Equação diferencial ordinária

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Em matemática , uma equação diferencial ordinária ( EDO ) é uma equação diferencial contendo uma ou mais funções de uma variável independente e as derivadas dessas funções. [1] O termo ordinário é usado em contraste com o termo equação diferencial parcial que pode ser em relação a mais de uma variável independente. [2]

Equações diferenciais

Uma equação diferencial linear é uma equação diferencial que é definida por um polinômio linear na função desconhecida e suas derivadas, que é uma equação da forma

Onde, ...,esão funções diferenciáveis arbitrárias que não precisam ser lineares, e são as derivadas sucessivas da função desconhecida y da variável x .

Entre as equações diferenciais ordinárias, as equações diferenciais lineares desempenham um papel proeminente por várias razões. A maioria das funções elementares e especiais encontradas em física e matemática aplicada são soluções de equações diferenciais lineares (veja Função holonômica ). Quando fenômenos físicos são modelados com equações não lineares, eles geralmente são aproximados por equações diferenciais lineares para uma solução mais fácil. As poucas EDOs não lineares que podem ser resolvidas explicitamente são geralmente resolvidas pela transformação da equação em uma EDO linear equivalente (veja, por exemplo, equação de Riccati ).

Algumas EDOs podem ser resolvidas explicitamente em termos de funções e integrais conhecidas . Quando isso não for possível, a equação para calcular a série de Taylor das soluções pode ser útil. Para problemas aplicados, métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias podem fornecer uma aproximação da solução.

Plano de fundo

movimento de projétil parabólico mostrando vetor de velocidade
A trajetória de um projétil lançado de um canhão segue uma curva determinada por uma equação diferencial ordinária derivada da segunda lei de Newton.

As equações diferenciais ordinárias (EDOs) surgem em muitos contextos da matemática e das ciências sociais e naturais . Descrições matemáticas de mudança usam diferenciais e derivativos. Vários diferenciais, derivadas e funções se relacionam por meio de equações, de modo que uma equação diferencial é um resultado que descreve fenômenos, evolução e variação que mudam dinamicamente. Freqüentemente, as quantidades são definidas como a taxa de variação de outras quantidades (por exemplo, derivadas de deslocamento em relação ao tempo), ou gradientes de quantidades, que é como elas entram em equações diferenciais.

Campos matemáticos específicos incluem geometria e mecânica analítica . Os campos científicos incluem grande parte da física e astronomia (mecânica celeste), meteorologia (modelagem meteorológica), química (taxas de reação), [3] biologia (doenças infecciosas, variação genética), ecologia e modelagem populacional (competição populacional), economia (tendências de estoque , taxas de juros e as variações de preços de equilíbrio de mercado).

Muitos matemáticos estudaram equações diferenciais e contribuíram para o campo, incluindo Newton , Leibniz , a família Bernoulli , Riccati , Clairaut , d'Alembert e Euler .

Um exemplo simples é a segunda lei do movimento de Newton - a relação entre o deslocamento x e o tempo t de um objeto sob a força F , é dada pela equação diferencial

que restringe o movimento de uma partícula de massa constante m . Em geral, F é uma função da posição x ( t ) da partícula no instante t . A função desconhecida x ( t ) aparece em ambos os lados da equação diferencial e é indicada na notação F ( x ( t )). [4] [5] [6] [7]

Definições

No que segue, seja y uma variável dependente e x uma variável independente , e y = f ( x ) é uma função desconhecida de x . A notação para diferenciação varia dependendo do autor e de qual notação é mais útil para a tarefa em mãos. Nesse contexto, a notação de Leibniz (dy/dx,2 anos _/dx 2, …,d n y/dx n) é mais útil para diferenciação e integração , enquanto a notação de Lagrange ( y ′, y ′′, …, y ( n ) ) é mais útil para representar derivadas de qualquer ordem de forma compacta, e a notação de Newton é frequentemente usado em física para representar derivadas de ordem inferior em relação ao tempo.

