Projeção ortográfica

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A projeção ortográfica (às vezes referida como projeção ortogonal , costumava ser chamada de analema [a] ) é um meio de representar objetos tridimensionais em duas dimensões . É uma forma de projeção paralela , na qual todas as linhas de projeção são ortogonais ao plano de projeção , [2] resultando em cada plano da cena aparecendo em transformação afim na superfície de visualização. O anverso de uma projeção ortográfica é uma projeção oblíqua , que é uma projeção paralela na qual as linhas de projeção não são ortogonal ao plano de projeção.

O termo ortográfico às vezes é reservado especificamente para representações de objetos em que os eixos ou planos principais do objeto também são paralelos ao plano de projeção. [2] No entanto, são mais conhecidas como vistas primárias na projeção multiview . Além disso, quando os principais planos ou eixos de um objeto em uma projeção ortográfica não são paralelos ao plano de projeção, as representações às vezes são chamadas de axonométricas . No entanto, são mais conhecidas como visualizações auxiliares . ( A projeção axonométrica pode ser descrita com mais precisão como sendo sinônimo de projeção paralela.) Os subtipos de vistas primárias incluem plantas , elevações e seções . Os subtipos de vistas auxiliares podem incluir projeções isométricas , dimétricas e trimétricas .

Uma lente que fornece uma projeção ortográfica é conhecida como lente telecêntrica do espaço do objeto .

Geometria

Comparação de vários tipos de projeção gráfica
Várias projeções e como são produzidas
As três vistas axonométricas. As porcentagens mostram a quantidade de encurtamento.

Uma projeção ortográfica simples no plano z = 0 pode ser definida pela seguinte matriz:

Para cada ponto v = ( v x , v y , v z ), o ponto transformado Pv seria

Freqüentemente, é mais útil usar coordenadas homogêneas . A transformação acima pode ser representada por coordenadas homogêneas como

Para cada vetor homogêneo v = ( v x , v y , v z , 1), o vetor transformado Pv seria

Na computação gráfica , uma das matrizes mais comuns usadas para projeção ortográfica pode ser definida por uma 6 tupla , ( esquerda , direita , inferior , superior , próximo , distante ), que define os planos de recorte . Esses planos formam uma caixa com o canto mínimo em ( esquerda , inferior , - próximo ) e o canto máximo ( direita , superior , - distante ).

A caixa é transladada de modo que seu centro esteja na origem, então ela é dimensionada para o cubo unitário que é definido por ter um canto mínimo em (-1, -1, -1) e um canto máximo em (1,1, 1).

A transformação ortográfica pode ser dada pela seguinte matriz:

que pode ser dado como uma escala S seguida por uma tradução T da forma

A inversão da matriz de projeção P −1 , que pode ser usada como a matriz de não projeção, é definida:

Tipos

Classificação da projeção ortográfica e algumas projeções 3D

Três subtipos de projeção ortográfica são projeção isométrica , projeção dimétrica e projeção trimétrica , dependendo do ângulo exato em que a vista se desvia do ortogonal . [2] [3] Normalmente no desenho axonométrico, como em outros tipos de ilustrações, um eixo do espaço é mostrado como vertical.

Na projeção isométrica , a forma mais comumente usada de projeção axonométrica em desenhos de engenharia, [4] a direção de visão é tal que os três eixos do espaço aparecem igualmente encurtados , e há um ângulo comum de 120 ° entre eles. Como a distorção causada pelo encurtamento é uniforme, a proporcionalidade entre os comprimentos é preservada e os eixos compartilham uma escala comum; isso facilita a capacidade de fazer medições diretamente do desenho. Outra vantagem é que ângulos de 120 ° são facilmente construídos usando apenas uma bússola e régua .

Na projeção dimétrica , a direção de visão é tal que dois dos três eixos do espaço aparecem igualmente encurtados, dos quais a escala e os ângulos de apresentação correspondentes são determinados de acordo com o ângulo de visão; a escala da terceira direção é determinada separadamente. As aproximações dimensionais são comuns em desenhos dimétricos. [ esclarecimento necessário ]

Na projeção trimétrica , a direção de visão é tal que todos os três eixos do espaço aparecem desigualmente encurtados. A escala ao longo de cada um dos três eixos e os ângulos entre eles são determinados separadamente conforme ditado pelo ângulo de visão. Aproximações dimensionais em desenhos trimétricos são comuns, [ esclarecimento necessário ] e a perspectiva trimétrica raramente é usada em desenhos técnicos. [3]

Projecção multivista

Símbolos usados ​​para definir se uma projeção multivista é de terceiro ângulo (direita) ou primeiro ângulo (esquerda).

