Linha (geometria)

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As linhas vermelha e azul neste gráfico têm a mesma inclinação (gradiente) ; as linhas vermelha e verde têm a mesma interseção y (cruzam o eixo y no mesmo lugar).
Uma representação de um segmento de linha .

Em geometria , a noção de linha ou linha reta foi introduzida por matemáticos antigos para representar objetos retos (isto é, sem curvatura ) com largura e profundidade insignificantes. As linhas são uma idealização de tais objetos, que são frequentemente descritos em termos de dois pontos (por exemplo,) ou referido usando uma única letra (por exemplo, ). [1]

Até o século XVII, as linhas eram definidas como a "[...] primeira espécie de quantidade, que tem apenas uma dimensão, a saber, o comprimento, sem nenhuma largura nem profundidade, e nada mais é do que o fluxo ou corrida do ponto que [ ...] partirá de seu imaginário movendo algum vestígio de comprimento, isento de qualquer largura. [...] A linha reta é aquela que se estende igualmente entre seus pontos." [2]

Euclides descreveu uma linha como "comprimento sem largura" que "se encontra igualmente em relação aos pontos sobre si mesma"; ele introduziu vários postulados como propriedades básicas improváveis ​​a partir das quais ele construiu toda a geometria, que agora é chamada de geometria euclidiana para evitar confusão com outras geometrias que foram introduzidas desde o final do século XIX (como a geometria não-euclidiana , projetiva e afim ).

Na matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de linha está intimamente ligado à forma como a geometria é descrita. Por exemplo, em geometria analítica , uma linha no plano é frequentemente definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma dada equação linear , mas em um cenário mais abstrato, como geometria de incidência , uma linha pode ser um objeto independente, distinto de o conjunto de pontos que nele se encontram.

Quando uma geometria é descrita por um conjunto de axiomas , a noção de uma linha geralmente é deixada indefinida (um objeto chamado primitivo ). As propriedades das linhas são então determinadas pelos axiomas que se referem a elas. Uma vantagem dessa abordagem é a flexibilidade que ela dá aos usuários da geometria. Assim, na geometria diferencial , uma linha pode ser interpretada como uma geodésica (caminho mais curto entre pontos), enquanto em algumas geometrias projetivas , uma linha é um espaço vetorial bidimensional (todas as combinações lineares de dois vetores independentes). Essa flexibilidade também se estende além da matemática e, por exemplo, permite que os físicos pensem no caminho de um raio de luz como uma linha.

Definições versus descrições

Todas as definições são, em última análise , de natureza circular , pois dependem de conceitos que devem ter definições, uma dependência que não pode ser continuada indefinidamente sem retornar ao ponto de partida. Para evitar esse círculo vicioso, certos conceitos devem ser tomados como conceitos primitivos ; termos que não têm definição. [3] Na geometria, é frequente que o conceito de linha seja tomado como primitivo. [4] Nas situações em que uma linha é um conceito definido, como na geometria de coordenadas , algumas outras ideias fundamentais são tidas como primitivas. Quando o conceito de linha é primitivo, o comportamento e as propriedades das linhas são ditados pelos axiomasque devem satisfazer.

Em um tratamento não axiomático ou axiomático simplificado da geometria, o conceito de uma noção primitiva pode ser abstrato demais para ser tratado. Nesta circunstância, é possível fornecer uma descrição ou imagem mental de uma noção primitiva, para dar uma base para construir a noção sobre a qual se basearia formalmente nos axiomas (não declarados). Descrições deste tipo podem ser referidas, por alguns autores, como definições neste estilo informal de apresentação. Essas não são definições verdadeiras e não podem ser usadas em provas formais de declarações. A "definição" de linha nos Elementos de Euclides se enquadra nesta categoria. [5] Mesmo no caso em que uma geometria específica está sendo considerada (por exemplo, geometria euclidiana), não há um acordo geralmente aceito entre os autores sobre o que deve ser uma descrição informal de uma linha quando o assunto não está sendo tratado formalmente.

