Equação

Em matemática , uma equação é uma fórmula matemática que expressa a igualdade de duas expressões , conectando-as com o sinal de igual = . [2] [3] A palavra equação e seus cognatos em outras línguas podem ter significados sutilmente diferentes; por exemplo, em francês, uma equação é definida como contendo uma ou mais variáveis , enquanto em inglês , qualquer fórmula bem formada que consiste em duas expressões relacionadas com um sinal de igual é uma equação. [4]
Resolver uma equação contendo variáveis consiste em determinar quais valores das variáveis tornam a igualdade verdadeira. As variáveis para as quais a equação tem que ser resolvida também são chamadas de incógnitas , e os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade são chamados de soluções da equação. Existem dois tipos de equações: identidades e equações condicionais. Uma identidade é verdadeira para todos os valores das variáveis. Uma equação condicional é verdadeira apenas para valores particulares das variáveis. [5] [6]
O símbolo “ = ”, que aparece em todas as equações, foi inventado em 1557 por Robert Recorde , que considerou que nada poderia ser mais igual do que retas paralelas com o mesmo comprimento. [1]
Descrição
Uma equação é escrita como duas expressões , conectadas por um sinal de igual ("="). [2] As expressões nos dois lados do sinal de igual são chamadas de "lado esquerdo" e "lado direito" da equação. Muitas vezes, o lado direito de uma equação é assumido como zero. Isso não reduz a generalidade, pois isso pode ser realizado subtraindo o lado direito de ambos os lados.
O tipo mais comum de equação é uma equação polinomial (comumente chamada também de equação algébrica ) na qual os dois lados são polinômios . Os lados de uma equação polinomial contêm um ou mais termos . Por exemplo, a equação
tem lado esquerdo , que tem quatro termos, e lado direito , consistindo de apenas um termo. Os nomes das variáveis sugerem que x e y são incógnitas, e que A , B e C são parâmetros , mas isso normalmente é fixado pelo contexto (em alguns contextos, y pode ser um parâmetro, ou A , B e C podem ser variáveis comuns).
Uma equação é análoga a uma balança na qual pesos são colocados. Quando pesos iguais de algo (por exemplo, grãos) são colocados nos dois pratos, os dois pesos fazem com que a balança fique em equilíbrio e são ditos iguais. Se uma quantidade de grãos for removida de um prato da balança, uma quantidade igual de grãos deve ser removida do outro prato para manter a balança em equilíbrio. Mais geralmente, uma equação permanece em equilíbrio se a mesma operação for realizada em ambos os lados.
Propriedades
Duas equações ou dois sistemas de equações são equivalentes , se eles têm o mesmo conjunto de soluções. As seguintes operações transformam uma equação ou um sistema de equações em um equivalente – desde que as operações sejam significativas para as expressões às quais são aplicadas:
- Adicionar ou subtrair a mesma quantidade em ambos os lados de uma equação. Isso mostra que toda equação é equivalente a uma equação em que o lado direito é zero.
- Multiplicar ou dividir ambos os lados de uma equação por uma quantidade diferente de zero.
- Aplicar uma identidade para transformar um lado da equação. Por exemplo, expandir um produto ou fatorar uma soma.
- Para um sistema: adicionar a ambos os lados de uma equação o lado correspondente de outra equação, multiplicado pela mesma quantidade.
Se alguma função for aplicada a ambos os lados de uma equação, a equação resultante tem as soluções da equação inicial entre suas soluções, mas pode ter soluções adicionais chamadas soluções estranhas . Por exemplo, a equação tem a solução Elevar ambos os lados ao expoente de 2 (o que significa aplicar a função a ambos os lados da equação) muda a equação para , que não só tem a solução anterior, mas também introduz a solução estranha, Além disso, se a função não for definida em alguns valores (como 1/ x , que não é definido para x = 0), soluções existentes nesses valores podem ser perdidas. Portanto, deve-se ter cautela ao aplicar tal transformação a uma equação.
As transformações acima são a base da maioria dos métodos elementares para resolução de equações , bem como alguns menos elementares, como a eliminação gaussiana .
Exemplos
Ilustração análoga

Uma equação é análoga a uma balança , balança ou gangorra .
Cada lado da equação corresponde a um lado da balança. Quantidades diferentes podem ser colocadas em cada lado: se os pesos dos dois lados forem iguais, a balança se equilibra, e em analogia, a igualdade que representa a balança também se equilibra (se não, então a falta de equilíbrio corresponde a uma desigualdade representada por uma inequação ).
