Projeto do filtro

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Projeto de filtro é o processo de projetar um filtro de processamento de sinal que satisfaça um conjunto de requisitos, alguns dos quais podem ser conflitantes. O objetivo é encontrar uma realização do filtro que atenda a cada um dos requisitos em um grau suficiente para torná-lo útil.

O processo de projeto de filtros pode ser descrito como um problema de otimização onde cada requisito contribui para uma função de erro que deve ser minimizada. Certas partes do processo de projeto podem ser automatizadas, mas normalmente é necessário um engenheiro elétrico experiente para obter um bom resultado.

O design de filtros digitais é um tópico enganosamente complexo. [1] Embora os filtros sejam facilmente compreendidos e calculados, os desafios práticos de seu projeto e implementação são significativos e são objeto de pesquisas avançadas.

Requisitos de projeto típicos [ editar ]

Os requisitos típicos que são considerados no processo de projeto são:

A função de frequência [ editar ]

Um parâmetro importante é a resposta de freqüência necessária . Em particular, a inclinação e a complexidade da curva de resposta são fatores decisivos para a ordem e viabilidade do filtro.

Um filtro recursivo de primeira ordem terá apenas um único componente dependente de frequência. Isso significa que a inclinação da resposta de freqüência é limitada a 6 dB por oitava . Para muitos propósitos, isso não é suficiente. Para obter inclinações mais íngremes, são necessários filtros de ordem superior.

Em relação à função de frequência desejada, também pode haver uma função de ponderação acompanhante , que descreve, para cada frequência, quão importante é que a função de frequência resultante se aproxime da desejada. Quanto maior o peso, mais importante é uma aproximação.

Exemplos típicos de função de frequência são:

  • Um filtro passa-baixa é usado para cortar sinais de alta frequência indesejados.
  • Um filtro passa-altas passa muito bem as altas frequências; é útil como filtro para cortar quaisquer componentes indesejados de baixa frequência.
  • Um filtro passa-faixa passa por uma faixa limitada de frequências.
  • Um filtro de parada de banda passa frequências acima e abaixo de um determinado intervalo. Um filtro de parada de banda muito estreito é conhecido como filtro notch.
  • Um diferenciador tem uma resposta de amplitude proporcional à frequência.
  • Um filtro de prateleira baixa passa todas as frequências, mas aumenta ou reduz as frequências abaixo da frequência de prateleira em uma quantidade especificada.
  • Um filtro de prateleira alta passa todas as frequências, mas aumenta ou reduz as frequências acima da frequência de prateleira em uma quantidade especificada.
  • Um filtro EQ de pico faz um pico ou uma queda na resposta de frequência, comumente usado em equalizadores paramétricos .

Atraso de fase e grupo [ editar ]

  • Um filtro passa-tudo passa por todas as frequências inalteradas, mas altera a fase do sinal. Filtros desse tipo podem ser usados ​​para equalizar o atraso do grupo de filtros recursivos. Este filtro também é usado em efeitos phaser .
  • Um transformador de Hilbert é um filtro passa-tudo específico que passa por senoides com amplitude inalterada, mas desloca cada fase da senoide em ±90°.
  • Um filtro de atraso fracionário é um passa-tudo que possui um atraso de fase ou grupo especificado e constante para todas as frequências.

A resposta ao impulso [ editar ]

Existe uma correspondência direta entre a função de frequência do filtro e sua resposta ao impulso: a primeira é a transformada de Fourier da segunda. Isso significa que qualquer requisito na função de frequência é um requisito na resposta ao impulso e vice-versa.

No entanto, em certas aplicações, pode ser a resposta ao impulso do filtro que é explícita e o processo de design visa produzir uma aproximação o mais próxima possível da resposta ao impulso solicitada, considerando todos os outros requisitos.

Em alguns casos pode até ser relevante considerar uma função de frequência e resposta ao impulso do filtro que são escolhidas independentemente uma da outra. Por exemplo, podemos querer tanto uma função de frequência específica do filtro quanto que o filtro resultante tenha uma pequena largura efetiva no domínio do sinal possível. A última condição pode ser realizada considerando uma função muito estreita como a resposta ao impulso desejada do filtro, embora esta função não tenha relação com a função de frequência desejada. O objetivo do processo de design é então realizar um filtro que tente atender a esses dois objetivos de design contraditórios tanto quanto possível.

Causalidade [ editar ]

Para ser implementável, qualquer filtro dependente do tempo (operando em tempo real) deve ser causal : a resposta do filtro depende apenas das entradas atuais e passadas. Uma abordagem padrão é deixar esse requisito para a etapa final. Se o filtro resultante não for causal, ele pode se tornar causal introduzindo um deslocamento de tempo (ou atraso) apropriado. Se o filtro fizer parte de um sistema maior (o que normalmente é), esses tipos de atrasos devem ser introduzidos com cuidado, pois afetam a operação de todo o sistema.

