Prova matemática

P. Oxi. 29 , um dos fragmentos mais antigos dos Elementos de Euclides , um livro usado há milênios para ensinar técnicas de redação de provas. O diagrama acompanha o Livro II, Proposição 5. [1]

Uma prova matemática é um argumento dedutivo para uma afirmação matemática , mostrando que as suposições declaradas garantem logicamente a conclusão. O argumento pode utilizar outras afirmações previamente estabelecidas, como teoremas ; mas toda prova pode, em princípio, ser construída usando apenas certas suposições básicas ou originais conhecidas como axiomas , [2] [3] [4] juntamente com as regras de inferência aceitas . As provas são exemplos de raciocínio dedutivo exaustivo que estabelecem certeza lógica, para serem distinguidos de argumentos empíricos ou raciocínio indutivo não exaustivo que estabelecem "expectativa razoável". Apresentar muitos casos em que a afirmação é válida não é suficiente para uma prova, que deve demonstrar que a afirmação é verdadeira em todos os casos possíveis. Uma proposição que não foi provada, mas que se acredita ser verdadeira, é conhecida como conjectura , ou hipótese, se frequentemente usada como suposição para trabalhos matemáticos posteriores.

As provas empregam lógica expressa em símbolos matemáticos, juntamente com linguagem natural que geralmente admite alguma ambiguidade. Na maior parte da literatura matemática, as provas são escritas em termos de lógica informal rigorosa . Provas puramente formais , escritas integralmente em linguagem simbólica sem o envolvimento da linguagem natural, são consideradas na teoria da prova . A distinção entre provas formais e informais levou a muitos exames da prática matemática atual e histórica , do quase empirismo na matemática e da chamada matemática popular , tradições orais na comunidade matemática dominante ou em outras culturas. A filosofia da matemática preocupa-se com o papel da linguagem e da lógica nas provas, e da matemática como linguagem .

História e etimologia

A palavra “prova” vem do latim probare (testar). Palavras modernas relacionadas são "sonda", "probação" e "probabilidade" em inglês, probar em espanhol (cheirar ou provar, ou às vezes tocar ou testar), [5] italiano provare (tentar) e alemão probieren (tentar) . O termo legal “probidade” significa autoridade ou credibilidade, o poder do testemunho para provar factos quando prestado por pessoas de reputação ou estatuto. [6]

Argumentos de plausibilidade usando dispositivos heurísticos, como imagens e analogias, precederam provas matemáticas rigorosas. [7] É provável que a ideia de demonstrar uma conclusão tenha surgido primeiro em conexão com a geometria , que se originou em problemas práticos de medição de terrenos. [8] O desenvolvimento da prova matemática é principalmente o produto da matemática grega antiga e uma de suas maiores conquistas. [9] Tales (624–546 aC) e Hipócrates de Quios (c. 470–410 aC) deram algumas das primeiras provas conhecidas de teoremas em geometria. Eudoxo (408–355 aC) e Teeteto (417–369 aC) formularam teoremas, mas não os provaram. Aristóteles (384-322 aC) disse que as definições deveriam descrever o conceito que está sendo definido em termos de outros conceitos já conhecidos.

A prova matemática foi revolucionada por Euclides (300 aC), que introduziu o método axiomático ainda em uso hoje. Começa com termos e axiomas indefinidos , proposições relativas aos termos indefinidos que são considerados evidentemente verdadeiros (do grego "axios", algo digno). A partir desta base, o método prova teoremas utilizando lógica dedutiva . O livro de Euclides, Os Elementos , foi lido por qualquer pessoa considerada educada no Ocidente até meados do século XX. [10] Além dos teoremas da geometria, como o teorema de Pitágoras , os Elementos também cobre a teoria dos números , incluindo uma prova de que a raiz quadrada de dois é irracional e uma prova de que existem infinitos números primos .

