Máximo e mínimo

Máximos e mínimos locais e globais para cos(3π x )/ x , 0,1≤ x ≤1,1

Na análise matemática , o máximo e o mínimo [a] de uma função são, respectivamente, o maior e o menor valor assumido pela função. Conhecidos genericamente como extremo , [b] podem ser definidos dentro de um determinado intervalo (os extremos locais ou relativos ) ou em todo o domínio (os extremos globais ou absolutos ) de uma função. [1] [2] [3] Pierre de Fermat foi um dos primeiros matemáticos a propor uma técnica geral, adequality , para encontrar os máximos e mínimos de funções.

Conforme definido na teoria dos conjuntos , o máximo e o mínimo de um conjunto são os maiores e os menores elementos do conjunto, respectivamente. Conjuntos infinitos ilimitados , como o conjunto dos números reais , não possuem mínimo nem máximo.

Em estatística , o conceito correspondente é o máximo e o mínimo amostrais .

Definição

Uma função de valor real f definida em um domínio X tem um ponto máximo global (ou absoluto )em x , se f ( x ) ≥ f ( x ) para todo x em X . Da mesma forma, a função tem um ponto mínimo global (ou absoluto )em x , se f ( x ) ≤ f ( x ) para todo x em X . O valor da função em um ponto máximo é chamado deo valor máximo da função, denotado por, e o valor da função em um ponto mínimo é chamado devalor mínimo da função. Simbolicamente, isso pode ser escrito da seguinte forma:

é um ponto máximo global da função se

A definição do ponto mínimo global também procede de forma semelhante.

Se o domínio X for um espaço métrico , então diz-se que f tem um ponto máximo local (ou relativo ) .no ponto x , se existe algum ε > 0 tal que f ( x ) ≥ f ( x ) para todo x em X dentro da distância ε de x . Da mesma forma, a função tem um ponto de mínimo localem x , se f ( x ) ≤ f ( x ) para todo x em X dentro da distância ε de x . Uma definição semelhante pode ser usada quando X é um espaço topológico , uma vez que a definição dada pode ser reformulada em termos de vizinhanças. Matematicamente, a definição dada é escrita da seguinte forma:

Seja um espaço métrico e uma função . Então é um ponto máximo local da função se tal que

A definição do ponto mínimo local também pode proceder de forma semelhante.

Tanto no caso global como no local, o conceito deextremo estrito pode ser definido. Por exemplo,xé umponto máximo global estrito se para todoxemXcom x x , temos f ( x ) > f ( x ), exé umponto máximo local estrito se existir algum ε > 0tal que, para todoxemXdentro da distânciaεdexcom x x , temos f ( x ) > f ( x ). Observe que um ponto é um ponto máximo global estrito se e somente se for o único ponto máximo global, e da mesma forma para pontos mínimos.

Uma função contínua de valor real com domínio compacto sempre tem um ponto de máximo e um ponto de mínimo. Um exemplo importante é uma função cujo domínio é um intervalo fechado e limitado de números reais (veja o gráfico acima).

Procurar

Encontrar máximos e mínimos globais é o objetivo da otimização matemática . Se uma função é contínua em um intervalo fechado, então, pelo teorema dos valores extremos , existem máximos e mínimos globais. Além disso, um máximo (ou mínimo) global deve ser um máximo (ou mínimo) local no interior do domínio ou deve estar na fronteira do domínio. Portanto, um método para encontrar um máximo (ou mínimo) global é observar todos os máximos (ou mínimos) locais no interior, e também observar os máximos (ou mínimos) dos pontos na fronteira, e pegar o maior ( ou menor) um.

Para funções diferenciáveis , o teorema de Fermat afirma que os extremos locais no interior de um domínio devem ocorrer em pontos críticos (ou pontos onde a derivada é igual a zero). [4] No entanto, nem todos os pontos críticos são extremos. Muitas vezes pode-se distinguir se um ponto crítico é um máximo local, um mínimo local ou nenhum deles usando o teste da primeira derivada , o teste da segunda derivada ou o teste da derivada de ordem superior , dada a diferenciabilidade suficiente. [5]

Para qualquer função definida por partes , encontra-se um máximo (ou mínimo) encontrando o máximo (ou mínimo) de cada peça separadamente e depois vendo qual delas é a maior (ou a menor).