Na ilustração, x , y e z são todas quantidades diferentes (neste caso, números reais ) representadas como pesos circulares, e cada um de x , y e z tem um peso diferente. A adição corresponde a adicionar peso, enquanto a subtração corresponde a remover peso do que já está lá. Quando a igualdade se mantém, o peso total em cada lado é o mesmo.
Parâmetros e incógnitas
As equações geralmente contêm termos diferentes das incógnitas. Esses outros termos, que são assumidos como conhecidos , são geralmente chamados de constantes , coeficientes ou parâmetros .
Um exemplo de uma equação envolvendo x e y como incógnitas e o parâmetro R é
Quando R é escolhido para ter o valor de 2 ( R = 2), essa equação seria reconhecida em coordenadas cartesianas como a equação para o círculo de raio 2 ao redor da origem. Portanto, a equação com R não especificado é a equação geral para o círculo.
Normalmente, as incógnitas são denotadas por letras no final do alfabeto, x , y , z , w , ..., enquanto os coeficientes (parâmetros) são denotados por letras no início, a , b , c , d , .... Por exemplo, a equação quadrática geral é geralmente escrita ax 2 + bx + c = 0.
O processo de encontrar as soluções, ou, no caso de parâmetros, expressar as incógnitas em termos dos parâmetros, é chamado de resolução da equação . Tais expressões das soluções em termos dos parâmetros também são chamadas de soluções .
Um sistema de equações é um conjunto de equações simultâneas , geralmente em várias incógnitas para as quais as soluções comuns são procuradas. Assim, uma solução para o sistema é um conjunto de valores para cada uma das incógnitas, que juntas formam uma solução para cada equação no sistema. Por exemplo, o sistema
tem a solução única x = −1, y = 1.
Identidades
Uma identidade é uma equação que é verdadeira para todos os valores possíveis da(s) variável(eis) que ela contém. Muitas identidades são conhecidas em álgebra e cálculo. No processo de resolução de uma equação, uma identidade é frequentemente usada para simplificar uma equação, tornando-a mais facilmente solucionável.
Em álgebra, um exemplo de identidade é a diferença de dois quadrados :
o que é verdade para todos os x e y .
Trigonometria é uma área onde muitas identidades existem; elas são úteis para manipular ou resolver equações trigonométricas . Duas das muitas que envolvem as funções seno e cosseno são:
e
que são ambos verdadeiros para todos os valores de θ .
Por exemplo, para resolver o valor de θ que satisfaz a equação:
onde θ é limitado entre 0 e 45 graus, pode-se usar a identidade acima para o produto para obter:
produzindo a seguinte solução para θ:
Como a função seno é uma função periódica , há infinitas soluções se não houver restrições em θ . Neste exemplo, restringir θ para estar entre 0 e 45 graus restringiria a solução a apenas um número.
Álgebra
A álgebra estuda duas famílias principais de equações: equações polinomiais e, entre elas, o caso especial das equações lineares . Quando há apenas uma variável, as equações polinomiais têm a forma P ( x ) = 0, onde P é um polinômio , e as equações lineares têm a forma ax + b = 0, onde a e b são parâmetros . Para resolver equações de qualquer família, usa-se técnicas algorítmicas ou geométricas que se originam da álgebra linear ou da análise matemática . A álgebra também estuda equações diofantinas onde os coeficientes e soluções são inteiros . As técnicas usadas são diferentes e vêm da teoria dos números . Essas equações são difíceis em geral; muitas vezes, busca-se apenas para encontrar a existência ou ausência de uma solução e, se existirem, contar o número de soluções.
Equações polinomiais

Em geral, uma equação algébrica ou equação polinomial é uma equação da forma
- , ou
- [um]
onde P e Q são polinômios com coeficientes em algum campo (por exemplo, números racionais , números reais , números complexos ). Uma equação algébrica é univariada se envolve apenas uma variável . Por outro lado, uma equação polinomial pode envolver várias variáveis, caso em que é chamada multivariada (várias variáveis, x, y, z, etc.).
Por exemplo,
é uma equação algébrica (polinomial) univariada com coeficientes inteiros e
é uma equação polinomial multivariada sobre números racionais.
