Hexágono

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hexágono regular
Polígono regular 6 anotado.svg
Um hexágono regular
TipoPolígono regular
Arestas e vértices6
Símbolo Schläfli{6}, t{3}
Diagramas de Coxeter-DynkinCDel nó 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel nó 1.pngCDel 3.pngCDel nó 1.png
Grupo de simetriaDiédrico (D 6 ), ordem 2×6
Ângulo interno ( graus )120°
PropriedadesConvexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

Em geometria , um hexágono (do grego ἕξ , hex , que significa "seis", e γωνία , gonía , que significa "canto, ângulo") é um polígono de seis lados ou 6-gon. O total dos ângulos internos de qualquer hexágono simples (sem auto-interseção) é 720°.

Hexágono regular

Um hexágono regular tem o símbolo de Schläfli {6} [1] e também pode ser construído como um triângulo equilátero truncado , t{3}, que alterna dois tipos de arestas.

Uma animação passo a passo da construção de um hexágono regular usando compasso e régua , dada pelos Elementos de Euclides , Livro IV, Proposição 15: isso é possível como 62 × 3, um produto de uma potência de dois e distintos primos de Fermat .
Quando o comprimento do lado AB é dado, desenhando um arco circular do ponto A e do ponto B dá a interseção M, o centro do círculo circunscrito . Transfira o segmento de reta AB quatro vezes no círculo circunscrito e conecte os pontos de canto.

Um hexágono regular é definido como um hexágono que é equilátero e equiângulo . É bicêntrico , o que significa que é cíclico (tem um círculo circunscrito) e tangencial (tem um círculo inscrito).

O comprimento comum dos lados é igual ao raio do círculo circunscrito ou circuncírculo , que é igualvezes o apótema (raio do círculo inscrito ). Todos os ângulos internos são 120 graus . Um hexágono regular possui seis simetrias rotacionais ( simetria rotacional de ordem seis ) e seis simetrias de reflexão ( seis linhas de simetria ), compondo o grupo diedro D 6 . As diagonais mais longas de um hexágono regular, conectando vértices diametralmente opostos, são duas vezes o comprimento de um lado. A partir disso, pode-se ver que um triângulo com um vértice no centro do hexágono regular e compartilhando um lado com o hexágono é equilátero, e que o hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros.

Como os quadrados e os triângulos equiláteros , os hexágonos regulares se encaixam sem nenhuma lacuna para ladrilhar o plano (três hexágonos se encontrando em cada vértice) e, portanto, são úteis para a construção de mosaicos . As células de um favo de colmeia são hexagonais por esta razão e porque a forma faz uso eficiente do espaço e dos materiais de construção. O diagrama de Voronoi de uma rede triangular regular é a tesselação em favo de mel de hexágonos. Geralmente não é considerado um triambus , embora seja equilátero.

Parâmetros

Hexágono regular 1.svg

O diâmetro máximo (que corresponde à diagonal longa do hexágono), D , é duas vezes o raio máximo ou raio circunscrito , R , que é igual ao comprimento do lado, t . O diâmetro mínimo ou o diâmetro do círculo inscrito (separação de lados paralelos, distância plano a plano, diagonal curta ou altura quando apoiado sobre uma base plana), d , é duas vezes o raio mínimo ou raio , r . Os máximos e mínimos estão relacionados pelo mesmo fator:

  e, da mesma forma,

A área de um hexágono regular

Para qualquer polígono regular , a área também pode ser expressa em termos do apótema a e do perímetro p . Para o hexágono regular estes são dados por a = r , e p, assim

O hexágono regular preenche a fraçãodo seu círculo circunscrito .

Se um hexágono regular tem vértices sucessivos A, B, C, D, E, F e se P é qualquer ponto da circunferência entre B e C, então PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Segue-se da razão de circumradius para inradius que a razão altura-largura de um hexágono regular é 1:1,1547005; ou seja, um hexágono com uma diagonal longa de 1,0000000 terá uma distância de 0,8660254 entre lados paralelos.