Exemplos

O máximo global de xx ocorre em x = e .
Função Máximos e mínimos
x 2 Mínimo global único em x = 0.
x 3 Sem mínimos ou máximos globais. Embora a primeira derivada (3 x 2 ) seja 0 em x = 0, este é um ponto de inflexão . (2ª derivada é 0 nesse ponto.)
Máximo global único em x = e . (Veja a figura à direita)
x x Máximo global único sobre os números reais positivos em x = 1/ e .
x 3/3x Primeira derivada x 2 − 1 e segunda derivada 2 x . Definir a primeira derivada como 0 e resolver x fornece pontos estacionários em −1 e +1. A partir do sinal da segunda derivada, podemos ver que −1 é um máximo local e +1 é um mínimo local. Esta função não tem máximo ou mínimo global.
| x | Mínimo global em x = 0 que não pode ser encontrado tomando derivadas, porque a derivada não existe em x = 0.
cos( x ) Infinitos máximos globais em 0, ±2 π , ±4 π , ..., e infinitos mínimos globais em ± π , ±3 π , ±5 π , ....
2 cos( x ) − x Infinitos máximos e mínimos locais, mas nenhum máximo ou mínimo global.
cos(3 π x )/ x com 0,1 ≤ x ≤ 1,1 Máximo global em x  = 0,1 (um limite), um mínimo global próximo de x  = 0,3, um máximo local próximo de x  = 0,6 e um mínimo local próximo de x  = 1,0. (Veja a figura no topo da página.)
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 definido no intervalo fechado (segmento) [−4,2] Máximo local em x  = −1− 15/3 , mínimo local em x  = −1+ 15/3 , máximo global em x  = 2 e mínimo global em x  = −4.

Para um exemplo prático, [6] suponha uma situação em que alguém tem pés de cerca e está tentando maximizar a metragem quadrada de um recinto retangular, onde é o comprimento, é a largura e é a área:

A derivada em relação a é:

Definir isso igual a

revela que esse é o nosso único ponto crítico . Agora recupere os pontos finais determinando o intervalo ao qual está restrito. Como a largura é positiva, então , e desde então , isso implica que . Conecte o ponto crítico , bem como os pontos finais e , em , e os resultados serão e, respectivamente.

Portanto, a maior área alcançável com um retângulo de pés de cerca é . [6]

Funções de mais de uma variável

Superfície de Peano , um contraexemplo a alguns critérios de máximos locais do século XIX
O máximo global é o ponto no topo
Contraexemplo: O ponto vermelho mostra um mínimo local que não é um mínimo global

Para funções de mais de uma variável, aplicam-se condições semelhantes. Por exemplo, na figura (ampliada) à direita, as condições necessárias para um máximo local são semelhantes às de uma função com apenas uma variável. As primeiras derivadas parciais de z (a variável a ser maximizada) são zero no máximo (o ponto brilhante no topo da figura). As segundas derivadas parciais são negativas. Estas são apenas condições necessárias, não suficientes, para um máximo local, devido à possibilidade de um ponto de sela . Para que o uso dessas condições resolva o máximo, a função z também deve ser totalmente diferenciável . O teste da segunda derivada parcial pode ajudar a classificar o ponto como máximo relativo ou mínimo relativo. Em contraste, existem diferenças substanciais entre funções de uma variável e funções de mais de uma variável na identificação de extremos globais. Por exemplo, se uma função diferenciável limitada f definida em um intervalo fechado na reta real tem um único ponto crítico, que é um mínimo local, então também é um mínimo global (use o teorema do valor intermediário e o teorema de Rolle para provar isso por contradição ). Em duas ou mais dimensões, este argumento falha. Isto é ilustrado pela função

cujo único ponto crítico está em (0,0), que é um mínimo local com f (0,0) = 0. Porém, não pode ser global, porque f (2,3) = −5.

Máximos ou mínimos de um funcional

Se o domínio de uma função para a qual um extremo deve ser encontrado consiste em funções (ou seja, se um extremo for encontrado de um funcional ), então o extremo é encontrado usando o cálculo de variações .

