Geometria

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Uma ilustração do teorema de Desargues , um resultado em geometria euclidiana e projetiva

Geometria (do grego antigo : γεωμετρία ; geo- "terra", -metron "medição") é, com a aritmética , um dos ramos mais antigos da matemática . Preocupa-se com as propriedades do espaço que estão relacionadas com a distância, forma, tamanho e posição relativa das figuras. [1] Um matemático que trabalha no campo da geometria é chamado de geômetra .

Até o século 19, a geometria era quase exclusivamente dedicada à geometria euclidiana , [a] que inclui as noções de ponto , linha , plano , distância , ângulo , superfície e curva , como conceitos fundamentais. [2]

Durante o século 19, várias descobertas ampliaram dramaticamente o escopo da geometria. Uma das mais antigas dessas descobertas é o Teorema Egregium de Gauss ("teorema notável"), que afirma aproximadamente que a curvatura gaussiana de uma superfície é independente de qualquer embutimento específico em um espaço euclidiano . Isso implica que as superfícies podem ser estudadas intrinsecamente , ou seja, como espaços autônomos, e foi expandido para a teoria das variedades e da geometria Riemanniana .

Mais tarde no século 19, parecia que as geometrias sem o postulado paralelo ( geometrias não euclidianas ) podem ser desenvolvidas sem introduzir qualquer contradição. A geometria subjacente à relatividade geral é uma aplicação famosa da geometria não euclidiana.

Desde então, o escopo da geometria foi bastante expandido e o campo foi dividido em muitos subcampos que dependem dos métodos subjacentes - geometria diferencial , geometria algébrica , geometria computacional , topologia algébrica , geometria discreta (também conhecida como geometria combinatória ), etc. - ou nas propriedades dos espaços euclidianos que são desconsideradas - geometria projetiva que considera apenas o alinhamento de pontos, mas não distância e paralelismo, geometria afim que omite o conceito de ângulo e distância, geometria finita que omite continuidade , etc.

Desenvolvida originalmente para modelar o mundo físico, a geometria tem aplicações em quase todas as ciências , e também na arte , arquitetura e outras atividades relacionadas à arte gráfica . [3] A geometria também tem aplicações em áreas da matemática que aparentemente não estão relacionadas. Por exemplo, métodos de geometria algébrica são fundamentais na prova de Wiles do Último Teorema de Fermat , um problema que foi declarado em termos de aritmética elementar e permaneceu sem solução por vários séculos.

História

Um europeu e um árabe praticando geometria no século 15

Os primeiros registros da geometria podem ser rastreados até a antiga Mesopotâmia e Egito no segundo milênio aC. [4] [5] A geometria primitiva era uma coleção de princípios descobertos empiricamente relativos a comprimentos, ângulos, áreas e volumes, que foram desenvolvidos para atender a algumas necessidades práticas em topografia , construção , astronomia e vários ofícios. Os primeiros textos conhecidos sobre geometria são o papiro egípcio Rhind (2000–1800 aC) e o papiro de Moscou (c. 1890 aC) e as tábuas de argila da Babilônia , como Plimpton 322(1900 aC). Por exemplo, o Papiro de Moscou fornece uma fórmula para calcular o volume de uma pirâmide truncada, ou tronco . [6] Tabuletas de argila posteriores (350–50 aC) demonstram que os astrônomos babilônios implementaram procedimentos trapézios para calcular a posição e o movimento de Júpiter dentro do espaço de tempo-velocidade. Esses procedimentos geométricos anteciparam os calculadores de Oxford , incluindo o teorema da velocidade média , em 14 séculos. [7] Ao sul do Egito, os antigos núbios estabeleceram um sistema de geometria incluindo as primeiras versões de relógios solares. [8] [9]

No século 7 aC, o matemático grego Tales de Mileto usou a geometria para resolver problemas como o cálculo da altura das pirâmides e a distância dos navios da costa. Ele é creditado com o primeiro uso do raciocínio dedutivo aplicado à geometria, derivando quatro corolários para o teorema de Tales . [10] Pitágoras estabeleceu a Escola Pitagórica , que é creditada com a primeira prova do teorema de Pitágoras , [11] embora a declaração do teorema tenha uma longa história. [12] [13] Eudoxus (408-c. 355 aC) desenvolveu o método de exaustão, que permitiu o cálculo de áreas e volumes de figuras curvilíneas, [14] bem como uma teoria de razões que evitou o problema de magnitudes incomensuráveis , o que permitiu aos geômetras subseqüentes fazer avanços significativos. Por volta de 300 aC, a geometria foi revolucionada por Euclides, cujos Elementos , amplamente considerado o livro-texto mais bem-sucedido e influente de todos os tempos, [15] introduziu o rigor matemático por meio do método axiomático e é o primeiro exemplo do formato ainda usado na matemática hoje, que de definição, axioma, teorema e prova. Embora a maior parte do conteúdo dos Elementosjá eram conhecidos, Euclides os organizou em uma estrutura lógica única e coerente. [16] Os Elementos eram conhecidos por todas as pessoas instruídas no Ocidente até meados do século 20 e seus conteúdos ainda são ensinados nas aulas de geometria hoje. [17] Arquimedes (c. 287-212 aC) de Siracusa usou o método de exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com o somatório de uma série infinita , e deu aproximações notavelmente precisas de pi . [18] Ele também estudou a espiral que leva seu nome e obteve fórmulas para ovolumes de superfícies de revolução .

Mulher ensinando geometria . Ilustração no início de uma tradução medieval dos Elementos de Euclides , (c. 1310).

Os matemáticos indianos também deram muitas contribuições importantes para a geometria. O Satapatha Brahmana (século III aC) contém regras para construções geométricas rituais semelhantes aos Sulba Sutras . [19] De acordo com ( Hayashi 2005 , p. 363), os Śulba Sūtras contêm "a expressão verbal mais antiga do teorema de Pitágoras no mundo, embora já fosse conhecido pelos antigos babilônios. Eles contêm listas de trios pitagóricos , [20] que são casos particulares de equações diofantinas . [21] No manuscrito Bakhshali, há um punhado de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valor de casa decimal com um ponto para zero". [22] Aryabhatiya de Aryabhata (499) inclui o cálculo de áreas e volumes. Brahmagupta escreveu seu trabalho astronômico Brāhma Sphuṭa Siddhānta em 628. O capítulo 12, contendo 66 versos sânscritos , foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes cúbicas, frações, razão e proporção e troca) e "matemática prática" (incluindo mistura, séries matemáticas, figuras planas, empilhamento de tijolos, serragem de madeira e empilhamento de grãos). [23]Na última seção, ele declarou seu famoso teorema nas diagonais de um quadrilátero cíclico . O Capítulo 12 também incluiu uma fórmula para a área de um quadrilátero cíclico (uma generalização da fórmula de Heron ), bem como uma descrição completa de triângulos racionais ( isto é, triângulos com lados racionais e áreas racionais). [23]

Na Idade Média , a matemática no Islã medieval contribuiu para o desenvolvimento da geometria, especialmente da geometria algébrica . [24] [25] Al-Mahani (n. 853) concebeu a ideia de reduzir problemas geométricos, como a duplicação do cubo, a problemas de álgebra. [26] Thābit ibn Qurra (conhecido como Thebit em latim ) (836-901) lidou com operações aritméticas aplicadas a razões de quantidades geométricas e contribuiu para o desenvolvimento da geometria analítica . [27] Omar Khayyám (1048-1131) encontrou soluções geométricas para equações cúbicas. [28] Os teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam e Nasir al-Din al-Tusi nos quadriláteros , incluindo o quadrilátero de Lambert e o quadrilátero de Saccheri , foram os primeiros resultados em geometria hiperbólica , e junto com seus postulados alternativos, como axioma de Playfair , essas obras tiveram uma influência considerável no desenvolvimento da geometria não euclidiana entre os geômetras europeus posteriores, incluindo Witelo (c. 1230-c. 1314), Gersonides (1288-1344), Alfonso , John Wallis e Giovanni Girolamo Saccheri. [ duvidoso ] [29]