Outros avanços também ocorreram na matemática islâmica medieval . No século 10 dC, o matemático iraquiano Al-Hashimi trabalhou com números como tais, chamados de "linhas", mas não necessariamente considerados como medidas de objetos geométricos, para provar proposições algébricas relativas à multiplicação, divisão, etc., incluindo a existência de números irracionais. . [11] Uma prova indutiva para sequências aritméticas foi introduzida no Al-Fakhri (1000) por Al-Karaji , que a usou para provar o teorema binomial e as propriedades do triângulo de Pascal .

A teoria da prova moderna trata as provas como estruturas de dados definidas indutivamente , não exigindo a suposição de que os axiomas são "verdadeiros" em qualquer sentido. Isto permite teorias matemáticas paralelas como modelos formais de um determinado conceito intuitivo, baseados em conjuntos alternativos de axiomas, por exemplo, teoria axiomática dos conjuntos e geometria não-euclidiana .

Natureza e propósito

Tal como praticada, uma prova é expressa em linguagem natural e é um argumento rigoroso destinado a convencer o público da veracidade de uma afirmação. O padrão de rigor não é absoluto e tem variado ao longo da história. Uma prova pode ser apresentada de forma diferente dependendo do público-alvo. Para ser aceita, uma prova deve atender aos padrões de rigor comunitários; um argumento considerado vago ou incompleto pode ser rejeitado.

O conceito de prova é formalizado no campo da lógica matemática . [12] Uma prova formal é escrita em uma linguagem formal em vez de uma linguagem natural. Uma prova formal é uma sequência de fórmulas em uma linguagem formal, começando com uma suposição, e com cada fórmula subsequente uma consequência lógica das anteriores. Esta definição torna o conceito de prova passível de estudo. Na verdade, o campo da teoria da prova estuda provas formais e suas propriedades, sendo a mais famosa e surpreendente que quase todos os sistemas axiomáticos podem gerar certas declarações indecidíveis não demonstráveis ​​dentro do sistema.

A definição de uma prova formal pretende capturar o conceito de provas conforme escrito na prática da matemática. A solidez desta definição equivale à crença de que uma prova publicada pode, em princípio, ser convertida numa prova formal. No entanto, fora do campo dos assistentes de prova automatizados , isso raramente é feito na prática. Uma questão clássica em filosofia questiona se as provas matemáticas são analíticas ou sintéticas . Kant , que introduziu a distinção analítico-sintético , acreditava que as provas matemáticas são sintéticas, enquanto Quine argumentou em seus " Dois Dogmas do Empirismo " de 1951 que tal distinção é insustentável. [13]

As provas podem ser admiradas pela sua beleza matemática . O matemático Paul Erdős era conhecido por descrever provas que considerou particularmente elegantes como provenientes de "O Livro", um tomo hipotético contendo o(s) mais belo(s) método(s) de provar cada teorema. O livro Provas do LIVRO , publicado em 2003, dedica-se a apresentar 32 provas que seus editores consideram particularmente agradáveis.

Métodos de prova

Prova direta

Na prova direta, a conclusão é estabelecida pela combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas anteriores. [14] Por exemplo, a prova direta pode ser usada para provar que a soma de dois inteiros pares é sempre par:

Considere dois inteiros pares x e y . Como são pares, podem ser escritos como x  = 2 a e y  = 2 b , respectivamente, para alguns inteiros a e b . Então a soma é x  +  y  = 2 a  + 2 b  = 2( a + b ). Portanto x + y tem 2 como fator e, por definição, é par. Portanto, a soma de quaisquer dois números inteiros pares é par.

Esta prova usa a definição de inteiros pares, as propriedades inteiras de fechamento sob adição e multiplicação e a propriedade distributiva .

Prova por indução matemática

Apesar do nome, a indução matemática é um método de dedução , e não uma forma de raciocínio indutivo . Na prova por indução matemática, um único "caso base" é provado, e uma "regra de indução" é provada que estabelece que qualquer caso arbitrário implica o próximo caso. Como, em princípio, a regra de indução pode ser aplicada repetidamente (a partir do caso base provado), segue-se que todos os casos (geralmente um número infinito ) são demonstráveis. [15] Isso evita ter que provar cada caso individualmente. Uma variante da indução matemática é a prova por descida infinita , que pode ser usada, por exemplo, para provar a irracionalidade da raiz quadrada de dois .