Filtros que não operam em tempo real (por exemplo, para processamento de imagem) podem ser não causais. Isso, por exemplo, permite o projeto de filtros recursivos de atraso zero, onde o atraso de grupo de um filtro causal é cancelado por seu filtro não causal Hermitiano.

Estabilidade [ editar ]

Um filtro estável garante que cada sinal de entrada limitado produza uma resposta de filtro limitada. Um filtro que não cumpra este requisito pode, em algumas situações, revelar-se inútil ou mesmo prejudicial. Certas abordagens de projeto podem garantir estabilidade, por exemplo, usando apenas circuitos de alimentação direta, como um filtro FIR. Por outro lado, filtros baseados em circuitos de realimentação têm outras vantagens e podem, portanto, ser preferidos, mesmo que essa classe de filtros inclua filtros instáveis. Neste caso, os filtros devem ser cuidadosamente projetados para evitar instabilidade.

Localidade [ editar ]

Em certas aplicações, temos que lidar com sinais que contêm componentes que podem ser descritos como fenômenos locais, por exemplo, pulsos ou etapas, que possuem certa duração de tempo. Uma consequência da aplicação de um filtro a um sinal é, em termos intuitivos, que a duração dos fenômenos locais é estendida pela largura do filtro. Isso implica que às vezes é importante manter a largura da função de resposta ao impulso do filtro o mais curta possível.

De acordo com a relação de incerteza da transformada de Fourier, o produto da largura da função de resposta ao impulso do filtro e a largura de sua função de frequência deve exceder uma certa constante. Isso significa que qualquer requisito sobre a localidade do filtro também implica um limite na largura de sua função de frequência. Consequentemente, pode não ser possível atender simultaneamente aos requisitos da localização da função de resposta ao impulso do filtro, bem como da sua função de frequência. Este é um exemplo típico de requisitos contraditórios.

Complexidade computacional [ editar ]

Um desejo geral em qualquer projeto é que o número de operações (adições e multiplicações) necessárias para calcular a resposta do filtro seja o menor possível. Em certas aplicações, esse desejo é um requisito estrito, por exemplo, devido a recursos computacionais limitados, recursos de energia limitados ou tempo limitado. A última limitação é típica em aplicações de tempo real.

Existem várias maneiras pelas quais um filtro pode ter diferentes complexidades computacionais. Por exemplo, a ordem de um filtro é mais ou menos proporcional ao número de operações. Isso significa que, ao escolher um filtro de baixa ordem, o tempo de computação pode ser reduzido.

Para filtros discretos a complexidade computacional é mais ou menos proporcional ao número de coeficientes do filtro. Se o filtro tiver muitos coeficientes, por exemplo no caso de sinais multidimensionais como dados de tomografia, pode ser relevante reduzir o número de coeficientes removendo aqueles que são suficientemente próximos de zero. Em filtros multitaxa, o número de coeficientes, aproveitando seus limites de largura de banda, onde o sinal de entrada é reduzido (por exemplo, para sua frequência crítica) e aumentado após a filtragem.

Outra questão relacionada à complexidade computacional é a separabilidade, ou seja, se e como um filtro pode ser escrito como uma convolução de dois ou mais filtros mais simples. Em particular, esta questão é importante para filtros multidimensionais, por exemplo, filtros 2D que são usados ​​no processamento de imagens. Neste caso, uma redução significativa na complexidade computacional pode ser obtida se o filtro puder ser separado como a convolução de um filtro 1D na direção horizontal e um filtro 1D na direção vertical. Um resultado do processo de projeto do filtro pode ser, por exemplo, aproximar algum filtro desejado como um filtro separável ou como uma soma de filtros separáveis.

Outras considerações [ editar ]

Também deve ser decidido como o filtro será implementado:

Filtros analógicos [ editar ]

O projeto de filtros analógicos lineares é, em sua maior parte, coberto na seção de filtros lineares .

Filtros digitais [ editar ]

Os filtros digitais são classificados em uma das duas formas básicas, de acordo com a forma como respondem a um impulso unitário :

