Máximos e mínimos

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Máximos e mínimos locais e globais para cos(3π x )/ x , 0,1≤ x ≤1,1

Na análise matemática , os máximos e mínimos (os respectivos plurais de máximo e mínimo ) de uma função , conhecidos coletivamente como extremos (o plural de extremo ), são o maior e o menor valor da função, seja dentro de um determinado intervalo (o local ou extremos relativos ), ou em todo o domínio (os extremos globais ou absolutos ). [1] [2] [3] Pierre de Fermatfoi um dos primeiros matemáticos a propor uma técnica geral, adequalidade , para encontrar os máximos e mínimos de funções.

Conforme definido na teoria dos conjuntos , o máximo e o mínimo de um conjunto são os maiores e menores elementos do conjunto, respectivamente. Conjuntos infinitos ilimitados , como o conjunto dos números reais , não têm mínimo ou máximo.

Definição

Uma função de valor real f definida em um domínio X tem um ponto máximo global (ou absoluto )em x , se f ( x ) ≥ f ( x ) para todo x em X . Da mesma forma, a função tem um ponto mínimo global (ou absoluto )em x , se f ( x ) ≤ f ( x ) para todo x em X . O valor da função em um ponto de máximo é chamado devalor máximo da função, denotado, e o valor da função em um ponto mínimo é chamado devalor mínimo da função. Simbolicamente, isso pode ser escrito da seguinte forma:

é um ponto de máximo global da funçãoE se

A definição do ponto mínimo global também procede de forma semelhante.

Se o domínio X é um espaço métrico , então f é dito ter um ponto de máximo local (ou relativo )no ponto x , se existe algum ε > 0 tal que f ( x ) ≥ f ( x ) para todo x em X dentro da distância ε de x . Da mesma forma, a função tem um ponto de mínimo localem x , se f ( x ) ≤ f ( x ) para todo x em X dentro da distância ε de x . Uma definição semelhante pode ser usada quando X é um espaço topológico , uma vez que a definição dada pode ser reformulada em termos de vizinhanças. Matematicamente, a definição dada é escrita da seguinte forma:

Deixarseja um espaço métrico e uma função. Entãoé um ponto de máximo local da funçãoE sede tal modo que

A definição do ponto mínimo local também pode proceder de forma semelhante.

Tanto no caso global quanto no local, o conceito de umextremo estrito pode ser definido. Por exemplo,xé umponto máximo global estrito se para todoxemXcom x x , temos f ( x ) > f ( x ), exé umponto de máximo local estrito se existe algum ε > 0tal que, para todoxemXdentro da distânciaεdexcom x x , temos f ( x ) > f ( x ). Observe que um ponto é um ponto de máximo global estrito se e somente se for o único ponto de máximo global, e similarmente para pontos mínimos.

Uma função contínua de valor real com um domínio compacto sempre tem um ponto de máximo e um ponto de mínimo. Um exemplo importante é uma função cujo domínio é um intervalo fechado e limitado de números reais (veja o gráfico acima).

Pesquisar

Encontrar máximos e mínimos globais é o objetivo da otimização matemática . Se uma função é contínua em um intervalo fechado, então pelo teorema do valor extremo , existem máximos e mínimos globais. Além disso, um máximo global (ou mínimo) deve ser um máximo local (ou mínimo) no interior do domínio ou deve estar no limite do domínio. Assim, um método para encontrar um máximo (ou mínimo) global é olhar para todos os máximos (ou mínimos) locais no interior, e também olhar para os máximos (ou mínimos) dos pontos na fronteira, e tomar o maior ( ou menor) um.