Definição geral

Dado F , uma função de x , y e derivadas de y . Então uma equação da forma

é chamada de equação diferencial ordinária explícita de ordem n . [8] [9]

Mais geralmente, uma equação diferencial ordinária implícita de ordem n assume a forma: [10]

Existem outras classificações:

Autônomo
Uma equação diferencial que não depende de x é chamada autônoma .
Linear
Uma equação diferencial é dita linear se F pode ser escrito como uma combinação linear das derivadas de y :
onde a i ( x ) er (  x ) são funções contínuas de x . [8] [11] [12] A função r ( x ) é chamada de termo fonte , levando a mais duas classificações importantes: [11] [13]
Homogêneo
Se r ( x ) = 0, e conseqüentemente uma solução "automática" é a solução trivial , y = 0. A solução de uma equação linear homogênea é uma função complementar , denotada aqui por y c .
Não homogêneo (ou não homogêneo)
Se r ( x ) ≠ 0. A solução adicional da função complementar é a integral particular , denotada aqui por y p .
Não linear
Uma equação diferencial que não pode ser escrita na forma de uma combinação linear.

Sistema de EDOs

Um número de equações diferenciais acopladas formam um sistema de equações. Se y é um vetor cujos elementos são funções; y ( x ) = [ y 1 ( x ), y 2 ( x ),..., y m ( x )], e F é uma função com valor vetorial de y e suas derivadas, então

é um sistema explícito de equações diferenciais ordinárias de ordem n e dimensão m . Na forma de vetor de coluna :

Estes não são necessariamente lineares. O análogo implícito é:

onde 0 = (0, 0, ..., 0) é o vetor zero . Em forma de matriz

Para um sistema da forma, algumas fontes também requerem que a matriz Jacobiana seja não-singular para chamar isso de uma EDO implícita [sistema]; um sistema EDO implícito que satisfaça essa condição de não-singularidade Jacobiana pode ser transformado em um sistema EDO explícito. Nas mesmas fontes, sistemas EDO implícitos com um Jacobiano singular são denominados equações algébricas diferenciais (DAEs). Essa distinção não é meramente terminológica; Os DAEs têm características fundamentalmente diferentes e geralmente são mais envolvidos para resolver do que os sistemas ODE (não singulares). [14] [15] [16] Presumivelmente para derivadas adicionais, a matriz Hessiana e assim por diante também são consideradas não-singulares de acordo com este esquema, [ carece de fontes ] embora note quequalquer EDO de ordem maior que um pode ser (e geralmente é) reescrita como sistema de EDOs de primeira ordem , [17] o que torna o critério de singularidade jacobiano suficiente para que essa taxonomia seja abrangente em todas as ordens.

O comportamento de um sistema de EDOs pode ser visualizado através do uso de um retrato de fase .

Soluções

Dada uma equação diferencial

uma função u : IRR , onde I é um intervalo, é chamada de solução ou curva integral para F , se u for n - vezes diferenciável em I , e

Dadas duas soluções u : JRR e v : IRR , u é chamado de extensão de v se IJ e

Uma solução que não tem extensão é chamada de solução máxima . Uma solução definida em todo R é chamada de solução global .

Uma solução geral de uma equação de ordem n é uma solução contendo n constantes independentes de integração arbitrárias . Uma solução particular é derivada da solução geral definindo as constantes para valores particulares, muitas vezes escolhidos para cumprir as ' condições iniciais ou condições de contorno ' definidas . [18] Uma solução singular é uma solução que não pode ser obtida atribuindo valores definidos às constantes arbitrárias na solução geral. [19]

No contexto da EDO linear, a terminologia solução particular também pode se referir a qualquer solução da EDO (não necessariamente satisfazendo as condições iniciais), que é então adicionada à solução homogênea (uma solução geral da EDO homogênea), que então forma uma solução geral da EDO original. Esta é a terminologia usada na seção de método de adivinhação neste artigo e é frequentemente usada ao discutir o método de coeficientes indeterminados e variação de parâmetros .