  • Os filtros de resposta ao impulso finito , ou FIR , expressam cada amostra de saída como uma soma ponderada das últimas N amostras de entrada, onde N é a ordem do filtro. Os filtros FIR normalmente não são recursivos, o que significa que não usam feedback e, como tal, são inerentemente estáveis. Um filtro de média móvel ou filtro CIC são exemplos de filtros FIR que normalmente são recursivos (que usam feedback). Se os coeficientes FIR são simétricos (muitas vezes o caso), então tal filtro é fase linear , então ele atrasasinais de todas as frequências igualmente, o que é importante em muitas aplicações. Também é simples evitar overflow em um filtro FIR. A principal desvantagem é que eles podem exigir significativamente mais recursos de processamento e memória do que as variantes IIR projetadas de forma inteligente. Filtros FIR são geralmente mais fáceis de projetar do que filtros IIR - o algoritmo de projeto de filtro Parks-McClellan (baseado no algoritmo de Remez ) é um método adequado para projetar filtros muito bons semiautomaticamente. (Veja Metodologia .)
  • Os filtros de resposta ao impulso infinito , ou IIR , são a contrapartida digital dos filtros analógicos. Tal filtro contém o estado interno, e a saída e o próximo estado interno são determinados por uma combinação linear das entradas e saídas anteriores (em outras palavras, eles usam feedback , o que os filtros FIR normalmente não usam). Em teoria, a resposta ao impulso de tal filtro nunca desaparece completamente, daí o nome IIR, embora na prática isso não seja verdade, dada a resolução finita da aritmética computacional. Os filtros IIR normalmente requerem menos recursos de computação do que um filtro FIR de desempenho semelhante. No entanto, devido ao feedback, filtros IIR de alta ordem podem apresentar problemas de instabilidade ,estouro aritmético e ciclos de limite , e requerem um projeto cuidadoso para evitar tais armadilhas. Além disso, uma vez que a mudança de fase é inerentemente uma função não linear da frequência, o atraso de tempo através de tal filtro é dependente da frequência, o que pode ser um problema em muitas situações. Os filtros IIR de 2ª ordem são frequentemente chamados de ' biquads ' e uma implementação comum de filtros de ordem superior é a cascata de biquads. Uma referência útil para calcular coeficientes biquad é o RBJ Audio EQ Cookbook .

Taxa de amostragem [ editar ]

A menos que a taxa de amostragem seja fixada por alguma restrição externa, selecionar uma taxa de amostragem adequada é uma importante decisão de projeto. Uma taxa alta exigirá mais em termos de recursos computacionais, mas menos em termos de filtros anti-aliasing . Interferência e batimentos com outros sinais no sistema também podem ser um problema.

Anti-aliasing [ editar ]

Para qualquer projeto de filtro digital, é crucial analisar e evitar efeitos de aliasing . Muitas vezes, isso é feito adicionando filtros anti-aliasing analógicos na entrada e na saída, evitando assim qualquer componente de frequência acima da frequência de Nyquist . A complexidade (ou seja, inclinação) de tais filtros depende da relação sinal-ruído necessária e da relação entre a taxa de amostragem e a frequência mais alta do sinal.

Base teórica [ editar ]

Partes do problema de projeto estão relacionadas ao fato de que certos requisitos são descritos no domínio da frequência enquanto outros são expressos no domínio do tempo e que podem entrar em conflito. Por exemplo, não é possível obter um filtro que tenha uma resposta ao impulso arbitrária e uma função de frequência arbitrária. Outros efeitos que se referem às relações entre o domínio do tempo e da frequência são

  • O princípio da incerteza entre os domínios do tempo e da frequência
  • O teorema da extensão da variância
  • O comportamento assintótico de um domínio versus descontinuidades no outro

O princípio da incerteza [ editar ]

Conforme declarado pelo limite de Gabor , um princípio de incerteza, o produto da largura da função de frequência e a largura da resposta ao impulso não pode ser menor que uma constante específica. Isso implica que, se for solicitada uma função de frequência específica, correspondente a uma largura de frequência específica, a largura mínima do filtro no domínio do sinal é definida. Vice-versa, se a largura máxima da resposta for fornecida, isso determina a menor largura possível na frequência. Este é um exemplo típico de requisitos contraditórios em que o processo de projeto do filtro pode tentar encontrar um compromisso útil.

O teorema da extensão da variância [ editar ]

Deixarseja a variância do sinal de entrada e sejaseja a variância do filtro. A variação da resposta do filtro,, é então dado por

=+

Isso significa quee implica que a localização de vários recursos, como pulsos ou etapas na resposta do filtro, é limitada pela largura do filtro no domínio do sinal. Se for solicitada uma localização precisa, precisamos de um filtro de pequena largura no domínio do sinal e, pelo princípio da incerteza, sua largura no domínio da frequência não pode ser arbitrariamente pequena.

Descontinuidades versus comportamento assintótico [ editar ]

Seja f(t) uma função e sejaseja sua transformada de Fourier. Existe um teorema que afirma que se a primeira derivada de F que é descontínua tem ordem, então f tem um decaimento assintótico como.

Uma consequência deste teorema é que a função de frequência de um filtro deve ser tão suave quanto possível para permitir que sua resposta ao impulso tenha um decaimento rápido e, portanto, uma largura curta.