Provavelmente, a característica mais importante, mas bastante óbvia, das funções contínuas de valor real de uma variável real é que elas diminuem antes dos mínimos locais e aumentam depois, da mesma forma para os máximos. (Formalmente, se f é uma função contínua com valor real de uma variável real x , então x 0 é um mínimo local se e somente se existir a < x 0 < b tal que f diminui em ( ax 0 ) e aumenta em ( x0_b )) [4] Uma consequência direta disso é o teorema de Fermat , que afirma que extremos locais devem ocorrer em pontos críticos (ou pontos onde a função é não diferenciável ). [5] Pode-se distinguir se um ponto crítico é um máximo local ou um mínimo local usando o teste da primeira derivada , teste da segunda derivada ou teste da derivada de ordem superior , dada a diferenciabilidade suficiente. [6]

Para qualquer função definida por partes , encontra-se um máximo (ou mínimo) encontrando o máximo (ou mínimo) de cada parte separadamente e, em seguida, vendo qual é a maior (ou menor).

Exemplos

O máximo global de xx ocorre em x = e .
Função Máximos e mínimos
x 2 Mínimo global único em x = 0.
x 3 Sem mínimos ou máximos globais. Embora a primeira derivada (3 x 2 ) seja 0 em x = 0, este é um ponto de inflexão . (2ª derivada é 0 nesse ponto.)
Máximo global único em x = e . (Veja a figura à direita)
x x Máximo global único sobre os números reais positivos em x = 1/ e .
x 3 /3 − x Primeira derivada x 2 − 1 e segunda derivada 2 x . Definindo a primeira derivada para 0 e resolvendo para xpontos estacionários em -1 e +1. A partir do sinal da segunda derivada, podemos ver que −1 é um máximo local e +1 é um mínimo local. Esta função não tem máximo ou mínimo global.
| x | Mínimo global em x = 0 que não pode ser encontrado por derivações, porque a derivada não existe em x = 0.
cos( x ) Infinitamente muitos máximos globais em 0, ±2 π , ±4 π , ..., e infinitos mínimos globais em ± π , ±3 π , ±5 π , ....
2 cos( x ) − x Infinitamente muitos máximos e mínimos locais, mas nenhum máximo ou mínimo global.
cos(3 π x )/ x com 0,1 ≤ x ≤ 1,1 Máximo global em x  = 0,1 (um limite), um mínimo global próximo a x  = 0,3, um máximo local próximo a x  = 0,6 e um mínimo local próximo a x  = 1,0. (Veja a figura no topo da página.)
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 definido no intervalo fechado (segmento) [−4,2] Máximo local em x  = −1− 15 /3, mínimo local em x  = −1+ 15 /3, máximo global em x  = 2 e mínimo global em x  = −4.

Para um exemplo prático, [7] suponha uma situação em que alguém tenhametros de cerca e está tentando maximizar a metragem quadrada de um recinto retangular, ondeé o comprimento,é a largura eé a área:

A derivada em relação aé:

Definindo isso igual a

revela queé o nosso único ponto crítico . Agora recupere os pontos finais determinando o intervalo para o qualé restrito. Como a largura é positiva, então, e desde, isso implica que. Conecte o ponto crítico, bem como terminaise, em, e os resultados sãoerespectivamente.

Portanto, a maior área atingível com um retângulo depés de cerca é. [7]

Funções de mais de uma variável

Superfície de Peano , um contra-exemplo a alguns critérios de máximas locais do século XIX
O máximo global é o ponto no topo
Contra-exemplo: O ponto vermelho mostra um mínimo local que não é um mínimo global

