Projeto de mecanismo

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O diagrama de Stanley Reiter acima ilustra um jogo de projeto de mecanismo. O espaço superior esquerdodescreve o espaço de tipo e o espaço superior direito X o espaço de resultados. A função de escolha socialmapeia um perfil de tipo para um resultado. Em jogos de design de mecanismo, os agentes enviam mensagens em um ambiente de jogo . O equilíbrio no jogopode ser projetado para implementar alguma função de escolha social.

O projeto de mecanismos é um campo da economia e da teoria dos jogos que adota uma abordagem de objetivos em primeiro lugar para projetar mecanismos ou incentivos econômicos , em direção aos objetivos desejados, em cenários estratégicos , onde os jogadores agem racionalmente . Como começa no final do jogo e depois vai para trás, também é chamada de teoria reversa do jogo . Ele tem amplas aplicações, desde economia e política em campos como design de mercado , teoria de leilão e teoria de escolha social até sistemas em rede (roteamento entre domínios da Internet, leilões de busca patrocinados).

Projeto de mecanismo estuda conceitos de solução para uma classe de jogos de informação privada. Leonid Hurwicz explica que 'em um problema de projeto, a função objetivo é o principal "dado", enquanto o mecanismo é o desconhecido. Portanto, o problema de design é o “inverso” da teoria econômica tradicional, que normalmente se dedica à análise do desempenho de um dado mecanismo. ' [1] Portanto, duas características distintas desses jogos são:

  • que um "designer" de jogo escolhe a estrutura do jogo em vez de herdar uma
  • que o designer está interessado no resultado do jogo

O Prêmio Nobel de Ciências Econômicas de 2007 foi concedido a Leonid Hurwicz , Eric Maskin e Roger Myerson "por terem lançado as bases da teoria do projeto de mecanismo". [2]

Intuição [ editar ]

Em uma classe interessante de jogos bayesianos , um jogador, chamado de "principal", gostaria de condicionar seu comportamento a informações de conhecimento privado de outros jogadores. Por exemplo, o diretor gostaria de saber a verdadeira qualidade de um carro usado que um vendedor está apresentando. Ele não pode aprender nada simplesmente perguntando ao vendedor, porque é do interesse do vendedor distorcer a verdade. No entanto, no projeto de mecanismo, o principal tem uma vantagem: ele pode projetar um jogo cujas regras podem influenciar os outros a agirem da maneira que ele gostaria.

Sem a teoria do projeto do mecanismo, o problema do diretor seria difícil de resolver. Ele teria que considerar todos os jogos possíveis e escolher aquele que melhor influencia as táticas dos outros jogadores. Além disso, o diretor teria que tirar conclusões de agentes que podem mentir para ele. Graças ao desenho do mecanismo e, principalmente, ao princípio da revelação , o diretor só precisa considerar os jogos em que os agentes relatam com veracidade suas informações privadas.

Fundações [ editar ]

Mecanismo [ editar ]

Um jogo de desenho de mecanismo é um jogo de informação privada em que um dos agentes, denominado principal, escolhe a estrutura de payoff. Seguindo Harsanyi  ( 1967 ), os agentes recebem "mensagens" secretas da natureza contendo informações relevantes aos payoffs. Por exemplo, uma mensagem pode conter informações sobre suas preferências ou a qualidade de um produto à venda. Chamamos essa informação de "tipo" do agente (geralmente anotado e de acordo com o espaço de tipos ) Os agentes, então, relatam um tipo ao diretor (geralmente indicado com um chapéu) que pode ser uma mentira estratégica. Após o relatório, o principal e os agentes são pagos de acordo com a estrutura de pagamento escolhida pelo principal.

O momento do jogo é:

  1. O diretor se compromete com um mecanismo que concede um resultado como uma função do tipo relatado
  2. Os agentes relatam, possivelmente de forma desonesta, um perfil de tipo
  3. O mecanismo é executado (os agentes recebem o resultado )

Para entender quem recebe o quê, é comum dividir o resultado em uma alocação de mercadorias e uma transferência de dinheiro, Onde representa uma alocação de bens prestados ou recebidos em função do tipo, e representa uma transferência monetária em função do tipo.