Ponto no plano

Para um ponto arbitrário no plano de um hexágono regular com circumradius, cujas distâncias ao centróide do hexágono regular e seus seis vértices sãoe respectivamente, temos [2]

Sesão as distâncias dos vértices de um hexágono regular a qualquer ponto em sua circunferência, então [2]

Simetria

As seis linhas de reflexão de um hexágono regular, com simetria Dih 6 ou r12 , ordem 12.
As simetrias diedrais são divididas dependendo se passam por vértices ( d para diagonal) ou arestas ( p para perpendiculares) As simetrias cíclicas na coluna do meio são rotuladas como g para suas ordens de giro central. A simetria total da forma regular é r12 e nenhuma simetria é rotulada a1 .

O hexágono regular tem simetria D 6 . Existem 16 subgrupos. Existem 8 até o isomorfismo: ele mesmo (D 6 ), 2 diedros: (D 3, D 2 ), 4 cíclicos : (Z 6 , Z 3 , Z 2 , Z 1 ) e o trivial (e)

Essas simetrias expressam nove simetrias distintas de um hexágono regular. John Conway os rotula por uma letra e ordem de grupo. [3] r12 é simetria total e a1 não é simetria. p6 , um hexágono isogonal construído por três espelhos pode alternar arestas longas e curtas, e d6 , um hexágono isotoxal construído com comprimentos de arestas iguais, mas vértices alternando dois ângulos internos diferentes. Essas duas formas são duais uma da outra e têm metade da ordem de simetria do hexágono regular. As formas i4 são hexágonos regulares achatados ou esticados ao longo de uma direção de simetria. Pode ser visto como um losango alongado , enquanto d2 e p2 podem ser vistos como pipas alongadas horizontal e verticalmente . g2 hexágonos, com lados opostos paralelos também são chamados de paralelogonos hexagonais .

Cada simetria de subgrupo permite um ou mais graus de liberdade para formas irregulares. Apenas o subgrupo g6 não possui graus de liberdade, mas pode ser visto como arestas direcionadas .

Hexágonos de simetria g2 , i4 e r12 , como paralelogonos , podem tesselar o plano euclidiano por translação. Outras formas hexagonais podem ladrilhar o plano com diferentes orientações.

p6m (*632) cm (2*22) p2 (2222) p31m (3*3) pmg (22*) pg (××)
Telhas isoédricas p6-13.png
r12
Telhas isoédricas p6-12.png
i4
Telhas isoédricas p6-7.png
g2
Telhas isoédricas p6-11.png
d2
Telhas isoédricas p6-10.png
d2
Telhas isoédricas p6-9.png
p2
Telhas isoédricas p6-1.png
a1
Dih 6 Dih 2 Z 2 Dih 1 Z 1

Grupos A2 e G2

Sistema raiz A2.svg
Raízes do grupo A2
Dyn-node n1.pngDyn-3.pngDyn-node n2.png
Sistema raiz G2.svg
Raízes do grupo G2
Dyn2-nodeg n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-node n2.png

As 6 raízes do grupo de Lie simples A2 , representado por um diagrama de Dynkin Dyn-node n1.pngDyn-3.pngDyn-node n2.png, estão em um padrão hexagonal regular. As duas raízes simples têm um ângulo de 120° entre elas.

As 12 raízes do grupo de Mentira Excepcional G2 , representadas por um diagrama de Dynkin Dyn2-nodeg n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-node n2.pngtambém estão em um padrão hexagonal. As duas raízes simples de dois comprimentos têm um ângulo de 150° entre elas.

Dissecção

projeção de 6 cubos dissecção de 12 losangos
6 cubos t0 A5.svg 6-gon rhombic dissection-size2.svg Dissecção rômbica de 6 gomos2-size2.svg

Coxeter afirma que todo zonogon (um 2 m -gon cujos lados opostos são paralelos e de igual comprimento) pode ser dissecado em 12 m ( m − 1) paralelogramos. [4] Em particular, isso é verdade para polígonos regulares com muitos lados iguais, caso em que os paralelogramos são todos losangos. Esta decomposição de um hexágono regular é baseada em uma projeção do polígono de Petrie de um cubo , com 3 de 6 faces quadradas. Outros paralelogonos e direções projetivas do cubo são dissecados dentro de paralelepípedos retangulares .

