Órbita

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A Estação Espacial Internacional orbita a Terra uma vez a cada 92 minutos, voando a cerca de 400 km acima do nível do mar.
Dois corpos de massas diferentes orbitando um baricentro comum . Os tamanhos relativos e o tipo de órbita são semelhantes aos do sistema Plutão - Caronte .

Na mecânica celeste , uma órbita é a trajetória curva de um objeto [1] como a trajetória de um planeta em torno de uma estrela, ou de um satélite natural em torno de um planeta, ou de um satélite artificial em torno de um objeto ou posição no espaço, como um planeta, lua, asteróide ou ponto de Lagrange . Normalmente, órbita refere-se a uma trajetória que se repete regularmente, embora também possa se referir a uma trajetória não repetida. Para uma aproximação próxima, planetas e satélites seguem órbitas elípticas , com o centro de massa sendo orbitado em um ponto focal da elipse, [2]como descrito pelas leis do movimento planetário de Kepler .

Para a maioria das situações, o movimento orbital é adequadamente aproximado pela mecânica newtoniana , que explica a gravidade como uma força que obedece a uma lei do inverso do quadrado . [3] No entanto, a teoria geral da relatividade de Albert Einstein , que explica a gravidade como devido à curvatura do espaço -tempo , com órbitas seguindo geodésicas , fornece um cálculo mais preciso e compreensão da mecânica exata do movimento orbital.

História

Historicamente, os movimentos aparentes dos planetas foram descritos por filósofos europeus e árabes usando a ideia de esferas celestes . Este modelo postulava a existência de esferas ou anéis móveis perfeitos aos quais as estrelas e os planetas estavam ligados. Ele assumiu que os céus estavam fixos à parte do movimento das esferas e foi desenvolvido sem qualquer compreensão da gravidade. Depois que os movimentos dos planetas foram medidos com mais precisão, mecanismos teóricos como deferentes e epiciclos foram adicionados. Embora o modelo fosse capaz de prever com razoável precisão as posições dos planetas no céu, mais e mais epiciclos foram necessários à medida que as medições se tornaram mais precisas, portanto, o modelo tornou-se cada vez mais pesado. Originalmente geocêntrico, foi modificado por Copérnico para colocar o Sol no centro para ajudar a simplificar o modelo. O modelo foi ainda mais desafiado durante o século 16, quando cometas foram observados atravessando as esferas. [4] [5]

A base para a compreensão moderna das órbitas foi formulada pela primeira vez por Johannes Kepler , cujos resultados estão resumidos em suas três leis do movimento planetário. Primeiro, ele descobriu que as órbitas dos planetas em nosso Sistema Solar são elípticas, não circulares (ou epicíclicas ), como se acreditava anteriormente, e que o Sol não está localizado no centro das órbitas, mas em um foco . [6]Segundo, ele descobriu que a velocidade orbital de cada planeta não é constante, como se pensava anteriormente, mas que a velocidade depende da distância do planeta ao Sol. Terceiro, Kepler encontrou uma relação universal entre as propriedades orbitais de todos os planetas que orbitam o Sol. Para os planetas, os cubos de suas distâncias ao Sol são proporcionais aos quadrados de seus períodos orbitais. Júpiter e Vênus, por exemplo, estão, respectivamente, cerca de 5,2 e 0,723 UA distantes do Sol, seus períodos orbitais, respectivamente, cerca de 11,86 e 0,615 anos. A proporcionalidade é vista pelo fato de que a razão para Júpiter, 5,2 3 /11,86 2 , é praticamente igual à de Vênus, 0,723 3 /0,615 2, de acordo com a relação. As órbitas idealizadas que atendem a essas regras são conhecidas como órbitas de Kepler .

As linhas traçadas por órbitas dominadas pela gravidade de uma fonte central são seções cônicas : as formas das curvas de intersecção entre um plano e um cone. As órbitas parabólicas (1) e hiperbólicas (3) são órbitas de escape , enquanto as órbitas elípticas e circulares (2) são cativas.
Esta imagem mostra as quatro categorias de trajetória com o poço de potencial gravitacional do campo de energia potencial da massa central mostrado em preto e a altura da energia cinética do corpo em movimento mostrado em vermelho estendendo-se acima disso, correlacionando-se às mudanças na velocidade à medida que a distância muda de acordo com às leis de Kepler.

Isaac Newton demonstrou que as leis de Kepler eram deriváveis ​​de sua teoria da gravitação e que, em geral, as órbitas dos corpos sujeitos à gravidade eram seções cônicas (isso pressupõe que a força da gravidade se propaga instantaneamente). Newton mostrou que, para um par de corpos, os tamanhos das órbitas são inversamente proporcionais às suas massas , e que esses corpos orbitam seu centro de massa comum . Onde um corpo é muito mais massivo que o outro (como é o caso de um satélite artificial orbitando um planeta), é uma aproximação conveniente tomar o centro de massa como coincidindo com o centro do corpo mais massivo.

Os avanços na mecânica newtoniana foram então usados ​​para explorar variações das suposições simples por trás das órbitas de Kepler, como as perturbações devido a outros corpos ou o impacto de corpos esferoidais em vez de esféricos. Lagrange (1736-1813) desenvolveu uma nova abordagem para a mecânica newtoniana enfatizando a energia mais do que a força, e progrediu no problema dos três corpos , descobrindo os pontos Lagrangeanos . Em uma dramática defesa da mecânica clássica, em 1846 Urbain Le Verrier foi capaz de prever a posição de Netuno com base em perturbações inexplicáveis ​​na órbita de Urano .