Como referência, o designer frequentemente define o que aconteceria com informações completas. Defina umfunção de escolha social mapear o perfil de tipo (verdadeiro) diretamente para a alocação de mercadorias recebidas ou processadas,

Em contraste, um mecanismo mapeia o perfil de tipo relatado para um resultado (novamente, tanto uma alocação de bens e uma transferência de dinheiro )

Princípio da revelação [ editar ]

Um mecanismo proposto constitui um jogo Bayesiano (um jogo de informação privada) e, se for bem comportado, o jogo possui um equilíbrio de Nash Bayesiano . No equilíbrio, os agentes escolhem seus relatórios estrategicamente em função do tipo

É difícil resolver para o equilíbrio bayesiano em tal cenário porque envolve a resolução das estratégias de melhor resposta dos agentes e a melhor inferência de uma possível mentira estratégica. Graças a um resultado abrangente chamado de princípio da revelação, não importa o mecanismo que um designer pode [3] limitar a atenção a equilíbrios nos quais os agentes relatam o tipo de maneira verdadeira. O princípio da revelação afirma: "A todo equilíbrio de Nash Bayesiano corresponde um jogo Bayesiano com o mesmo resultado de equilíbrio, mas no qual os jogadores relatam o tipo de maneira verdadeira."

Isso é extremamente útil. O princípio permite que se resolva um equilíbrio bayesiano assumindo que todos os jogadores relatam o tipo de verdade (sujeito a uma restrição de compatibilidade de incentivo ). Com um golpe, ele elimina a necessidade de considerar o comportamento estratégico ou a mentira.

Sua prova é bastante direta. Suponha um jogo bayesiano no qual a estratégia e o retorno do agente são funções de seu tipo e o que os outros fazem,. Por definição, a estratégia de equilíbrio do agente i Nash está na utilidade esperada:

Basta definir um mecanismo que induziria os agentes a escolher o mesmo equilíbrio. O mais fácil de definir é que o mecanismo se comprometa a jogar para eles as estratégias de equilíbrio dos agentes .

Sob tal mecanismo, os agentes naturalmente consideram ótimo revelar o tipo, uma vez que o mecanismo executa as estratégias que eles consideraram ótimas de qualquer maneira. Formalmente, escolha de tal modo que

Exequibilidade [ editar ]

O projetista de um mecanismo geralmente espera que

  • projetar um mecanismo que "implementa" uma função de escolha social
  • para encontrar o mecanismo que maximiza algum critério de valor (por exemplo, lucro)

Para implementar uma função de escolha social é encontrar algum função de transferência que motiva os agentes a escolher . Formalmente, se o perfil da estratégia de equilíbrio sob o mecanismo mapeia para a mesma alocação de bens como uma função de escolha social,

dizemos que o mecanismo implementa a função de escolha social.

Graças ao princípio da revelação, o designer geralmente pode encontrar uma função de transferência para implementar uma escolha social, resolvendo um jogo de contar a verdade associado. Se os agentes considerarem o tipo de relatório mais adequado,

dizemos que tal mecanismo é verdadeiramente implementável (ou apenas "implementável"). A tarefa é, então, resolver para um verdadeiramente implementávele imputar essa função de transferência ao jogo original. Uma alocação é verdadeiramente implementável se houver uma função de transferência de tal modo que

que também é chamada de restrição de compatibilidade de incentivo (IC).

Em aplicações, a condição IC é a chave para descrever a forma de de qualquer maneira útil. Sob certas condições, pode até isolar a função de transferência analiticamente. Além disso, uma restrição de participação ( racionalidade individual ) às vezes é adicionada se os agentes tiverem a opção de não jogar.

Necessidade [ editar ]

Considere uma configuração em que todos os agentes têm uma função de utilidade contingente do tipo . Considere também uma alocação de mercadorias que tem valor vetorial e tamanho (o que permite número de bens) e assumir que é contínuo por partes no que diz respeito aos seus argumentos.

