Inverso multiplicativo

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Gráfico mostrando a representação diagramática de limites que se aproximam do infinito
A função recíproca: y = 1/ x . Para cada x exceto 0, y representa seu inverso multiplicativo. O gráfico forma uma hipérbole retangular .

Em matemática , um inverso multiplicativo ou recíproco para um número x , denotado por 1/ x ou x −1 , é um número que quando multiplicado por x produz a identidade multiplicativa , 1. O inverso multiplicativo de uma fração a / b é b / um . Para o inverso multiplicativo de um número real, divida 1 pelo número. Por exemplo, o recíproco de 5 é um quinto (1/5 ou 0,2), e o recíproco de 0,25 é 1 dividido por 0,25, ou 4. A função recíproca , a funçãof ( x ) que mapeia x para 1/ x , é um dos exemplos mais simples de uma função que é sua própria inversa (uma involução ).

Multiplicar por um número é o mesmo que dividir pelo seu recíproco e vice-versa. Por exemplo, a multiplicação por 4/5 (ou 0,8) dará o mesmo resultado que a divisão por 5/4 (ou 1,25). Portanto, a multiplicação por um número seguido pela multiplicação por seu recíproco produz o número original (já que o produto do número e seu recíproco é 1).

O termo recíproco era de uso comum pelo menos desde a terceira edição da Encyclopædia Britannica (1797) para descrever dois números cujo produto é 1; quantidades geométricas em proporção inversa são descritas como recíprocas em uma tradução de 1570 dos Elementos de Euclides . [1]

Na frase inversa multiplicativa , o qualificador multiplicativo é frequentemente omitido e então tacitamente entendido (em contraste com o inverso aditivo ). Inversas multiplicativas podem ser definidas em muitos domínios matemáticos, bem como em números. Nestes casos pode acontecer que abba ; então "inverse" normalmente implica que um elemento é um inverso à esquerda e à direita .

A notação f −1 às vezes também é usada para a função inversa da função f , que em geral não é igual à inversa multiplicativa. Por exemplo, o inverso multiplicativo 1/(sen x ) = (sen x ) −1 é a cossecante de x, e não o seno inverso de x denotado por sen −1 x ou arcsin x . Apenas para mapas lineares eles estão fortemente relacionados (veja abaixo). A diferença de terminologia recíproca versus inversanão é suficiente para fazer essa distinção, já que muitos autores preferem a convenção de nomenclatura oposta, provavelmente por razões históricas (por exemplo, em francês , a função inversa é preferencialmente chamada de bijection réciproque ).

Exemplos e contra-exemplos

Nos números reais, zero não tem recíproco porque nenhum número real multiplicado por 0 produz 1 (o produto de qualquer número com zero é zero). Com exceção do zero, os recíprocos de todo número real são reais, os recíprocos de todo número racional são racionais e os recíprocos de todo número complexo são complexos. A propriedade de que todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo faz parte da definição de um campo , da qual todos esses são exemplos. Por outro lado, nenhum inteiro diferente de 1 e −1 tem um inteiro recíproco e, portanto, os inteiros não são um corpo.

Na aritmética modular , o inverso multiplicativo modular de a também é definido: é o número x tal que ax ≡ 1 (mod n ) . Este inverso multiplicativo existe se e somente se a e n são primos . Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 4 porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . O algoritmo Euclidiano estendido pode ser usado para calculá-lo.

Os sedênios são uma álgebra na qual todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo, mas que, no entanto, tem divisores de zero, ou seja, elementos não nulos x , y tais que xy  = 0.

Uma matriz quadrada tem uma inversa se e somente se seu determinante tem uma inversa no anel de coeficientes . A aplicação linear que tem a matriz A −1 em relação a alguma base é então a função recíproca da aplicação que tem A como matriz na mesma base. Assim, as duas noções distintas da inversa de uma função estão fortemente relacionadas neste caso, enquanto devem ser cuidadosamente distinguidas no caso geral (como observado acima).

As funções trigonométricas estão relacionadas pela identidade recíproca: a cotangente é a recíproca da tangente; a secante é o recíproco do cosseno; a cossecante é o recíproco do seno.

Um anel no qual todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo é um anel de divisão ; da mesma forma, uma álgebra na qual isso vale é uma álgebra de divisão .

Números complexos

Como mencionado acima, o recíproco de todo número complexo diferente de zero z = a + bi é complexo. Ele pode ser encontrado multiplicando-se tanto a parte superior quanto a inferior de 1/ z por seu conjugado complexo e usando a propriedade que, o valor absoluto de z ao quadrado, que é o número real a 2 + b 2 :

A intuição é que

nos dá o conjugado complexo com uma magnitude reduzida a um valor de, dividindo novamente porgarante que a magnitude é agora igual ao recíproco da magnitude original, portanto:

Em particular, se || z ||=1 ( z tem magnitude unitária), então. Conseqüentemente, as unidades imaginárias , ± i , possuem inverso aditivo igual ao inverso multiplicativo, e são os únicos números complexos com esta propriedade. Por exemplo, os inversos aditivos e multiplicativos de i são −( i ) = − i e 1/ i = − i , respectivamente.

