Necessidade e suficiência

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Em lógica e matemática , necessidade e suficiência são termos usados ​​para descrever uma relação condicional ou implicacional entre duas afirmações . Por exemplo, na afirmação condicional: "Se P então Q ", Q é necessário para P, porque a verdade de Q é garantida pela verdade de P (equivalentemente, é impossível ter P sem Q ). [1] Da mesma forma, P é suficientepara Q, porque P sendo verdadeiro sempre implica que Q é verdadeiro, mas P não sendo verdadeiro nem sempre implica que Q não seja verdadeiro. [2]



Em geral, uma condição necessária é aquela que deve estar presente para que outra condição ocorra, enquanto uma condição suficiente é aquela que produz a referida condição. [3] A afirmação de que uma declaração é uma condição "necessária e suficiente" de outra significa que a primeira declaração é verdadeira se e somente se a última for verdadeira. Ou seja, as duas afirmações devem ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. [4] [5] [6]

Em inglês comum , "necessário" e "suficiente" indicam relações entre condições ou estados de coisas, não declarações. Por exemplo, ser homem é uma condição necessária para ser irmão, mas não é suficiente - ao passo que ser irmão é uma condição necessária e suficiente para ser irmão. Qualquer declaração condicional consiste em pelo menos uma condição suficiente e pelo menos uma condição necessária.

Definições

Na declaração condicional, "se S , então N ", a expressão representada por S é chamada de antecedente , e a expressão representada por N é chamada de conseqüente . Esta declaração condicional pode ser escrita de várias maneiras equivalentes, como " N se S ", " S apenas se N ", " S implica N ", " N está implícito em S ", SN , SN e "N sempre que S". [7]

Na situação acima, N é dito ser um necessária condição para S . Na linguagem comum, isso é equivalente a dizer que se a declaração condicional é uma declaração verdadeira, então o N consequente deve ser verdadeiro - se S é para ser verdadeiro (veja a terceira coluna da " tabela verdade " imediatamente abaixo). Em outras palavras, o antecedente S não pode ser verdadeiro sem que N seja verdadeiro. Por exemplo, em ordem para alguém ser chamado S ocrates, que é necessário para que alguém ser N amed. Da mesma forma, para que o ser humano viva, é necessário que ele tenha ar. [8]

Na situação acima, também se pode dizer que S é uma condição suficiente para N (consulte novamente a terceira coluna da tabela verdade imediatamente abaixo). Se a afirmação condicional for verdadeira, então se S for verdadeiro, N deve ser verdadeiro; ao passo que se a afirmação condicional for verdadeira e N for verdadeiro, então S pode ser verdadeiro ou falso. Em termos comuns, "a verdade de S garante a verdade de N ". [8] Por exemplo, continuando a partir do exemplo anterior, pode-se dizer que sabendo que alguém é chamado S ocrates é suficiente para saber que alguém tem uma N ame.

Uma condição necessária e suficiente requer que ambas as implicações e (o último dos quais também pode ser escrito como ) segurar. A primeira implicação sugere que S é uma condição suficiente para N , enquanto a segunda implicação sugere que S é uma condição necessária para N . Isso é expresso como " S é necessário e suficiente para N ", " S se e somente se N ", ou.

Mesa da verdade
S N
T T T T T
T F F T F
F T T F F
F F T T T

Necessidade

O sol estar acima do horizonte é uma condição necessária para a luz solar direta; mas não é uma condição suficiente, pois alguma outra coisa pode estar projetando uma sombra, por exemplo, a lua no caso de um eclipse .

A afirmação de que Q é necessário para P é coloquialmente equivalente a " P não pode ser verdadeiro a menos que Q seja verdadeiro" ou "se Q for falso, então P é falso". [8] [1] Por contraposição , é a mesma coisa que "sempre que P é verdadeiro, Q também é ".

A relação lógica entre P e Q é expressa como "se P , então Q " e denotada " PQ " ( P implica Q ). Também pode ser expresso como qualquer um de " P somente se Q ", " Q , se P ", " Q sempre que P " e " Q quando P ". Muitas vezes encontramos, na prosa matemática, por exemplo, várias condições necessárias que, tomadas em conjunto, constituem uma condição suficiente (isto é, individualmente necessárias e conjuntamente suficientes [8]), conforme mostrado no Exemplo 5.