Dissecção de hexágonos em três losangos e paralelogramos
2D Rhombs Paralelogramas
Hexagon dissection.svg Cube-skew-orthogonal-skew-solid.png Cuboid diagonal-orthogonal-solid.png Cuboid skew-orthogonal-solid.png
Regular {6} Paralelogonos hexagonais
3D Rostos quadrados Rostos retangulares
gráfico de 3 cubos.svg Cube-skew-orthogonal-skew-frame.png Cuboid diagonal-orthogonal-frame.png Cuboid skew-orthogonal-frame.png
Cubo Cubóide retangular

Polígonos e ladrilhos relacionados

Um hexágono regular tem o símbolo Schläfli {6}. Um hexágono regular é uma parte do ladrilho hexagonal regular , {6,3}, com três faces hexagonais ao redor de cada vértice.

Um hexágono regular também pode ser criado como um triângulo equilátero truncado , com o símbolo Schläfli t{3}. Visto com dois tipos (cores) de arestas, esta forma só tem simetria D 3 .

Um hexágono truncado , t{6}, é um dodecágono , {12}, alternando dois tipos (cores) de arestas. Um hexágono alternado , h{6}, é um triângulo equilátero , {3}. Um hexágono regular pode ser estrelado com triângulos equiláteros em suas bordas, criando um hexagrama . Um hexágono regular pode ser dissecado em seis triângulos equiláteros adicionando um ponto central. Este padrão se repete dentro do ladrilho triangular regular .

Um hexágono regular pode ser estendido em um dodecágono regular adicionando quadrados alternados e triângulos equiláteros ao seu redor. Este padrão se repete dentro do ladrilho rhombitrihexagonal .

Polígono regular 6 anotado.svg Triângulo truncado.svg Truncamento regular 3 1000.svg Truncamento regular 3 1.5.svg Truncamento regular 3 0.55.svg Hexagrama.svg Polígono regular 12 anotado.svg Polígono regular 3 anotado.svg
Regular
{6}
t{3} truncado
= {6}
Triângulos hipertruncados Estrela estrelada
figura 2{3}
T{6} truncado
= {12}

h alternado {6} = {3}
hexágono quadrado cruzado.png Icosaedro triâmbico medial face.svg Grande icosaedro triâmbico face.png Cúpula hexagonal plana.svg Cubo petrie polygon sideview.svg 3 cubos t0.svg 3 cubos t2.svg 5 simplex graph.svg

hexágono cruzado
Um hexágono côncavo Um hexágono de auto-intersecção ( polígono estrela ) Central estendida
{6} em {12}
Um hexágono inclinado , dentro do cubo Dissecado {6} projeção
octaedro
Gráfico completo

Hexágonos que se cruzam

Existem seis hexágonos que se cruzam com o arranjo de vértices do hexágono regular:

Hexágonos de auto-interseção com vértices regulares
Dih 2 Dih 1 Dih 3
Hexágono cruzado1.svg
Figura oito
Hexágono cruzado2.svg
Virar ao centro
Hexágono cruzado3.svg
Unicursal
Hexágono cruzado4.svg
Rabo de peixe
Hexágono cruzado5.svg
Cauda dupla
Hexágono cruzado6.svg
Cauda tripla

Estruturas hexagonais

Detalhe da Calçada do Gigante

Dos favos de mel das abelhas à Calçada dos Gigantes , os padrões hexagonais são predominantes na natureza devido à sua eficiência. Em uma grade hexagonal, cada linha é tão curta quanto possível se uma grande área for preenchida com o menor número de hexágonos. Isso significa que os favos de mel requerem menos cera para serem construídos e ganham muita força sob compressão .

Hexágonos irregulares com arestas opostas paralelas são chamados de paralelogonos e também podem ladrilhar o plano por translação. Em três dimensões, prismas hexagonais com faces opostas paralelas são chamados de paraleloedros e estes podem tesselar 3-espaço por translação.