Em relação aos conjuntos

Máximos e mínimos também podem ser definidos para conjuntos. Em geral, se um conjunto ordenado S tem um elemento maior m , então m é um elemento máximo do conjunto, também denotado como . Além disso, se S é um subconjunto de um conjunto ordenado T e m é o maior elemento de S com (em relação à ordem induzida por T ), então m é o limite superior mínimo de S em T . Resultados semelhantes são válidos para o menor elemento , o menor elemento e o maior limite inferior . As funções de máximo e mínimo para conjuntos são utilizadas em bancos de dados , e podem ser calculadas rapidamente, já que o máximo (ou mínimo) de um conjunto pode ser calculado a partir dos máximos de uma partição; formalmente, são funções de agregação autodecomponíveis .

No caso de uma ordem parcial geral , o menor elemento (ou seja, aquele que é menor que todos os outros) não deve ser confundido com um elemento mínimo (nada é menor). Da mesma forma, um maior elemento de um conjunto parcialmente ordenado (poset) é um limite superior do conjunto que está contido no conjunto, enquanto um elemento máximo m de um poset A é um elemento de A tal que se mb (para qualquer b em A ), então m = b . Qualquer menor ou maior elemento de um poset é único, mas um poset pode ter vários elementos mínimos ou máximos. Se um poset tiver mais de um elemento máximo, então esses elementos não serão mutuamente comparáveis.

Em um conjunto totalmente ordenado , ou cadeia , todos os elementos são mutuamente comparáveis, portanto tal conjunto pode ter no máximo um elemento mínimo e no máximo um elemento máximo. Então, devido à comparabilidade mútua, o elemento mínimo também será o menor elemento, e o elemento máximo também será o maior elemento. Assim, num conjunto totalmente ordenado, podemos simplesmente utilizar os termos mínimo e máximo .

Se uma cadeia for finita, ela sempre terá um máximo e um mínimo. Se uma cadeia for infinita, ela não precisa ter máximo ou mínimo. Por exemplo, o conjunto dos números naturais não tem máximo, embora tenha mínimo. Se uma cadeia infinita S é limitada, então o fechamento Cl ( S ) do conjunto ocasionalmente tem um mínimo e um máximo, caso em que eles são chamados de maior limite inferior e menor limite superior do conjunto S , respectivamente.

Argumento do máximo

Por exemplo, as funções sinc não normalizadas e normalizadas acima têm {0} porque ambas atingem seu valor máximo global de 1 em x  = 0. A função sinc não normalizada (vermelho) tem arg min de {−4,49, 4,49}, aproximadamente, porque tem 2 valores mínimos globais de aproximadamente −0,217 em x  = ±4,49. No entanto, a função sinc normalizada (azul) tem arg min de {−1,43, 1,43}, aproximadamente, porque seus mínimos globais ocorrem em x  = ±1,43, embora o valor mínimo seja o mesmo. [7]

Em matemática , os argumentos dos máximos (abreviado como arg max ou argmax) e os argumentos dos mínimos (abreviado como arg min ou argmin) são os pontos de entrada nos quais o valor de saída de uma função é maximizado e minimizado , respectivamente. [8] Embora os argumentos sejam definidos no domínio de uma função , a saída faz parte de seu contradomínio .

Veja também

Notas

  1. ^ PL : máximos e mínimos (ou máximos e mínimos ).
  2. ^ PL : extremos .

Referências

  1. ^ Stewart, James (2008). Cálculo: Primeiros Transcendentais (6ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. ^ Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2.
  3. ^ Thomas, George B .; Weir, Maurício D.; Hass, Joel (2010). Cálculo de Thomas: Primeiros Transcendentais (12ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-58876-0.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Mínimo". mathworld.wolfram.com . Recuperado em 30/08/2020 .
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Máximo". mathworld.wolfram.com . Recuperado em 30/08/2020 .
  6. ^ Garrett, Paul. “Atualização de minimização e maximização” .
  7. ^ "A função Sinc não normalizada arquivada em 15/02/2017 na máquina Wayback ", Universidade de Sydney
  8. ^ Para maior clareza, nos referimos à entrada ( x ) como pontos e à saída ( y ) como valores; compare o ponto crítico e o valor crítico .

links externos

  • O trabalho de Thomas Simpson sobre Máximos e Mínimos na Convergência
  • Aplicação de Máximos e Mínimos com subpáginas de problemas resolvidos
  • Jolliffe, Arthur Ernest (1911). “Máximos e Mínimos”  . Enciclopédia Britânica . Vol. 17 (11ª ed.). páginas 918–920.
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