Teorias

Soluções singulares

A teoria das soluções singulares de equações diferenciais ordinárias e parciais foi objeto de pesquisa desde a época de Leibniz, mas somente a partir de meados do século XIX recebeu atenção especial. Um trabalho valioso, mas pouco conhecido sobre o assunto é o de Houtain (1854). Darboux (a partir de 1873) foi um líder na teoria, e na interpretação geométrica dessas soluções abriu um campo trabalhado por vários escritores, notadamente Casorati e Cayley . A esta última se deve (1872) a teoria das soluções singulares de equações diferenciais de primeira ordem como aceita por volta de 1900.

Redução a quadraturas

A tentativa primitiva de lidar com equações diferenciais tinha em vista uma redução a quadraturas . Assim como era a esperança dos algebristas do século XVIII encontrar um método para resolver a equação geral do enésimo grau, também era a esperança dos analistas encontrar um método geral para integrar qualquer equação diferencial. Gauss (1799) mostrou, entretanto, que equações diferenciais complexas requerem números complexos . Assim, os analistas passaram a substituir o estudo das funções, abrindo assim um novo e fértil campo. Cauchyfoi o primeiro a apreciar a importância dessa visão. A partir de então, a verdadeira questão não era mais se uma solução é possível por meio de funções conhecidas ou suas integrais, mas se uma dada equação diferencial é suficiente para a definição de uma função da variável ou variáveis ​​independentes e, em caso afirmativo, quais são as propriedades características.

Teoria Fuchsiana

Duas memórias de Fuchs [20] inspiraram uma nova abordagem, posteriormente elaborada por Thomé e Frobenius . Collet foi um colaborador proeminente começando em 1869. Seu método para integrar um sistema não-linear foi comunicado a Bertrand em 1868. Clebsch (1873) atacou a teoria ao longo de linhas paralelas àquelas em sua teoria das integrais abelianas . Como esta última pode ser classificada de acordo com as propriedades da curva fundamental que permanece inalterada sob uma transformação racional, Clebsch propôs classificar as funções transcendentes definidas por equações diferenciais de acordo com as propriedades invariantes das superfícies correspondentes f = 0 sob racional um a -uma transformações.

A teoria da mentira

A partir de 1870, o trabalho de Sophus Lie colocou a teoria das equações diferenciais em uma base melhor. Ele mostrou que as teorias de integração dos matemáticos mais antigos podem, usando grupos de Lie , ser referidas a uma fonte comum, e que as equações diferenciais ordinárias que admitem as mesmas transformações infinitesimais apresentam dificuldades de integração comparáveis. Ele também enfatizou o tema das transformações do contato .

A teoria de grupo de equações diferenciais de Lie foi certificada, a saber: (1) que unifica os muitos métodos ad hoc conhecidos para resolver equações diferenciais e (2) que fornece novas e poderosas maneiras de encontrar soluções. A teoria tem aplicações para equações diferenciais ordinárias e parciais. [21]

Uma abordagem de solução geral usa a propriedade de simetria das equações diferenciais, as transformações infinitesimais contínuas de soluções em soluções ( teoria de Lie ). A teoria dos grupos contínuos , as álgebras de Lie e a geometria diferencial são usadas para entender a estrutura de equações diferenciais lineares e não lineares (parciais) para gerar equações integráveis, encontrar seus pares Lax , operadores de recursão, transformada de Bäcklund e, finalmente, encontrar soluções analíticas exatas para DE.

Métodos de simetria têm sido aplicados a equações diferenciais que surgem em matemática, física, engenharia e outras disciplinas.

Teoria de Sturm-Liouville

A teoria de Sturm-Liouville é uma teoria de um tipo especial de equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. Suas soluções são baseadas em autovalores e autofunções correspondentes de operadores lineares definidos por meio de equações lineares homogêneas de segunda ordem . Os problemas são identificados como Problemas de Sturm-Liouville (SLP) e são nomeados em homenagem a JCF Sturm e J. Liouville , que os estudaram em meados do século XIX. SLPs têm um número infinito de autovalores, e as autofunções correspondentes formam um conjunto ortogonal completo, o que torna possíveis expansões ortogonais. Esta é uma ideia chave em matemática aplicada, física e engenharia. [22]SLPs também são úteis na análise de certas equações diferenciais parciais.