Algumas equações polinomiais com coeficientes racionais têm uma solução que é uma expressão algébrica , com um número finito de operações envolvendo apenas esses coeficientes (ou seja, podem ser resolvidas algebricamente ). Isso pode ser feito para todas essas equações de grau um, dois, três ou quatro; mas equações de grau cinco ou mais nem sempre podem ser resolvidas dessa forma, como o teorema de Abel–Ruffini demonstra.
Uma grande quantidade de pesquisa foi dedicada a calcular aproximações eficientemente precisas das soluções reais ou complexas de uma equação algébrica univariada (veja Encontrando raízes de polinômios ) e das soluções comuns de várias equações polinomiais multivariadas (veja Sistema de equações polinomiais ).
Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares (ou sistema linear ) é uma coleção de equações lineares envolvendo uma ou mais variáveis . [b] Por exemplo,
é um sistema de três equações nas três variáveis x , y , z . Uma solução para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis de modo que todas as equações sejam satisfeitas simultaneamente. Uma solução para o sistema acima é dada por
já que torna todas as três equações válidas. A palavra " sistema " indica que as equações devem ser consideradas coletivamente, em vez de individualmente.
Em matemática, a teoria de sistemas lineares é uma parte fundamental da álgebra linear , um assunto que é usado em muitas partes da matemática moderna. Algoritmos computacionais para encontrar as soluções são uma parte importante da álgebra linear numérica e desempenham um papel proeminente na física , engenharia , química , ciência da computação e economia . Um sistema de equações não lineares pode frequentemente ser aproximado por um sistema linear (veja linearização ), uma técnica útil ao fazer um modelo matemático ou simulação de computador de um sistema relativamente complexo.
Geometria
Geometria analítica

Na geometria euclidiana , é possível associar um conjunto de coordenadas a cada ponto no espaço, por exemplo, por uma grade ortogonal. Este método permite caracterizar figuras geométricas por equações. Um plano no espaço tridimensional pode ser expresso como o conjunto solução de uma equação da forma , onde e são números reais e são as incógnitas que correspondem às coordenadas de um ponto no sistema dado pela grade ortogonal. Os valores são as coordenadas de um vetor perpendicular ao plano definido pela equação. Uma reta é expressa como a intersecção de dois planos, ou seja, como o conjunto solução de uma única equação linear com valores em ou como o conjunto solução de duas equações lineares com valores em
Uma seção cônica é a interseção de um cone com equação e um plano. Em outras palavras, no espaço, todas as cônicas são definidas como o conjunto solução de uma equação de um plano e da equação de um cone recém-dada. Esse formalismo permite determinar as posições e as propriedades dos focos de uma cônica.
O uso de equações permite que se recorra a uma grande área da matemática para resolver questões geométricas. O sistema de coordenadas cartesianas transforma um problema geométrico em um problema de análise, uma vez que as figuras são transformadas em equações; daí o nome geometria analítica . Esse ponto de vista, delineado por Descartes , enriquece e modifica o tipo de geometria concebido pelos antigos matemáticos gregos.
Atualmente, a geometria analítica designa um ramo ativo da matemática. Embora ainda use equações para caracterizar figuras, ela também usa outras técnicas sofisticadas, como análise funcional e álgebra linear .
Equações cartesianas

Na geometria cartesiana , equações são usadas para descrever figuras geométricas . Como as equações que são consideradas, como equações implícitas ou equações paramétricas , têm infinitas soluções, o objetivo agora é diferente: em vez de dar as soluções explicitamente ou contá-las, o que é impossível, usa-se equações para estudar propriedades de figuras. Esta é a ideia inicial da geometria algébrica , uma área importante da matemática.
Pode-se usar o mesmo princípio para especificar a posição de qualquer ponto no espaço tridimensional usando três coordenadas cartesianas, que são as distâncias assinadas para três planos mutuamente perpendiculares (ou, equivalentemente, por sua projeção perpendicular em três linhas mutuamente perpendiculares).
A invenção das coordenadas cartesianas no século XVII por René Descartes revolucionou a matemática ao fornecer o primeiro elo sistemático entre a geometria euclidiana e a álgebra . Usando o sistema de coordenadas cartesianas, formas geométricas (como curvas ) podem ser descritas por equações cartesianas: equações algébricas envolvendo as coordenadas dos pontos situados na forma. Por exemplo, um círculo de raio 2 em um plano, centrado em um ponto específico chamado origem, pode ser descrito como o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas x e y satisfazem a equação x 2 + y 2 = 4 .