Albert Einstein (1879-1955) em seu artigo de 1916 The Foundation of the General Theory of Relativity explicou que a gravidade era devido à curvatura do espaço-tempo e removeu a suposição de Newton de que as mudanças se propagam instantaneamente. Isso levou os astrônomos a reconhecer que a mecânica newtoniana não fornecia a mais alta precisão na compreensão das órbitas. Na teoria da relatividade, as órbitas seguem trajetórias geodésicas que geralmente são muito bem aproximadas pelas previsões newtonianas (exceto onde há campos gravitacionais muito fortes e velocidades muito altas), mas as diferenças são mensuráveis. Essencialmente, todas as evidências experimentais que podem distinguir entre as teorias concordam com a teoria da relatividade dentro da precisão da medição experimental. A justificativa original da relatividade geral é que ela foi capaz de explicar a quantidade restante inexplicada na precessão do periélio de Mercúrio observada pela primeira vez por Le Verrier. No entanto, a solução de Newton ainda é usada para fins de curto prazo, pois é significativamente mais fácil de usar e suficientemente precisa.

Órbitas planetárias

Dentro de um sistema planetário , planetas, planetas anões , asteróides e outros planetas menores , cometas e detritos espaciais orbitam o baricentro do sistema em órbitas elípticas . Um cometa em uma órbita parabólica ou hiperbólica em torno de um baricentro não está gravitacionalmente ligado à estrela e, portanto, não é considerado parte do sistema planetário da estrela. Corpos que estão gravitacionalmente ligados a um dos planetas em um sistema planetário, sejam satélites naturais ou artificiais , seguem órbitas em torno de um baricentro próximo ou dentro desse planeta.

Devido a perturbações gravitacionais mútuas , as excentricidades das órbitas planetárias variam ao longo do tempo. Mercúrio , o menor planeta do Sistema Solar, tem a órbita mais excêntrica. Na época atual , Marte tem a próxima maior excentricidade enquanto as menores excentricidades orbitais são vistas com Vênus e Netuno .

Como dois objetos orbitam um ao outro, o periapsis é o ponto em que os dois objetos estão mais próximos um do outro e o apoapsis é o ponto em que eles estão mais distantes. (Termos mais específicos são usados ​​para corpos específicos. Por exemplo, perigeu e apogeu são as partes mais baixas e mais altas de uma órbita ao redor da Terra, enquanto periélio e afélio são os pontos mais próximos e mais distantes de uma órbita ao redor do Sol.)

No caso de planetas orbitando uma estrela, a massa da estrela e de todos os seus satélites é calculada em um único ponto chamado baricentro. As trajetórias de todos os satélites da estrela são órbitas elípticas em torno desse baricentro. Cada satélite nesse sistema terá sua própria órbita elíptica com o baricentro em um ponto focal dessa elipse. Em qualquer ponto ao longo de sua órbita, qualquer satélite terá um certo valor de energia cinética e potencial em relação ao baricentro, e essa energia é um valor constante em todos os pontos ao longo de sua órbita. Como resultado, à medida que um planeta se aproxima do periapsis , o planeta aumentará sua velocidade à medida que sua energia potencial diminuir; à medida que um planeta se aproxima do apoápsis , sua velocidade diminuirá à medida que sua energia potencial aumentar.

Entendendo as órbitas

Existem algumas maneiras comuns de entender as órbitas:

  • Uma força, como a gravidade, puxa um objeto em um caminho curvo enquanto tenta voar em linha reta.
  • À medida que o objeto é puxado em direção ao corpo maciço, ele cai em direção a esse corpo. No entanto, se tiver velocidade tangencial suficiente , não cairá no corpo, mas continuará a seguir a trajetória curva causada por esse corpo indefinidamente. Diz-se então que o objeto está orbitando o corpo.

Como ilustração de uma órbita em torno de um planeta, o modelo de bala de canhão de Newton pode ser útil (veja a imagem abaixo). Este é um ' experimento mental ', no qual um canhão no topo de uma montanha alta é capaz de disparar uma bala de canhão horizontalmente em qualquer velocidade de boca escolhida. Os efeitos do atrito do ar na bala de canhão são ignorados (ou talvez a montanha seja alta o suficiente para que o canhão fique acima da atmosfera da Terra, o que é a mesma coisa). [7]

A bala de canhão de Newton , uma ilustração de como os objetos podem "cair" em uma curva
As seções cônicas descrevem as possíveis órbitas (amarelas) de pequenos objetos ao redor da Terra. Uma projeção dessas órbitas sobre o potencial gravitacional (azul) da Terra permite determinar a energia orbital em cada ponto do espaço.

Se o canhão dispara sua bala com uma velocidade inicial baixa, a trajetória da bala se curva para baixo e atinge o solo (A). À medida que a velocidade de disparo aumenta, a bala de canhão atinge o solo mais longe (B) do canhão, pois enquanto a bala ainda está caindo em direção ao solo, o solo está cada vez mais se curvando para longe dela (veja o primeiro ponto, acima). Todos esses movimentos são na verdade "órbitas" em um sentido técnico - eles estão descrevendo uma parte de um caminho elíptico em torno do centro de gravidade - mas as órbitas são interrompidas ao atingir a Terra.