Existência e unicidade de soluções

Existem vários teoremas que estabelecem a existência e unicidade de soluções para problemas de valor inicial envolvendo EDOs tanto local quanto globalmente. Os dois principais teoremas são

Teorema Suposição Conclusão
Teorema da existência de Peano F contínuo existência local apenas
Teorema de Picard–Lindelöf F Lipschitz contínuo existência local e singularidade

Em sua forma básica, ambos os teoremas garantem apenas resultados locais, embora o último possa ser estendido para fornecer um resultado global, por exemplo, se as condições da desigualdade de Grönwall forem atendidas.

Além disso, teoremas de unicidade como o de Lipschitz acima não se aplicam a sistemas DAE , que podem ter várias soluções decorrentes de sua parte algébrica (não linear) sozinha. [23]

Teorema de existência local e unicidade simplificado

O teorema pode ser enunciado simplesmente como segue. [24] Para a equação e o problema de valor inicial:

se F e ∂ F /∂ y são contínuos em um retângulo fechado

no plano xy , onde a e b são reais (simbolicamente: a, b ℝ) e × denota o produto cartesiano , colchetes denotam intervalos fechados , então existe um intervalo

para algum h ∈ ℝ onde a solução para a equação acima e o problema de valor inicial podem ser encontrados. Ou seja, existe uma solução e ela é única. Como não há restrição para que F seja linear, isso se aplica a equações não lineares que assumem a forma F ( x, y ), e também pode ser aplicado a sistemas de equações.

Unicidade global e domínio máximo da solução

Quando as hipóteses do teorema de Picard–Lindelöf são satisfeitas, então a existência local e a unicidade podem ser estendidas para um resultado global. Mais precisamente: [25]

Para cada condição inicial ( x 0 , y 0 ) existe um único intervalo aberto máximo (possivelmente infinito)

tal que qualquer solução que satisfaça esta condição inicial é uma restrição da solução que satisfaz esta condição inicial com domínio.

No caso que, existem exatamente duas possibilidades

  • explosão em tempo finito:
  • deixa o domínio de definição:

onde Ω é o conjunto aberto em que F é definido, eé o seu limite.

Observe que o domínio máximo da solução

  • é sempre um intervalo (para ter unicidade)
  • pode ser menor que
  • pode depender da escolha específica de ( x 0 , y 0 ).
Exemplo.

Isto significa que F ( x, y ) = y 2 , que é C 1 e portanto localmente Lipschitz contínua, satisfazendo o teorema de Picard–Lindelöf.

Mesmo em um cenário tão simples, o domínio máximo de solução não pode ser todopois a solução é

que tem domínio máximo:

Isso mostra claramente que o intervalo máximo pode depender das condições iniciais. O domínio de y pode ser tomado como sendomas isso levaria a um domínio que não é um intervalo, de modo que o lado oposto à condição inicial seria desconectado da condição inicial e, portanto, não determinado exclusivamente por ela.

O domínio máximo não éPorque

que é um dos dois casos possíveis de acordo com o teorema acima.

Redução de pedido

As equações diferenciais geralmente podem ser resolvidas mais facilmente se a ordem da equação puder ser reduzida.

Redução a um sistema de primeira ordem

Qualquer equação diferencial explícita de ordem n ,

pode ser escrito como um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem definindo uma nova família de funções desconhecidas

para i = 1, 2,..., n . O sistema n -dimensional de equações diferenciais acopladas de primeira ordem é então

mais compactamente em notação vetorial:

Onde

Resumo das soluções exatas

Algumas equações diferenciais têm soluções que podem ser escritas de forma exata e fechada. Várias aulas importantes são dadas aqui.