Metodologia [ editar ]

Um método comum para projetar filtros FIR é o algoritmo de projeto de filtro Parks-McClellan , baseado no algoritmo de troca de Remez . Aqui o usuário especifica uma resposta de frequência desejada, uma função de ponderação para erros desta resposta e uma ordem de filtro N . O algoritmo então encontra o conjunto de N coeficientes que minimizam o desvio máximo do ideal. Intuitivamente, isso encontra o filtro que está o mais próximo possível da resposta desejada, uma vez que você pode usar apenas N coeficientes. Este método é particularmente fácil na prática e pelo menos um texto [2] inclui um programa que pega o filtro desejado e Ne retorna os coeficientes ótimos. Uma possível desvantagem dos filtros projetados dessa maneira é que eles contêm muitas pequenas ondulações na(s) banda(s) de passagem, pois esse filtro minimiza o erro de pico.

Outro método para encontrar um filtro FIR discreto é a otimização do filtro descrita em Knutsson et al., que minimiza a integral do quadrado do erro, em vez de seu valor máximo. Em sua forma básica, esta abordagem requer que uma função de frequência ideal do filtroé especificado junto com uma função de ponderação de frequênciae conjunto de coordenadasno domínio do sinal onde os coeficientes do filtro estão localizados.

Uma função de erroé definido como

Ondeé o filtro discreto eé a transformada de Fourier em tempo discreto definida no conjunto de coordenadas especificado. A norma aqui utilizada é, formalmente, a norma usual sobreespaços. Isso significa quemede o desvio entre a função de frequência solicitada do filtro,, e a função de frequência real do filtro realizado,. No entanto, o desvio também está sujeito à função de ponderaçãoantes que a função de erro seja calculada.

Uma vez estabelecida a função de erro, o filtro ótimo é dado pelos coeficientesque minimizam. Isso pode ser feito resolvendo o problema dos mínimos quadrados correspondente. Na prática, onorma tem que ser aproximada por meio de uma soma adequada sobre pontos discretos no domínio da frequência. Em geral, no entanto, esses pontos devem ser significativamente maiores que o número de coeficientes no domínio do sinal para obter uma aproximação útil.

Otimização simultânea em ambos os domínios [ editar ]

O método anterior pode ser estendido para incluir um termo de erro adicional relacionado a uma resposta de impulso de filtro desejada no domínio do sinal, com uma função de ponderação correspondente. A resposta ao impulso ideal pode ser escolhida independentemente da função de frequência ideal e é na prática usada para limitar a largura efetiva e remover efeitos de toque do filtro resultante no domínio do sinal. Isso é feito escolhendo uma função de resposta ao impulso do filtro ideal estreito, por exemplo, um impulso, e uma função de ponderação que cresce rapidamente com a distância da origem, por exemplo, a distância ao quadrado. O filtro ótimo ainda pode ser calculado resolvendo um problema simples de mínimos quadrados e o filtro resultante é então um "compromisso" que tem um ajuste ótimo total para as funções ideais em ambos os domínios.

Veja também [ editar ]

Referências [ editar ]

  1. ^ Valdez, ME "Filtros Digitais" . Redes GRM . Recuperado em 13 de julho de 2020 .
  2. Rabiner, Lawrence R. e Gold, Bernard, 1975: Teoria e Aplicação do Processamento de Sinal Digital (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4 
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  • A. Antoniou (2006). Processamento Digital de Sinais: Sinais, Sistemas e Filtros . McGraw-Hill, Nova York, NY. doi : 10.1036/0071454241 . ISBN 978-0-07-145424-7.
  • SWA Bergen; A. Antoniou (2005). "Projeto de Filtros Digitais Não Recursivos Usando a Função de Janela Ultrasférica" ​​. Revista EURASIP sobre Processamento Aplicado de Sinais . 2005 (12): 1910. doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
  • AG Deczky (outubro de 1972). "Síntese de filtros digitais recursivos usando o critério mínimo de p-erro". Trans. IEEE Audio Eletroacústica . AU-20 (4): 257–263. doi : 10.1109/TAU.1972.1162392 .
  • JK Kaiser (1974). "Projeto de filtro digital não recursivo usando a função de janela I 0 -sinh". Proc. 1974 IEEE Int. Sintoma Teoria dos Circuitos (ISCAS74) . São Francisco, CA. págs. 20-23.
  • H. Knutsson; M. Andersson; J. Wiklund (junho de 1999). "Projeto de filtro avançado". Proc. Simpósio Escandinavo sobre Análise de Imagens, Kangerlussuaq, Groenlândia .
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  • LR Rabiner; JH McClellan; TW Parks (abril de 1975). "Técnicas de design de filtro digital FIR usando aproximação Chebyshev ponderada". Proc. IEEE . 63 (4): 595-610. doi : 10.1109/PROC.1975.9794 .

Links externos [ editar ]