Se a bala de canhão for disparada com velocidade suficiente, o solo se curva para longe da bola pelo menos tanto quanto a bola cai – de modo que a bola nunca atinge o solo. Está agora no que poderia ser chamado de órbita ininterrupta ou circunavegante. Para qualquer combinação específica de altura acima do centro de gravidade e massa do planeta, há uma velocidade de disparo específica (não afetada pela massa da bola, que é considerada muito pequena em relação à massa da Terra) que produz uma órbita circular , como mostrado em (C).

À medida que a velocidade de disparo é aumentada além disso, são produzidas órbitas elípticas ininterruptas; um é mostrado em (D). Se o disparo inicial estiver acima da superfície da Terra, como mostrado, também haverá órbitas elípticas ininterruptas em velocidade de disparo mais lenta; estes chegarão mais perto da Terra no ponto meia órbita além, e diretamente em frente ao ponto de disparo, abaixo da órbita circular.

A uma velocidade de disparo horizontal específica chamada velocidade de escape , dependente da massa do planeta e da distância do objeto ao baricentro, é alcançada uma órbita aberta (E) que tem um caminho parabólico . Em velocidades ainda maiores, o objeto seguirá uma série de trajetórias hiperbólicas . Em um sentido prático, esses dois tipos de trajetória significam que o objeto está "se libertando" da gravidade do planeta e "indo para o espaço" para nunca mais voltar.

A relação da velocidade de dois objetos em movimento com a massa pode assim ser considerada em quatro aulas práticas, com subtipos:

Sem órbita
Trajetórias suborbitais
Faixa de caminhos elípticos interrompidos
Trajetórias orbitais (ou simplesmente, órbitas)
  • Faixa de caminhos elípticos com ponto mais próximo oposto ao ponto de disparo
  • Caminho circular
  • Faixa de caminhos elípticos com ponto mais próximo no ponto de disparo
Trajetórias abertas (ou fugas)
  • Caminhos parabólicos
  • Caminhos hiperbólicos

Vale a pena notar que os foguetes orbitais são lançados verticalmente no início para levantar o foguete acima da atmosfera (o que causa arrasto por atrito), e então lentamente se lançam e terminam de disparar o motor do foguete paralelamente à atmosfera para atingir a velocidade da órbita.

Uma vez em órbita, sua velocidade os mantém em órbita acima da atmosfera. Se, por exemplo, uma órbita elíptica mergulhar no ar denso, o objeto perderá velocidade e entrará novamente (ou seja, cairá). Ocasionalmente, uma nave espacial interceptará intencionalmente a atmosfera, em um ato comumente chamado de manobra de aerofrenagem.

Orbitalaltitudes.jpg

Leis do movimento de Newton

Lei da gravitação de Newton e leis do movimento para problemas de dois corpos

Na maioria das situações, os efeitos relativísticos podem ser desprezados, e as leis de Newton fornecem uma descrição suficientemente precisa do movimento. A aceleração de um corpo é igual à soma das forças que atuam sobre ele, dividida por sua massa, e a força gravitacional que atua sobre um corpo é proporcional ao produto das massas dos dois corpos que o atraem e diminui inversamente com o quadrado de a distância entre eles. Para esta aproximação newtoniana, para um sistema de massas de dois pontos ou corpos esféricos, apenas influenciados por sua gravitação mútua (chamado de problema de dois corpos), suas trajetórias podem ser calculadas com exatidão. Se o corpo mais pesado é muito mais massivo que o menor, como no caso de um satélite ou pequena lua orbitando um planeta ou para a Terra orbitando o Sol, é preciso e conveniente descrever o movimento em termos de um sistema de coordenadas que está centrado no corpo mais pesado, e dizemos que o corpo mais leve está em órbita ao redor do mais pesado. Para o caso em que as massas de dois corpos são comparáveis, uma solução newtoniana exata ainda é suficiente e pode ser obtida colocando o sistema de coordenadas no centro da massa do sistema.

Definindo a energia potencial gravitacional

A energia está associada a campos gravitacionais . Um corpo estacionário distante de outro pode realizar trabalho externo se for puxado em direção a ele e, portanto, possui energia potencial gravitacional . Como é necessário trabalho para separar dois corpos contra a força da gravidade, sua energia potencial gravitacional aumenta à medida que são separados e diminui à medida que se aproximam. Para massas pontuais, a energia gravitacional diminui para zero à medida que se aproximam da separação zero. É conveniente e convencional atribuir a energia potencial como tendo valor zero quando eles estão a uma distância infinita e, portanto, tem um valor negativo (uma vez que diminui de zero) para distâncias finitas menores.

Energias orbitais e formas de órbita

Quando apenas dois corpos gravitacionais interagem, suas órbitas seguem uma seção cônica . A órbita pode ser aberta (implicando que o objeto nunca retorna) ou fechada (retorna). Qual é depende da energia total ( energia cinética + potencial ) do sistema. No caso de uma órbita aberta, a velocidade em qualquer posição da órbita é pelo menos a velocidade de escapepara essa posição, no caso de uma órbita fechada, a velocidade é sempre menor que a velocidade de escape. Como a energia cinética nunca é negativa se a convenção comum for adotada de tomar a energia potencial como zero na separação infinita, as órbitas ligadas terão energia total negativa, as trajetórias parabólicas zero energia total e órbitas hiperbólicas energia total positiva.

Uma órbita aberta terá uma forma parabólica se tiver a velocidade exatamente igual à velocidade de escape naquele ponto de sua trajetória, e terá a forma de uma hipérbole quando sua velocidade for maior que a velocidade de escape. Quando corpos com velocidade de escape ou maior se aproximam, eles se curvam brevemente em torno um do outro no momento de sua aproximação mais próxima e depois se separam para sempre.