Na tabela abaixo, P ( x ), Q ( x ), P ( y ), Q ( y ) e M ( x , y ), N ( x , y ) são quaisquer funções integráveis de x , y e b e c são constantes dadas reais, e C 1 , C 2 ,... são constantes arbitrárias ( complexoem geral). As equações diferenciais estão em suas formas equivalentes e alternativas que levam à solução por integração.

Nas soluções integrais, λ e ε são variáveis ​​dummy de integração (os análogos contínuos de índices na soma ), e a notação ∫ x F ( λ significa apenas integrar F ( λ ) em relação a λ , então após a integração substitua λ = x , sem adicionar constantes (declarado explicitamente).

Equações separáveis

Equação diferencial Método de solução Solução geral
Primeira ordem, separável em x e y (caso geral, veja abaixo para casos especiais) [26]

Separação de variáveis ​​(dividir por P 2 Q 1 ).
Primeira ordem, separável em x [24]

Integração direta.
De primeira ordem, autônomo, separável em y [24]

Separação de variáveis (dividir por F ).
De primeira ordem, separável em x e y [24]

Integrar por completo.

Equações gerais de primeira ordem

Equação diferencial Método de solução Solução geral
De primeira ordem, homogêneo [24]

Defina y = ux , então resolva separando as variáveis ​​em u e x .
De primeira ordem, separável [26]

Separação de variáveis ​​(dividir por xy ).

Se N = M , a solução é xy = C .

Diferencial exato , primeira ordem [24]

Onde

Integrar por completo.

Ondee

Diferencial inexato , de primeira ordem [24]

Onde

Fator de integração μ ( x, y ) satisfazendo

Se μ ( x , y ) puder ser encontrado de maneira adequada, então

Onde

e

Equações gerais de segunda ordem

Equação diferencial Método de solução Solução geral
De segunda ordem, autônomo [27]

Multiplique ambos os lados da equação por 2 dy / dx , substitua, então integre duas vezes.

Linear às equações de ordem n

Equação diferencial Método de solução Solução geral
Coeficientes de função de primeira ordem, lineares, não homogêneas [24]

Fator de integração: Fórmula da armadura:

Coeficientes de função de segunda ordem, lineares, não homogêneas

Fator de integração:
Coeficientes de segunda ordem, lineares, não homogêneos, constantes [28]

Função complementar y c : suponha y c = e α x , substitua e resolva o polinômio em α, para encontrar as funções linearmente independentes.

Particular integral y p : em geral o método de variação de parâmetros , embora para uma inspeção r ( x ) muito simples possa funcionar. [24]

Se b 2 > 4 c , então

Se b 2 = 4 c , então

Se b 2 < 4 c , então

n ª ordem, lineares, não homogêneos, coeficientes constantes [28]

Função complementar y c : suponha y c = e α x , substitua e resolva o polinômio em α, para encontrar as funções linearmente independentes.

Particular integral y p : em geral o método de variação de parâmetros , embora para uma inspeção r ( x ) muito simples possa funcionar. [24]

Como α j são as soluções do polinômio de grau n :, então:

para α j todos diferentes,

para cada raiz α j repetida k j vezes,

para algum complexo α j , então definindo α = χ j + j , e usando a fórmula de Euler , permite que alguns termos nos resultados anteriores sejam escritos na forma

onde ϕ j é uma constante arbitrária (deslocamento de fase).

O método de adivinhação

Quando todos os outros métodos para resolver uma EDO falham, ou nos casos em que temos alguma intuição sobre como pode ser a solução para uma DE, às vezes é possível resolver uma DE simplesmente adivinhando a solução e validando-a como correta. Para usar esse método, simplesmente adivinhamos uma solução para a equação diferencial e, em seguida, inserimos a solução na equação diferencial para validar se ela satisfaz a equação. Se isso acontecer, temos uma solução específica para o DE, caso contrário, começamos de novo e tentamos outro palpite. Por exemplo, poderíamos adivinhar que a solução para um DE tem a forma:uma vez que esta é uma solução muito comum que se comporta fisicamente de forma senoidal.