No início do século 17, houve dois desenvolvimentos importantes na geometria. O primeiro foi a criação da geometria analítica, ou geometria com coordenadas e equações , por René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665). [30] Este foi um precursor necessário para o desenvolvimento do cálculo e uma ciência quantitativa precisa da física . [31] O segundo desenvolvimento geométrico deste período foi o estudo sistemático da geometria projetiva por Girard Desargues (1591-1661). [32] A geometria projetiva estuda propriedades de formas que não são alteradas sobprojeções e seções , especialmente no que se refere à perspectiva artística . [33]

Dois desenvolvimentos em geometria no século 19 mudaram a maneira como ela era estudada anteriormente. [34] Estas foram a descoberta de geometrias não euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai e Carl Friedrich Gauss e da formulação da simetria como a consideração central no Programa Erlangen de Felix Klein (que generalizou as geometrias euclidiana e não euclidiana ) Dois dos geômetras mestres da época foram Bernhard Riemann (1826-1866), trabalhando principalmente com ferramentas de análise matemática e apresentando a superfície de Riemann , e Henri Poincaré , o fundador datopologia algébrica e teoria geométrica de sistemas dinâmicos . Como consequência dessas grandes mudanças na concepção da geometria, o conceito de "espaço" tornou-se algo rico e variado, e o pano de fundo natural para teorias tão diferentes como a análise complexa e a mecânica clássica . [35]

Conceitos importantes em geometria

A seguir estão alguns dos conceitos mais importantes da geometria. [2] [36] [37]

Axiomas

Uma ilustração do postulado paralelo de Euclides

Euclides fez uma abordagem abstrata da geometria em seus Elementos , [38] um dos livros mais influentes já escritos. [39] Euclides introduziu certos axiomas , ou postulados , expressando propriedades primárias ou evidentes de pontos, linhas e planos. [40] Ele passou a deduzir rigorosamente outras propriedades por raciocínio matemático. O traço característico da abordagem de Euclides à geometria era o seu rigor, que passou a ser conhecida como geometria axiomática ou sintética . [41] No início do século 19, a descoberta de geometrias não euclidianas porNikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e outros [42] levaram a um renascimento do interesse por esta disciplina e, no século 20, David Hilbert (1862 –1943) empregou o raciocínio axiomático na tentativa de fornecer uma base moderna da geometria. [43]

Pontos

Os pontos são geralmente considerados objetos fundamentais para a geometria de construção. Eles podem ser definidos pelas propriedades que devem ter, como na definição de Euclides como "o que não tem parte", [44] ou na geometria sintética . Na matemática moderna, eles são geralmente definidos como elementos de um conjunto denominado espaço , que por sua vez é definido axiomaticamente .

Com essas definições modernas, toda forma geométrica é definida como um conjunto de pontos; este não é o caso da geometria sintética, onde uma linha é outro objeto fundamental que não é visto como o conjunto dos pontos por onde passa.

No entanto, existem geometrias modernas, nas quais os pontos não são objetos primitivos, ou mesmo sem pontos. [45] [46] Uma das mais antigas dessas geometrias é a geometria livre de pontos de Whitehead , formulada por Alfred North Whitehead em 19219–1920.

Linhas

Euclides descreveu uma linha como "comprimento sem largura" que "se encontra igualmente em relação aos pontos sobre si mesma". [44] Na matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de linha está intimamente ligado à forma como a geometria é descrita. Por exemplo, em geometria analítica , uma linha no plano é frequentemente definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma dada equação linear , [47] mas em um cenário mais abstrato, como geometria de incidência , uma linha pode ser um objeto independente , distinto do conjunto de pontos que se encontram sobre ele. [48] Em geometria diferencial, uma geodésica é uma generalização da noção de uma linha paraespaços curvos . [49]

Aviões

Um plano é uma superfície plana e bidimensional que se estende infinitamente longe. [44] Planos são usados ​​em muitas áreas da geometria. Por exemplo, os planos podem ser estudados como uma superfície topológica sem referência a distâncias ou ângulos; [50] pode ser estudado como um espaço afim , onde colinearidade e razões podem ser estudadas, mas não distâncias; [51] pode ser estudado como o plano complexo usando técnicas de análise complexa ; [52] e assim por diante.

Ângulos

Euclides define um ângulo plano como a inclinação entre si, em um plano, de duas linhas que se encontram e não se encontram retas uma em relação à outra. [44] Em termos modernos, um ângulo é a figura formada por dois raios , chamados de lados do ângulo, compartilhando um ponto final comum, chamado de vértice do ângulo. [53]

Ângulos agudos (a), obtusos (b) e retos (c). Os ângulos agudos e obtusos também são conhecidos como ângulos oblíquos.

Na geometria euclidiana , os ângulos são usados ​​para estudar polígonos e triângulos , além de formar um objeto de estudo por si só. [44] O estudo dos ângulos de um triângulo ou dos ângulos de um círculo unitário constitui a base da trigonometria . [54]

Em geometria diferencial e cálculo , os ângulos entre curvas planas ou curvas de espaço ou superfícies podem ser calculados usando a derivada . [55] [56]

Curvas

Uma curva é um objeto unidimensional que pode ser reto (como uma linha) ou não; as curvas no espaço bidimensional são chamadas de curvas planas e as do espaço tridimensional são chamadas de curvas espaciais . [57]

Na topologia, uma curva é definida por uma função de um intervalo dos números reais para outro espaço. [50] Em geometria diferencial, a mesma definição é usada, mas a função definidora deve ser diferenciável. [58] A geometria algébrica estuda curvas algébricas , que são definidas como variedades algébricas de dimensão um. [59]

Superfícies

Uma esfera é uma superfície que pode ser definida parametricamente (por x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) ou implicitamente (por x 2 + y 2 + z 2 - r 2 = 0. )

Uma superfície é um objeto bidimensional, como uma esfera ou parabolóide. [60] Em geometria diferencial [58] e topologia , [50] as superfícies são descritas por 'manchas' bidimensionais (ou vizinhanças ) que são montadas por difeomorfismos ou homeomorfismos , respectivamente. Na geometria algébrica, as superfícies são descritas por equações polinomiais . [59]

Manifolds

Uma variedade é uma generalização dos conceitos de curva e superfície. Em topologia , uma variedade é um espaço topológico onde cada ponto tem uma vizinhança que é homeomórfica ao espaço euclidiano. [50] Em geometria diferencial , uma variedade diferenciável é um espaço onde cada vizinhança é difeomórfica ao espaço euclidiano. [58]

Os manifolds são usados ​​extensivamente na física, incluindo na relatividade geral e na teoria das cordas . [61]

Comprimento, área e volume

Comprimento , área e volume descrevem o tamanho ou extensão de um objeto em uma dimensão, duas dimensões e três dimensões, respectivamente. [62]

Na geometria euclidiana e na geometria analítica , o comprimento de um segmento de linha pode frequentemente ser calculado pelo teorema de Pitágoras . [63]

A área e o volume podem ser definidos como quantidades fundamentais separadas do comprimento, ou podem ser descritos e calculados em termos de comprimentos em um plano ou espaço tridimensional. [62] Os matemáticos encontraram muitas fórmulas explícitas para a área e fórmulas para o volume de vários objetos geométricos. No cálculo , a área e o volume podem ser definidos em termos de integrais , como a integral de Riemann [64] ou a integral de Lebesgue . [65]

Métricas e medidas

Verificação visual do teorema de Pitágoras para o triângulo (3, 4, 5) como no Zhoubi Suanjing 500–200 aC. O teorema de Pitágoras é uma consequência da métrica euclidiana .