Todas as órbitas fechadas têm a forma de uma elipse . Uma órbita circular é um caso especial, em que os focos da elipse coincidem. O ponto onde o corpo em órbita está mais próximo da Terra é chamado de perigeu e é chamado de periápsis (menos apropriadamente, "perifocus" ou "pericentron") quando a órbita é sobre um corpo diferente da Terra. O ponto onde o satélite está mais distante da Terra é chamado de apogeu , apoapsis, ou às vezes apifocus ou apocentron. Uma linha traçada de periapsis a apoapsis é a linha-de-apsides . Este é o eixo principal da elipse, a linha através de sua parte mais longa.

Leis de Kepler

Gráfico log-log do período T vs semi-eixo maior a (média de afélio e periélio) de algumas órbitas do Sistema Solar (cruzes denotando valores de Kepler) mostrando que a ³/ T ² é constante (linha verde)

Corpos que seguem órbitas fechadas repetem seus caminhos com um certo tempo chamado período. Esse movimento é descrito pelas leis empíricas de Kepler, que podem ser derivadas matematicamente das leis de Newton. Estes podem ser formulados da seguinte forma:

  1. A órbita de um planeta em torno do Sol é uma elipse, com o Sol em um dos pontos focais dessa elipse. [Este ponto focal é na verdade o baricentro do sistema Sol-planeta ; para simplificar, esta explicação assume que a massa do Sol é infinitamente maior que a do planeta.] A órbita do planeta está em um plano, chamado plano orbital . O ponto da órbita mais próximo do corpo de atração é o periapsis. O ponto mais distante do corpo atrativo é chamado de apoápsis. Existem também termos específicos para órbitas sobre corpos particulares; coisas que orbitam o Sol têm um periélio e um afélio , coisas que orbitam a Terra têm um perigeu eapogeu , e as coisas que orbitam a Lua têm um perilune e apolune (ou periselene e aposelene respectivamente). Uma órbita em torno de qualquer estrela , não apenas o Sol, tem um periastro e um apastron .
  2. À medida que o planeta se move em sua órbita, a linha do Sol ao planeta varre uma área constante do plano orbital por um determinado período de tempo, independentemente de qual parte de sua órbita o planeta traça durante esse período de tempo. Isso significa que o planeta se move mais rápido perto de seu periélio do que perto de seu afélio , pois na distância menor ele precisa traçar um arco maior para cobrir a mesma área. Esta lei é geralmente declarada como "áreas iguais em tempo igual".
  3. Para uma dada órbita, a razão entre o cubo de seu semi-eixo maior e o quadrado de seu período é constante.

Limitações da lei da gravitação de Newton

Observe que, enquanto as órbitas ligadas de uma massa pontual ou de um corpo esférico com um campo gravitacional newtoniano são elipses fechadas , que repetem o mesmo caminho exata e indefinidamente, quaisquer efeitos não esféricos ou não newtonianos (como os causados ​​pela leve achatamento do Terra , ou por efeitos relativísticos , alterando assim o comportamento do campo gravitacional com a distância) fará com que a forma da órbita se afaste das elipses fechadas características do movimento newtoniano de dois corpos . As soluções de dois corpos foram publicadas por Newton em Principia em 1687. Em 1912, Karl Fritiof Sundman desenvolveu uma série infinita convergente que resolve o problemaproblema de três corpos ; no entanto, ele converge muito lentamente para ser de muita utilidade. Exceto em casos especiais como os pontos Lagrangeanos , nenhum método é conhecido para resolver as equações de movimento para um sistema com quatro ou mais corpos.

Abordagens para problemas de muitos corpos

Em vez de uma solução exata de forma fechada, as órbitas com muitos corpos podem ser aproximadas com precisão arbitrariamente alta. Essas aproximações assumem duas formas:

Uma forma toma o movimento elíptico puro como base e adiciona termos de perturbação para explicar a influência gravitacional de múltiplos corpos. Isso é conveniente para calcular as posições dos corpos astronômicos. As equações de movimento das luas, planetas e outros corpos são conhecidas com grande precisão, e são usadas para gerar tabelas para navegação celeste . Ainda assim, existem fenômenos seculares que precisam ser tratados por métodos pós-newtonianos .
A forma de equação diferencial é usada para fins científicos ou de planejamento de missões. De acordo com as leis de Newton, a soma de todas as forças que atuam sobre um corpo será igual à massa do corpo vezes sua aceleração ( F = ma ). Portanto, as acelerações podem ser expressas em termos de posições. Os termos de perturbação são muito mais fáceis de descrever nesta forma. Prever posições e velocidades subseqüentes a partir de valores iniciais de posição e velocidade corresponde a resolver um problema de valor inicial . Os métodos numéricos calculam as posições e velocidades dos objetos em um curto período de tempo no futuro, depois repetem o cálculo ad nauseam. No entanto, pequenos erros aritméticos da precisão limitada da matemática de um computador são cumulativos, o que limita a precisão dessa abordagem.

Simulações diferenciais com grande número de objetos realizam os cálculos de forma hierárquica em pares entre centros de massa. Usando este esquema, galáxias, aglomerados de estrelas e outros grandes conjuntos de objetos foram simulados. [ citação necessária ]

Análise newtoniana do movimento orbital

A seguinte derivação se aplica a tal órbita elíptica. Começamos apenas com a lei newtoniana da gravitação afirmando que a aceleração gravitacional em direção ao corpo central está relacionada ao inverso do quadrado da distância entre eles, ou seja

onde F 2 é a força que atua sobre a massa m 2 causada pela atração gravitacional que a massa m 1 tem para m 2 , G é a constante gravitacional universal e r é a distância entre os dois centros de massa.

