seu livro La Géométrie (1637). [18]

Generalizações

Se substituirmos os números reais por um corpo arbitrário , muitas propriedades geométricas da parábola ainda serão válidas:

  1. Uma reta intercepta no máximo dois pontos.
  2. Em qualquer ponto a reta é a tangente.

Surgem fenômenos essencialmente novos, se o campo tiver a característica 2 (ou seja, ): as tangentes são todas paralelas.

Na geometria algébrica , a parábola é generalizada pelas curvas normais racionais , que possuem coordenadas ( x , x 2 , x 3 , ..., x n ) ; a parábola padrão é o caso n = 2 , e o caso n = 3 é conhecido como cúbica torcida . Uma generalização adicional é dada pela variedade Veronese , quando há mais de uma variável de entrada.

Na teoria das formas quadráticas , a parábola é o gráfico da forma quadrática x 2 (ou outras escalas), enquanto o parabolóide elíptico é o gráfico da forma quadrática definida positiva x 2 + y 2 (ou escalas), e o parabolóide hiperbólico é o gráfico da forma quadrática indefinida x 2y 2 . Generalizações para mais variáveis ​​produzem ainda mais objetos desse tipo.

As curvas y = x p para outros valores de p são tradicionalmente chamadas de parábolas superiores e foram originalmente tratadas implicitamente, na forma x p = ky q para p e q , ambos inteiros positivos, forma em que são vistos como algébricos curvas. Estes correspondem à fórmula explícita y = x p / q para uma potência fracionária positiva de x . Potências fracionárias negativas correspondem à equação implícita x p y q = k e são tradicionalmente chamadas de hipérboles superiores . Analiticamente, x também pode ser elevado a uma potência irracional (para valores positivos de x ); as propriedades analíticas são análogas a quando x é elevado a potências racionais, mas a curva resultante não é mais algébrica e não pode ser analisada pela geometria algébrica.

No mundo físico

Na natureza, aproximações de parábolas e parabolóides são encontradas em diversas situações. O exemplo mais conhecido de parábola na história da física é a trajetória de uma partícula ou corpo em movimento sob a influência de um campo gravitacional uniforme sem resistência do ar (por exemplo, uma bola voando pelo ar, desprezando o atrito do ar ).

A trajetória parabólica dos projéteis foi descoberta experimentalmente no início do século XVII por Galileu , que realizou experimentos com bolas rolando em planos inclinados. Mais tarde, ele também provou isso matematicamente em seu livro Diálogo sobre Duas Novas Ciências . [19] [h] Para objetos estendidos no espaço, como um mergulhador saltando de um trampolim, o próprio objeto segue um movimento complexo enquanto gira, mas o centro de massa do objeto, mesmo assim, se move ao longo de uma parábola. Como em todos os casos do mundo físico, a trajetória é sempre uma aproximação de uma parábola. A presença da resistência do ar, por exemplo, sempre distorce a forma, embora em baixas velocidades a forma seja uma boa aproximação de uma parábola. Em velocidades mais altas, como na balística, a forma é altamente distorcida e não se assemelha a uma parábola.

Outra situação hipotética em que podem surgir parábolas, de acordo com as teorias da física descritas nos séculos XVII e XVIII por Sir Isaac Newton , é em órbitas de dois corpos , por exemplo, o caminho de um pequeno planetóide ou outro objeto sob a influência de a gravitação do Sol . As órbitas parabólicas não ocorrem na natureza; órbitas simples mais comumente se assemelham a hipérboles ou elipses . A órbita parabólica é o caso intermediário degenerado entre esses dois tipos de órbita ideal. Um objeto seguindo uma órbita parabólica viajaria na velocidade de escape exata do objeto que orbita; objetos em órbitas elípticas ou hiperbólicas viajam a uma velocidade menor ou maior que a velocidade de escape, respectivamente. Os cometas de longo período viajam perto da velocidade de escape do Sol enquanto se movem através do sistema solar interno, de modo que suas trajetórias são quase parabólicas.

