Programa de modelo mínimo

Na geometria algébrica , o programa do modelo mínimo faz parte da classificação birracional das variedades algébricas . Seu objetivo é construir um modelo birracional de qualquer variedade projetiva complexa que seja o mais simples possível. O assunto tem origem na geometria birracional clássica de superfícies estudada pela escola italiana , e atualmente é uma área ativa de pesquisa dentro da geometria algébrica.

Contorno

A ideia básica da teoria é simplificar a classificação birracional das variedades, encontrando, em cada classe de equivalência birracional, uma variedade que seja "tão simples quanto possível". O significado preciso desta frase evoluiu com o desenvolvimento do assunto; originalmente para superfícies, significava encontrar uma variedade suave para a qual qualquer morfismo birracional com superfície lisa é um isomorfismo .

Na formulação moderna, o objetivo da teoria é o seguinte. Suponha que recebamos uma variedade projetiva , que por simplicidade é considerada não singular. Existem dois casos baseados em sua dimensão Kodaira : [ 1]

  • Queremos encontrar uma variedade birracional para , e um morfismo para uma variedade projetiva tal que a classe anticanônica de uma fibra geral seja ampla . Tal morfismo é chamado de espaço de fibra de Fano .
  • Queremos encontrar birracional para , com a classe canônica nef . Neste caso, é um modelo mínimo para .

A questão de saber se as variedades que aparecem acima não são singulares é importante. Parece natural esperar que, se começarmos com suave , sempre possamos encontrar um modelo mínimo ou espaço de fibra Fano dentro da categoria de variedades lisas. Contudo, isto não é verdade, e por isso torna-se necessário considerar também variedades singulares. As singularidades que aparecem são chamadas de singularidades terminais .

Modelos mínimos de superfícies

Cada curva algébrica complexa irredutível é birracional a uma curva projetiva suave única, portanto a teoria das curvas é trivial. O caso das superfícies foi investigado pela primeira vez pelos geômetras da escola italiana por volta de 1900; o teorema da contração de Guido Castelnuovo descreve essencialmente o processo de construção de um modelo mínimo de qualquer superfície. O teorema afirma que qualquer morfismo birracional não trivial deve contrair uma curva −1 até um ponto suave e, inversamente, qualquer tal curva pode ser contraída suavemente. Aqui, uma curva −1 é uma curva racional suave C com autointersecção. Qualquer curva deve ter o que mostra que se a classe canônica for nef então a superfície não tem curvas −1.

O teorema de Castelnuovo implica que para construir um modelo mínimo para uma superfície lisa, simplesmente contraímos todas as curvas −1 na superfície, e a variedade resultante Y é um modelo mínimo (único) com K nef, ou uma superfície regrada (que é o mesmo que um espaço de fibra Fano bidimensional e é um plano projetivo ou uma superfície regrada sobre uma curva). No segundo caso, a superfície regrada birracional a X não é única, embora exista uma única isomórfica ao produto da linha projetiva e uma curva. Um ponto um tanto sutil é que, embora uma superfície possa ter infinitas curvas -1, basta contrair um número finito delas para obter uma superfície sem curvas -1.

Modelos mínimos de dimensões superiores

Em dimensões maiores que 2, a teoria torna-se muito mais complexa. Em particular, existem variedades suaves que não são birracionais a nenhuma variedade suave com classe canônica nef . O maior avanço conceitual da década de 1970 e início da década de 1980 foi que a construção de modelos mínimos ainda é viável, desde que se tome cuidado com os tipos de singularidades que ocorrem. (Por exemplo, queremos decidir se é nef, então os números de interseção devem ser definidos. Portanto, no mínimo, nossas variedades devem ser um divisor de Cartier para algum número inteiro positivo .)

O primeiro resultado principal é o teorema do cone de Shigefumi Mori , que descreve a estrutura do cone das curvas de . Resumidamente, o teorema mostra que começando com , pode-se construir indutivamente uma sequência de variedades , cada uma das quais está "mais próxima" que a anterior de ter nef. No entanto, o processo pode encontrar dificuldades: em algum momento a variedade pode tornar-se “demasiado singular”. A solução conjectural para esse problema é o flip , uma espécie de operação cirúrgica de codimensão 2 . Não está claro se as inversões necessárias existem, nem se elas sempre terminam (isto é, se chega a um modelo mínimo em um número finito de etapas). Mori (1988) mostrou que existem inversões no caso tridimensional.

A existência de log flips mais gerais foi estabelecida por Vyacheslav Shokurov nas dimensões três e quatro. Isto foi posteriormente generalizado para dimensões superiores por Caucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher Hacon e James McKernan, baseando-se em trabalhos anteriores de Shokurov e Hacon, e McKernan. Eles também provaram vários outros problemas, incluindo geração finita de anéis canônicos de log e existência de modelos mínimos para variedades de tipo geral de log.

O problema do término dos log flips em dimensões superiores continua sendo objeto de pesquisa ativa.

Veja também

Referências

  1. ^ Observe que a dimensão Kodaira de uma variedade n -dimensional é ou um número inteiro no intervalo de 0 a n .
  • Birkar, Caucher ; Cascini, Paulo; Hacon, Christopher ; McKernan, James (2010), "Existência de modelos mínimos para variedades de log tipo geral", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math/0610203 , Bibcode :2010JAMS...23. .405B, doi :10.1090/S0894-0347-09-00649-3, SENHOR  2601039
  • Clemens, Herbert ; Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1988), "Geometria complexa de dimensão superior", Astérisque (166): 144 pp. (1989), ISSN  0303-1179, MR  1004926
  • Fujino, Osamu (2009), "Novos desenvolvimentos na teoria dos modelos mínimos", Sugaku , 61 (2), Mathematical Society of Japan: 162–186, ISSN  0039-470X, MR  2560253
  • Kollár, János (1987), "A estrutura das triplas algébricas: uma introdução ao programa de Mori", Boletim da American Mathematical Society , New Series, 17 (2): 211–273, doi : 10.1090/S0273-0979-1987- 15548-0 , ISSN  0002-9904, SENHOR  0903730
  • Kollár, János (1989), "Modelos mínimos de triplos algébricos: programa de Mori", Astérisque (177): 303–326, ISSN  0303-1179, MR  1040578
  • Kollár, János (1996), Curvas racionais em variedades algébricas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folga. Uma série de pesquisas modernas em matemática [Resultados em matemática e áreas afins. 3ª Série. Uma série de pesquisas modernas em matemática], vol. 32, Berlim: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, SENHOR  1440180
  • Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometria birracional de variedades algébricas , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, SENHOR  1658959
  • Matsuki, Kenji (2002), Introdução ao programa Mori , Universitext, Berlim, Nova York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4757-5602-9, ISBN 978-0-387-98465-0, SENHOR  1875410
  • Mori, Shigefumi (1988), "Teorema da inversão e a existência de modelos mínimos para 3 dobras", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1), American Mathematical Society: 117–253, doi :10.2307/1990969, ISSN  0894 -0347, JSTOR  1990969, SENHOR  0924704
  • Kawamata, Yujiro (2001) [1994], "Teoria Mori dos raios extremos", Enciclopédia de Matemática , EMS Press
Obtido em "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Minimal_model_program&oldid=1167214949"