Conjunto difuso

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Em matemática , conjuntos fuzzy (também conhecidos como conjuntos incertos ) são conjuntos cujos elementos têm graus de pertinência. Conjuntos fuzzy foram introduzidos independentemente por Lotfi A. Zadeh e Dieter Klaua em 1965 como uma extensão da noção clássica de conjunto. [1] [2] Ao mesmo tempo, Salii (1965) definiu um tipo mais geral de estrutura chamada relação L , que ele estudou em um contexto algébrico abstrato . Relações difusas, que agora são usadas em toda a matemática difusae têm aplicações em áreas como linguística ( De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000 ), tomada de decisão ( Kuzmin 1982 ) e agrupamento ( Bezdek 1978 ), são casos especiais de relações L quando L é o intervalo unitário [0, 1 ].

Na teoria clássica dos conjuntos , a pertinência dos elementos em um conjunto é avaliada em termos binários de acordo com uma condição bivalente – um elemento pertence ou não pertence ao conjunto. Em contraste, a teoria dos conjuntos difusos permite a avaliação gradual da pertinência dos elementos em um conjunto; isso é descrito com a ajuda de uma função de pertinência valorizada no intervalo real da unidade [0, 1]. Conjuntos difusos generalizam conjuntos clássicos, uma vez que as funções indicadoras (também conhecidas como funções características) de conjuntos clássicos são casos especiais das funções de pertinência de conjuntos difusos, caso estes últimos apenas tomem valores 0 ou 1. [3] Na teoria dos conjuntos difusos, conjuntos bivalentes clássicos são geralmente chamados de conjuntos nítidos. A teoria dos conjuntos fuzzy pode ser usada em uma ampla gama de domínios em que a informação é incompleta ou imprecisa, como a bioinformática . [4]

Definição

Um conjunto fuzzy é um parOndeé um conjunto (muitas vezes necessário para ser não vazio ) euma função de pertinência. O conjunto de referência(às vezes indicado porou) é chamado de universo do discurso , e para cadaO valor queé chamado de grau de pertencimento dedentro. A funçãoé chamada de função de pertinência do conjunto fuzzy.

Para um conjunto finitoo conjunto difusoé muitas vezes denotado por

Deixar. Entãoé chamado

  • não incluído no conjunto fuzzyE se(sem membro),
  • totalmente incluído se(membro completo),
  • parcialmente incluído se(membro confuso). [5]

O conjunto (nítido) de todos os conjuntos difusos em um universoé denotado com(ou às vezes apenas). [6]

Conjuntos nítidos relacionados a um conjunto difuso

Para qualquer conjunto difusoeos seguintes conjuntos crisp são definidos:

  • é chamado de corte α (também conhecido como conjunto de níveis α )
  • é chamado de corte α forte (também conhecido como conjunto de níveis α forte )
  • é chamado de seu suporte
  • é chamado seu núcleo (ou às vezes kernel ).

Observe que alguns autores entendem "kernel" de maneira diferente; Veja abaixo.