O conceito de comprimento ou distância pode ser generalizado, levando à ideia de métricas . [66] Por exemplo, a métrica euclidiana mede a distância entre pontos no plano euclidiano , enquanto a métrica hiperbólica mede a distância no plano hiperbólico . Outros exemplos importantes de métricas incluem a métrica Lorentz da relatividade especial e a métrica semi- Riemanniana da relatividade geral . [67]

Em outra direção, os conceitos de comprimento, área e volume são estendidos pela teoria da medida , que estuda métodos de atribuição de tamanho ou medida a conjuntos , onde as medidas seguem regras semelhantes às clássicas de área e volume. [68]

Congruência e similaridade

Congruência e semelhança são conceitos que descrevem quando duas formas têm características semelhantes. [69] Na geometria euclidiana, a similaridade é usada para descrever objetos que têm a mesma forma, enquanto a congruência é usada para descrever objetos que são iguais em tamanho e forma. [70] Hilbert , em seu trabalho sobre a criação de uma base mais rigorosa para a geometria, tratou a congruência como um termo indefinido cujas propriedades são definidas por axiomas .

Congruência e similaridade são generalizadas na geometria de transformação , que estuda as propriedades de objetos geométricos que são preservados por diferentes tipos de transformações. [71]

Construções de compasso e régua

Os geômetras clássicos prestaram atenção especial à construção de objetos geométricos que foram descritos de alguma outra maneira. Classicamente, os únicos instrumentos permitidos nas construções geométricas são o compasso e a régua . Além disso, cada construção tinha que ser concluída em um número finito de etapas. No entanto, alguns problemas tornaram-se difíceis ou impossíveis de resolver apenas por estes meios, e foram encontradas construções engenhosas usando parábolas e outras curvas, bem como dispositivos mecânicos.

Dimensão

Onde a geometria tradicional permitia dimensões 1 (uma linha ), 2 (um plano ) e 3 (nosso mundo ambiente concebido como um espaço tridimensional ), matemáticos e físicos usaram dimensões superiores por quase dois séculos. [72] Um exemplo de uso matemático para dimensões superiores é o espaço de configuração de um sistema físico, que tem uma dimensão igual aos graus de liberdade do sistema . Por exemplo, a configuração de um parafuso pode ser descrita por cinco coordenadas. [73]

Na topologia geral , o conceito de dimensão foi estendido dos números naturais para a dimensão infinita ( espaços de Hilbert , por exemplo) e números reais positivos (na geometria fractal ). [74] Na geometria algébrica , a dimensão de uma variedade algébrica recebeu uma série de definições aparentemente diferentes, que são todas equivalentes nos casos mais comuns. [75]

Simetria

O tema da simetria na geometria é quase tão antigo quanto a própria ciência da geometria. [76] Formas simétricas como o círculo , polígonos regulares e sólidos platônicos tiveram um significado profundo para muitos filósofos antigos [77] e foram investigadas em detalhes antes da época de Euclides. [40] Padrões simétricos ocorrem na natureza e foram artisticamente representados em uma infinidade de formas, incluindo os gráficos de Leonardo da Vinci , MC Escher e outros. [78] Na segunda metade do século 19, a relação entre simetria e geometria foi submetida a um intenso escrutínio.O programa Erlangen de Felix Klein proclamava que, em um sentido muito preciso, a simetria, expressa através da noção de um grupo de transformação , determina o que é a geometria . [79] A simetria na geometria euclidiana clássica é representada por congruências e movimentos rígidos, enquanto na geometria projetiva um papel análogo é desempenhado por colineações , transformações geométricas que transformam as linhas retas em linhas retas. [80] No entanto, estava nas novas geometrias de Bolyai e Lobachevsky, Riemann, Clifford e Klein e Sophus Lieque a ideia de Klein de 'definir uma geometria por meio de seu grupo de simetria ' encontrou sua inspiração. [81] Ambas as simetrias discretas e contínuas desempenham papéis proeminentes na geometria, a primeira na topologia e na teoria geométrica dos grupos , [82] [83] a última na teoria de Lie e na geometria Riemanniana . [84] [85]

Um tipo diferente de simetria é o princípio da dualidade na geometria projetiva , entre outros campos. Esta meta-fenômeno pode ser aproximadamente descrito como se segue: em qualquer teorema , troca de ponto com avião , juntar-se com o encontro , mentiras em com contém , eo resultado é um igualmente verdadeiro teorema. [86] Uma forma de dualidade semelhante e intimamente relacionada existe entre um espaço vetorial e seu espaço dual . [87]

Geometria contemporânea

Geometria euclidiana

A geometria euclidiana é geometria em seu sentido clássico. [88] À medida que modela o espaço do mundo físico, é usado em muitas áreas científicas, como mecânica , astronomia , cristalografia , [89] e muitos campos técnicos, como engenharia , [90] arquitetura , [91] geodésia , [92] aerodinâmica , [93] e navegação . [94] O currículo educacional obrigatório da maioria das nações inclui o estudo de conceitos euclidianos, como pontos , linhas, planos , ângulos , triângulos , congruência , semelhança , figuras sólidas , círculos e geometria analítica . [36]

Geometria diferencial

A geometria diferencial usa ferramentas de cálculo para estudar problemas que envolvem curvatura.

A geometria diferencial usa técnicas de cálculo e álgebra linear para estudar problemas de geometria. [95] Tem aplicações em física , [96] econometria , [97] e bioinformática , [98] entre outras.

Em particular, a geometria diferencial é importante para a física matemática devido à postulação da relatividade geral de Albert Einstein de que o universo é curvo . [99] A geometria diferencial pode ser intrínseca (o que significa que os espaços que considera são variedades suaves, cuja estrutura geométrica é governada por uma métrica Riemanniana , que determina como as distâncias são medidas perto de cada ponto) ou extrínseca (onde o objeto em estudo é uma parte de algum espaço euclidiano plano ambiente). [100]

Geometria não euclidiana

A geometria euclidiana não foi a única forma histórica de geometria estudada. A geometria esférica é usada há muito tempo por astrônomos, astrólogos e navegadores. [101]

Immanuel Kant argumentou que existe apenas uma geometria absoluta , que é conhecida como verdadeira a priori por uma faculdade interior da mente: a geometria euclidiana era sintética a priori . [102] Esta visão foi inicialmente um tanto desafiada por pensadores como Saccheri , então finalmente derrubada pela descoberta revolucionária da geometria não euclidiana nas obras de Bolyai, Lobachevsky e Gauss (que nunca publicou sua teoria). [103] Eles demonstraram que o espaço euclidiano comum é apenas uma possibilidade para o desenvolvimento da geometria. Uma visão ampla do assunto da geometria foi então expressa por Riemannem sua palestra de inauguração de 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Sobre as hipóteses em que a geometria se baseia ), [104] publicada somente após sua morte. A nova ideia de Riemann do espaço provou ser crucial no Albert Einstein 's teoria da relatividade geral . A geometria riemanniana , que considera espaços muito gerais nos quais a noção de comprimento é definida, é um esteio da geometria moderna. [81]