Exemplo 1
Para que seja verdade que "João é solteiro", é necessário que seja também verdade que ele é
  1. solteiro,
  2. macho,
  3. adulto,
já que afirmar "John é solteiro" implica que John tem cada um desses três predicados adicionais .
Exemplo 2
Para os números inteiros maiores que dois, ser ímpar é necessário para ser primo, já que dois é o único número inteiro que é par e primo.
Exemplo 3
Considere o trovão, o som causado por um raio. Diz-se que o trovão é necessário para o relâmpago, pois o relâmpago nunca ocorre sem o trovão. Sempre que há relâmpagos, há trovões. O trovão não causa o relâmpago (já que o relâmpago causa o trovão), mas porque o relâmpago sempre vem com o trovão, dizemos que o trovão é necessário para o relâmpago. (Ou seja, em seu sentido formal, necessidade não implica causalidade.)
Exemplo 4
Ter pelo menos 30 anos é necessário para servir no Senado dos Estados Unidos. Se você tem menos de 30 anos, é impossível ser senador. Ou seja, se você é senador, segue-se que deve ter pelo menos 30 anos.
Exemplo 5
Em álgebra , para algum conjunto S junto com uma operação para formar um grupo é necessário queseja associativo . Também é necessário que S inclua um elemento especial e tal que para cada x em S , é o caso que e x e x e ambos são iguais a x . Também é necessário que para cada x em S exista um elemento correspondente x ″ , de modo que ambos x x ″ e x ″ x é igual ao elemento especial e . Nenhuma dessas três condições necessárias por si só é suficiente, mas a conjunção das três é.

Suficiência

O fato de um trem funcionar dentro do horário pode ser uma condição suficiente para chegar no horário (se alguém embarcar no trem e ele sair no horário, então chegará no horário); mas nem sempre é uma condição necessária, uma vez que existem outras formas de viajar (se o trem não chegar a tempo, pode-se ainda chegar a tempo por outro meio de transporte).

Se P é suficiente para Q , então saber que P é verdadeiro é uma base adequada para concluir que Q é verdadeiro; entretanto, saber que P é falso não atende a uma necessidade mínima de concluir que Q é falso.

A relação lógica é, como antes, expressa como "se P , então Q " ou " PQ ". Isso também pode ser expresso como " P apenas se Q ", " P implica Q " ou várias outras variantes. Pode ser que várias condições suficientes, quando tomadas em conjunto, constituam uma única condição necessária (isto é, individualmente suficiente e conjuntamente necessária), como ilustrado no exemplo 5.

Exemplo 1
"João é um rei" implica que João é homem. Portanto, saber que João é um rei é suficiente para saber que ele é um homem.
Exemplo 2
O fato de um número ser divisível por 4 é suficiente (mas não necessário) para que seja par, mas ser divisível por 2 é suficiente e necessário para que seja par.
Exemplo 3
A ocorrência de um trovão é condição suficiente para a ocorrência de um raio no sentido de que ouvir um trovão, e reconhecê-lo inequivocamente como tal, justifica a conclusão de que houve um raio.
Exemplo 4
Se o Congresso dos EUA aprovar um projeto de lei, a assinatura do projeto pelo presidente é suficiente para torná-lo lei. Observe que o caso em que o presidente não assinou o projeto, por exemplo, por meio do exercício de um veto presidencial , não significa que o projeto não se tornou uma lei (por exemplo, ainda poderia ter se tornado uma lei por meio de uma anulação do Congresso ).
Exemplo 5
Que o centro de uma carta de jogo seja marcado com uma única espada grande (♠) é suficiente para que a carta seja um ás. Três outras condições suficientes são que o centro da carta seja marcado com um único diamante (♦), coração (♥) ou clube (♣). Nenhuma dessas condições é necessária para a carta ser um ás, mas sua disjunção é, uma vez que nenhuma carta pode ser um ás sem preencher pelo menos (na verdade, exatamente) uma dessas condições.

Relação entre condições necessárias e suficientes

Estar na região roxa é suficiente para estar em A, mas não é necessário. Estar em A é necessário para estar na região roxa, mas não o suficiente. Estar em A e estar em B é necessário e suficiente para estar na região roxa.

Uma condição pode ser necessária ou suficiente sem ser a outra. Por exemplo, ser um mamífero ( N ) é necessário, mas não suficiente para ser humano ( S ), e que um número é racional ( S ) é suficiente, mas não necessário para sendo um número real ( N ) (uma vez que existem números reais que não são racionais).

Uma condição pode ser necessária e suficiente. Por exemplo, atualmente, "hoje é quatro de julho " é uma condição necessária e suficiente para "hoje é o Dia da Independência dos Estados Unidos ". Da mesma forma, uma condição necessária e suficiente para a invertibilidade de uma matriz M é que M tenha um determinante diferente de zero .