Na projeção multivista , são produzidas até seis imagens de um objeto, chamadas de vistas primárias , com cada plano de projeção paralelo a um dos eixos coordenados do objeto. As vistas são posicionadas em relação umas às outras de acordo com um de dois esquemas: projeção de primeiro ângulo ou projeção de terceiro ângulo . Em cada um, as aparências das vistas podem ser pensadas como sendo projetadas em planos que formam uma caixa de seis lados ao redor do objeto. Embora seis lados diferentes possam ser desenhados, geralmente três vistas de um desenho fornecem informações suficientes para fazer um objeto tridimensional. Essas vistas são conhecidas como vista frontal , vista superior e vista final. Outros nomes para essas vistas incluem planta , elevação e seção . Quando o plano ou eixo do objeto representado não é paralelo ao plano de projeção e onde vários lados de um objeto são visíveis na mesma imagem, é chamado de vista auxiliar . Assim , a projeção isométrica , a projeção dimétrica e a projeção trimétrica seriam consideradas vistas auxiliares na projeção multivista. Uma característica típica da projeção multiview é que um eixo do espaço geralmente é exibido como vertical.

Cartografia

Projeção ortográfica (aspecto equatorial) do hemisfério oriental 30 ° W – 150 ° E

Um mapa de projecção ortográfica é um mapa de projecção de cartografia . Como a projeção estereográfica e a projeção gnomônica , a projeção ortográfica é uma projeção em perspectiva (ou azimutal) , na qual a esfera é projetada em um plano tangente ou plano secante . O ponto de perspectiva para a projeção ortográfica está a uma distância infinita . Ele representa um hemisfério do globo conforme aparece do espaço sideral , onde o horizonte é um grande círculo. As formas e áreas estão distorcidas , principalmente perto das bordas. [5] [6]

A projeção ortográfica é conhecida desde a antiguidade, sendo seus usos cartográficos bem documentados. Hiparco usou a projeção no século 2 aC para determinar os locais de surgimento e definição das estrelas. Por volta de 14 aC, o engenheiro romano Marcus Vitruvius Pollio usou a projeção para construir relógios de sol e calcular as posições do sol. [6]

Vitruvius também parece ter criado o termo ortográfico (do grego orthos (= "reto") e gráficoē (= "desenho") para a projeção. No entanto, o nome analema , que também significava um relógio de sol mostrando latitude e longitude, era o nome comum até que François d'Aguilon de Antuérpia promoveu seu nome atual em 1613. [6]

Os primeiros mapas sobreviventes na projeção aparecem como desenhos em xilogravura de globos terrestres de 1509 (anônimo), 1533 e 1551 (Johannes Schöner) e 1524 e 1551 (Apian). [6]

Notas

  1. ^ Hoje, a palavra analema é mais comumente usada em seu significado mais específico de um diagrama que mostra a posição do Sol em relação à terra. [1]

Referências

  1. ^ Sawyer, F., Of Analemmas, Mean Time and the Analemmatic Sundial
  2. ^ a b c Maynard, Patric (2005). Distinções de desenho: as variedades de expressão gráfica . Cornell University Press. p. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
  3. ^ a b McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Programação gráfica avançada usando openGL . Elsevier. p. 502. ISBN 1-55860-659-9.
  4. ^ Godse, AP (1984). Gráficos de computador . Publicações técnicas. p. 29. ISBN 81-8431-558-9.
  5. ^ Snyder, JP (1987). Map Projections — A Working Manual (US Geologic Survey Professional Paper 1395) . Washington, DC: US ​​Government Printing Office. pp. 145–153.
  6. ^ a b c d Snyder, John P. (1993). Achatando a Terra: Dois Mil Anos de Projeções de Mapas, pp. 16–18. Chicago e Londres: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76746-9 . 

Ligações externas