A função é implementável apenas se

sempre que e e x é contínuo em. Esta é uma condição necessária e é derivada das condições de primeira e segunda ordem do problema de otimização do agente, pressupondo que se diga a verdade.

Seu significado pode ser entendido em duas partes. A primeira parte diz que a taxa marginal de substituição (MRS) do agente aumenta em função do tipo,

Em suma, os agentes não dirão a verdade se o mecanismo não oferecer um melhor negócio aos tipos de agentes superiores. Caso contrário, os tipos superiores que enfrentam qualquer mecanismo que pune os tipos altos para relatar irão mentir e declarar que são tipos inferiores, violando a restrição do IC de dizer a verdade. A segunda peça é uma condição de monotonicidade esperando para acontecer,

o que, para ser positivo, significa que os tipos superiores devem receber mais do que é bom.

Existe potencial para as duas peças interagirem. Se, para alguma faixa de tipo, o contrato oferecesse menos quantidade para tipos superiores, é possível que o mecanismo compense dando aos tipos superiores um desconto. Mas tal contrato já existe para agentes de tipo baixo, então esta solução é patológica. Essa solução às vezes ocorre no processo de resolução de um mecanismo. Nestes casos, deve ser " passado ". Em um ambiente de vários produtos, também é possível para o designer recompensar o agente com mais de um produto para substituir menos do outro (por exemplo, manteiga no lugar da margarina ). Mecanismos de múltiplos bens são um problema contínuo na teoria do projeto de mecanismos.

Suficiência [ editar ]

Os documentos de design de mecanismo geralmente fazem duas suposições para garantir a implementabilidade:

Isso é conhecido por vários nomes: a condição de cruzamento único , a condição de classificação e a condição Spence-Mirrlees. Isso significa que a função de utilidade é de tal forma que o tipo de MRS do agente está aumentando.

Esta é uma condição técnica que limita a taxa de crescimento da MRS.

Essas suposições são suficientes para fornecer que qualquer monotônico é implementável (um existe que pode implementá-lo). Além disso, na configuração de um único bem, a condição de cruzamento único é suficiente para fornecer que apenas um monotônico é implementável, para que o designer possa limitar sua pesquisa a um monotônico .

Resultados destacados [ editar ]

Equivalência Receita teorema [ editar ]

Vickrey  ( 1961 ) apresenta um resultado célebre de que qualquer membro de uma grande classe de leilões garante ao vendedor a mesma receita esperada e que a receita esperada é o melhor que o vendedor pode fazer. Este é o caso se

  1. Os compradores têm funções de avaliação idênticas (que podem ser uma função do tipo)
  2. Os tipos de compradores são distribuídos de forma independente
  3. Os tipos de compradores são retirados de uma distribuição contínua
  4. A distribuição de tipo carrega a propriedade de taxa de risco monótona
  5. O mecanismo vende o bem ao comprador com a maior avaliação

A última condição é crucial para o teorema. Uma implicação é que, para o vendedor obter uma receita maior, ele deve se arriscar a dar o item a um agente com uma avaliação mais baixa. Normalmente, isso significa que ele deve correr o risco de não vender o item.

Mecanismos Vickrey-Clarke-Groves [ editar ]

O modelo de leilão de Vickrey (1961) foi posteriormente expandido por Clarke  ( 1971 ) e Groves para tratar um problema de escolha pública em que o custo de um projeto público é arcado por todos os agentes, por exemplo, a construção de uma ponte municipal. O mecanismo "Vickrey-Clarke-Groves" resultante pode motivar os agentes a escolher a alocação socialmente eficiente do bem público, mesmo que os agentes tenham avaliações conhecidas de forma privada. Em outras palavras, pode resolver a " tragédia dos comuns " - sob certas condições, em particular a utilidade quase-linear ou se o equilíbrio orçamentário não for necessário.