Matematicamente falando, necessidade e suficiência são duais entre si. Para quaisquer declarações S e N , a afirmação de que " N é necessário para S " é equivalente à afirmação de que " S é suficiente para N ". Outra faceta dessa dualidade é que, conforme ilustrado acima, as conjunções (usando "e") de condições necessárias podem alcançar a suficiência, enquanto as disjunções (usando "ou") de condições suficientes podem alcançar a necessidade. Para uma terceira faceta, identifique cada predicado matemático N com o conjunto T ( N ) de objetos, eventos ou declarações para os quais Npermanece verdadeiro; então, afirmar a necessidade de N para S é equivalente a afirmar que T ( N ) é um superconjunto de T ( S ), enquanto afirmar que a suficiência de S para N é equivalente a afirmar que T ( S ) é um subconjunto de T ( N )

Necessidade simultânea e suficiência

Dizer que P é necessário e suficiente para Q é dizer duas coisas:

  1. que P é necessário para Q , , e que P é suficiente para Q ,.
  2. equivalentemente, pode-se entender que P e Q são necessários para o outro,, que também pode ser declarado como cada um é suficiente ou implica o outro.

Pode-se resumir qualquer um, e portanto todos, desses casos pela declaração " P se e somente se Q ", que é denotado por, enquanto os casos nos dizem que é idêntico a .

Por exemplo, em teoria dos grafos, um grafo G é denominado bipartido se for possível atribuir a cada um de seus vértices a cor preta ou branca de forma que cada aresta de G tenha um ponto final de cada cor. E para qualquer gráfico ser bipartido, é uma condição necessária e suficiente que ele não contenha ciclos de comprimento ímpar . Assim, descobrir se um gráfico tem algum ciclo ímpar diz se ele é bipartido e vice-versa. Um filósofo [9] pode caracterizar este estado de coisas assim: "Embora os conceitos de bipartididade e ausência de ciclos ímpares difiram em intensidade , eles têm idênticosextensão . [10]

Em matemática, os teoremas são freqüentemente apresentados na forma " P é verdadeiro se e somente se Q for verdadeiro". Suas provas normalmente provam primeiro a suficiência, por exemplo. Em segundo lugar, o oposto é provado,

  1. ou diretamente, assumindo que Q é verdadeiro e demonstrando que o círculo Q está localizado dentro de P, ou
  2. em contraposição , isso é demonstrar que saindo do círculo de P, caímos no Q : assumindo que não P, não Q resulta .

Isso prova que os círculos para Q e P correspondem aos diagramas de Venn acima.

Porque, conforme explicado na seção anterior, a necessidade de um para o outro é equivalente à suficiência do outro para o primeiro, por exemplo é equivalente a , Se P é necessária e suficiente para Q , então Q é necessária e suficiente para P . Nós podemos escrevere dizer que as afirmações " P é verdadeiro se e somente se Q for verdadeiro" e " Q é verdadeiro se e somente se P for verdadeiro" são equivalentes.

Veja também

Referências

  1. ^ a b "[M06] Necessidade e suficiência" . filosofia.hku.hk . Obtido em 02/12/2019 .
  2. ^ Bloch, Ethan D. (2011). Provas e Fundamentos: Um Primeiro Curso de Matemática Abstrata . Springer. pp. 8–9. ISBN 978-1-4419-7126-5.
  3. ^ Confusão de necessidade (15/05/2019). "Confusão de Necessário com Condição Suficiente" . www.txstate.edu . Obtido em 02/12/2019 .
  4. ^ Betz, Frederick (2011). Gestão da Ciência: Metodologia e Organização da Pesquisa . Nova York: Springer. p. 247. ISBN 978-1-4419-7487-7.
  5. ^ Manktelow, KI (1999). Raciocínio e pensamento . East Sussex, Reino Unido: Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.
  6. ^ Asnina, Erika; Osis, Janis & Jansone, Asnate (2013). "Especificação formal das relações topológicas". Bancos de dados e sistemas de informação VII . 249 (Bases de dados e sistemas de informação VII): 175. doi : 10.3233 / 978-1-61499-161-8-175 .
  7. ^ Devlin, Keith (2004), Sets, Functions and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics (3ª ed.), Chapman & Hall, pp. 22-23, ISBN 978-1-58488-449-1
  8. ^ a b c d "O conceito de condições necessárias e condições suficientes" . www.sfu.ca . Obtido em 02/12/2019 .
  9. ^ Primeira demão da Universidade de Stanford, 2006 .
  10. ^ "Os significados, neste sentido, são frequentemente chamados de intensões e as coisas designadas, extensões . Os contextos em que a extensão é tudo o que importa são, naturalmente, chamados de extensionais , enquanto os contextos em que a extensão não é suficiente são intensionais . A matemática é tipicamente extensional em toda . " Cartilha da Stanford University, 2006 .

Ligações externas