Topologia

Um espessamento do nó trifólio

Topologia é o campo relacionado às propriedades de mapeamentos contínuos , [105] e pode ser considerada uma generalização da geometria euclidiana. [106] Na prática, topologia geralmente significa lidar com propriedades de espaços em grande escala, como conectividade e compactação . [50]

O campo da topologia, que teve grande desenvolvimento no século 20, é em um sentido técnico uma espécie de geometria de transformação , na qual as transformações são homeomorfismos . [107] Isso tem sido frequentemente expresso na forma do ditado 'topologia é geometria de folha de borracha'. Os subcampos da topologia incluem topologia geométrica , topologia diferencial , topologia algébrica e topologia geral . [108]

Geometria algébrica

O campo da geometria algébrica desenvolveu-se a partir da geometria cartesiana de coordenadas . [109] Ele passou por períodos periódicos de crescimento, acompanhados pela criação e estudo da geometria projetiva , geometria birracional , variedades algébricas e álgebra comutativa , entre outros tópicos. [110] Do final da década de 1950 até meados da década de 1970, passou por um grande desenvolvimento fundamental, em grande parte devido ao trabalho de Jean-Pierre Serre e Alexander Grothendieck . [110] Isso levou à introdução de esquemase maior ênfase em métodos topológicos , incluindo várias teorias de cohomologia . Um dos sete problemas do Prêmio Millennium , a conjectura de Hodge , é uma questão de geometria algébrica. [111] A prova de Wiles do Último Teorema de Fermat usa métodos avançados de geometria algébrica para resolver um problema de longa data da teoria dos números .

Em geral, a geometria algébrica estuda a geometria por meio do uso de conceitos em álgebra comutativa , como polinômios multivariados . [112] Ele tem aplicações em muitas áreas, incluindo criptografia [113] e teoria das cordas . [114]

Geometria complexa

A geometria complexa estuda a natureza das estruturas geométricas modeladas ou originadas do plano complexo . [115] [116] [117] A geometria complexa encontra-se na interseção da geometria diferencial, geometria algébrica e análise de várias variáveis ​​complexas , e encontrou aplicações para a teoria das cordas e simetria de espelho . [118]

A geometria complexa apareceu pela primeira vez como uma área distinta de estudo no trabalho de Bernhard Riemann em seu estudo das superfícies de Riemann . [119] [120] [121] O trabalho no espírito de Riemann foi realizado pela escola italiana de geometria algébrica no início de 1900. O tratamento contemporâneo da geometria complexa começou com o trabalho de Jean-Pierre Serre , que introduziu o conceito de feixes para o assunto e iluminou as relações entre a geometria complexa e a geometria algébrica. [122] [123] Os principais objetos de estudo em geometria complexa são variedades complexas , variedades algébricas complexas, e variedades analíticas complexas e feixes de vetores holomórficos e feixes coerentes sobre esses espaços. Exemplos especiais de espaços estudados em geometria complexa incluem superfícies de Riemann e variedades de Calabi – Yau , e esses espaços encontram usos na teoria das cordas. Em particular, planilhas mundiais de cordas são modeladas por superfícies de Riemann, e a teoria das supercordas prevê que as 6 dimensões extras do espaço - tempo de 10 dimensões podem ser modeladas por variedades de Calabi-Yau.

Geometria discreta

A geometria discreta inclui o estudo de vários pacotes de esfera .

A geometria discreta é um assunto que tem conexões estreitas com a geometria convexa . [124] [125] [126] Ele se preocupa principalmente com questões de posição relativa de objetos geométricos simples, como pontos, linhas e círculos. Os exemplos incluem o estudo de empacotamento de esferas , triangulações , a conjectura Kneser-Poulsen, etc. [127] [128] Ele compartilha muitos métodos e princípios com combinatória .

Geometria computacional

A geometria computacional lida com algoritmos e suas implementações para manipular objetos geométricos. Problemas importantes historicamente incluem o problema do caixeiro-viajante , árvores de alcance mínimo , remoção de linhas ocultas e programação linear . [129]

Embora seja uma área jovem da geometria, ela tem muitas aplicações em visão computacional , processamento de imagens , design auxiliado por computador , imagens médicas , etc. [130]

Teoria geométrica do grupo

O gráfico de Cayley do grupo livre em dois geradores a e b

A teoria geométrica dos grupos usa técnicas geométricas em grande escala para estudar grupos finitamente gerados . [131] Está intimamente ligado à topologia de baixa dimensão , como na prova de Grigori Perelman da conjectura da geometrização , que incluía a prova da conjectura de Poincaré , um Problema do Prêmio do Milênio . [132]

A teoria geométrica dos grupos geralmente gira em torno do gráfico de Cayley , que é uma representação geométrica de um grupo. Outros tópicos importantes incluem quase isometrias , grupos Gromov-hiperbólicos e grupos Artin angulados à direita . [131] [133]

Geometria convexa

A geometria convexa investiga formas convexas no espaço euclidiano e seus análogos mais abstratos, muitas vezes usando técnicas de análise real e matemática discreta . [134] Ele tem conexões estreitas com a análise convexa , otimização e análise funcional e aplicações importantes na teoria dos números .

A geometria convexa remonta à antiguidade. [134] Arquimedes deu a primeira definição precisa conhecida de convexidade. O problema isoperimétrico , um conceito recorrente na geometria convexa, foi estudado também pelos gregos, incluindo Zenodorus . Arquimedes, Platão , Euclides e posteriormente Kepler e Coxeter estudaram politopos convexos e suas propriedades. A partir do século 19, os matemáticos estudaram outras áreas da matemática convexa, incluindo politopos de dimensão superior, volume e área de superfície de corpos convexos, curvatura gaussiana , algoritmos , ladrilhose treliças .

Formulários

A geometria encontrou aplicações em muitos campos, alguns dos quais são descritos abaixo.

Arte

Bou Inania Madrasa, Fes, Marrocos, mosaicos zellige formando elaborados mosaicos geométricos

Matemática e arte estão relacionadas de várias maneiras. Por exemplo, a teoria da perspectiva mostrou que há mais na geometria do que apenas as propriedades métricas das figuras: a perspectiva é a origem da geometria projetiva . [135]

Os artistas há muito usam os conceitos de proporção no design. Vitruvius desenvolveu uma teoria complicada de proporções ideais para a figura humana. [136] Esses conceitos foram usados ​​e adaptados por artistas de Michelangelo a artistas de quadrinhos modernos. [137]

A proporção áurea é uma proporção particular que teve um papel polêmico na arte. Muitas vezes alegado ser a proporção de comprimentos mais esteticamente agradável, é frequentemente declarado que ele é incorporado em obras de arte famosas, embora os exemplos mais confiáveis ​​e inequívocos tenham sido feitos deliberadamente por artistas cientes dessa lenda. [138]

Tilings , ou tesselações, foram usados ​​na arte ao longo da história. A arte islâmica faz uso frequente de mosaicos, assim como a arte de MC Escher . [139] O trabalho de Escher também fez uso da geometria hiperbólica .