Considere uma configuração em que número de agentes tem utilidade quase linear com avaliações privadas onde a moeda é avaliado linearmente. O designer VCG projeta um mecanismo de incentivo compatível (portanto, verdadeiramente implementável) para obter o perfil de tipo verdadeiro, a partir do qual o designer implementa a alocação socialmente ideal

A inteligência do mecanismo VCG é a maneira como motiva a revelação verdadeira. Elimina incentivos para relatórios incorretos, penalizando qualquer agente com o custo da distorção que ele causa. Dentre os relatos que o agente pode fazer, o mecanismo VCG permite um laudo "nulo" dizendo que ele é indiferente ao bem público e se preocupa apenas com a transferência de dinheiro. Isso remove efetivamente o agente do jogo. Se um agente decidir relatar um tipo, o mecanismo VCG cobra do agente uma taxa se seu relatório for fundamental , isto é, se seu relatório alterar a alocação ótima x de modo a prejudicar outros agentes. O pagamento é calculado

que soma a distorção nas utilidades dos outros agentes (e não nas suas) causada pelo relato de um agente.

Gibbard-Satterthwaite teorema [ editar ]

Gibbard  ( 1973 ) e Satterthwaite  ( 1975 ) fornecem um resultado de impossibilidade semelhante em espírito ao teorema da impossibilidade de Arrow . Para uma classe de jogos muito geral, apenas as funções de escolha social "ditatorial" podem ser implementadas.

Uma função de escolha social f () é ditatorial se um agente sempre recebe sua alocação de bens mais favorecida,

O teorema afirma que, em condições gerais, qualquer função de escolha social verdadeiramente implementável deve ser ditatorial se,

  1. X é finito e contém pelo menos três elementos
  2. As preferências são racionais

Myerson-Satterthwaite teorema [ editar ]

Myerson e Satterthwaite ( 1983 ) mostram que não há maneira eficiente de duas partes negociarem uma mercadoria quando cada uma delas tem avaliações secretas e probabilisticamente variáveis ​​para ela, sem o risco de forçar uma das partes a negociar com prejuízo. É um dos resultados negativos mais notáveis ​​da economia - uma espécie de espelho negativo para os teoremas fundamentais da economia do bem-estar .

Exemplos [ editar ]

A discriminação de preços [ editar ]

Mirrlees  ( 1971 ) introduz uma configuração na qual a função de transferência t () é fácil de resolver. Devido à sua relevância e tratabilidade, é um cenário comum na literatura. Considere uma configuração de agente único e bom em que o agente tem utilidade quase - linear com um parâmetro de tipo desconhecido

e em que o principal tem um CDF anterior sobre o tipo do agente. O principal pode produzir bens a um custo marginal convexo c ( x ) e deseja maximizar o lucro esperado da transação

sujeito às condições IC e IR

O principal aqui é um monopolista tentando estabelecer um esquema de preços para maximizar o lucro, no qual não consegue identificar o tipo de cliente. Um exemplo comum é uma companhia aérea definindo tarifas para viajantes a negócios, lazer e estudantes. Devido à condição de IR, tem que dar a cada tipo um negócio bom o suficiente para induzir a participação. Devido à condição do IC, ele tem que oferecer a cada tipo um negócio bom o suficiente para que o tipo prefira seu negócio a qualquer outro.

Um truque dado por Mirrlees (1971) é usar o teorema do envelope para eliminar a função de transferência da expectativa de ser maximizada,

Integrando,

Onde é algum tipo de índice. Substituindo o compatível com incentivos no maximand,

após uma integração por partes. Esta função pode ser maximizada pontualmente.

Porque é compatível com o incentivo, o designer já pode descartar a restrição IC. Se a função de utilidade satisfaz a condição Spence-Mirrlees, então um monotônicofunção existe. A restrição de IR pode ser verificada no equilíbrio e a tabela de taxas aumentada ou diminuída de acordo. Além disso, observe a presença de uma taxa de risco na expressão. Se a distribuição de tipo carrega a propriedade de razão de risco monótona, o FOC é suficiente para resolver para t (). Caso contrário, é necessário verificar se a restrição de monotonicidade (ver suficiência , acima) é satisfeita em todos os pontos ao longo das tabelas de alocação e taxas. Caso contrário, o designer deve usar o engomadoria Myerson.