Para um número complexo na forma polar z = r (cos φ + i  sin φ) , o recíproco simplesmente toma o recíproco da magnitude e o negativo do ângulo:

Intuição geométrica para a integral de 1/ x . As três integrais de 1 a 2, de 2 a 4 e de 4 a 8 são todas iguais. Cada região é a região anterior dividida pela metade verticalmente e dobrada horizontalmente. Estendendo isso, a integral de 1 a 2 k é k vezes a integral de 1 a 2, assim como ln 2 k = k ln 2.

Cálculo

No cálculo real , a derivada de 1/ x = x −1 é dada pela regra da potência com a potência −1:

A regra de potência para integrais ( fórmula de quadratura de Cavalieri ) não pode ser usada para calcular a integral de 1/ x , porque isso resultaria na divisão por 0:

Em vez disso, a integral é dada por:
onde ln é o logaritmo natural . Para mostrar isso, observe que, então see, temos: [2]

Algoritmos

O recíproco pode ser calculado manualmente com o uso de divisão longa .

Calcular o recíproco é importante em muitos algoritmos de divisão , pois o quociente a / b pode ser calculado primeiro calculando 1/ b e depois multiplicando-o por a . Notar quetem um zero em x = 1/ b , o método de Newton pode encontrar esse zero, começando com um palpitee iterando usando a regra:

Isso continua até que a precisão desejada seja alcançada. Por exemplo, suponha que desejamos calcular 1/17 ≈ 0,0588 com 3 dígitos de precisão. Tomando x 0 = 0,1, a seguinte sequência é produzida:

x 1 = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03
x 2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x 3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x 4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x 5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Uma estimativa inicial típica pode ser encontrada arredondando b para uma potência próxima de 2 e, em seguida, usando deslocamentos de bits para calcular seu recíproco.

Em matemática construtiva , para um número real x ter um recíproco, não é suficiente que x ≠ 0. Em vez disso, deve ser dado um número racional r tal que 0 <  r  < | x |. Em termos do algoritmo de aproximação descrito acima, isso é necessário para provar que a mudança em y eventualmente se tornará arbitrariamente pequena.

Gráfico de f( x ) = x x mostrando o mínimo em (1/ e , e −1/ e ).

Essa iteração também pode ser generalizada para um tipo mais amplo de inversas; por exemplo, matrizes inversas .

Recíprocos de números irracionais

Todo número real ou complexo excluindo zero tem um recíproco, e os recíprocos de certos números irracionais podem ter propriedades especiais importantes. Exemplos incluem o recíproco de e (≈ 0,367879) e o recíproco da proporção áurea (≈ 0,618034). A primeira recíproca é especial porque nenhum outro número positivo pode produzir um número menor quando posto à potência de si mesmo;é o mínimo global de. O segundo número é o único número positivo que é igual ao seu recíproco mais um:. Seu inverso aditivo é o único número negativo que é igual ao seu recíproco menos um:.

A funçãodá um número infinito de números irracionais que diferem de seu recíproco por um inteiro. Por exemplo,é o irracional. Sua recíprocaé, exatamentemenos. Esses números irracionais compartilham uma propriedade evidente: eles têm a mesma parte fracionária de seu recíproco, pois esses números diferem por um inteiro.

Observações adicionais

Se a multiplicação for associativa, um elemento x com um inverso multiplicativo não pode ser um divisor de zero ( x é um divisor de zero se algum y diferente de zero , xy = 0 ). Para ver isso, basta multiplicar a equação xy = 0 pelo inverso de x (à esquerda) e depois simplificar usando associatividade. Na ausência de associatividade, os sedênios fornecem um contra-exemplo.

A recíproca não é válida: um elemento que não é um divisor de zero não tem garantia de ter um inverso multiplicativo. Dentro de Z , todos os inteiros exceto −1, 0, 1 fornecem exemplos; não são divisores de zero nem têm inversas em Z . Se o anel ou álgebra é finito , no entanto, todos os elementos a que não são divisores de zero têm um inverso (esquerdo e direito). Pois, primeiro observe que a aplicação f ( x ) = ax deve ser injetiva : f ( x ) = f ( y ) implica x = y:

Elementos distintos mapeiam para elementos distintos, então a imagem consiste no mesmo número finito de elementos, e o mapa é necessariamente sobrejetivo . Especificamente, ƒ (ou seja, multiplicação por a ) deve mapear algum elemento x para 1, ax = 1 , de modo que x seja um inverso para a .

Aplicativos

A expansão do recíproco 1/ q em qualquer base também pode atuar [3] como fonte de números pseudo-aleatórios , se q for um primo seguro "adequado" , um primo da forma 2 p  + 1 onde p também é um melhor. Uma sequência de números pseudo-aleatórios de comprimento q  − 1 será produzida pela expansão.

Veja também

Notas

  1. ^ "Em iguais Parallelipipedons as bases são recíprocas às suas altitudes". OED "Recíproco" §3a. Tradução de Sir Henry Billingsley de Elementos XI, 34.
  2. ^ Anthony, Dr. "Prova de que INT(1/x)dx = lnx" . Pergunte ao Dr. Math . Universidade Drexel . Recuperado em 22 de março de 2013 .
  3. Mitchell, Douglas W., "Um gerador de números aleatórios não lineares com comprimento de ciclo longo conhecido", Cryptologia 17, janeiro de 1993, 55-62.

Referências

  • Recíprocos Maximamente Periódicos, Boletim Matthews RAJ do Instituto de Matemática e suas Aplicações vol 28 pp 147–148 1992