Da Segunda Lei de Newton, a soma das forças que atuam em m 2 em relação à aceleração desse corpo:

onde A 2 é a aceleração de m 2 causada pela força de atração gravitacional F 2 de m 1 agindo em m 2 .

Combinando a Eq. 1 e 2:

Resolvendo para a aceleração, A 2 :

Ondeé o parâmetro gravitacional padrão , neste caso. Entende-se que o sistema que está sendo descrito é m 2 , portanto, os subscritos podem ser eliminados.

Assumimos que o corpo central tem massa suficiente para ser considerado estacionário e ignoramos os efeitos mais sutis da relatividade geral .

Quando um pêndulo ou um objeto preso a uma mola oscila em uma elipse, a aceleração/força para dentro é proporcional à distânciaDevido à forma como os vetores se somam, a componente da força noou no direções também são proporcionais aos respectivos componentes das distâncias,. Assim, toda a análise pode ser feita separadamente nestas dimensões. Isso resulta nas equações parabólicas harmônicaseda elipse. Em contraste, com a diminuição da relação, as dimensões não podem ser separadas. [ citação necessária ]

A localização do objeto em órbita no momento atualestá localizado no plano usando cálculo vetorial em coordenadas polares tanto com a base euclidiana padrão quanto com a base polar com a origem coincidindo com o centro de força. Deixarseja a distância entre o objeto e o centro eseja o ângulo que ele girou. Deixaresejam as bases euclidianas padrão e sejameser a base polar radial e transversal com o primeiro sendo o vetor unitário apontando do corpo central para a localização atual do objeto em órbita e o segundo sendo o vetor unitário ortogonal apontando na direção em que o objeto em órbita viajaria se orbitasse em um contador círculo no sentido horário. Então o vetor para o objeto em órbita é

Nós usamosepara denotar as derivadas padrão de como essa distância e ângulo mudam ao longo do tempo. Tomamos a derivada de um vetor para ver como ele muda ao longo do tempo subtraindo sua localização no tempodisso na horae dividindo por. O resultado também é um vetor. Porque nosso vetor base se move à medida que o objeto orbita, começamos por diferenciá-lo. De tempospara, o vetormantém seu início na origem e gira do ânguloparaque move a cabeça uma distânciana direção perpendiculardando um derivado de.

Agora podemos encontrar a velocidade e a aceleração do nosso objeto em órbita.

Os coeficientes deedê as acelerações nas direções radial e transversal. Como dito, Newton dá isso primeiro devido à gravidade ée o segundo é zero.

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

(2)

A equação (2) pode ser rearranjada usando integração por partes.

Podemos multiplicar porporque não é zero, a menos que o objeto em órbita caia. Então tendo a derivada zero dá que a função é uma constante.

 

 

 

 

(3)

que é na verdade a prova teórica da segunda lei de Kepler (Uma linha que une um planeta e o Sol varre áreas iguais durante intervalos de tempo iguais). A constante de integração, h , é o momento angular por unidade de massa .

Para obter uma equação para a órbita da equação (1), precisamos eliminar o tempo. [8] (Veja também a equação de Binet .) Em coordenadas polares, isso expressaria a distânciado objeto em órbita a partir do centro em função de seu ângulo. No entanto, é mais fácil introduzir a variável auxiliare para expressarcomo a função de. Derivados decom relação ao tempo pode ser reescrito como derivados deem relação ao ângulo.

(retrabalhando (3))

Conectando-os em (1) dá

 

 

 

 

(4)

Assim, para a força gravitacional – ou, mais geralmente, para qualquer lei da força inversa do quadrado – o lado direito da equação se torna uma constante e a equação é vista como a equação harmônica (até um deslocamento da origem da variável dependente) . A solução é:

onde A e θ 0 são constantes arbitrárias. Esta equação resultante da órbita do objeto é a de uma elipse na forma polar em relação a um dos pontos focais. Isso é colocado em uma forma mais padrão, deixandoseja a excentricidade , deixandoser o semi-eixo maior. Finalmente, deixandoentão o eixo longo da elipse está ao longo da coordenada x positiva.

Quando o sistema de dois corpos está sob a influência do torque, o momento angular h não é constante. Após o seguinte cálculo:

obteremos a equação de Sturm-Liouville do sistema de dois corpos. [9]

 

 

 

 

(5)

Movimento orbital relativístico

A análise clássica ( newtoniana ) da mecânica orbital acima assume que os efeitos mais sutis da relatividade geral , como o arraste do quadro e a dilatação do tempo gravitacional, são insignificantes. Os efeitos relativísticos deixam de ser desprezíveis quando perto de corpos muito massivos (como com a precessão da órbita de Mercúrio em torno do Sol), ou quando é necessária extrema precisão (como com cálculos dos elementos orbitais e referências de sinal de tempo para satélites GPS . [10] ) .

Planos orbitais

A análise até agora tem sido bidimensional; verifica-se que uma órbita imperturbável é bidimensional em um plano fixo no espaço e, portanto, a extensão para três dimensões requer simplesmente girar o plano bidimensional no ângulo necessário em relação aos pólos do corpo planetário envolvido.