Cézanne propôs a teoria de que todas as imagens podem ser construídas a partir da esfera , do cone e do cilindro . Isso ainda é usado na teoria da arte hoje, embora a lista exata de formas varie de autor para autor. [140] [141]

Arquitetura

A geometria tem muitas aplicações na arquitetura. Na verdade, já foi dito que a geometria está no cerne do projeto arquitetônico. [142] [143] As aplicações da geometria à arquitetura incluem o uso da geometria projetiva para criar perspectiva forçada , [144] o uso de seções cônicas na construção de cúpulas e objetos semelhantes, [91] o uso de tesselações , [91] e uso de simetria. [91]

Física

O campo da astronomia , especialmente no que se refere ao mapeamento das posições de estrelas e planetas na esfera celeste e à descrição da relação entre os movimentos dos corpos celestes, tem servido como uma importante fonte de problemas geométricos ao longo da história. [145]

A geometria Riemanniana e a geometria pseudo-Riemanniana são usadas na relatividade geral . [146] A teoria das cordas faz uso de várias variantes da geometria, [147] assim como a teoria da informação quântica . [148]

Outros campos da matemática

Os pitagóricos descobriram que os lados de um triângulo podem ter comprimentos incomensuráveis .

O cálculo foi fortemente influenciado pela geometria. [30] Por exemplo, a introdução de coordenadas por René Descartes e os desenvolvimentos simultâneos da álgebra marcaram um novo estágio para a geometria, uma vez que figuras geométricas como curvas planas agora podiam ser representadas analiticamente na forma de funções e equações. Isso desempenhou um papel fundamental no surgimento do cálculo infinitesimal no século XVII. A geometria analítica continua a ser um pilar do currículo de pré-cálculo e cálculo. [149] [150]

Outra área importante de aplicação é a teoria dos números . [151] Na Grécia antiga, os pitagóricos consideravam o papel dos números na geometria. No entanto, a descoberta de comprimentos incomensuráveis ​​contradiz suas visões filosóficas. [152] Desde o século 19, a geometria tem sido usada para resolver problemas na teoria dos números, por exemplo, através da geometria dos números ou, mais recentemente, da teoria dos esquemas , que é usada na prova de Wiles do Último Teorema de Fermat . [153]

Veja também

Listas

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Notas

  1. ^ Até o século 19, a geometria era dominada pelo pressuposto de que todas as construções geométricas eram euclidianas. No século 19 e mais tarde, isso foi desafiado pelo desenvolvimento da geometria hiperbólica por Lobachevsky e outras geometrias não euclidianas por Gauss e outros. Percebeu-se então que a geometria não euclidiana implicitamente apareceu ao longo da história, incluindo a obra de Desargues no século 17, desde o uso implícito da geometria esférica para entender a geodésia da Terra e navegar nos oceanos desde a antiguidade.
  1. ^ Vincenzo De Risi (2015). Matematizando o Espaço: Os Objetos da Geometria da Antiguidade ao Início da Idade Moderna . Birkhäuser. pp. 1–. ISBN 978-3-319-12102-4.
  2. ^ a b Tabak, John (2014). Geometria: a linguagem do espaço e da forma . Publicação da Infobase. p. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0.
  3. ^ Walter A. Meyer (2006). Geometria e suas aplicações . Elsevier. ISBN 978-0-08-047803-6.
  4. ^ J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica , 8, 1981, pp. 277-318.
  5. ^ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. "Cap. IV Matemática e Astronomia egípcia". The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Publicações de Dover . pp. 71–96. ISBN 978-0-486-22332-2..
  6. ^ ( Boyer 1991 , "Egito" p. 19)
  7. ^ Ossendrijver, Mathieu (29 de janeiro de 2016). "Antigos astrônomos da Babilônia calcularam a posição de Júpiter a partir da área sob um gráfico de velocidade de tempo". Ciência . 351 (6272): 482–484. Bibcode : 2016Sci ... 351..482O . doi : 10.1126 / science.aad8085 . PMID 26823423 . S2CID 206644971 .  
  8. ^ Depuydt, Leo (1 de janeiro de 1998). "Gnomons em Meroë e Trigonometria Primitiva". The Journal of Egyptian Archaeology . 84 : 171-180. doi : 10.2307 / 3822211 . JSTOR 3822211 . 
  9. ^ Slayman, Andrew (27 de maio de 1998). "Neolithic Skywatchers" . Arquivo da Revista de Arqueologia . Arquivado do original em 5 de junho de 2011 . Página visitada em 17 de abril de 2011 .
  10. ^ ( Boyer 1991 , "Ionia and the Pythagoreans" p. 43)
  11. ^ Eves, Howard, Uma Introdução à História da Matemática , Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 . 
  12. ^ Kurt Von Fritz (1945). "A descoberta da incomensurabilidade por Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics .
  13. ^ James R. Choike (1980). "O Pentagrama e a Descoberta de um Número Irracional". The Two-Year College Mathematics Journal .
  14. ^ ( Boyer 1991 , "The Age of Plato and Aristotle" p. 92)
  15. ^ ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 119)
  16. ^ ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 104)
  17. ^ Howard Eves, Uma Introdução à História da Matemática , Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141: "Nenhum trabalho, exceto a Bíblia , tem sido mais amplamente usado ...." 
  18. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (fevereiro de 1996). "Uma história do cálculo" . Universidade de St Andrews . Arquivado do original em 15 de julho de 2007 . Página visitada em 7 de agosto de 2007 .
  19. ^ Staal, Frits (1999). "Geometria Grega e Védica". Journal of Indian Philosophy . 27 (1–2): 105–127. doi : 10.1023 / A: 1004364417713 . S2CID 170894641 . 
  20. ^ Triplos pitagóricos são triplos de inteiros com a propriedade: . Assim,, , etc.
  21. ^ ( Cooke 2005 , p. 198): "O conteúdo aritmético dos Śulva Sūtras consiste em regras para encontrar triplos pitagóricos, como (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) , e (12, 35, 37). Não é certo que uso prático essas regras aritméticas tinham. A melhor conjectura é que elas faziam parte de um ritual religioso. Uma casa hindu deveria ter três fogueiras acesas em três altares diferentes. três altares deveriam ter formas diferentes, mas todos os três deveriam ter a mesma área. Essas condições levaram a certos problemas "diofantinos", um caso particular dos quais é a geração de triplos pitagóricos, de modo a tornar um inteiro quadrado igual a a soma de dois outros. "
  22. ^ ( Hayashi 2005 , p. 371)
  23. ^ a b ( Hayashi 2003 , pp. 121-122)
  24. ^ R. Rashed (1994), O desenvolvimento da matemática árabe: entre a aritmética e a álgebra , p. 35 Londres
  25. ^ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" pp. 241–242) "Omar Khayyam (c. 1050-1123), o" fabricante de tendas ", escreveu um Álgebraque foi além de al-Khwarizmi para incluir equações de terceiro grau. Como seus predecessores árabes, Omar Khayyam forneceu equações quadráticas tanto soluções aritméticas quanto geométricas; para equações cúbicas gerais, ele acreditava (erroneamente, como o século 16 mais tarde mostrou), as soluções aritméticas eram impossíveis; portanto, ele deu apenas soluções geométricas. O esquema de usar cônicas que se cruzam para resolver cúbicas foi usado anteriormente por Menaechmus, Arquimedes e Alhazan, mas Omar Khayyam deu o passo louvável de generalizar o método para cobrir todas as equações de terceiro grau (com raízes positivas). .. Para equações de grau superior a três, Omar Khayyam evidentemente não previu métodos geométricos semelhantes, pois o espaço não contém mais do que três dimensões, ...Uma das contribuições mais frutíferas do ecletismo árabe foi a tendência de fechar a lacuna entre a álgebra numérica e geométrica. O passo decisivo nessa direção veio muito mais tarde com Descartes, mas Omar Khayyam estava se movendo nessa direção quando escreveu: "Quem pensa que a álgebra é um truque para obter desconhecidos pensou em vão. Nenhuma atenção deve ser dada ao fato de que a álgebra e a geometria são diferentes na aparência. As álgebras são fatos geométricos comprovados. "".Nenhuma atenção deve ser dada ao fato de que álgebra e geometria são diferentes na aparência. Álgebras são fatos geométricos comprovados. "".Nenhuma atenção deve ser dada ao fato de que álgebra e geometria são diferentes na aparência. Álgebras são fatos geométricos comprovados. "".
  26. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. "Al-Mahani" . Arquivo MacTutor History of Mathematics . Universidade de St Andrews .
  27. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. "Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani" . Arquivo MacTutor History of Mathematics . Universidade de St Andrews .
  28. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. "Omar Khayyam" . Arquivo MacTutor History of Mathematics . Universidade de St Andrews .
  29. ^ Boris A. Rosenfeld e Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometria", em Roshdi Rashed, ed., Enciclopédia da História da Ciência Árabe , Vol. 2, pp. 447-494 [470], Routledge , Londres e Nova York:

    "Três cientistas, Ibn al-Haytham, Khayyam e al-Tusi, deram a contribuição mais considerável para este ramo da geometria, cuja importância veio a ser completamente reconhecida apenas no século 19. Em essência, suas proposições sobre as propriedades dos quadrantes que eles consideraram, supondo que alguns dos ângulos dessas figuras eram agudos ou obtusos, incorporavam os primeiros teoremas das geometrias hiperbólica e elíptica. Suas outras propostas mostravam que vários enunciados geométricos eram equivalentes ao postulado euclidiano V. É extremamente É importante que esses estudiosos estabeleçam a conexão mútua entre este postulado e a soma dos ângulos de um triângulo e de um quadrilátero.Por meio de seus trabalhos sobre a teoria das linhas paralelas, os matemáticos árabes influenciaram diretamente as investigações relevantes de seus colegas europeus. A primeira tentativa europeia de provar o postulado em linhas paralelas - feita por Witelo, os cientistas poloneses do século 13, durante a revisão de Ibn al-HaythamLivro de Óptica ( Kitab al-Manazir ) - foi indubitavelmente inspirado por fontes árabes. As provas apresentadas no século 14 pelo estudioso judeu Levi ben Gerson, que viveu no sul da França, e pelo mencionado Alfonso, da Espanha, fazem fronteira direta com a manifestação de Ibn al-Haytham. Acima, demonstramos que a Exposição de Euclides de Pseudo-Tusi estimulou os estudos de J. Wallis e G. Saccheri da teoria das linhas paralelas. "