Aproximações de parábolas também são encontradas no formato dos cabos principais de uma ponte suspensa simples . A curva das correntes de uma ponte pênsil é sempre uma curva intermediária entre uma parábola e uma catenária , mas na prática a curva é geralmente mais próxima de uma parábola devido ao peso da carga (ou seja, a estrada) ser muito maior que os cabos eles próprios, e nos cálculos é usada a fórmula polinomial de segundo grau de uma parábola. [20] [21] Sob a influência de uma carga uniforme (como um tabuleiro suspenso horizontal), o cabo em forma de catenária é deformado em direção a uma parábola (ver Catenária § Curva da ponte suspensa ). Ao contrário de uma corrente inelástica, uma mola suspensa livremente de comprimento zero sem tensão assume a forma de uma parábola. Os cabos de pontes suspensas estão, idealmente, puramente tensionados, sem a necessidade de suportar outras forças, por exemplo, flexão. Da mesma forma, as estruturas dos arcos parabólicos estão puramente em compressão.

Os parabolóides também surgem em diversas situações físicas. O exemplo mais conhecido é o refletor parabólico , que é um espelho ou dispositivo reflexivo semelhante que concentra luz ou outras formas de radiação eletromagnética em um ponto focal comum ou, inversamente, colima a luz de uma fonte pontual no foco em um feixe paralelo. O princípio do refletor parabólico pode ter sido descoberto no século III a.C. pelo geômetra Arquimedes , que, segundo uma lenda duvidosa, [22] construiu espelhos parabólicos para defender Siracusa contra a frota romana , concentrando os raios solares para atear fogo. para o convés dos navios romanos. O princípio foi aplicado aos telescópios no século XVII. Hoje, refletores parabolóides podem ser comumente observados em grande parte do mundo em antenas de recepção e transmissão de microondas e antenas parabólicas.

Nos microfones parabólicos , um refletor parabólico é usado para focar o som em um microfone, proporcionando-lhe um desempenho altamente direcional.

Parabolóides também são observados na superfície de um líquido confinado a um recipiente e girado em torno do eixo central. Neste caso, a força centrífuga faz com que o líquido suba pelas paredes do recipiente, formando uma superfície parabólica. Este é o princípio por trás do telescópio de espelho líquido .

Aeronaves usadas para criar um estado de ausência de peso para fins de experimentação, como o " Vomit Comet " da NASA , seguem uma trajetória verticalmente parabólica por breves períodos, a fim de traçar o curso de um objeto em queda livre , o que produz o mesmo efeito que zero. gravidade para a maioria dos propósitos.

Galeria

Veja também

Notas de rodapé

  1. ^ O plano tangencial apenas toca a superfície cônica ao longo de uma linha que passa pelo vértice do cone.
  2. ^ Conforme afirmado acima no lead, a distância focal de uma parábola é a distância entre seu vértice e o foco.
  3. ^ O ponto V é o centro da seção transversal circular menor do cone. O ponto F está no plano (rosa) da parábola e a reta VF é perpendicular ao plano da parábola.
  4. ^ Arquimedes provou que a área do segmento parabólico fechado era 4/3 da área de um triângulo que ele inscreveu dentro do segmento fechado. Pode-se facilmente mostrar que o paralelogramo tem o dobro da área do triângulo, então a prova de Arquimedes também prova o teorema com o paralelogramo.
  5. ^ Este método pode ser facilmente comprovado como correto por cálculo. Também foi conhecido e usado por Arquimedes, embora ele tenha vivido quase 2.000 anos antes da invenção do cálculo.
  6. ^ Uma prova desta frase pode ser inferida da prova da propriedade ortóptica acima. É mostrado aí que as tangentes à parábola y = x 2 em ( p , p 2 ) e ( q , q 2 ) se cruzam em um ponto cuja coordenada x é a média de p e q . Assim, se houver uma corda entre estes dois pontos, o ponto de intersecção das tangentes terá a mesma coordenada x que o ponto médio da corda.
  7. ^ Neste cálculo, a raiz quadrada q deve ser positiva. A quantidade ln a é o logaritmo natural de  a .
  8. ^ No entanto, esta forma parabólica, como Newton reconheceu, é apenas uma aproximação da forma elíptica real da trajetória e é obtida assumindo que a força gravitacional é constante (não apontando para o centro da Terra) na área de interesse. Freqüentemente, essa diferença é insignificante e leva a uma fórmula mais simples para rastrear o movimento.

Referências

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  3. ^ Stargazer , pág. 115.
  4. ^ Stargazer , páginas 123, 132.
  5. ^ Fitzpatrick, Richard (14 de julho de 2007). "Espelhos Esféricos". Eletromagnetismo e Óptica, palestras . Universidade do Texas em Austin . Óptica Paraxial . Recuperado em 5 de outubro de 2011 .
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Leitura adicional

  • Lockwood, EH (1961). Um livro de curvas . Cambridge University Press.

links externos

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