Outras definições

  • Um conjunto difusoestá vazio () se (se e somente se)
  • Dois conjuntos difusosesão iguais () se
  • Um conjunto difusoestá incluído em um conjunto fuzzy() se
  • Para qualquer conjunto difuso, qualquer elementoque satisfaz
é chamado de ponto de cruzamento .
  • Dado um conjunto fuzzy, algum, para qualnão está vazio, é chamado de nível de A.
  • O conjunto de níveis de A é o conjunto de todos os níveisrepresentando cortes distintos. É a imagem de:
  • Para um conjunto difuso, sua altura é dada por
Ondedenota o supremo , que existe porqueé não vazio e limitado acima por 1. Se U for finito, podemos simplesmente substituir o supremo pelo máximo.
  • Um conjunto difusoé dito normalizado se
No caso finito, onde o supremo é máximo, isso significa que pelo menos um elemento do conjunto fuzzy tem pertinência total. Um conjunto fuzzy não vaziopode ser normalizado com resultadodividindo a função de pertinência do conjunto fuzzy por sua altura:
Além das semelhanças, isso difere da normalização usual , pois a constante de normalização não é uma soma.
  • Para conjuntos difusosde números reais ( U ⊆ ℝ) com suporte limitado , a largura é definida como
No caso em queé um conjunto finito, ou mais geralmente um conjunto fechado , a largura é apenas
No caso n - dimensional ( U ⊆ ℝ n ) o acima pode ser substituído pelo volume n -dimensional de.
Em geral, isso pode ser definido dada qualquer medida em U , por exemplo, por integração (por exemplo, integração de Lebesgue ) de.
  • Um verdadeiro conjunto difuso( U ⊆ ℝ) é dito convexo (no sentido difuso, não deve ser confundido com um conjunto convexo nítido ), se
.
Sem perda de generalidade, podemos tomar xy , que dá a formulação equivalente
.
Esta definição pode ser estendida a um para um espaço topológico geral U : dizemos que o conjunto fuzzyé convexa quando, para qualquer subconjunto Z de U , a condição
detém, ondedenota o limite de Z edenota a imagem de um conjunto X (aqui) sob uma função f (aqui).

Operações de conjuntos difusos

Embora o complemento de um conjunto fuzzy tenha uma única definição mais comum, as outras operações principais, união e interseção, têm alguma ambiguidade.

  • Para um determinado conjunto fuzzy, seu complemento (às vezes indicado comoou) é definido pela seguinte função de pertinência:
.
  • Seja t uma t-norma e s a s-norma correspondente (também conhecida como t-conorm). Dado um par de conjuntos fuzzy, seu cruzamento é definido por:
,
e sua união é definido por:
.

Pela definição da t-norm, vemos que a união e a interseção são comutativas , monotônicas , associativas e têm um elemento nulo e um elemento identidade . Para a interseção, estes são ∅ e U , respectivamente, enquanto para a união, estes são invertidos. No entanto, a união de um conjunto fuzzy e seu complemento pode não resultar no universo completo U , e a interseção deles pode não resultar no conjunto vazio ∅. Como a interseção e a união são associativas, é natural definir recursivamente a interseção e a união de uma família finita de conjuntos fuzzy.

  • Se o negador padrãofor substituído por outro negador forte , a diferença do conjunto fuzzy pode ser generalizada por
  • O triplo de interseção difusa, união e complemento formam um De Morgan Triplet . Ou seja, as leis de De Morgan se estendem a esse triplo.
Exemplos de pares de interseção/união fuzzy com negador padrão podem ser derivados de amostras fornecidas no artigo sobre t-norms .
A interseção fuzzy não é idempotente em geral, pois a norma t min padrão é a única que possui esta propriedade. De fato, se a multiplicação aritmética for usada como a norma t, a operação de interseção fuzzy resultante não é idempotente. Ou seja, tomar iterativamente a interseção de um conjunto fuzzy consigo mesmo não é trivial. Em vez disso, define a m -ésima potência de um conjunto fuzzy, que pode ser canonicamente generalizado para expoentes não inteiros da seguinte maneira:
  • Para qualquer conjunto difusoea ν-ésima potência deé definido pela função de pertinência:

O caso do expoente dois é especial o suficiente para receber um nome.

  • Para qualquer conjunto difusoa concentração é definido

Tirando, temose

  • Dados conjuntos difusos, a diferença do conjunto fuzzy , também denotado, pode ser definido diretamente através da função de pertinência:
que significa, por exemplo:
[7]
Outra proposta para uma diferença de conjunto poderia ser:
[7]
  • Propostas para diferenças simétricas de conjuntos fuzzy foram feitas por Dubois e Prade (1980), seja tomando o valor absoluto , dando
ou usando uma combinação de apenas max , min e negação padrão, dando
[7]
Axiomas para definição de diferenças simétricas generalizadas análogas àquelas para t-norms, t-conorms e negadores foram propostos por Vemur et al. (2014) com antecessores de Alsina et. al. (2005) e Bedregal et. al. (2009). [7]
  • Em contraste com conjuntos nítidos, as operações de média também podem ser definidas para conjuntos difusos.