  30. ^ a b Carl B. Boyer (2012). História da Geometria Analítica . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15451-0.
  31. ^ CH Edwards Jr. (2012). O desenvolvimento histórico do cálculo . Springer Science & Business Media. p. 95. ISBN 978-1-4612-6230-5.
  32. ^ Judith V. Field ; Jeremy Gray (2012). O trabalho geométrico de Girard Desargues . Springer Science & Business Media. p. 43. ISBN 978-1-4613-8692-6.
  33. ^ CR Wylie (2011). Introdução à Geometria Projetiva . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-14170-1.
  34. ^ Jeremy Gray (2011). Mundos do nada: um curso de história da geometria no século XIX . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-060-1.
  35. ^ Eduardo Bayro-Corrochano (2018). Geometric Algebra Applications Vol. I: Visão Computacional, Gráficos e Neurocomputação . Springer. p. 4. ISBN 978-3-319-74830-6.
  36. ^ a b Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). “Um currículo coerente”. American Educator , 26 (2), 1-18.
  37. ^ Morris Kline (1990). Pensamento matemático da antiguidade aos tempos modernos: Volume 3 . EUA: Oxford University Press. pp. 1010–. ISBN 978-0-19-506137-6.
  38. ^ Victor J. Katz (2000). Usando História para Ensinar Matemática: Uma Perspectiva Internacional . Cambridge University Press. pp. 45–. ISBN 978-0-88385-163-0.
  39. ^ David Berlinski (2014). O Rei do Espaço Infinito: Euclides e seus elementos . Livros básicos. ISBN 978-0-465-03863-3.
  40. ^ a b Robin Hartshorne (2013). Geometria: Euclides e além . Springer Science & Business Media. pp. 29–. ISBN 978-0-387-22676-7.
  41. ^ Pat Herbst; Taro Fujita; Stefan Halverscheid; Michael Weiss (2017). A aprendizagem e o ensino da geometria nas escolas secundárias: uma perspectiva de modelagem . Taylor e Francis. pp. 20–. ISBN 978-1-351-97353-3.
  42. ^ IM Yaglom (2012). Uma geometria não euclidiana simples e sua base física: uma explicação elementar da geometria galileana e o princípio da relatividade galileano . Springer Science & Business Media. pp. 6–. ISBN 978-1-4612-6135-3.
  43. ^ Audun Holme (2010). Geometria: Nosso Patrimônio Cultural . Springer Science & Business Media. pp. 254–. ISBN 978-3-642-14441-7.
  44. ^ a b c d e Euclid's Elements - todos os treze livros em um volume , baseado na tradução de Heath, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7 . 
  45. ^ Gerla, G. (1995). "Geometrias sem sentido" (PDF) . Em Buekenhout, F .; Kantor, W. (eds.). Manual de geometria de incidência: edifícios e fundações . Holanda do Norte. pp. 1015–1031. Arquivado do original (PDF) em 17 de julho de 2011.
  46. ^ Clark, Bowman L. (janeiro de 1985). "Indivíduos e pontos" . Notre Dame Journal of Formal Logic . 26 (1): 61–75. doi : 10.1305 / ndjfl / 1093870761 .
  47. ^ John Casey (1885). Geometria analítica das seções pontuais, retas, circulares e cônicas .
  48. ^ Buekenhout, Francis (1995), manual de geometria da incidência: Construções e fundações , Elsevier BV
  49. ^ "geodésico - definição de geodésico em inglês do dicionário Oxford" . OxfordDictionaries.com . Arquivado do original em 15 de julho de 2016 . Retirado em 20 de janeiro de 2016 .
  50. ^ a b c d e Munkres, James R. Topologia. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  51. ^ Szmielew, Wanda. Da geometria afim à euclidiana: uma abordagem axiomática. Springer, 1983.
  52. ^ Ahlfors, Lars V. Complex analysis: uma introdução à teoria das funções analíticas de uma variável complexa. Nova york; Londres (1953).
  53. ^ Sidorov, LA (2001) [1994]. "Ângulo" . Enciclopédia de Matemática . EMS Press .
  54. ^ Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič e Mark Saul. "Trigonometria." Trigonometria . Birkhäuser Boston, 2001. 1-20.
  55. ^ Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals , 7ª ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9 
  56. ^ Jost, Jürgen (2002). Geometria Riemanniana e Análise Geométrica . Berlim: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42627-1..
  57. ^ Baker, Henry Frederick. Princípios de geometria. Vol. 2. Arquivo CUP, 1954.
  58. ^ a b c Do Carmo, Manfredo Perdigão e Manfredo Perdigão do Carmo. Geometria diferencial de curvas e superfícies. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  59. ^ a b Mumford, David (1999). O Livro Vermelho de Variedades e Esquemas Inclui as Palestras de Michigan sobre Curvas e Seus Jacobianos (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl  0945.14001 .
  60. ^ Briggs, William L. e Lyle Cochran Calculus. "Primeiros Transcendentais." ISBN 978-0-321-57056-7 . 
  61. ^ Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). A Forma do Espaço Interior: Teoria das Cordas e a Geometria das Dimensões Ocultas do Universo . Livros básicos. ISBN 978-0-465-02023-2 . 
  62. ^ a b Steven A. Treese (2018). História e medição das unidades básicas e derivadas . Springer International Publishing. pp. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7.
  63. ^ James W. Cannon (2017). Geometria de comprimentos, áreas e volumes . American Mathematical Soc. p. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5.
  64. ^ Gilbert Strang (1991). Cálculo . SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4.
  65. ^ HS Bear (2002). A Primer of Lebesgue Integration . Academic Press. ISBN 978-0-12-083971-1.
  66. ^ Dmitri Burago, Yu D Burago , Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry , American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6 . 
  67. ^ Wald, Robert M. (1984). Relatividade geral . University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
  68. ^ Terence Tao (2011). Uma introdução à teoria da medida . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2.
  69. ^ Shlomo Libeskind (2008). Geometria Euclidiana e Transformacional: Uma Investigação Dedutiva . Jones e Bartlett Learning. p. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6.
  70. ^ Mark A. Freitag (2013). Matemática para professores do ensino fundamental: uma abordagem de processo . Cengage Learning. p. 614. ISBN 978-0-618-61008-2.
  71. ^ George E. Martin (2012). Geometria de transformação: uma introdução à simetria . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5680-9.
  72. ^ Mark Blacklock (2018). A Emergência da Quarta Dimensão: Pensamento Espacial Superior no Fin de Siècle . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-875548-7.
  73. ^ Charles Jasper Joly (1895). Artigos . A Academia. pp. 62–.
  74. ^ Roger Temam (2013). Sistemas Dinâmicos de Dimensão Infinita em Mecânica e Física . Springer Science & Business Media. p. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3.
  75. ^ Bill Jacob; Tsit-Yuen Lam (1994). Avanços recentes em geometria algébrica real e formas quadráticas: Proceedings of the RAGSQUAD Year, Berkeley, 1990–1991 . American Mathematical Soc. p. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8.
  76. ^ Ian Stewart (2008). Por que a beleza é verdade: uma história de simetria . Livros básicos. p. 14. ISBN 978-0-465-08237-7.
  77. ^ Stakhov Alexey (2009). Matemática da Harmonia: De Euclides à Matemática Contemporânea e Ciência da Computação . World Scientific. p. 144. ISBN 978-981-4472-57-9.
  78. ^ Werner Hahn (1998). Simetria como princípio de desenvolvimento na natureza e na arte . World Scientific. ISBN 978-981-02-2363-2.
  79. ^ Brian J. Cantwell (2002). Introdução à Análise de Simetria . Cambridge University Press. p. 34. ISBN 978-1-139-43171-2.
  80. ^ B. Rosenfeld; Bill Wiebe (2013). Geometria de Grupos de Lie . Springer Science & Business Media. pp. 158ss. ISBN 978-1-4757-5325-7.
  81. ^ a b Peter Pesic (2007). Além da geometria: artigos clássicos de Riemann a Einstein . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-45350-7.
  82. ^ Michio Kaku (2012). Strings, Conformal Fields, and Topology: An Introduction . Springer Science & Business Media. p. 151. ISBN 978-1-4684-0397-8.
  83. ^ Mladen Bestvina; Michah Sageev; Karen Vogtmann (2014). Teoria Geométrica dos Grupos . American Mathematical Soc. p. 132. ISBN 978-1-4704-1227-2.
  84. ^ WH. Steeb (1996). Simetrias contínuas, álgebras de Lie, equações diferenciais e álgebra computacional . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-503-4.
  85. ^ Charles W. Misner (2005). Directions in General Relativity: Volume 1: Proceedings of the 1993 International Symposium, Maryland: Papers in Honor of Charles Misner . Cambridge University Press. p. 272. ISBN 978-0-521-02139-5.
  86. ^ Linnaeus Wayland Dowling (1917). Geometria Projetiva . McGraw-Hill book Company, Incorporated. p. 10 .
  87. ^ G. Gierz (2006). Pacotes de espaços vetoriais topológicos e sua dualidade . Springer. p. 252. ISBN 978-3-540-39437-2.
  88. ^ Robert E. Butts; JR Brown (2012). Construtivism and Science: Essays in Recent German Philosophy . Springer Science & Business Media. pp. 127–. ISBN 978-94-009-0959-5.
  89. ^ Ciência . Moses King. 1886. pp. 181–.
  90. ^ W. Abbot (2013). Geometria prática e gráficos de engenharia: um livro didático para engenheiros e outros alunos . Springer Science & Business Media. pp. 6–. ISBN 978-94-017-2742-6.
  91. ^ a b c d George L. Hersey (2001). Arquitetura e geometria na época do barroco . University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-32783-9.
  92. ^ P. Vanícek; EJ Krakiwsky (2015). Geodésia: os conceitos . Elsevier. p. 23. ISBN 978-1-4832-9079-9.