No caso de uma EDO de primeira ordem que não é homogênea, precisamos primeiro encontrar uma solução DE para a porção homogênea da DE, também conhecida como equação característica, e então encontrar uma solução para toda a equação não homogênea adivinhando . Finalmente, somamos ambas as soluções para obter a solução total da EDO, ou seja:

Software para resolução de EDO

  • Maxima , um sistema de álgebra computacional de código aberto .
  • COPASI , um pacote de software gratuito ( Licença Artística 2.0 ) para integração e análise de EDOs.
  • MATLAB , um aplicativo de computação técnica (MATrix LABoratory)
  • GNU Octave , uma linguagem de alto nível, destinada principalmente a cálculos numéricos.
  • Scilab , um aplicativo de código aberto para computação numérica.
  • Maple , um aplicativo proprietário para cálculos simbólicos.
  • Mathematica , um aplicativo proprietário destinado principalmente a cálculos simbólicos.
  • SymPy , um pacote Python que pode resolver EDOs simbolicamente
  • Julia (linguagem de programação) , uma linguagem de alto nível destinada principalmente a cálculos numéricos.
  • SageMath , um aplicativo de código aberto que usa uma sintaxe semelhante ao Python com uma ampla variedade de recursos que abrangem vários ramos da matemática.
  • SciPy , um pacote Python que inclui um módulo de integração ODE.
  • Chebfun , um pacote de código aberto, escrito em MATLAB , para computação com funções com precisão de 15 dígitos.
  • GNU R , um ambiente computacional de código aberto destinado principalmente a estatísticas, que inclui pacotes para solução de ODE.

Veja também

Notas

  1. ^ Dennis G. Zill (15 de março de 2012). Um Primeiro Curso em Equações Diferenciais com Aplicações de Modelagem . Cengage Aprendizagem. ISBN 978-1-285-40110-2. Arquivado a partir do original em 17 de janeiro de 2020 . Recuperado em 11 de julho de 2019 .
  2. ^ "Qual é a origem do termo "equações diferenciais ordinárias"?" . hsm.stackexchange.com . Troca de pilha . Recuperado em 28-07-2016 .
  3. ^ Matemática para Químicos, DM Hirst, Macmillan Press , 1976, (Sem ISBN) SBN: 333-18172-7
  4. ^ Kreyszig (1972 , p. 64)
  5. ^ Simmons (1972 , pp. 1, 2)
  6. ^ Halliday & Resnick (1977 , p. 78)
  7. ^ Tipler (1991 , pp. 78-83)
  8. ^ a b Harper (1976 , p. 127)
  9. ^ Kreyszig (1972 , p. 2)
  10. ^ Simmons (1972 , p. 3)
  11. ^ a b Kreyszig (1972 , p. 24)
  12. ^ Simmons (1972 , p. 47)
  13. ^ Harper (1976 , p. 128)
  14. ^ Kreyszig (1972 , p. 12)
  15. ^ Ascher (1998 , p. 12)
  16. ^ Achim Ilchmann; Timo Reis (2014). Levantamentos em Equações Algébricas Diferenciais II . Springer. págs. 104–105. ISBN 978-3-319-11050-9.
  17. ^ Ascher (1998 , p. 5)
  18. ^ Kreyszig (1972 , p. 78)
  19. ^ Kreyszig (1972 , p. 4)
  20. ^ Crelle , 1866, 1868
  21. ^ Lawrence (1999 , p. 9)
  22. ^ Logan, J. (2013). Matemática aplicada (quarta ed.).
  23. ^ Ascher (1998 , p. 13)
  24. ^ a b c d e f g h i j Equações diferenciais elementares e problemas de valor de fronteira (4ª edição), WE Boyce, RC Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1 
  25. ^ Boscaína; Chitour 2011, p. 21
  26. ^ a b Manual matemático de fórmulas e tabelas (3ª edição), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  27. ^ Análise Elementar Adicional, R. Porter, G.Bell & Sons (Londres), 1978, ISBN 0-7135-1594-5 
  28. ^ a b Métodos matemáticos para física e engenharia, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3

Referências

Bibliografia

Links externos