Uma aplicação comum da prova por indução matemática é provar que uma propriedade conhecida por ser válida para um número é válida para todos os números naturais : [16] Seja N = {1, 2, 3, 4, ... } o conjunto de números naturais números, e seja P ( n ) uma afirmação matemática envolvendo o número natural n pertencente a N tal que

  • (i) P (1) é verdadeiro, ou seja, P ( n ) é verdadeiro para n = 1 .
  • (ii) P ( n +1) é verdadeiro sempre que P ( n ) é verdadeiro, ou seja, P ( n ) é verdadeiro implica que P ( n +1) é verdadeiro.
  • Então P ( n ) é verdadeiro para todos os números naturais n .

Por exemplo, podemos provar por indução que todos os inteiros positivos da forma 2 n  − 1 são ímpares . Deixe P ( n ) representar " 2 n  - 1 é ímpar":

(i) Para n = 1 , 2 n  − 1 = 2(1) − 1 = 1 , e 1 é ímpar, pois deixa resto 1 quando dividido por 2 . Assim P (1) é verdadeiro.
(ii) Para qualquer n , se 2 n  − 1 é ímpar ( P ( n ) ), então (2 n  − 1) + 2 também deve ser ímpar, porque adicionar 2 a um número ímpar resulta em um número ímpar. Mas (2 n  − 1) + 2 = 2 n  + 1 = 2( n +1) − 1 , então 2( n +1) − 1 é ímpar ( P ( n +1) ). Então P ( n ) implica P ( n +1) .
Assim, 2 n  − 1 é ímpar, para todos os inteiros positivos n .

A frase mais curta "prova por indução" é frequentemente usada em vez de "prova por indução matemática". [17]

Prova por contraposição

A prova por contraposição infere a afirmação “se p então q ” estabelecendo a afirmação contrapositiva logicamente equivalente : “se não q então não p ”.

Por exemplo, a contraposição pode ser usada para estabelecer que, dado um número inteiro , se é par, então é par:

Suponha que não seja par. Então é estranho. O produto de dois números ímpares é ímpar, portanto é ímpar. Assim não é par. Assim, se for par, a suposição deve ser falsa, então tem que ser par.

Prova por contradição

Na prova por contradição, também conhecida pela frase latina reductio ad absurdum (por redução ao absurdo), mostra-se que se alguma afirmação for considerada verdadeira, ocorre uma contradição lógica , portanto a afirmação deve ser falsa. Um exemplo famoso envolve a prova de que é um número irracional :

Suponha que seja um número racional. Então poderia ser escrito em termos mais baixos, onde a e b são números inteiros diferentes de zero sem fator comum . Por isso, . Quadrar ambos os lados resulta em 2 b 2 = a 2 . Como a expressão à esquerda é um múltiplo inteiro de 2, a expressão à direita é por definição divisível por 2. Ou seja, 2 é par, o que implica que a também deve ser par, como visto na proposição acima (em #Proof por contraposição). Portanto, podemos escrever a = 2 c , onde c também é um número inteiro. A substituição na equação original produz 2 b 2 = (2 c ) 2 = 4 c 2 . Dividir ambos os lados por 2 resulta em b 2 = 2 c 2 . Mas então, pelo mesmo argumento anterior, 2 divide b 2 , então b deve ser par. No entanto, se a e b forem pares, eles terão 2 como fator comum. Isto contradiz a nossa afirmação anterior de que a e b não têm fator comum, pelo que devemos concluir que é um número irracional.

Parafraseando: se alguém pudesse escrever como uma fração , esta fração nunca poderia ser escrita em termos mais baixos, pois 2 sempre poderia ser fatorado a partir do numerador e do denominador.

Prova por construção

Prova por construção, ou prova por exemplo, é a construção de um exemplo concreto com uma propriedade para mostrar que existe algo que possui essa propriedade. Joseph Liouville , por exemplo, provou a existência de números transcendentais construindo um exemplo explícito . Também pode ser usado para construir um contra-exemplo para refutar uma proposição de que todos os elementos possuem uma determinada propriedade.

