Composição da função

Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Ir para a navegação Saltar para pesquisar

Em matemática , a composição de funções é uma operação  ∘  que recebe duas funções f e g , e produz uma função h = g  ∘   f tal que h ( x ) = g ( f ( x )) . Nesta operação, a função g é aplicada ao resultado da aplicação da função f a x . Ou seja, as funções f  : XY e g : YZ são compostos para produzir uma função que mapeia x no domínio X para g ( f ( x )) no contradomínio Z . Intuitivamente, se z é uma função de y e y é uma função de x , então z é uma função de x . A função composta resultante é denotada por g  ∘  f  : XZ , definida por ( g ∘  f  )( x ) = g ( f ( x )) para todo x em  X . [nº 1]

A notação g  ∘  f é lida como " g de f ", " g após f ", " g círculo f ", " g redondo f ", " g sobre f ", " g composto por f ", " g após f " , " f então g ", ou " g em f ", ou "a composição de g e f". Intuitivamente, compor funções é um processo de encadeamento em que a saída da função f alimenta a entrada da função g .

A composição de funções é um caso especial da composição de relações , às vezes também denotada por. Como resultado, todas as propriedades de composição de relações são verdadeiras para composição de funções, [1] como a propriedade de associatividade . Mas a composição de funções é diferente da multiplicação de funções (se definida) e tem algumas propriedades bem diferentes; em particular, a composição de funções não é comutativa . [2]

Exemplos

Exemplo concreto para a composição de duas funções.
  • Composição de funções em um conjunto finito: Se f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} e g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , então gf = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , como mostrado em a figura.
  • Composição de funções em um conjunto infinito : Se f : RR ( onde R é o conjunto de todos os números reais ) é dado por f ( x ) = 2 x + 4 eg : R R é dado por g ( x ) = x 3 , então:
    ( fg )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 , e
    ( gf )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3 .
  • Se a altitude de um avião no instante  t é a ( t ) e a pressão do ar na altitude x é p ( x ) , então ( p∘ a )( t ) é a pressão ao redor do avião no instante  t .

Propriedades

A composição de funções é sempre associativa — uma propriedade herdada da composição de relações . [1] Ou seja, se f , g eh são componíveis , então f ∘ ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) ∘ h . [3] Como os parênteses não alteram o resultado, eles geralmente são omitidos.

Em sentido estrito, a composição g  ∘  f só tem sentido se o contradomínio de f for igual ao domínio de g ; em um sentido mais amplo, é suficiente que o primeiro seja um subconjunto do último. [nb 2] Além disso, muitas vezes é conveniente restringir tacitamente o domínio de f , tal que f produz apenas valores no domínio de g . Por exemplo, a composição g  ∘  f das funções f  : R(−∞,+9] definida por f ( x ) = 9 − x 2e g  : [0,+∞)R definido porpode ser definido no intervalo [−3,+3] .

As composições de duas funções reais , o valor absoluto e uma função cúbica , em ordens diferentes, mostram uma não comutatividade de composição.

Diz-se que as funções g e f comutam entre si se g  ∘  f = f  ∘  g . A comutatividade é uma propriedade especial, alcançada apenas por funções particulares, e muitas vezes em circunstâncias especiais. Por exemplo, | x | + 3 = | x + 3 | somente quando x ≥ 0 . A imagem mostra outro exemplo.

A composição de funções um-para-um (injetivas) é sempre um-para-um. Da mesma forma, a composição de funções onto (sobrejetivas) é sempre sobre. Segue-se que a composição de duas bijeções também é uma bijeção. A função inversa de uma composição (assumida invertível) tem a propriedade de que ( f  ∘  g ) −1 = g −1f −1 . [4]

Derivadas de composições envolvendo funções diferenciáveis ​​podem ser encontradas usando a regra da cadeia . Derivadas mais altas de tais funções são dadas pela fórmula de Faà di Bruno . [3]

Monóides de composição

Suponha que se tenha duas (ou mais) funções f : XX , g : XX tendo o mesmo domínio e contradomínio; estes são freqüentemente chamados de transformações . Então pode-se formar cadeias de transformações compostas juntas, como ffgf . Essas cadeias têm a estrutura algébrica de um monóide , chamado de monóide de transformação ou (muito mais raramente) de monóide de composição.. Em geral, os monóides de transformação podem ter uma estrutura notavelmente complicada. Um exemplo notável particular é a curva de Rham . O conjunto de todas as funções f : XX é chamado de semigrupo de transformação completa [5] ou semigrupo simétrico [6] em  X . (Pode-se realmente definir dois semigrupos dependendo de como se define a operação de semigrupo como a composição de funções à esquerda ou à direita. [7] )

A semelhança que transforma o triângulo EFA no triângulo ATB é a composição de uma homotetia H e uma rotação  R , cujo centro comum é  S.  Por exemplo, a imagem de  sob a rotação  R é  U , que pode ser escrita  R ( A ) = U.  H ( U ) = B significa que o mapeamento  H transforma U   em B.  Assim  H ( R ( A )) = ( H ∘ R ) ( A ) = B .

