Normal (geometria)

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Um polígono e seus dois vetores normais
Uma normal a uma superfície em um ponto é a mesma que uma normal ao plano tangente à superfície no mesmo ponto.

Em geometria , uma normal é um objeto como uma linha , um raio ou um vetor que é perpendicular a um determinado objeto. Por exemplo, a linha normal a uma curva plana em um determinado ponto é a linha (infinita) perpendicular à linha tangente à curva no ponto. Um vetor normal pode ter comprimento um (um vetor unitário ) ou seu comprimento pode representar a curvatura do objeto (um vetor de curvatura ); seu sinal algébrico pode indicar lados (interiores ou exteriores).

Em três dimensões, uma superfície normal , ou simplesmente normal , a uma superfície no pontoé um vetor perpendicular ao plano tangente da superfície em P. A palavra "normal" também é usada como adjetivo: uma linha normal a um plano , o componente normal de uma força , o vetor normal , etc. O conceito de normalidade generaliza para ortogonalidade ( ângulos retos ).

O conceito foi generalizado para variedades diferenciáveis ​​de dimensão arbitrária embutidas em um espaço euclidiano . O espaço vetorial normal ou espaço normal de uma variedade no pontoé o conjunto de vetores que são ortogonais ao espaço tangente em Os vetores normais são de interesse especial no caso de curvas suaves e superfícies suaves .

A normal é frequentemente usada em computação gráfica 3D (observe o singular, pois apenas uma normal será definida) para determinar a orientação de uma superfície em direção a uma fonte de luz para sombreamento plano ou a orientação de cada um dos cantos da superfície ( vértices ) para imitar um superfície curva com sombreamento Phong .

A distância normal de um ponto Q a uma curva ou a uma superfície é a distância euclidiana entre Q e sua projeção perpendicular no objeto (no ponto P do objeto onde a normal contém Q ). A distância normal é um tipo de distância perpendicular que generaliza a distância de um ponto a uma linha e a distância de um ponto a um plano . Ele pode ser usado para ajuste de curvas e para definir superfícies de deslocamento .

Normal às superfícies no espaço 3D

Uma superfície curva mostrando os vetores normais unitários (setas azuis) à superfície

Calculando uma normal de superfície

Para um polígono convexo (como um triângulo ), uma superfície normal pode ser calculada como o produto vetorial de duas arestas (não paralelas) do polígono.

Para um plano dado pela equaçãoo vetoré um normal.

Para um plano cuja equação é dada na forma paramétrica

Ondeé um ponto do plano esão vetores não paralelos apontando ao longo do plano, uma normal ao plano é um vetor normal a amboseque pode ser encontrado como o produto vetorial

Se uma superfície (possivelmente não plana)em 3 espaçosé parametrizado por um sistema de coordenadas curvilíneas come variáveis ​​reais , então uma normal a S é por definição uma normal a um plano tangente, dada pelo produto vetorial das derivadas parciais

Se uma superfícieé dado implicitamente como o conjunto de pontossatisfatório então uma normal em um pontona superfície é dado pelo gradiente

uma vez que o gradiente em qualquer ponto é perpendicular ao conjunto de nível

Para uma superfíciedentrodado como o gráfico de uma funçãouma normal apontando para cima pode ser encontrada tanto a partir da parametrizaçãodando

ou mais simplesmente de sua forma implícitadando Como uma superfície não possui um plano tangente em um ponto singular , ela não possui uma normal bem definida nesse ponto: por exemplo, o vértice de um cone . Em geral, é possível definir uma normal em quase todos os lugares para uma superfície que é contínua de Lipschitz .

Escolha do normal

Um campo vetorial de normais a uma superfície

A normal a uma (hiper)superfície geralmente é dimensionada para ter comprimento unitário , mas não possui uma direção única, pois seu oposto também é uma normal unitária. Para uma superfície que é o limite topológico de um conjunto em três dimensões, pode-se distinguir entre a normal apontando para dentro e a normal apontando para fora . Para uma superfície orientada , a normal é geralmente determinada pela regra da mão direita ou seu análogo em dimensões superiores.