  93. ^ Russell M. Cummings; Scott A. Morton; William H. Mason; David R. McDaniel (2015). Aerodinâmica Computacional Aplicada . Cambridge University Press. p. 449. ISBN 978-1-107-05374-8.
  94. ^ Roy Williams (1998). Geometria da Navegação . Horwood Pub. ISBN 978-1-898563-46-4.
  95. ^ Gerard Walschap (2015). Cálculo multivariável e geometria diferencial . De Gruyter. ISBN 978-3-11-036954-0.
  96. ^ Harley Flanders (2012). Formas Diferenciais com Aplicações às Ciências Físicas . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13961-6.
  97. ^ Paul Marriott; Mark Salmon (2000). Aplicações da Geometria Diferencial à Econometria . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5.
  98. ^ Matthew He; Sergey Petoukhov (2011). Matemática da Bioinformática: Teoria, Métodos e Aplicações . John Wiley & Sons. p. 106. ISBN 978-1-118-09952-0.
  99. ^ PAM Dirac (2016). Teoria Geral da Relatividade . Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8419-3.
  100. ^ Nihat Ay; Jürgen Jost; Hông Vân Lê; Lorenz Schwachhöfer (2017). Geometria da informação . Springer. p. 185. ISBN 978-3-319-56478-4.
  101. ^ Boris A. Rosenfeld (2012). Uma História da Geometria Não Euclidiana: Evolução do Conceito de Espaço Geométrico . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-8680-1.
  102. ^ Kline (1972) "Mathematical think from Ancient to Modern times", Oxford University Press, p. 1032. Kant não rejeitou a lógica (analítica a priori) possibilidade da geometria não-euclidiana, consulte Jeremy Gray , "idéias de espaço euclidiano, não-euclidiana, e relativista", Oxford, 1989; p. 85. Alguns sugeriram que, à luz disso, Kant havia de fato previsto o desenvolvimento da geometria não euclidiana, cf. Leonard Nelson, "Philosophy and Axiomatics," Socratic Method and Critical Philosoph , Dover, 1965, p. 164
  103. ^ Duncan M'Laren Young Sommerville (1919). Elementos de geometria não euclidiana ... Quadra aberta. pp. 15ff.
  104. ^ "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" . Arquivado do original em 18 de março de 2016.
  105. ^ Martin D. Crossley (2011). Topologia essencial . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-782-7.
  106. ^ Charles Nash; Siddhartha Sen (1988). Topologia e geometria para físicos . Elsevier. p. 1. ISBN 978-0-08-057085-3.
  107. ^ George E. Martin (1996). Geometria de transformação: uma introdução à simetria . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90636-2.
  108. ^ JP maio (1999). Um curso conciso em topologia algébrica . University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2.
  109. ^ The Encyclopedia Americana: Uma biblioteca de referência universal que compreende as artes e as ciências, a literatura, a história, a biografia, a geografia, o comércio, etc., do mundo . Departamento de Compilação da Scientific American. 1905. pp. 489–.
  110. ^ a b Suzanne C. Dieudonne (1985). História da Geometria Algébrica . CRC Press. ISBN 978-0-412-99371-8.
  111. ^ James Carlson; James A. Carlson; Arthur Jaffe; Andrew Wiles (2006). Problemas do Prêmio Milênio . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3679-8.
  112. ^ Robin Hartshorne (2013). Geometria Algébrica . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0.
  113. ^ Everett W. Howe; Kristin E. Lauter; Judy L. Walker (2017). Algebraic Geometry for Coding Theory and Cryptography: IPAM, Los Angeles, CA, fevereiro de 2016 . Springer. ISBN 978-3-319-63931-4.
  114. ^ Marcos Marino; Michael Thaddeus; Ravi Vakil (2008). Invariantes enumerativos em Geometria Algébrica e Teoria das Cordas: Palestras ministradas na Escola de Verão CIME realizada em Cetraro, Itália, de 6 a 11 de junho de 2005 . Springer. ISBN 978-3-540-79814-9.
  115. ^ Huybrechts, D. (2006). Geometria complexa: uma introdução. Springer Science & Business Media.
  116. ^ Griffiths, P., & Harris, J. (2014). Princípios de geometria algébrica. John Wiley & Sons.
  117. ^ Wells, RON, & García-Prada, O. (1980). Análise diferencial em variedades complexas (Vol. 21980). Nova York: Springer.
  118. ^ Hori, K., Thomas, R., Katz, S., Vafa, C., Pandharipande, R., Klemm, A., ... & Zaslow, E. (2003). Simetria de espelho (Vol. 1). American Mathematical Soc.
  119. ^ Forster, O. (2012). Palestras sobre superfícies de Riemann (Vol. 81). Springer Science & Business Media.
  120. ^ Miranda, R. (1995). Curvas algébricas e superfícies de Riemann (Vol. 5). American Mathematical Soc.
  121. ^ Donaldson, S. (2011). Superfícies de Riemann. Imprensa da Universidade de Oxford.
  122. ^ Serre, JP (1955). Cohérents de Faisceaux algébriques. Annals of Mathematics, 197-278.
  123. ^ Serre, JP (1956). Géométrie algébrique et géométrie analytique. Em Annales de l'Institut Fourier (vol. 6, pp. 1-42).
  124. ^ Jiří Matoušek (2013). Aulas de Geometria Discreta . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0039-7.
  125. ^ Chuanming Zong (2006). O cubo - uma janela para geometria convexa e discreta . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85535-8.
  126. ^ Peter M. Gruber (2007). Geometria Convexa e Discreta . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71133-9.
  127. ^ Satyan L. Devadoss; Joseph O'Rourke (2011). Geometria Discreta e Computacional . Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3898-1.
  128. ^ Károly Bezdek (2010). Tópicos Clássicos em Geometria Discreta . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-0600-7.
  129. ^ Franco P. Preparata; Michael I. Shamos (2012). Geometria Computacional: Uma Introdução . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1098-6.
  130. ^ Xianfeng David Gu; Shing-Tung Yau (2008). Geometria conformada computacional . International Press. ISBN 978-1-57146-171-1.
  131. ^ a b Clara Löh (2017). Teoria geométrica dos grupos: uma introdução . Springer. ISBN 978-3-319-72254-2.
  132. ^ John Morgan; Gang Tian (2014). A conjectura da geometrização . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5201-9.
  133. ^ Daniel T. Wise (2012). De riquezas a Raags: 3 variedades, grupos de Artin em ângulo reto e geometria cúbica: 3 variedades, grupos de Artin em ângulo reto e geometria cúbica . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8800-1.
  134. ^ a b Gerard Meurant (2014). Manual de geometria convexa . Elsevier Science. ISBN 978-0-08-093439-6.
  135. ^ Jürgen Richter-Gebert (2011). Perspectivas sobre geometria projetiva: um passeio guiado pela geometria real e complexa . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
  136. ^ Kimberly Elam (2001). Geometria do Desenho: Estudos de Proporção e Composição . Princeton Architectural Press. ISBN 978-1-56898-249-6.
  137. ^ Brad J. Guigar (2004). The Everything Cartooning Book: Crie desenhos animados exclusivos e inspirados para diversão e lucro . Adams Media. pp. 82–. ISBN 978-1-4405-2305-2.
  138. ^ Mario Livio (2008). A proporção áurea: a história de PHI, o número mais surpreendente do mundo . Coroa / Arquétipo. p. 166. ISBN 978-0-307-48552-6.
  139. ^ Michele Emmer; Doris Schattschneider (2007). O Legado de MC Escher: Uma Celebração do Centenário . Springer. p. 107. ISBN 978-3-540-28849-7.
  140. ^ Robert Capitolo; Ken Schwab (2004). Curso de Desenho 101 . Sterling Publishing Company, Inc. p. 22 . ISBN 978-1-4027-0383-6.
  141. ^ Phyllis Gelineau (2011). Integrando as Artes no Currículo do Ensino Fundamental . Cengage Learning. p. 55. ISBN 978-1-111-30126-2.
  142. ^ Cristiano Ceccato; Lars Hesselgren; Mark Pauly; Helmut Pottmann, Johannes Wallner (2016). Avanços na geometria arquitetônica 2010 . Birkhäuser. p. 6. ISBN 978-3-99043-371-3.
  143. ^ Helmut Pottmann (2007). Geometria arquitetônica . Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5.
  144. ^ Marian Moffett; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse (2003). Uma História Mundial da Arquitetura . Laurence King Publishing. p. 371. ISBN 978-1-85669-371-4.
  145. ^ Robin M. Green; Robin Michael Green (1985). Astronomia Esférica . Cambridge University Press. p. 1. ISBN 978-0-521-31779-5.
  146. ^ Dmitriĭ Vladimirovich Alekseevskiĭ (2008). Desenvolvimentos recentes em geometria pseudo-riemanniana . European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-051-7.
  147. ^ Shing-Tung Yau; Steve Nadis (2010). A Forma do Espaço Interior: Teoria das Cordas e a Geometria das Dimensões Ocultas do Universo . Livros básicos. ISBN 978-0-465-02266-3.
  148. ^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometria dos Estados Quânticos: Uma Introdução ao Emaranhamento Quântico (2ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC  1004572791 .
  149. ^ Harley Flanders; Justin J. Price (2014). Cálculo com geometria analítica . Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6240-6.
  150. ^ Jon Rogawski; Colin Adams (2015). Cálculo . WH Freeman. ISBN 978-1-4641-7499-5.
  151. ^ Álvaro Lozano-Robledo (2019). Teoria e geometria dos números: uma introdução à geometria aritmética . American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8.
  152. ^ Arturo Sangalli (2009). Pythagoras 'Revenge: A Mathematical Mystery . Princeton University Press. p. 57 . ISBN 978-0-691-04955-7.
  153. ^ Gary Cornell; Joseph H. Silverman; Glenn Stevens (2013). Formas modulares e o último teorema de Fermat . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1974-3.

Fontes

Leitura adicional

links externos

"Geometria"  . Encyclopædia Britannica . 11 (11ª ed.). 1911. pp. 675–736.