Se as transformações são bijetivas (e, portanto, invertíveis), então o conjunto de todas as combinações possíveis dessas funções forma um grupo de transformações ; e diz-se que o grupo é gerado por essas funções. Um resultado fundamental na teoria dos grupos, o teorema de Cayley , essencialmente diz que qualquer grupo é de fato apenas um subgrupo de um grupo de permutação (até o isomorfismo ). [8]

O conjunto de todas as funções bijetivas f : XX (chamadas permutações ) forma um grupo em relação à composição da função. Este é o grupo simétrico , também chamado de grupo de composição .

No semigrupo simétrico (de todas as transformações) encontra-se também uma noção mais fraca e não única de inversa (chamada pseudoinversa) porque o semigrupo simétrico é um semigrupo regular . [9]

Poderes funcionais

Se Y X , então f : XY pode compor consigo mesmo; isso às vezes é denotado como f 2 . Isso é:

( ff )(x) = f ( f ( x )) = f 2 ( x )
( fff )(x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
( ffff )(x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )

Mais geralmente, para qualquer número natural n ≥ 2 , a n - ésima potência funcional pode ser definida indutivamente por f n = ff n −1 = f n −1f , uma notação introduzida por Hans Heinrich Bürmann [ carece de fontes ] [ 10] [11] e John Frederick William Herschel . [12] [10] [13] [11] A composição repetida de tal função consigo mesma é chamada de função iterada.

  • Por convenção, f 0 é definido como o mapa de identidade no domínio de f , id X .
  • Se Y = X e f par : XX admite uma função inversa f −1 , potências funcionais negativas f n são definidas para n > 0 como a potência negada da função inversa: f n = ( f −1 ) n . [12] [10] [11]

Nota: Se f toma seus valores em um anel (em particular para f real ou de valor complexo ), há um risco de confusão, pois f n também pode representar o produto n vezes de  f , por exemplo, f 2 ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . [11] Para funções trigonométricas, geralmente o último é indicado, pelo menos para expoentes positivos. [11] Por exemplo, em trigonometria , esta notação sobrescrito representa a exponenciação padrãoquando usado com funções trigonométricas : sin 2 ( x ) = sin( x ) · sin( x ) . No entanto, para expoentes negativos (especialmente −1), ele geralmente se refere à função inversa, por exemplo, tan −1 = arctan ≠ 1/tan .

Em alguns casos, quando, para uma dada função f , a equação gg = f tem uma única solução g , essa função pode ser definida como a raiz quadrada funcional de f , então escrita como g = f 1/2 .

Mais geralmente, quando g n = f tem uma solução única para algum número natural n > 0 , então f m / n pode ser definido como g m .

Sob restrições adicionais, essa ideia pode ser generalizada para que a contagem de iteração se torne um parâmetro contínuo; neste caso, tal sistema é chamado de fluxo , especificado através de soluções da equação de Schröder . Funções e fluxos iterados ocorrem naturalmente no estudo de fractais e sistemas dinâmicos .

Para evitar ambiguidade, alguns matemáticos optam por usar para denotar o significado composicional , escrevendo fn ( x ) para a n -ésima iteração da função f ( x ) , como em, por exemplo , f ∘3 ( x ) significando f ( f ( f ( x ))) . Para o mesmo propósito, f [ n ] ( x ) foi usado por Benjamin Peirce[14] [11] enquanto Alfred Pringsheim e Jules Molk sugeriram n f ( x ) em vez disso. [15] [11] [nº 3]

Notas alternativas

Muitos matemáticos, particularmente na teoria dos grupos , omitem o símbolo de composição, escrevendo gf para gf . [16]

Em meados do século 20, alguns matemáticos decidiram que escrever " gf " para significar "primeiro aplique f , depois aplique g " era muito confuso e decidiram mudar as notações. Eles escrevem " xf " para " f ( x ) " e " ( xf ) g " para " g ( f ( x )) ". [17] Isso pode ser mais natural e parecer mais simples do que escrever funções à esquerda em algumas áreas – em álgebra linear , por exemplo,e f e g denotam matrizes e a composição é por multiplicação de matrizes . Essa notação alternativa é chamada de notação pós -fixada . A ordem é importante porque a composição da função não é necessariamente comutativa (por exemplo, multiplicação de matrizes). Transformações sucessivas aplicadas e compostas à direita concordam com a sequência de leitura da esquerda para a direita.