Se a normal é construída como o produto vetorial de vetores tangentes (como descrito no texto acima), ela é um pseudovetor .

Transformando normais

Ao aplicar uma transformação a uma superfície, muitas vezes é útil derivar normais para a superfície resultante das normais originais.

Especificamente, dada uma matriz de transformação 3×3podemos determinar a matrizque transforma um vetorperpendicular ao plano tangenteem um vetorperpendicular ao plano tangente transformadopela seguinte lógica:

Escreva n' comoDevemos encontrar

Escolhendode tal modo que ousatisfará a equação acima, dando umperpendicular aou umperpendicular acomo requerido.

Portanto, deve-se usar a transposição inversa da transformação linear ao transformar normais de superfície. A transposição inversa é igual à matriz original se a matriz for ortonnormal, ou seja, puramente rotacional sem escala ou cisalhamento.

Hipersuperfícies em espaço n -dimensional

Para umhiperplano tridimensional emespaço dimensional dado por sua representação paramétrica

Ondeé um ponto no hiperplano eparasão vetores linearmente independentes apontando ao longo do hiperplano, uma normal ao hiperplano é qualquer vetorno espaço nulo da matrizsignificadoOu seja, qualquer vetor ortogonal a todos os vetores no plano é, por definição, uma superfície normal. Alternativamente, se o hiperplano é definido como o conjunto solução de uma única equação linearentão o vetoré um normal.

A definição de uma normal a uma superfície no espaço tridimensional pode ser estendida parahipersuperfícies dimensionais emUma hipersuperfície pode ser definida localmente implicitamente como o conjunto de pontossatisfazendo uma equaçãoOndeé uma função escalar dada . Seé continuamente diferenciável , então a hipersuperfície é uma variedade diferenciável na vizinhança dos pontos onde o gradiente não é zero. Nesses pontos, um vetor normal é dado pelo gradiente:

A linha normal é o subespaço unidimensional com base

Variedades definidas por equações implícitas no espaço n -dimensional

Uma variedade diferencial definida por equações implícitas noespaço dimensionalé o conjunto dos zeros comuns de um conjunto finito de funções diferenciáveis ​​emvariáveis

A matriz jacobiana da variedade é amatriz cuja-th linha é o gradiente dePelo teorema da função implícita , a variedade é uma variedade na vizinhança de um ponto onde a matriz Jacobiana tem postoEm tal pontoo espaço vetorial normal é o espaço vetorial gerado pelos valores emdos vetores gradientes do

Em outras palavras, uma variedade é definida como a interseção dehipersuperfícies, e o espaço vetorial normal em um ponto é o espaço vetorial gerado pelos vetores normais das hipersuperfícies no ponto.

O espaço normal (afim) em um pontoda variedade é o subespaço afim que passa pore gerado pelo espaço vetorial normal em

Essas definições podem ser estendidas literalmente para os pontos em que a variedade não é múltipla.

Exemplo

Seja V a variedade definida no espaço tridimensional pelas equações

Esta variedade é a união da-eixo e o-eixo.

Em um pontoOndeas linhas da matriz Jacobiana sãoeAssim, o espaço afim normal é o plano da equaçãoDa mesma forma, seo plano normal emé o plano da equação

No pontoas linhas da matriz Jacobiana sãoeAssim, o espaço vetorial normal e o espaço afim normal têm dimensão 1 e o espaço afim normal é o-eixo.

Usa

Normal em óptica geométrica

Diagrama de reflexão especular

Oraio normal é o raio que aponta para foraperpendicularà superfície de ummeio ópticoem um determinado ponto. [2] Nareflexão da luz, oângulo de incidênciae oângulo de reflexãosão respectivamente o ângulo entre a normal e oraio incidente(noplano de incidência) e o ângulo entre a normal e oraio refletido.

Veja também

Referências

  1. ^ Ying Wu. "Radiometria, BRDF e Estéreo Fotométrico" (PDF) . Universidade do Noroeste.
  2. ^ "A Lei da Reflexão" . A aula de Física Tutorial . Arquivado a partir do original em 27 de abril de 2009 . Recuperado em 31-03-2008 .

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