Prova por exaustão

Na prova por exaustão, a conclusão é estabelecida dividindo-a em um número finito de casos e provando cada um separadamente. O número de casos às vezes pode tornar-se muito grande. Por exemplo, a primeira prova do teorema das quatro cores foi uma prova por exaustão com 1.936 casos. Esta prova foi controversa porque a maioria dos casos foi verificada por um programa de computador e não manualmente. A menor prova conhecida do teorema das quatro cores em 2011 ainda tinha mais de 600 casos. [18]

Prova probabilística

Uma prova probabilística é aquela em que se demonstra a existência de um exemplo, com certeza, usando métodos da teoria das probabilidades . A prova probabilística, assim como a prova por construção, é uma das muitas maneiras de provar teoremas de existência .

No método probabilístico busca-se um objeto que possua uma determinada propriedade, partindo de um grande conjunto de candidatos. Atribui-se uma certa probabilidade para cada candidato a ser escolhido e então prova-se que existe uma probabilidade diferente de zero de que um candidato escolhido tenha a propriedade desejada. Isso não especifica quais candidatos possuem a propriedade, mas a probabilidade não poderia ser positiva sem pelo menos um.

Uma prova probabilística não deve ser confundida com um argumento de que um teorema é “provavelmente” verdadeiro, um “argumento de plausibilidade”. O trabalho em direção à conjectura de Collatz mostra quão longe a plausibilidade está da prova genuína, assim como a refutação da conjectura de Mertens . Embora a maioria dos matemáticos não pense que a evidência probabilística para as propriedades de um determinado objeto conte como uma prova matemática genuína, alguns matemáticos e filósofos argumentaram que pelo menos alguns tipos de evidência probabilística (como o algoritmo probabilístico de Rabin para testar a primalidade ) são tão boas como provas matemáticas genuínas. [19] [20]

Prova combinatória

Uma prova combinatória estabelece a equivalência de diferentes expressões, mostrando que elas contam o mesmo objeto de maneiras diferentes. Freqüentemente, uma bijeção entre dois conjuntos é usada para mostrar que as expressões para seus dois tamanhos são iguais. Alternativamente, um argumento de contagem dupla fornece duas expressões diferentes para o tamanho de um único conjunto, mostrando novamente que as duas expressões são iguais.

Prova não construtiva

Uma prova não construtiva estabelece que existe um objeto matemático com uma determinada propriedade – sem explicar como tal objeto pode ser encontrado. Freqüentemente, isso assume a forma de uma prova por contradição, na qual se prova que a inexistência do objeto é impossível. Em contraste, uma prova construtiva estabelece que um determinado objeto existe, fornecendo um método para encontrá-lo. O famoso exemplo a seguir de uma prova não construtiva mostra que existem dois números irracionais aeb tais que são um número racional . Esta prova utiliza que é irracional (uma prova fácil conhece-se desde Euclides ), mas não que é irracional (isto é verdade, mas a prova não é elementar).

Ou é um número racional e terminamos (pegue ), ou é irracional, então podemos escrever e . Isso então dá , que é, portanto, um número racional da forma

Provas estatísticas em matemática pura

A expressão "prova estatística" pode ser usada técnica ou coloquialmente em áreas da matemática pura , como envolvendo criptografia , séries caóticas e teoria probabilística dos números ou teoria analítica dos números . [21] [22] [23] É menos comumente usado para se referir a uma prova matemática no ramo da matemática conhecido como estatística matemática . Consulte também a seção "Prova estatística usando dados" abaixo.