Os matemáticos que usam a notação pós-fixada podem escrever " fg ", significando primeiro aplicar f e depois aplicar g , de acordo com a ordem em que os símbolos ocorrem na notação pós-fixada, tornando a notação " fg " ambígua. Cientistas da computação podem escrever " f  ; g " para isso, [18] desambiguando assim a ordem de composição. Para distinguir o operador de composição à esquerda de um ponto e vírgula de texto, na notação Z o caractere ⨾ é usado para composição de relação à esquerda . [19] Como todas as funções são relações binárias, é correto usar o ponto e vírgula [fat] também para composição de funções (veja o artigo sobre composição de relações para mais detalhes sobre essa notação).

Operador de composição

Dada uma função  g , o operador de composição C g é definido como aquele operador que mapeia funções para funções como

Os operadores de composição são estudados no campo da teoria dos operadores .

Em linguagens de programação

A composição de funções aparece de uma forma ou de outra em várias linguagens de programação .

Funções multivariadas

A composição parcial é possível para funções multivariadas . A função resultante quando algum argumento x i da função f é substituído pela função g é chamada de composição de f e g em alguns contextos de engenharia da computação e é denotada por f | x i = g

Quando g é uma constante simples b , a composição degenera em uma valoração (parcial), cujo resultado também é conhecido como restrição ou cofator . [20]

Em geral, a composição de funções multivariadas pode envolver várias outras funções como argumentos, como na definição de função recursiva primitiva . Dada f , uma função n -ária, e n funções n -árias g 1 , ..., g n , a composição de f com g 1 , ..., g n , é a função m -ária

Isso às vezes é chamado de composição generalizada ou superposição de f com g 1 , ..., g n . [21] A composição parcial em apenas um argumento mencionado anteriormente pode ser instanciada a partir deste esquema mais geral, definindo todas as funções de argumento, exceto uma , como funções de projeção adequadamente escolhidas . Aqui g 1 , ..., g n pode ser visto como uma única função com valor de vetor/ tupla neste esquema generalizado, caso em que esta é precisamente a definição padrão de composição de função. [22]

Um conjunto de operações finitárias em algum conjunto base X é chamado de clone se contém todas as projeções e é fechado sob composição generalizada. Observe que um clone geralmente contém operações de várias aridades . [21] A noção de comutação também encontra uma generalização interessante no caso multivariado; diz-se que uma função f de aridade n comuta com uma função g de aridade m se f é um homomorfismo preservando g , e vice-versa ie: [21]

Uma operação unária sempre comuta consigo mesma, mas isso não é necessariamente o caso de uma operação binária (ou de maior aridade). Uma operação binária (ou maior aridade) que comuta consigo mesma é chamada de medial ou entrópica . [21]

Generalizações

A composição pode ser generalizada para relações binárias arbitrárias . Se RX × Y e SY × Z são duas relações binárias, então sua composição RS é a relação definida como {( x , z ) ∈ X × Z  : yY . ( x , y ) ∈ R ( y , z ) ∈ S }. Considerando uma função como um caso especial de uma relação binária (nomeadamente relações funcionais ), a composição da função satisfaz a definição de composição da relação. Um pequeno círculo RS foi usado para a notação infixa de composição de relações , bem como funções. Quando usado para representar a composição de funções no entanto, a sequência de texto é invertida para ilustrar as diferentes sequências de operação de acordo.

A composição é definida da mesma forma para funções parciais e o teorema de Cayley tem seu análogo chamado teorema de Wagner–Preston . [23]

A categoria de conjuntos com funções como morfismos é a categoria prototípica . Os axiomas de uma categoria são de fato inspirados nas propriedades (e também na definição) da composição de funções. [24] As estruturas dadas pela composição são axiomatizadas e generalizadas na teoria das categorias com o conceito de morfismo como a substituição teórica de categorias de funções. A ordem inversa de composição na fórmula ( f  ∘  g ) −1 = ( g −1f −1 ) se aplica à composição de relaçõesusando relações inversas e, portanto, na teoria dos grupos . Essas estruturas formam categorias de punhais .