Na geometria euclidiana

Quando a geometria foi formalizada pela primeira vez por Euclides nos Elementos , ele definiu uma linha geral (reta ou curva) como "comprimento sem largura" com uma linha reta sendo uma linha "que se encontra uniformemente com os pontos em si mesma". [6] Essas definições servem pouco, pois usam termos que não são por si definidos. De fato, o próprio Euclides não utilizou essas definições neste trabalho, e provavelmente as incluiu apenas para deixar claro ao leitor o que estava sendo discutido. Na geometria moderna, uma linha é simplesmente tomada como um objeto indefinido com propriedades dadas por axiomas , [7] mas às vezes é definida como um conjunto de pontos obedecendo a uma relação linear quando algum outro conceito fundamental é deixado indefinido.

Em uma formulação axiomática da geometria euclidiana, como a de Hilbert (os axiomas originais de Euclides continham várias falhas que foram corrigidas por matemáticos modernos), [8] afirma-se que uma linha tem certas propriedades que a relacionam com outras linhas e pontos . Por exemplo, para quaisquer dois pontos distintos, há uma única linha que os contém, e quaisquer duas linhas distintas se cruzam em no máximo um ponto. [9] Em duas dimensões (isto é, o plano euclidiano ), duas linhas que não se cruzam são chamadas de paralelas . Em dimensões superiores, duas linhas que não se cruzam são paralelas se estiverem contidas em um plano, ou enviesar se não forem.

Qualquer coleção de um número finito de linhas divide o plano em polígonos convexos (possivelmente ilimitados); esta partição é conhecida como um arranjo de linhas .

Em coordenadas cartesianas

Linhas em um plano cartesiano ou, mais geralmente, em coordenadas afins , são caracterizadas por equações lineares . Mais precisamente, cada linha(incluindo linhas verticais) é o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas ( x , y ) satisfazem uma equação linear ; isso é,

onde a , b e c são números reais fixos (chamados coeficientes ) tais que a e b não são ambos zero. Usando este formulário, as linhas verticais correspondem a equações com b = 0.

Pode-se supor ainda c = 1 ou c = 0 , dividindo tudo por c se não for zero.

Existem muitas maneiras variantes de escrever a equação de uma linha que podem ser convertidas de uma para outra por manipulação algébrica. O formulário acima às vezes é chamado de formulário padrão . Se o termo constante for colocado à esquerda, a equação se torna

e isso às vezes é chamado de forma geral da equação. No entanto, essa terminologia não é universalmente aceita e muitos autores não distinguem essas duas formas.

Esses formulários (consulte Equação linear para outros formulários) geralmente são nomeados pelo tipo de informação (dados) sobre a linha que é necessária para escrever o formulário. Alguns dos dados importantes de uma linha são sua inclinação, interseção x , pontos conhecidos na linha e interseção y.

A equação da reta que passa por dois pontos diferentesepode ser escrito como

.

Se x 0x 1 , esta equação pode ser reescrita como

ou

Equações paramétricas

Equações paramétricas também são usadas para especificar linhas, particularmente naquelas em três dimensões ou mais, porque em mais de duas dimensões as linhas não podem ser descritas por uma única equação linear.

Em três dimensões, as linhas são frequentemente descritas por equações paramétricas:

Onde:

x , y e z são todas funções da variável independente t que varia sobre os números reais.
( x 0 , y 0 , z 0 ) é qualquer ponto na linha.
a , b e c estão relacionados à inclinação da linha, de modo que o vetor de direção ( a , b , c ) seja paralelo à linha.

Equações paramétricas para linhas em dimensões mais altas são semelhantes, pois são baseadas na especificação de um ponto na linha e um vetor de direção.

Como nota, linhas em três dimensões também podem ser descritas como soluções simultâneas de duas equações lineares

de tal modo queenão são proporcionais (as relaçõesimplicar). Isso segue uma vez que em três dimensões uma única equação linear normalmente descreve um plano e uma linha é o que é comum a dois planos distintos de interseção.