Myerson engomar [ editar ]

É possível resolver para um produto ou tabela de preços que satisfaça as condições de primeira ordem, mas não seja monotônico. Nesse caso, é necessário "passar" a programação escolhendo algum valor no qual nivelar a função.

Em algumas aplicações, o projetista pode resolver as condições de primeira ordem para os cronogramas de preço e alocação, mas descobrir que não são monotônicos. Por exemplo, na configuração quase-linear, isso geralmente acontece quando a razão de risco em si não é monótona. Pela condição de Spence-Mirrlees, o preço ideal e os cronogramas de alocação devem ser monotônicos, de modo que o projetista deve eliminar qualquer intervalo durante o qual o cronograma muda de direção, achatando-o.

Intuitivamente, o que está acontecendo é as descobertas de designer-lo ideal para grupo de certos tipos juntos e dar-lhes o mesmo contrato. Normalmente, o designer motiva os tipos superiores a se diferenciarem, oferecendo-lhes um negócio melhor. Se houver um número insuficiente de tipos superiores na margem, o projetista não acha que vale a pena conceder aos tipos inferiores uma concessão (chamada de aluguel de informação ) para cobrar dos tipos superiores um contrato específico de tipo.

Considere uma venda principal monopolista para agentes com utilidade quase-linear, o exemplo acima. Suponha que o cronograma de alocação satisfazer as condições de primeira ordem tem um único pico interno em e uma única calha interior em , ilustrado à direita.

  • Seguindo Myerson (1981), aplique-o ao escolher satisfatório
    Onde é a função inversa do mapeamento de x para e é a função inversa do mapeamento de x para . Isso é, retorna um antes do pico interior e retorna um após a calha interior.
  • Se a região não monotônica de faz fronteira com a borda do espaço de texto, basta definir o apropriado função (ou ambos) para o tipo de limite. Se houver várias regiões, consulte um livro para obter um procedimento iterativo; pode ser que mais de uma gamela devam ser passadas a ferro juntas.

Prova [ editar ]

A prova usa a teoria do controle ótimo. Ele considera o conjunto de intervalos na região não monotônica de sobre o qual pode achatar o cronograma. Em seguida, escreve um hamiltoniano para obter as condições necessárias para um dentro dos intervalos

  1. isso satisfaz a monotonicidade
  2. para o qual a restrição de monotonicidade não é vinculativa nos limites do intervalo

A condição dois garante que o satisfazer o problema de controle ótimo reconecta-se ao cronograma no problema original nos limites do intervalo (sem saltos). Algum satisfazer as condições necessárias deve ser plano porque deve ser monotônico e ainda reconectar nos limites.

Como antes, maximize o retorno esperado do principal, mas desta vez sujeito à restrição de monotonicidade

e usar um hamiltoniano para fazer isso, com preço sombra

Onde é uma variável de estado e o controle. Como de costume no controle ideal, a equação de evolução de custo deve satisfazer

Aproveitando a condição 2, observe que a restrição de monotonicidade não é vinculativa nos limites do intervalo,

o que significa que a condição da variável costate pode ser integrada e também é igual a 0

A distorção média do excedente do diretor deve ser 0. Para nivelar o cronograma, encontre um de modo que sua imagem inversa mapeie para um intervalo que satisfaça a condição acima.

Veja também [ editar ]

Notas [ editar ]

  1. ^ L. Hurwicz & S. Reiter (2006) Designing Economic Mechanisms , p. 30
  2. ^ "The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2007" (Press release). Fundação Nobel . 15 de outubro de 2007 . Página visitada em 2008-08-15 .
  3. ^ Em circunstâncias incomuns, alguns jogos que falam a verdade têm mais equilíbrios do que o jogo Bayesiano a partir do qual foram mapeados. Veja Fudenburg-Tirole Ch. 7.2 para algumas referências.

Referências [ editar ]

Leitura adicional [ editar ]

Ligações externas [ editar ]