Conjuntos difusos disjuntos

Em contraste com a ambiguidade geral das operações de interseção e união, há clareza para conjuntos fuzzy disjuntos: dois conjuntos fuzzysão disjuntos se

que é equivalente a

e também equivalente a

Temos em mente que min / max é par em/s-norm, e qualquer outro funcionará aqui também.

Conjuntos fuzzy são disjuntos se e somente se seus suportes são disjuntos de acordo com a definição padrão para conjuntos crisp.

Para conjuntos difusos disjuntosqualquer interseção dará ∅, e qualquer união dará o mesmo resultado, que é denotado como

com sua função de pertinência dada por

Observe que apenas um dos dois somatórios é maior que zero.

Para conjuntos difusos disjuntosvale o seguinte:

Isso pode ser generalizado para famílias finitas de conjuntos fuzzy como segue: Dada uma famíliade conjuntos fuzzy com conjunto de índice I (por exemplo , I = {1,2,3,..., n }). Esta família é (em pares) disjunta se

Uma família de conjuntos difusosé disjunto, se a família de suportes subjacentesé disjunto no sentido padrão para famílias de conjuntos crisp.

Independente do par t/s-norma, a interseção de uma família disjunta de conjuntos fuzzy dará ∅ novamente, enquanto a união não tem ambiguidade:

com sua função de pertinência dada por

Novamente, apenas um dos somatórios é maior que zero.

Para famílias disjuntas de conjuntos fuzzyvale o seguinte:

Cardinalidade escalar

Para um conjunto difusocom suporte finito(ou seja, um "conjunto fuzzy finito"), sua cardinalidade (também conhecida como cardinalidade escalar ou sigma-count ) é dada por

.

No caso em que o próprio U é um conjunto finito, a cardinalidade relativa é dada por

.

Isso pode ser generalizado para o divisor ser um conjunto fuzzy não vazio: Para conjuntos fuzzycom G ≠ ∅, podemos definir a cardinalidade relativa por:

,

que se parece muito com a expressão para probabilidade condicional . Observação:

  • aqui.
  • O resultado pode depender da interseção específica (t-norm) escolhida.
  • Parao resultado é inequívoco e se assemelha à definição anterior.

Distância e semelhança

Para qualquer conjunto difusoa função de membropode ser considerado uma família. Este último é um espaço métrico com várias métricasconhecido. Uma métrica pode ser derivada de uma norma (norma vetorial)através da

.

Por exemplo, seé finito, ou seja, tal métrica pode ser definida por:

Ondeesão sequências de números reais entre 0 e 1.

Para infinito, o máximo pode ser substituído por um supremo. Como os conjuntos fuzzy são definidos de forma inequívoca por sua função de pertinência, essa métrica pode ser usada para medir distâncias entre conjuntos fuzzy no mesmo universo:

,

que se torna na amostra acima:

Novamente para infinitoo máximo deve ser substituído por um supremo. Outras distâncias (como a norma 2 canônica) podem divergir, se os conjuntos fuzzy infinitos forem muito diferentes, por exemplo,e.

Medidas de similaridade (aqui denotadas por) pode então ser derivado da distância, por exemplo, após uma proposta de Koczy:

E seé finito,outro,

ou depois de Williams e Steele:

E seé finito,outro

Ondeé um parâmetro de inclinação e. [6]

Outra definição para medidas de similaridade com valor de intervalo (bastante 'fuzzy')é fornecido por Beg e Ashraf também. [6]

L -conjuntos difusos

Às vezes, variantes mais gerais da noção de conjunto fuzzy são usadas, com funções de pertinência tomando valores em uma álgebra ou estrutura (fixa ou variável). de um determinado tipo; geralmente é necessário queser pelo menos um poset ou treliça . Estes são geralmente chamados de conjuntos L -fuzzy , para distingui-los daqueles valorizados no intervalo unitário. As funções de pertinência usuais com valores em [0, 1] são então chamadas de funções de pertinência com valor [0, 1]. Esses tipos de generalizações foram considerados pela primeira vez em 1967 por Joseph Goguen , que foi aluno de Zadeh. [8] Um corolário clássico pode indicar valores de verdade e pertinência por {f, t} em vez de {0, 1}.