Forma de interceptação de inclinação

Em duas dimensões , a equação para linhas não verticais é frequentemente dada na forma inclinação-intersecção :

Onde:

m é a inclinação ou gradiente da linha.
b é a interceptação em y da linha.
x é a variável independente da função y = f ( x ).

A inclinação da linha através dos pontose, quando, É dado pore a equação desta reta pode ser escrita.

Forma normal

A forma normal (também chamada de forma normal de Hesse , [10] em homenagem ao matemático alemão Ludwig Otto Hesse ), é baseada no segmento normal para uma dada linha, que é definida como o segmento de linha desenhado a partir da origem perpendicular à linha . Este segmento une a origem com o ponto mais próximo na linha da origem. A forma normal da equação de uma linha reta no plano é dada por:

Onde é o ângulo de inclinação do segmento normal (o ângulo orientado do vetor unitário do eixo x para este segmento), e p é o comprimento (positivo) do segmento normal. A forma normal pode ser derivada da forma padrão dividindo todos os coeficientes por

Ao contrário das formas de interceptação e interceptação de inclinação, esta forma pode representar qualquer linha, mas também requer apenas dois parâmetros finitos, e p , a ser especificado. Se p > 0 , entãoé definido de forma única módulo 2 π . Por outro lado, se a linha passa pela origem ( c = p = 0 ), elimina-se o c /| c | termo para calculare, e segue que é definido apenas módulo π .

Em coordenadas polares

Em um plano cartesiano , as coordenadas polares ( r , θ ) estão relacionadas às coordenadas cartesianas pelas equações

Em coordenadas polares, a equação de uma reta que não passa pela origem — o ponto com coordenadas (0, 0) — pode ser escrita

com r > 0 eAqui, p é o comprimento (positivo) do segmento de linha perpendicular à linha e delimitado pela origem e pela linha, eé o ângulo (orientado) do eixo x para este segmento.

Pode ser útil expressar a equação em termos do ângulo entre o eixo x e a linha. Neste caso, a equação se torna

com r > 0 e

Essas equações podem ser derivadas da forma normal da equação de linha, definindoee, em seguida, aplicando a identidade de diferença de ângulo para seno ou cosseno.

Essas equações também podem ser provadas geometricamente aplicando definições de triângulo retângulo de seno e cosseno ao triângulo retângulo que tem um ponto da linha e a origem como vértices, e a linha e sua perpendicular através da origem como lados.

As formas anteriores não se aplicam a uma linha que passa pela origem, mas uma fórmula mais simples pode ser escrita: as coordenadas polaresdos pontos de uma linha que passa pela origem e faz um ângulo decom o eixo x , são os paresde tal modo que

Como uma equação vetorial

A equação vetorial da reta que passa pelos pontos A e B é dada por(onde λ é um escalar ).

Se a é o vetor OA e b é o vetor OB , então a equação da reta pode ser escrita:.

Um raio que começa no ponto A é descrito limitando λ. Um raio é obtido se λ ≥ 0, e o raio oposto vem de λ ≤ 0.

Em dimensões superiores

No espaço tridimensional , uma equação de primeiro grau nas variáveis x , y e z define um plano, então duas dessas equações, desde que os planos que dão origem não sejam paralelos, definem uma linha que é a interseção dos planos. Mais geralmente, no espaço n - dimensional n −1 equações de primeiro grau nas n variáveis coordenadas definem uma linha sob condições adequadas.

No espaço euclidiano mais geral , R n (e analogamente em todos os outros espaços afins ), a linha L que passa por dois pontos diferentes a e b (considerados como vetores) é o subconjunto

A direção da linha é de a ( t = 0) a b ( t = 1), ou seja, na direção do vetor b  −  a . Diferentes escolhas de a e b podem produzir a mesma linha.

Pontos colineares

Três pontos são ditos colineares se estiverem na mesma linha. Três pontos geralmente determinam um plano , mas no caso de três pontos colineares isso não acontece.

Em coordenadas afins , no espaço n -dimensional os pontos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ), e Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) são colineares se a matriz

tem um posto menor que 3. Em particular, para três pontos no plano ( n = 2), a matriz acima é quadrada e os pontos são colineares se e somente se seu determinante for zero.