A rotação para fazer isso em três dimensões requer três números para determinar exclusivamente; tradicionalmente estes são expressos como três ângulos.

Período orbital

O período orbital é simplesmente quanto tempo um corpo em órbita leva para completar uma órbita.

Especificando órbitas

Seis parâmetros são necessários para especificar uma órbita Kepleriana em torno de um corpo. Por exemplo, os três números que especificam a posição inicial do corpo e os três valores que especificam sua velocidade definirão uma órbita única que pode ser calculada para frente (ou para trás) no tempo. No entanto, tradicionalmente os parâmetros utilizados são ligeiramente diferentes.

O conjunto de elementos orbitais tradicionalmente usado é chamado de conjunto de elementos keplerianos , em homenagem a Johannes Kepler e suas leis. Os elementos keplerianos são seis:

Em princípio, uma vez que os elementos orbitais são conhecidos para um corpo, sua posição pode ser calculada para frente e para trás indefinidamente no tempo. No entanto, na prática, as órbitas são afetadas ou perturbadas por outras forças que não a simples gravidade de uma fonte pontual assumida (veja a próxima seção), e assim os elementos orbitais mudam ao longo do tempo.

Perturbações orbitais

Uma perturbação orbital é quando uma força ou impulso que é muito menor que a força geral ou o impulso médio do corpo gravitante principal e que é externo aos dois corpos em órbita causa uma aceleração, que altera os parâmetros da órbita ao longo do tempo.

Perturbações radiais, progressivas e transversais

Um pequeno impulso radial dado a um corpo em órbita altera a excentricidade , mas não o período orbital (para primeira ordem). Um impulso prógrado ou retrógrado (ou seja, um impulso aplicado ao longo do movimento orbital) altera tanto a excentricidade quanto o período orbital . Notavelmente, um impulso progrado na periapsis aumenta a altitude na apoapsis , e vice-versa e um impulso retrógrado faz o oposto. Um impulso transversal (fora do plano orbital) causa rotação do plano orbital sem alterar o período ou excentricidade. Em todos os casos, uma órbita fechada ainda cruzará o ponto de perturbação.

Decaimento orbital

Se uma órbita é sobre um corpo planetário com uma atmosfera significativa, sua órbita pode decair devido ao arrasto . Particularmente em cada periapsis, o objeto experimenta arrasto atmosférico, perdendo energia. A cada vez, a órbita fica menos excêntrica (mais circular) porque o objeto perde energia cinética precisamente quando essa energia está no máximo. Isso é semelhante ao efeito de desacelerar um pêndulo em seu ponto mais baixo; o ponto mais alto da oscilação do pêndulo torna-se mais baixo. Com cada desaceleração sucessiva, mais do caminho da órbita é afetado pela atmosfera e o efeito se torna mais pronunciado. Eventualmente, o efeito se torna tão grande que a energia cinética máxima não é suficiente para retornar a órbita acima dos limites do efeito de arrasto atmosférico. Quando isso acontece, o corpo rapidamente espirala para baixo e cruza o corpo central.

Os limites de uma atmosfera variam muito. Durante um máximo solar , a atmosfera da Terra causa um arrasto até cem quilômetros maior do que durante um mínimo solar.

Alguns satélites com cabos condutores longos também podem sofrer decaimento orbital devido ao arrasto eletromagnético do campo magnético da Terra . À medida que o fio corta o campo magnético, ele atua como um gerador, movendo elétrons de uma extremidade à outra. A energia orbital é convertida em calor no fio.

As órbitas podem ser influenciadas artificialmente através do uso de motores de foguete que alteram a energia cinética do corpo em algum ponto de seu caminho. Esta é a conversão de energia química ou elétrica em energia cinética. Desta forma, as mudanças na forma ou orientação da órbita podem ser facilitadas.

Outro método de influenciar artificialmente uma órbita é através do uso de velas solares ou velas magnéticas . Essas formas de propulsão não requerem propulsores ou entrada de energia além da do Sol e, portanto, podem ser usadas indefinidamente. Veja statite para um desses usos propostos.

O decaimento orbital pode ocorrer devido a forças de maré para objetos abaixo da órbita síncrona para o corpo que estão orbitando. A gravidade do objeto em órbita aumenta as protuberâncias de maré no primário e, como abaixo da órbita síncrona, o objeto em órbita está se movendo mais rápido que a superfície do corpo, as protuberâncias ficam um pequeno ângulo atrás dele. A gravidade das protuberâncias está ligeiramente fora do eixo do satélite primário e, portanto, tem um componente junto com o movimento do satélite. A protuberância próxima desacelera o objeto mais do que a protuberância distante o acelera e, como resultado, a órbita decai. Por outro lado, a gravidade do satélite nas protuberâncias aplica torqueno primário e acelera sua rotação. Os satélites artificiais são pequenos demais para ter um efeito de maré apreciável nos planetas que orbitam, mas várias luas do Sistema Solar estão sofrendo decaimento orbital por esse mecanismo. A lua mais interna de Marte, Phobos , é um excelente exemplo e espera-se que impacte a superfície de Marte ou se quebre em um anel dentro de 50 milhões de anos.

As órbitas podem decair através da emissão de ondas gravitacionais . Esse mecanismo é extremamente fraco para a maioria dos objetos estelares, tornando-se significativo apenas nos casos em que há uma combinação de massa extrema e aceleração extrema, como em buracos negros ou estrelas de nêutrons que estão orbitando umas às outras.