Uma extensão de conjuntos fuzzy foi fornecida por Atanassov e Baruah. Um conjunto fuzzy intuicionista (IFS)caracteriza-se por duas funções:

1.– grau de adesão de x
2.– grau de não adesão de x

com funçõescom

Isso se assemelha a uma situação como uma pessoa indicada porvotação

  • para uma proposta: (),
  • contra isso: (),
  • ou abster-se de votar: ().

Afinal, temos um percentual de aprovações, um percentual de negações e um percentual de abstenções.

Para esta situação, negadores especiais "fuzzy intuitivos", t- e s-norms podem ser definidos. Come combinando ambas as funções paraesta situação se assemelha a um tipo especial de conjuntos L -fuzzy.

Mais uma vez, isso foi expandido definindo conjuntos fuzzy de imagem (PFS) da seguinte forma: Um PFS A é caracterizado por três funções mapeando U para [0, 1]:, "grau de adesão positiva", "grau de adesão neutra" e "grau de adesão negativa", respectivamente e condição adicional Isso expande a amostra de votação acima por uma possibilidade adicional de "recusa de voto".

Come negadores especiais de "imagem difusa", normas t e s, que se assemelham a apenas outro tipo de conjuntos L -fuzzy. [9] [10]

Conjuntos Fuzzy Neutrosóficos

Alguns Desenvolvimentos Chave na Introdução de Conceitos de Conjuntos Fuzzy. [11]

O conceito de IFS foi estendido em dois modelos principais. As duas extensões do IFS são conjuntos fuzzy neutrosóficos e conjuntos fuzzy pitagóricos. [11]

Os conjuntos fuzzy neutrosóficos foram introduzidos por Smarandache em 1998. [12] Assim como o IFS, os conjuntos fuzzy neutrosóficos têm as duas funções anteriores: uma para pertinênciae outro para não filiação. A principal diferença é que os conjuntos fuzzy neutrosóficos têm mais uma função: para. Este valor indica o grau de indecisão que a entidade x pertence ao conjunto. Esse conceito de ter indeterminadovalue pode ser particularmente útil quando não se pode confiar muito nos valores de associação ou não associação para o item x . [13] Em resumo, os conjuntos fuzzy neutrosóficos estão associados às seguintes funções:

1.- grau de adesão de x
2.– grau de não adesão de x
3.– grau de valor indeterminado de x

Conjuntos fuzzy pitagóricos

A outra extensão do IFS é o que é conhecido como conjuntos fuzzy pitagóricos. Conjuntos fuzzy pitagóricos são mais flexíveis que IFSs. IFSs são baseados na restrição, o que pode ser considerado muito restritivo em algumas ocasiões. É por isso que Yager propôs o conceito de conjuntos fuzzy pitagóricos. Esses conjuntos satisfazem a restrição, que é uma reminiscência do teorema de Pitágoras. [14] [15] [16] Conjuntos fuzzy pitagóricos podem ser aplicáveis ​​a aplicações da vida real em que a condição anterior denão é válido. No entanto, a condição menos restritiva depode ser adequado em mais domínios. [11] [13]

Lógica difusa

Como uma extensão do caso da lógica multivalorada , as avaliações () de variáveis ​​proposicionais () em um conjunto de graus de adesão () pode ser pensado como funções de pertinência mapeando predicados em conjuntos fuzzy (ou mais formalmente, em um conjunto ordenado de pares fuzzy, chamado de relação fuzzy). Com essas avaliações, a lógica de muitos valores pode ser estendida para permitir premissas difusas das quais conclusões graduais podem ser tiradas. [17]

Essa extensão às vezes é chamada de "lógica difusa no sentido estrito" em oposição à "lógica difusa no sentido mais amplo", que se originou nos campos de engenharia de controle automatizado e engenharia do conhecimento , e que abrange muitos tópicos envolvendo conjuntos difusos e "raciocínio aproximado". ." [18]

Aplicações industriais de conjuntos fuzzy no contexto de "lógica fuzzy no sentido mais amplo" podem ser encontradas em lógica fuzzy .