Equivalentemente para três pontos em um plano, os pontos são colineares se e somente se a inclinação entre um par de pontos for igual à inclinação entre qualquer outro par de pontos (nesse caso, a inclinação entre o par de pontos restante será igual às outras inclinações) . Por extensão, k pontos em um plano são colineares se e somente se quaisquer ( k –1) pares de pontos têm as mesmas inclinações aos pares.

Na geometria euclidiana , a distância euclidiana d ( a , b ) entre dois pontos aeb pode ser usada para expressar a colinearidade entre três pontos por: [11] [12]

Os pontos a , b e c são colineares se e somente se d ( x , a ) = d ( c , a ) e d ( x , b ) = d ( c , b ) implica x = c .

No entanto, existem outras noções de distância (como a distância de Manhattan ) para as quais essa propriedade não é verdadeira.

Nas geometrias em que o conceito de linha é uma noção primitiva , como pode ser o caso de algumas geometrias sintéticas , são necessários outros métodos para determinar a colinearidade.

Tipos de linhas

Em certo sentido, [13] todas as retas na geometria euclidiana são iguais, pois, sem coordenadas, não se pode distingui-las umas das outras. No entanto, as linhas podem desempenhar papéis especiais em relação a outros objetos na geometria e ser divididas em tipos de acordo com essa relação. Por exemplo, em relação a uma cônica (um círculo , uma elipse , uma parábola ou uma hipérbole ), as linhas podem ser:

  • linhas tangentes , que tocam a cônica em um único ponto;
  • retas secantes , que interceptam a cônica em dois pontos e passam pelo seu interior;
  • linhas externas, que não encontram a cônica em nenhum ponto do plano euclidiano; ou
  • uma diretriz , cuja distância de um ponto ajuda a estabelecer se o ponto está na cônica.

No contexto da determinação do paralelismo na geometria euclidiana, uma transversal é uma linha que intercepta duas outras linhas que podem ou não ser paralelas entre si.

Para curvas algébricas mais gerais , as linhas também podem ser:

  • i - linhas secantes, encontrando a curva em i pontos contados sem multiplicidade, ou
  • assíntotas , que uma curva se aproxima arbitrariamente sem tocá-la.

Em relação aos triângulos , temos:

Para um quadrilátero convexo com no máximo dois lados paralelos, a linha de Newton é a linha que liga os pontos médios das duas diagonais .

Para um hexágono com vértices sobre uma cônica temos a linha de Pascal e, no caso especial onde a cônica é um par de linhas, temos a linha de Pappus .

Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que nunca se cruzam. As linhas que se cruzam compartilham um único ponto em comum. Linhas coincidentes coincidem umas com as outras – cada ponto que está em qualquer uma delas também está no outro.

Linhas perpendiculares são linhas que se cruzam em ângulos retos .

No espaço tridimensional , as linhas oblíquas são linhas que não estão no mesmo plano e, portanto, não se cruzam.

Em geometria projetiva

Em muitos modelos de geometria projetiva , a representação de uma linha raramente está de acordo com a noção de "curva reta" como é visualizada na geometria euclidiana. Na geometria elíptica vemos um exemplo típico disso. [14] Na representação esférica da geometria elíptica, as linhas são representadas por grandes círculos de uma esfera com pontos diametralmente opostos identificados. Em um modelo diferente de geometria elíptica, as linhas são representadas por planos euclidianos que passam pela origem. Embora essas representações sejam visualmente distintas, elas satisfazem todas as propriedades (como dois pontos determinando uma única linha) que as tornam representações adequadas para linhas nesta geometria.

Extensões

Ray

Dada uma linha e qualquer ponto A nela, podemos considerar A como decompondo essa linha em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de raio e o ponto A é chamado de ponto inicial . Também é conhecido como meia linha , um semi-espaço unidimensional . O ponto A é considerado um membro do raio. [15] Intuitivamente, um raio consiste naqueles pontos em uma linha que passa por A e prossegue indefinidamente, começando em A , em uma direção apenas ao longo da linha. No entanto, para usar este conceito de raio em provas é necessária uma definição mais precisa.