Para funções de mais de uma variável, aplicam-se condições semelhantes. Por exemplo, na figura (ampliável) à direita, as condições necessárias para um máximo local são semelhantes às de uma função com apenas uma variável. As primeiras derivadas parciais de z (a variável a ser maximizada) são zero no máximo (o ponto brilhante no topo da figura). As segundas derivadas parciais são negativas. Estas são apenas condições necessárias, não suficientes, para um máximo local, devido à possibilidade de um ponto de sela . Para usar essas condições para resolver um máximo, a função z também deve ser diferenciável por completo. O segundo teste de derivada parcialpode ajudar a classificar o ponto como um máximo relativo ou mínimo relativo. Em contraste, existem diferenças substanciais entre funções de uma variável e funções de mais de uma variável na identificação de extremos globais. Por exemplo, se uma função diferenciável limitada f definida em um intervalo fechado na linha real tem um único ponto crítico, que é um mínimo local, então também é um mínimo global (use o teorema do valor intermediário e o teorema de Rolle para provar isso por contradição ). Em duas ou mais dimensões, esse argumento falha. Isso é ilustrado pela função

cujo único ponto crítico está em (0,0), que é um mínimo local com f (0,0) = 0. No entanto, não pode ser global, pois f (2,3) = −5.

Máximos ou mínimos de um funcional

Se o domínio de uma função para a qual um extremo deve ser encontrado consiste em funções (ou seja, se um extremo deve ser encontrado de um funcional ), então o extremo é encontrado usando o cálculo de variações .

Em relação aos conjuntos

Máximos e mínimos também podem ser definidos para conjuntos. Em geral, se um conjunto ordenado S tem um maior elemento m , então m é um elemento máximo do conjunto, também denotado como. Além disso, se S é um subconjunto de um conjunto ordenado T e m é o maior elemento de S com (em relação à ordem induzida por T ), então m é o menor limite superior de S em T . Resultados semelhantes são válidos para o menor elemento , o elemento mínimo e o maior limite inferior . As funções de máximo e mínimo para conjuntos são usadas em bancos de dados e podem ser calculadas rapidamente, pois o máximo (ou mínimo) de um conjunto pode ser calculado a partir dos máximos de uma partição; formalmente, são funções de agregação auto-decomponíveis.

No caso de uma ordem parcial geral , o elemento mínimo (isto é, aquele que é menor que todos os outros) não deve ser confundido com um elemento mínimo (nada é menor). Da mesma forma, um maior elemento de um conjunto parcialmente ordenado (poset) é um limite superior do conjunto que está contido no conjunto, enquanto um elemento máximo m de um poset A é um elemento de A tal que se mb (para qualquer b em A ), então m = b. Qualquer elemento mínimo ou maior de um poset é único, mas um poset pode ter vários elementos mínimos ou máximos. Se um poset tiver mais de um elemento máximo, esses elementos não serão mutuamente comparáveis.

Em um conjunto totalmente ordenado , ou cadeia , todos os elementos são mutuamente comparáveis, de modo que tal conjunto pode ter no máximo um elemento mínimo e no máximo um elemento máximo. Então, devido à comparabilidade mútua, o elemento mínimo também será o menor elemento, e o elemento máximo também será o maior elemento. Assim, em um conjunto totalmente ordenado, podemos simplesmente usar os termos mínimo e máximo .

Se uma cadeia é finita, ela sempre terá um máximo e um mínimo. Se uma cadeia é infinita, então ela não precisa ter um máximo ou um mínimo. Por exemplo, o conjunto dos números naturais não tem máximo, embora tenha um mínimo. Se uma cadeia infinita S é limitada, então o fechamento Cl ( S ) do conjunto ocasionalmente tem um mínimo e um máximo, caso em que eles são chamados de maior limite inferior e menor limite superior do conjunto S , respectivamente.

Veja também

Referências

  1. ^ Stewart, James (2008). Cálculo: Early Transcendentals (6ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. ^ Larson, Rony ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2.
  3. ^ Thomas, George B. ; Weir, Maurício D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-58876-0.
  4. ^ Problemas na análise matemática . Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC  799468131 .{{cite book}}: Manutenção CS1: outros ( link )
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Mínimo" . mathworld.wolfram . com . Recuperado 2020-08-30 .
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Máximo" . mathworld.wolfram . com . Recuperado 2020-08-30 .
  7. ^ a b Garrett, Paul. "Renovação de minimização e maximização" .

Links externos