Número difuso e único número

Um número fuzzy [19] é um conjunto fuzzy que satisfaz todas as seguintes condições:

  • A é normalizado;
  • A é um conjunto convexo;
  •  ;
  • A função de membroé pelo menos segmentalmente contínua.

Se essas condições não forem satisfeitas, então A não é um número fuzzy . O núcleo deste número fuzzy é um singleton ; sua localização é:

Quando a condição sobre a unicidade denão for cumprido, então o conjunto fuzzy é caracterizado como um intervalo fuzzy . [19] O núcleo deste intervalo fuzzy é um intervalo crisp com:

.

Os números difusos podem ser comparados ao jogo do parque de diversões "adivinhe o seu peso", onde alguém adivinha o peso do competidor, com palpites mais próximos sendo mais corretos, e onde o adivinhador "ganha" se ele ou ela adivinhar o peso do competidor, com o peso real sendo completamente correto (mapeamento para 1 pela função de pertinência).

O núcleode um intervalo nebulosoé definida como a parte 'interna', sem as partes 'de saída' onde o valor de associação é constante ad infinitum. Em outras palavras, o menor subconjunto deOndeé constante fora dele, é definido como o kernel.

No entanto, existem outros conceitos de números fuzzy e intervalos, pois alguns autores não insistem na convexidade.

Categorias difusas

O uso da associação de conjuntos como um componente chave da teoria das categorias pode ser generalizado para conjuntos fuzzy. Esta abordagem, que começou em 1968 logo após a introdução da teoria dos conjuntos fuzzy, [20] levou ao desenvolvimento das categorias de Goguen no século XXI. [21] [22] Nessas categorias, em vez de usar dois conjuntos de pertinência de valor, intervalos mais gerais são usados, e podem ser reticulados como em conjuntos L - fuzzy. [22] [23]

Equação de relação difusa

A equação da relação fuzzy é uma equação da forma A · R = B , onde A e B são conjuntos fuzzy, R é uma relação fuzzy, e A · R representa a composição de A com  R [ carece de fontes ] .

Entropia

Uma medida d de imprecisão para conjuntos difusos de universodeve preencher as seguintes condições para todos os:

  1. E seé um conjunto nítido:
  2. tem um único máximo se
o que significa que B é "mais nítida" do que A .

Nesse casoé chamada de entropia do conjunto fuzzy A.

Para finito a entropia de um conjunto fuzzyÉ dado por

,

ou apenas

Ondeé a função de Shannon (função de entropia natural)

eé uma constante dependendo da unidade de medida e da base logarítmica utilizada (aqui usamos a base natural e ). A interpretação física de k é a constante de Boltzmann k B .

Deixarser um conjunto fuzzy com uma função de pertinência contínua (variável fuzzy). Então

e sua entropia é

[24] [25]

Extensões

Existem muitas construções matemáticas semelhantes ou mais gerais que os conjuntos fuzzy. Desde que os conjuntos fuzzy foram introduzidos em 1965, muitas novas construções matemáticas e teorias que tratam de imprecisão, inexatidão, ambiguidade e incerteza foram desenvolvidas. Algumas dessas construções e teorias são extensões da teoria dos conjuntos fuzzy, enquanto outras tentam modelar matematicamente a imprecisão e a incerteza de uma maneira diferente ( Burgin & Chunihin 1997 ; Kerre 2001 ; Deschrijver e Kerre, 2003).

Veja também

Referências

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