Provas assistidas por computador

Até ao século XX, presumia-se que qualquer prova poderia, em princípio, ser verificada por um matemático competente para confirmar a sua validade. [7] No entanto, os computadores são agora usados ​​tanto para provar teoremas como para realizar cálculos que são demasiado longos para serem verificados por qualquer ser humano ou equipa de seres humanos; a primeira prova do teorema das quatro cores é um exemplo de prova assistida por computador. Alguns matemáticos estão preocupados com o facto de a possibilidade de um erro num programa de computador ou de um erro em tempo de execução nos seus cálculos colocar em causa a validade de tais provas assistidas por computador. Na prática, as chances de um erro invalidar uma prova assistida por computador podem ser reduzidas pela incorporação de redundância e autoverificações nos cálculos e pelo desenvolvimento de múltiplas abordagens e programas independentes. Os erros também nunca podem ser completamente excluídos no caso de verificação de uma prova por seres humanos, especialmente se a prova contiver linguagem natural e exigir uma visão matemática profunda para descobrir as potenciais suposições e falácias ocultas envolvidas.

Declarações indecidíveis

Uma afirmação que não é nem demonstrável nem refutável a partir de um conjunto de axiomas é chamada de indecidível (a partir desses axiomas). Um exemplo é o postulado das paralelas , que não é demonstrável nem refutável a partir dos restantes axiomas da geometria euclidiana .

Os matemáticos mostraram que há muitas afirmações que não são nem prováveis ​​nem refutáveis ​​na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC), o sistema padrão da teoria dos conjuntos em matemática (assumindo que o ZFC é consistente); veja Lista de declarações indecidíveis em ZFC .

O (primeiro) teorema da incompletude de Gödel mostra que muitos sistemas de axiomas de interesse matemático terão afirmações indecidíveis.

Matemática heurística e matemática experimental

Embora os primeiros matemáticos, como Eudoxo de Cnido, não usassem provas, de Euclides aos desenvolvimentos matemáticos fundamentais do final dos séculos XIX e XX, as provas eram uma parte essencial da matemática. [24] Com o aumento do poder de computação na década de 1960, um trabalho significativo começou a ser feito investigando objetos matemáticos além da estrutura do teorema da prova, [25] em matemática experimental . Os primeiros pioneiros desses métodos pretendiam que o trabalho fosse finalmente resolvido em uma estrutura clássica de teorema de prova, por exemplo, o desenvolvimento inicial da geometria fractal , [26] que acabou sendo resolvido.

Conceitos relacionados

Prova visual

Embora não seja uma prova formal, uma demonstração visual de um teorema matemático é às vezes chamada de “ prova sem palavras ”. A imagem à esquerda abaixo é um exemplo de prova visual histórica do teorema de Pitágoras no caso do triângulo (3,4,5) .

Algumas provas visuais ilusórias, como o quebra-cabeça do quadrado perdido , podem ser construídas de uma forma que pareça provar um suposto fato matemático, mas só o fazem negligenciando pequenos erros (por exemplo, linhas supostamente retas que na verdade se curvam ligeiramente) que são imperceptíveis até toda a imagem é examinada de perto, com comprimentos e ângulos medidos ou calculados com precisão.

Prova elementar

Uma prova elementar é uma prova que utiliza apenas técnicas básicas. Mais especificamente, o termo é usado na teoria dos números para se referir a provas que não fazem uso de análises complexas . Por algum tempo pensou-se que certos teoremas, como o teorema dos números primos , só poderiam ser provados usando matemática "superior". Contudo, ao longo do tempo, muitos destes resultados foram reprovados utilizando apenas técnicas elementares.

Prova de duas colunas

Uma prova de duas colunas publicada em 1913

Uma maneira particular de organizar uma prova usando duas colunas paralelas é frequentemente usada como exercício matemático em aulas de geometria elementar nos Estados Unidos. [27] A prova é escrita como uma série de linhas em duas colunas. Em cada linha, a coluna da esquerda contém uma proposição, enquanto a coluna da direita contém uma breve explicação de como a proposição correspondente na coluna da esquerda é um axioma, uma hipótese ou pode ser derivada logicamente de proposições anteriores. . A coluna da esquerda normalmente é intitulada "Declarações" e a coluna da direita normalmente é intitulada "Motivos". [28]

Uso coloquial de "prova matemática"

A expressão "prova matemática" é usada por leigos para se referir ao uso de métodos matemáticos ou à argumentação com objetos matemáticos , como números, para demonstrar algo sobre a vida cotidiana, ou quando os dados usados ​​em uma discussão são numéricos. Às vezes também é usado para significar uma "prova estatística" (abaixo), especialmente quando usado para argumentar a partir de dados.