Tesselações de prismas hexagonais
Forma Telhas hexagonais Favo de mel prismático hexagonal
Regular Ladrilhos uniformes 63-t0.png Favo de mel prismático hexagonal.png
Paralelogonal Telhas isoédricas p6-7.png Favo de mel de prisma hexagonal inclinado.png

Tesselações por hexágonos

Além do hexágono regular, que determina uma tesselação única do plano, qualquer hexágono irregular que satisfaça o critério de Conway irá ladrilhar o plano.

Hexágono inscrito em seção cônica

O teorema de Pascal (também conhecido como "Teorema do Hexagrammum Mysticum") afirma que se um hexágono arbitrário é inscrito em qualquer seção cônica , e pares de lados opostos são estendidos até que se encontrem, os três pontos de interseção estarão em uma linha reta, o " Pascal line" dessa configuração.

Hexágono cíclico

O hexágono de Lemoine é um hexágono cíclico (um inscrito em um círculo) com vértices dados pelas seis interseções das arestas de um triângulo e as três linhas que são paralelas às arestas que passam pelo seu ponto symmedian .

Se os lados sucessivos de um hexágono cíclico são a , b , c , d , e , f , então as três diagonais principais se interceptam em um único ponto se e somente se ace = bdf . [5]

Se, para cada lado de um hexágono cíclico, os lados adjacentes se estendem até sua interseção, formando um triângulo externo ao lado dado, então os segmentos que ligam os circuncentros de triângulos opostos são concorrentes . [6]

Se um hexágono tem vértices no circumcircle de um triângulo agudo nos seis pontos (incluindo três vértices do triângulo) onde as alturas estendidas do triângulo encontram o circumcircle, então a área do hexágono é duas vezes a área do triângulo. [7] : pág. 179 

Hexágono tangencial a uma seção cônica

Seja ABCDEF um hexágono formado por seis retas tangentes de uma seção cônica. Então o teorema de Brianchon afirma que as três diagonais principais AD, BE e CF se cruzam em um único ponto.

Em um hexágono que é tangente a um círculo e que tem lados consecutivos a , b , c , d , e , e f , [8]

Triângulos equiláteros nos lados de um hexágono arbitrário

Triângulos equiláteros nos lados de um hexágono arbitrário

Se um triângulo equilátero é construído externamente em cada lado de qualquer hexágono, então os pontos médios dos segmentos que conectam os centróides de triângulos opostos formam outro triângulo equilátero. [9] : Tm. 1 

hexágono inclinado

Um hexágono de inclinação regular visto como arestas (preto) de um antiprisma triangular , simetria D 3d , [2 + ,6], (2*3), ordem 12.

Um hexágono inclinado é um polígono inclinado com seis vértices e arestas, mas que não existe no mesmo plano. O interior de tal hexágono não é geralmente definido. Um hexágono em ziguezague inclinado tem vértices alternando entre dois planos paralelos.

Um hexágono de inclinação regular é transitivo de vértice com comprimentos de aresta iguais. Em três dimensões será um hexágono inclinado em zig-zag e pode ser visto nos vértices e arestas laterais de um antiprisma triangular com a mesma simetria D 3d , [2 + ,6], ordem 12.

O cubo e o octaedro (o mesmo que antiprisma triangular) têm hexágonos de inclinação regular como polígonos de petrie.