Tipografia

O símbolo de composição é codificado como U+2218 RING OPERATOR (HTML  · ∘, ∘ ); consulte o artigo Símbolo de grau para caracteres Unicode de aparência semelhante. No TeX , está escrito .   \circ

Veja também

Notas

  1. ^ Alguns autores usam f  ∘  g  : XZ , definido por ( f  ∘  g  )( x ) = g ( f ( x )) em vez disso. Isso é comum quando se usa uma notação pós -fixada , principalmente se as funções são representadas por expoentes, como, por exemplo, no estudo de ações de grupos . Ver Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Grupos de permutação . Springer. pág. 5 . ISBN 0-387-94599-7.
  2. O sentido estrito é usado, por exemplo , na teoria das categorias , onde uma relação de subconjunto é modelada explicitamente por uma função de inclusão .
  3. ↑ A notação n f ( x ) de Alfred Pringsheim e Jules Molk (1907 )para denotar composições de funções não deve ser confundida com a notação n x de Rudolf von Bitter Rucker (1982), introduzida por Hans Maurer (1901) e Reuben Louis Goodstein (1947) para tetração , ou coma notação pré-sobrescrita n x de David Patterson Ellerman (1995) para raízes .

Referências

  1. ^ a b Velleman, Daniel J. (2006). Como Provar: Uma Abordagem Estruturada . Imprensa da Universidade de Cambridge . pág. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
  2. ^ "3.4: Composição de Funções" . Matemática LibreTexts . 2020-01-16 . Recuperado 2020-08-28 .
  3. ^ a b Weisstein, Eric W. "Composição" . mathworld.wolfram . com . Recuperado 2020-08-28 .
  4. ^ Rodgers, Nancy (2000). Aprendendo a raciocinar: uma introdução à lógica, conjuntos e relações . John Wiley & Filhos . pp. 359-362. ISBN 978-0-471-37122-9.
  5. ^ Hollings, Christopher (2014). Matemática através da cortina de ferro: uma história da teoria algébrica de semigrupos . Sociedade Americana de Matemática . pág. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
  6. ^ Grillet, Pierre A. (1995). Semigrupos: Uma Introdução à Teoria da Estrutura . Imprensa CRC . pág. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
  7. ^ Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Teoria Algébrica de Redes de Autômatos: Uma introdução . SIAM. pág. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
  8. ^ Carter, Nathan (2009-04-09). Teoria do Grupo Visual . MAA. pág. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
  9. ^ Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Semigrupos de Transformação Finita Clássica: Uma Introdução . Springer Science & Business Media . pág. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.
  10. ^ a b c Herschel, John Frederick William (1820). "Parte III. Seção I. Exemplos do Método Direto das Diferenças" . Uma coleção de exemplos das aplicações do cálculo de diferenças finitas . Cambridge, Reino Unido: Impresso por J. Smith, vendido por J. Deighton & filhos. pp. 1–13 [5–6]. Arquivado a partir do original em 2020-08-04 . Recuperado 2020-08-04 . [1] (NB. Aqui, Herschel refere-se ao seu trabalho de 1813 e menciona o trabalho mais antigo de Hans Heinrich Bürmann .)
  11. ^ a b c d e f g Cajori, Florian (1952) [março de 1929]. "§472. A potência de um logaritmo / §473. Logaritmos iterados / §533. Notação de John Herschel para funções inversas / §535. Persistência de notações rivais para funções inversas / §537. Potências de funções trigonométricas". Uma história de notações matemáticas . Vol. 2 (3ª impressão corrigida da edição de 1929, 2ª ed.). Chicago, EUA: Editora de tribunal aberto . pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Recuperado 2016-01-18 . […] §473. Logaritmos iterados […] Notamos aqui o simbolismo usado por Pringsheim e Molk em seu artigo conjunto na Encyclopédie : " 2 log b a = log b (log b a ), ..., k +1 log b a = log b ( k log b um )." [a] […] §533. Notação de John Herschel para funções inversas, sen −1 x , tan −1x , etc., foi publicado por ele no Philosophical Transactions of London , para o ano de 1813. Ele diz ( p. 10 ): "Esta notação cos. -1 e não deve ser entendida como significando 1/cos.  e , mas o que normalmente se escreve assim, arc (cos.= e )." Ele admite que alguns autores usam cos. m A para (cos.  A ) m , mas ele justifica sua própria notação apontando que como d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x significa dd x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  x, devemos escrever pecado. 