Dados pontos distintos A e B , eles determinam um único raio com ponto inicial A. Como dois pontos definem uma linha única, este raio consiste em todos os pontos entre A e B (incluindo A e B ) e todos os pontos C na linha que passa por A e B tal que B está entre A e C . [16] Isto é, às vezes, também expresso como o conjunto de todos os pontos C na linha determinada por A e B tal que Anão está entre B e C. [17] Um ponto D , na reta determinada por A e B mas não no raio com ponto inicial A determinado por B , determinará outro raio com ponto inicial A . Em relação ao raio AB , o raio AD é chamado de raio oposto .

Raio

Assim, diríamos que dois pontos diferentes, A e B , definem uma reta e uma decomposição desta reta na união disjunta de um segmento aberto ( A ,  B ) e duas semirretas, BC e AD (o ponto D não é desenhado no diagrama, mas está à esquerda de A na linha AB ). Estes não são raios opostos, pois têm pontos iniciais diferentes.

Na geometria euclidiana, dois raios com um ponto final comum formam um ângulo .

A definição de um raio depende da noção de intermediação para pontos em uma linha. Segue-se que os raios existem apenas para geometrias para as quais essa noção existe, tipicamente geometria euclidiana ou geometria afim sobre um campo ordenado . Por outro lado, os raios não existem na geometria projetiva nem na geometria sobre um corpo não ordenado, como os números complexos ou qualquer corpo finito .

Segmento de linha

Um segmento de linha é uma parte de uma linha que é delimitada por dois pontos finais distintos e contém todos os pontos da linha entre seus pontos finais. Dependendo de como o segmento de linha é definido, qualquer um dos dois pontos finais pode ou não fazer parte do segmento de linha. Dois ou mais segmentos de linha podem ter alguns dos mesmos relacionamentos que as linhas, como paralelo, interseção ou inclinação, mas, ao contrário das linhas, eles podem não ser nenhum desses, se forem coplanares e não se cruzarem ou forem colineares .

Geodésicas

A "curtidão" e "retidão" de uma linha, interpretada como a propriedade de que a distância ao longo da linha entre quaisquer dois de seus pontos é minimizada (ver desigualdade triangular ), pode ser generalizada e leva ao conceito de geodésica em espaços métricos .

Veja também

Notas

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Linha" . mathworld.wolfram . com . Recuperado 2020-08-16 .
  2. Em (bastante antigo) francês: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre escolheu que le flux ou coulement du poinct, lequel [ ...] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, isento de toute latitude. [...] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." Páginas 7 e 8 de Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrações, avec la Corrections des erreurs commises és autres traductions , de Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645) .
  3. ^ Coxeter 1969 , p. 4
  4. ^ Faber 1983 , p. 95
  5. ^ Faber 1983 , p. 95
  6. ^ Faber, Apêndice A, p. 291.
  7. ^ Faber, Parte III, p. 95.
  8. ^ Faber, Parte III, p. 108.
  9. ^ Faber, Apêndice B, p. 300.
  10. ^ Bôcher, Maxime (1915), Geometria Analítica Plana: Com Capítulos Introdutórios sobre o Cálculo Diferencial , H. Holt, p. 44, arquivado do original em 2016-05-13.
  11. Alessandro Padoa , Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne, Congresso Internacional de Matemáticos , 1900
  12. ^ Bertrand Russell , os princípios da matemática , p. 410
  13. Tecnicamente, o grupo de colineação atua de forma transitiva no conjunto de linhas.
  14. ^ Faber, Parte III, p. 108.
  15. ^ Ocasionalmente podemos considerar um raio sem seu ponto inicial. Esses raios são chamados de raios abertos , em contraste com o raio típico que seria dito fechado .
  16. ^ Wylie Jr. 1964 , p. 59, Definição 3
  17. ^ Pedoe 1988 , p. 2

Referências

Links externos