Oblação

A análise padrão de corpos em órbita assume que todos os corpos consistem em esferas uniformes, ou mais geralmente, cascas concêntricas, cada uma de densidade uniforme. Pode-se mostrar que tais corpos são gravitacionalmente equivalentes a fontes pontuais.

No entanto, no mundo real, muitos corpos giram, e isso introduz o achatamento e distorce o campo gravitacional, e dá um momento de quadrupolo ao campo gravitacional que é significativo em distâncias comparáveis ​​ao raio do corpo. No caso geral, o potencial gravitacional de um corpo em rotação como, por exemplo, um planeta é geralmente expandido em multipolos, levando em conta os desvios da simetria esférica. Do ponto de vista da dinâmica dos satélites, de particular relevância são os chamados coeficientes harmônicos zonais pares, ou mesmo zonais, uma vez que induzem perturbações orbitais seculares que são cumulativas em intervalos de tempo maiores que o período orbital. [11] [12] [13]Dependem da orientação do eixo de simetria do corpo no espaço, afetando, em geral, toda a órbita, com exceção do semieixo maior.

Vários corpos gravitando

Os efeitos de outros corpos gravitacionais podem ser significativos. Por exemplo, a órbita da Lua não pode ser descrita com precisão sem permitir a ação da gravidade do Sol, bem como da Terra. Um resultado aproximado é que os corpos geralmente terão órbitas razoavelmente estáveis ​​em torno de um planeta ou lua mais pesado, apesar dessas perturbações, desde que estejam orbitando bem dentro da esfera Hill do corpo mais pesado .

Quando há mais de dois corpos gravitando é referido como um problema de n-corpos . A maioria dos problemas de n-corpos não tem solução de forma fechada , embora alguns casos especiais tenham sido formulados.

Radiação de luz e vento estelar

Para corpos menores em particular, a luz e o vento estelar podem causar perturbações significativas na atitude e direção do movimento do corpo e, com o tempo, podem ser significativas. Dos corpos planetários, o movimento dos asteróides é particularmente afetado por grandes períodos quando os asteróides estão girando em relação ao Sol.

Órbitas estranhas

Os matemáticos descobriram que é possível, em princípio, ter vários corpos em órbitas não elípticas que se repetem periodicamente, embora a maioria dessas órbitas não seja estável em relação a pequenas perturbações em massa, posição ou velocidade. No entanto, alguns casos estáveis ​​especiais foram identificados, incluindo uma órbita plana em forma de oito ocupada por três corpos em movimento . [14] Outros estudos descobriram que órbitas não planares também são possíveis, incluindo uma envolvendo 12 massas movendo-se em 4 órbitas aproximadamente circulares, entrelaçadas topologicamente equivalentes às bordas de um cuboctaedro . [15]

Acredita-se que encontrar tais órbitas que ocorrem naturalmente no universo é extremamente improvável, devido à improbabilidade das condições exigidas ocorrerem por acaso. [15]

Astrodinâmica

A mecânica orbital ou astrodinâmica é a aplicação da balística e da mecânica celeste aos problemas práticos relativos ao movimento de foguetes e outras naves espaciais . O movimento desses objetos é geralmente calculado a partir das leis do movimento de Newton e da lei da gravitação universal de Newton . É uma disciplina central no projeto e controle de missões espaciais. A mecânica celeste trata de forma mais ampla a dinâmica orbital de sistemas sob a influência da gravidade , incluindo naves espaciais e corpos astronômicos naturais, como sistemas estelares, planetas , luas ecometas . A mecânica orbital se concentra em trajetórias de naves espaciais , incluindo manobras orbitais , mudanças de plano de órbita e transferências interplanetárias, e é usada por planejadores de missões para prever os resultados de manobras de propulsão . A relatividade geral é uma teoria mais exata do que as leis de Newton para calcular órbitas e às vezes é necessária para maior precisão ou em situações de alta gravidade (como órbitas próximas ao Sol).

Órbitas da Terra

Comparação da órbita geoestacionária da Terra com as órbitas do sistema de navegação por satélite GPS , GLONASS , Galileo e Compass (órbita média da Terra) com as órbitas da Estação Espacial Internacional , Telescópio Espacial Hubble e da constelação Iridium , e o tamanho nominal da Terra . [a] A órbita da Lua é cerca de 9 vezes maior (em raio e comprimento) do que a órbita geoestacionária. [b]

Escala em gravidade

A constante gravitacional G foi calculada como:

  • (6,6742 ± 0,001) × 10 −11 (kg/m 3 ) −1 s −2 .

Assim, a constante tem densidade de dimensão −1 vezes −2 . Isso corresponde às seguintes propriedades.

A escala de distâncias (incluindo tamanhos de corpos, mantendo as densidades iguais) fornece órbitas semelhantes sem escalar o tempo: se, por exemplo, as distâncias forem reduzidas pela metade, as massas são divididas por 8, as forças gravitacionais por 16 e as acelerações gravitacionais por 2. Portanto, as velocidades são períodos de metade e orbitais e outros tempos de viagem relacionados à gravidade permanecem os mesmos. Por exemplo, quando um objeto é derrubado de uma torre, o tempo que leva para cair no chão permanece o mesmo com uma maquete da torre em uma maquete da Terra.

O escalonamento de distâncias mantendo as massas iguais (no caso de massas pontuais, ou ajustando as densidades) fornece órbitas semelhantes; se as distâncias são multiplicadas por 4, as forças e acelerações gravitacionais são divididas por 16, as velocidades são reduzidas pela metade e os períodos orbitais são multiplicados por 8.