Inclinar hexágonos em eixos de 3 dobras
Cubo petrie.png
Cubo
Octaedro petrie.png
Octaedro

Polígonos de Petrie

O hexágono de inclinação regular é o polígono de Petrie para esses poliedros e politopos regulares , uniformes e duais de dimensão superior , mostrados nestas projeções ortogonais de inclinação :

4D 5D
3-3 duoprisma orto-Dih3.png
3-3 duoprisma
3-3 duopirâmide orto.png
3-3 duopiramida
5-simplex t0.svg
5-simples

Hexágono equilátero convexo

A diagonal principal de um hexágono é uma diagonal que divide o hexágono em quadriláteros. Em qualquer hexágono equilátero convexo (um com todos os lados iguais) com lado comum a , existe [10] : p.184, #286.3  uma diagonal principal d 1 tal que

e uma diagonal principal d 2 tal que

Poliedros com hexágonos

Não existe um sólido platônico feito apenas de hexágonos regulares, pois os hexágonos são tesselados , não permitindo que o resultado "dobre". Os sólidos de Arquimedes com algumas faces hexagonais são o tetraedro truncado , o octaedro truncado , o icosaedro truncado (da fama de bola de futebol e fulereno ), o cuboctaedro truncado e o icosidodecaedro truncado . Esses hexágonos podem ser considerados triângulos truncados , com diagramas de Coxeter da formaCDel nó 1.pngCDel 3.pngCDel nó 1.pngCDel p.pngCDel node.pngeCDel nó 1.pngCDel 3.pngCDel nó 1.pngCDel p.pngCDel nó 1.png.

Existem outros poliedros de simetria com hexágonos esticados ou achatados, como estes poliedros de Goldberg G(2,0):

Existem também 9 sólidos Johnson com hexágonos regulares:

Galeria de hexágonos naturais e artificiais

Veja também

Referências

  1. ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models , Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595, arquivado do original em 2016-01-02 , recuperado em 2015-11-06.
  2. ^ a b Meskhishvili, Mamuka (2020). "Médias cíclicas de polígonos regulares e sólidos platônicos" . Comunicações em Matemática e Aplicações . 11 : 335-355. arXiv : 2010.12340 .
  3. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) As Simetrias das Coisas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetria de um polígono pp. 275- 278) 
  4. ^ Coxeter , recriações matemáticas e ensaios, décima terceira edição, p.141
  5. Cartensen, Jens, "Sobre hexágonos", Espectro Matemático 33(2) (2000–2001), 37–40.
  6. ^ Dergiades, Nikolaos (2014). "Teorema de Dao em seis circuncentros associados a um hexágono cíclico" . Fórum Geométrico . 14 : 243-246. Arquivado a partir do original em 2014-12-05 . Recuperado em 17/11/2014 .
  7. ^ Johnson, Roger A., ​​Geometria Euclidiana Avançada , Publicações de Dover, 2007 (origem 1960).
  8. Gutierrez, Antonio, "Hexagon, Inscribed Circle, Tangent, Semiperimeter", [1] Arquivado em 2012-05-11 na Wayback Machine , acessado em 2012-04-17.
  9. ^ Dao Thanh Oai (2015). "Triângulos equiláteros e perspectivas Kiepert em números complexos" . Fórum Geométrico . 15 : 105-114. Arquivado a partir do original em 2015-07-05 . Recuperado 2015-04-12 .
  10. Desigualdades propostas em " Crux Mathematicorum " , [2] Arquivado em 30/08/2017 no Wayback Machine .

Links externos

Família A n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polígono regular Triângulo Praça p-gon Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme Tetraedro OctaedroCubo Demicubo DodecaedroIcosaedro
Policóron uniforme Pentachoron 16 célulasTesseract Demitesseract 24 células 120 células600 células
Uniforme de 5 politopos 5-simples 5 ortoplex5 cubos 5-demicubos
Uniforme de 6 politopos 6-simples 6-ortoplex6-cubo 6-demicubos 1 222 21
Uniforme 7-politopo 7-simples 7-ortoplex7-cubo 7-demicubos 1 322 313 21
Uniforme de 8 politopos 8 simples 8 ortoplex8 cubos 8-demicubos 1 422 414 21
Uniforme 9-politopo 9 simples 9-ortoplex9-cubo 9-demicubos
Uniforme 10-politopo 10 simples 10 ortoplex10 cubos 10-demicubos
Uniforme n - politopo n - simples n - ortoplexn - cubo n - demicubo 1 k22 k1k 21 n - politopo pentagonal
Tópicos: Famílias de politopos • Politopo regularLista de politopos regulares e compostos