Prova estatística usando dados

"Prova estatística" de dados refere-se à aplicação de estatística, análise de dados ou análise bayesiana para inferir proposições sobre a probabilidade dos dados. Embora use provas matemáticas para estabelecer teoremas em estatística, geralmente não é uma prova matemática, pois as suposições das quais as declarações de probabilidade são derivadas requerem evidências empíricas de fora da matemática para serem verificadas. Na física, além dos métodos estatísticos, "prova estatística" pode referir-se aos métodos matemáticos especializados da física aplicados para analisar dados em um experimento de física de partículas ou estudo observacional em cosmologia física . "Prova estatística" também pode se referir a dados brutos ou a um diagrama convincente envolvendo dados, como gráficos de dispersão , quando os dados ou diagrama são adequadamente convincentes sem análise adicional.

Provas lógicas indutivas e análise bayesiana

As provas que utilizam lógica indutiva , embora consideradas de natureza matemática, buscam estabelecer proposições com um grau de certeza, que atua de maneira semelhante à probabilidade , podendo ser inferior à certeza total . A lógica indutiva não deve ser confundida com a indução matemática .

A análise bayesiana usa o teorema de Bayes para atualizar a avaliação de uma pessoa sobre as probabilidades de hipóteses quando novas evidências ou informações são adquiridas.

Provas como objetos mentais

O psicologismo vê as provas matemáticas como objetos psicológicos ou mentais. Filósofos matemáticos, como Leibniz , Frege e Carnap, criticaram diversas vezes esta visão e tentaram desenvolver uma semântica para o que consideravam ser a linguagem do pensamento , por meio da qual os padrões de prova matemática poderiam ser aplicados à ciência empírica .

Influência dos métodos de prova matemática fora da matemática

Filósofos-matemáticos como Spinoza tentaram formular argumentos filosóficos de uma maneira axiomática, por meio da qual os padrões de prova matemática poderiam ser aplicados à argumentação na filosofia geral. Outros matemáticos-filósofos tentaram usar padrões de prova matemática e razão, sem empirismo, para chegar a afirmações fora da matemática, mas tendo a certeza das proposições deduzidas em uma prova matemática, como o argumento do cogito de Descartes .

Finalizando uma prova

Às vezes, a abreviatura “QED” é escrita para indicar o final de uma prova. Esta abreviatura significa "quod erat demonstrandum" , que em latim significa "aquilo que deveria ser demonstrado" . Uma alternativa mais comum é usar um quadrado ou retângulo, como □ ou ∎, conhecido como " lápide " ou "halmos" devido ao seu epônimo Paul Halmos . Freqüentemente, "o que deveria ser mostrado" é declarado verbalmente ao escrever "QED", "□" ou "∎" durante uma apresentação oral. Unicode fornece explicitamente o caractere de "fim da prova", U+220E (∎) (220E(hex) = 8718(dec)) .

Veja também

Referências

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  2. ^ Clapham, C. & Nicholson, JN The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Quarta edição . Uma afirmação cuja verdade deve ser tomada como evidente ou presumida. Certas áreas da matemática envolvem a escolha de um conjunto de axiomas e a descoberta de quais resultados podem ser derivados deles, fornecendo provas para os teoremas obtidos.
  3. ^ Cupillari, Antonella (2005) [2001]. Os detalhes básicos das provas: uma introdução às provas matemáticas (terceira edição). Imprensa Acadêmica . pág. 3.ISBN 978-0-12-088509-1.
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  28. ^ Dr. Fisher Queimadura. "Introdução à prova de duas colunas". onemathematicalcat.org . Recuperado em 15 de outubro de 2009 .

Leitura adicional

links externos

  • Mídia relacionada à prova matemática no Wikimedia Commons
  • Provas em matemática: simples, charmosas e falaciosas
  • Uma lição sobre provas, em um curso da Wikiversidade
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