Quando todas as densidades são multiplicadas por 4, as órbitas são as mesmas; as forças gravitacionais são multiplicadas por 16 e as acelerações por 4, as velocidades são duplicadas e os períodos orbitais são reduzidos à metade.

Quando todas as densidades são multiplicadas por 4 e todos os tamanhos são reduzidos à metade, as órbitas são semelhantes; as massas são divididas por 2, as forças gravitacionais são as mesmas, as acelerações gravitacionais são duplicadas. Portanto, as velocidades são as mesmas e os períodos orbitais são reduzidos à metade.

Em todos esses casos de dimensionamento. se as densidades forem multiplicadas por 4, os tempos são divididos pela metade; se as velocidades são dobradas, as forças são multiplicadas por 16.

Essas propriedades são ilustradas na fórmula (derivada da fórmula para o período orbital )

para uma órbita elíptica com semi-eixo maior a , de um corpo pequeno em torno de um corpo esférico de raio r e densidade média ρ , onde T é o período orbital. Veja também a Terceira Lei de Kepler .

Patentes

A aplicação de certas órbitas ou manobras orbitais para fins úteis específicos tem sido objeto de patentes. [19]

Bloqueio de maré

Alguns corpos estão travados por maré com outros corpos, o que significa que um lado do corpo celeste está permanentemente voltado para seu objeto hospedeiro. Este é o caso do sistema Terra - Lua e Plutão-Caronte.

Veja também

Notas

  1. ^ Períodos orbitais e velocidades são calculados usando as relações 4 π 2 R 3  =  T 2 GM e V 2 R  =  GM , onde R = raio da órbita em metros, T = período orbital em segundos, V = velocidade orbital em m/s , G = constante gravitacional ≈ 6,673 × 10−11  Nm 2 /kg 2 , M = massa da Terra ≈ 5,98 × 1024kg  .
  2. Aproximadamente 8,6 vezes quando a Lua está mais próxima (363.104 km ÷ 42.164 km) a 9,6 vezes quando a Lua está mais distante (405.696 km ÷ 42.164 km).

Referências

  1. ^ "órbita (astronomia) - Britannica Online Encyclopedia" . Arquivado a partir do original em 5 de maio de 2015 . Recuperado em 28 de julho de 2008 .
  2. ^ "The Space Place :: O que é um Barycenter" . Arquivado a partir do original em 29 de janeiro de 2013 . Recuperado em 26 de novembro de 2012 .
  3. ^ Kuhn, The Copernican Revolution , pp. 238, 246-252
  4. ^ Encyclopædia Britannica , 1968, vol. 2, pág. 645
  5. ^ M Caspar, Kepler (1959, Abelard-Schuman), nas pp.131–140; A Koyré, A Revolução Astronômica: Copérnico, Kepler, Borelli (1973, Methuen), pp. 277-279
  6. ^ Jones, André. "As Leis do Movimento Planetário de Kepler" . about.com . Arquivado a partir do original em 18 de novembro de 2016 . Recuperado em 1 de junho de 2008 .
  7. Veja as páginas 6 a 8 em Newton's "Treatise of the System of the World" Arquivado em 30 de dezembro de 2016 na Wayback Machine (escrito em 1685, traduzido para o inglês em 1728, veja Newton's 'Principia' - A versão preliminar ), para a versão original de este experimento mental de 'bola de canhão'.
  8. Fitzpatrick, Richard (2 de fevereiro de 2006). "Órbitas planetárias" . Mecânica Clássica – um curso introdutório . A Universidade do Texas em Austin. Arquivado a partir do original em 3 de março de 2001.
  9. Luo, Siwei (22 de junho de 2020). "O problema Sturm-Liouville do sistema de dois corpos" . Revista de Comunicações Físicas . 4 (6): 061001. Bibcode : 2020JPhCo...4f1001L . doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
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  12. ^ Renzetti, G. (2013). "Precessões orbitais de satélite causadas pelo momento de massa octupolar de um corpo não esférico orientado arbitrariamente no espaço". Jornal de Astrofísica e Astronomia . 34 (4): 341–348. Bibcode : 2013JApA...34..341R . doi : 10.1007/s12036-013-9186-4 . S2CID 120030309 . 
  13. ^ Renzetti, G. (2014). "Precessões orbitais de satélite causadas pelo primeiro multipolo zonal J3 ímpar de um corpo não esférico orientado arbitrariamente no espaço". Astrofísica e Ciência Espacial . 352 (2): 493-496. Bibcode : 2014Ap&SS.352..493R . doi : 10.1007/s10509-014-1915-x . S2CID 119537102 . 
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  17. ^ a b "Órbita: Definição" . Guia do Escritor de Descrição Auxiliar, 2013 . Diretório Mestre de Mudanças Globais da Administração Nacional de Aeronáutica e Espaço (NASA). Arquivado a partir do original em 11 de maio de 2013 . Recuperado em 29 de abril de 2013 .
  18. ^ Vallado, David A. (2007). Fundamentos de Astrodinâmica e Aplicações . Hawthorne, CA: Microcosm Press. pág. 31.
  19. ^ Ferreira, Becky (19 de fevereiro de 2015). "Como as empresas de satélite patenteiam suas órbitas" . Placa-mãe . Vice Notícias. Arquivado a partir do original em 18 de janeiro de 2017 . Recuperado em 20 de setembro de 2018 .

Leitura adicional

Links externos