2 x para o pecado. pecado. x , log. 3 x para registro. registro. registro. x . Assim como escrevemos d n  V=∫ n  V, podemos escrever de forma semelhante sin. −1 x =arco (sen.= x ), log. −1 x .=c ​​x . Alguns anos depois, Herschel explicou que em 1813 ele usou f n ( x ), f n ( x ), sin. −1 x , etc., "como ele então supôs pela primeira vez. O trabalho de um analista alemão,Burmann , no entanto, nestes poucos meses chegou ao seu conhecimento, no qual o mesmo é explicado em uma data consideravelmente anterior. Ele [Burmann], no entanto, não parece ter notado a conveniência de aplicar essa ideia às funções inversas tan −1 , etc., nem parece estar ciente do cálculo inverso de funções a que dá origem. Herschel acrescenta: “A simetria dessa notação e, sobretudo, as novas e mais extensas visões que ela abre sobre a natureza das operações analíticas parecem autorizar sua adoção universal.” [b] […] § 535. Persistência de notações rivais para função inversa . — […] O uso da notação de Herschel sofreu uma ligeira mudança em Benjamin Peircelivros de, para remover a principal objeção a eles; Peirce escreveu: "cos [−1] x ," "log [−1] x ." [c] […] §537. Potências de funções trigonométricas. —Três notações principais têm sido usadas para denotar, digamos, o quadrado de sen  x , a saber, (sen  x ) 2 , sen  x 2 , sen 2 x . A notação predominante no momento é sin 2 x , embora a primeira seja menos provável de ser mal interpretada. No caso do pecado 2 x duas interpretações se sugerem; primeiro, sen  x · sen  x; segundo, [d] sen (sen  x ). Como funções do último tipo não se apresentam normalmente, o perigo de má interpretação é muito menor do que no caso de log 2 x , onde log  x · log  x e ​​log (log  x ) são de ocorrência frequente na análise. […] A notação sen n x para (sen  x ) n tem sido amplamente utilizada e agora é a que prevalece. […](xviii+367+1 páginas, incluindo 1 página de adenda) (NB. ISBN e link para reimpressão da 2ª edição por Cosimo, Inc., Nova York, EUA, 2013.)
  12. ^ a b Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "Em uma aplicação notável do teorema de Cotes" . Transações filosóficas da Royal Society de Londres . Londres: Royal Society of London , impresso por W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, vendido por G. e W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Parte 1): 8–26 [10]. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .  
  13. ^ Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (em francês). Vol. 4. pág. 229.
  14. ^ Peirce, Benjamin (1852). Curvas, Funções e Forças . Vol. I (nova ed.). Boston, EUA. pág. 203.
  15. ^ Pringsheim, Alfred ; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (em francês). Vol. I. p. 195. Parte I.
  16. ^ Ivanov, Oleg A. (2009-01-01). Fazendo a matemática ganhar vida: um guia para professores e alunos . Sociedade Americana de Matemática . pág. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
  17. ^ Gallier, Jean (2011). Matemática Discreta . Springer. pág. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.
  18. ^ Barr, Michael; Wells, Charles (1998). Teoria da Categoria para Ciência da Computação (PDF) . pág. 6. Arquivado a partir do original (PDF) em 2016-03-04 . Recuperado em 23/08/2014 . (NB. Esta é a versão atualizada e gratuita do livro originalmente publicado pela Prentice Hall em 1990 como ISBN 978-0-13-120486-7 .) 
  19. ^ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
  20. ^ Bryant, RE (agosto de 1986). "Algoritmos de Minimização Lógica para Síntese VLSI" (PDF) . Transações IEEE em Computadores . C-35 (8): 677-691. doi : 10.1109/tc.1986.1676819 . S2CID 10385726 .  
  21. ^ a b c d Bergman, Clifford (2011). Álgebra Universal: Fundamentos e Tópicos Selecionados . Imprensa CRC . págs.  79-80 , 90-91 . ISBN 978-1-4398-5129-6.
  22. ^ Tourlakis, George (2012). Teoria da Computação . John Wiley & Filhos . pág. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
  23. ^ Lipscomb, S. (1997). Semigrupos Inversos Simétricos . AMS Levantamentos e Monografias Matemáticas. pág. xv. ISBN 0-8218-0627-0.
  24. ^ Hilton, Peter; Wu, Yel-Chiang (1989). Um Curso de Álgebra Moderna . John Wiley & Filhos . pág. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

Links externos