Equações paramétricas
Uma equação paramétrica para uma curva expressa as coordenadas dos pontos da curva como funções de uma variável , chamada parâmetro . [7] [8] Por exemplo,
são equações paramétricas para o círculo unitário , onde t é o parâmetro. Juntas, essas equações são chamadas de representação paramétrica da curva.
A noção de equação paramétrica foi generalizada para superfícies , variedades e variedades algébricas de dimensão superior , com o número de parâmetros sendo igual à dimensão da variedade ou variedade, e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço no qual a variedade ou variedade é considerada (para curvas a dimensão é um e um parâmetro é usado, para superfícies a dimensão dois e dois parâmetros, etc.).
Teoria dos números
Equações diofantinas
Uma equação diofantina é uma equação polinomial em duas ou mais incógnitas para as quais apenas as soluções inteiras são procuradas (uma solução inteira é uma solução tal que todas as incógnitas assumem valores inteiros). Uma equação diofantina linear é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um. Um exemplo de equação diofantina linear é ax + by = c onde a , b , e c são constantes. Uma equação diofantina exponencial é aquela para a qual os expoentes dos termos da equação podem ser incógnitas.
Problemas diofantinos têm menos equações do que variáveis desconhecidas e envolvem encontrar inteiros que funcionam corretamente para todas as equações. Em linguagem mais técnica, eles definem uma curva algébrica , superfície algébrica ou objeto mais geral, e perguntam sobre os pontos de rede nele.
A palavra Diofantino se refere ao matemático helenístico do século III, Diofanto de Alexandria , que fez um estudo dessas equações e foi um dos primeiros matemáticos a introduzir o simbolismo na álgebra . O estudo matemático dos problemas diofantinos que Diofanto iniciou é agora chamado de análise diofantina.
Números algébricos e transcendentais
Um número algébrico é um número que é uma solução de uma equação polinomial não nula em uma variável com coeficientes racionais (ou equivalentemente — limpando denominadores — com coeficientes inteiros ). Números como π que não são algébricos são ditos transcendentais . Quase todos os números reais e complexos são transcendentais.
Geometria algébrica
Geometria algébrica é um ramo da matemática , que estuda classicamente soluções de equações polinomiais . A geometria algébrica moderna é baseada em técnicas mais abstratas de álgebra abstrata , especialmente álgebra comutativa , com a linguagem e os problemas da geometria .
Os objetos fundamentais de estudo em geometria algébrica são variedades algébricas , que são manifestações geométricas de soluções de sistemas de equações polinomiais . Exemplos das classes mais estudadas de variedades algébricas são: curvas algébricas planas , que incluem linhas , círculos , parábolas , elipses , hipérboles , curvas cúbicas como curvas elípticas e curvas quárticas como lemniscatas e ovais de Cassini . Um ponto do plano pertence a uma curva algébrica se suas coordenadas satisfazem uma dada equação polinomial. Questões básicas envolvem o estudo de pontos de interesse especial como os pontos singulares , os pontos de inflexão e os pontos no infinito . Questões mais avançadas envolvem a topologia da curva e as relações entre as curvas dadas por diferentes equações.
Equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação matemática que relaciona alguma função com suas derivadas . Em aplicações, as funções geralmente representam quantidades físicas, as derivadas representam suas taxas de mudança e a equação define uma relação entre as duas. Elas são resolvidas encontrando uma expressão para a função que não envolva derivadas. Equações diferenciais são usadas para modelar processos que envolvem as taxas de mudança da variável e são usadas em áreas como física, química, biologia e economia.
Em matemática pura , equações diferenciais são estudadas de várias perspectivas diferentes, principalmente preocupadas com suas soluções — o conjunto de funções que satisfazem a equação. Apenas as equações diferenciais mais simples são solucionáveis por fórmulas explícitas; no entanto, algumas propriedades de soluções de uma dada equação diferencial podem ser determinadas sem encontrar sua forma exata.
Se uma fórmula autocontida para a solução não estiver disponível, a solução pode ser numericamente aproximada usando computadores. A teoria de sistemas dinâmicos coloca ênfase na análise qualitativa de sistemas descritos por equações diferenciais, enquanto muitos métodos numéricos foram desenvolvidos para determinar soluções com um dado grau de precisão.
Equações diferenciais ordinárias
Uma equação diferencial ordinária ou EDO é uma equação que contém uma função de uma variável independente e suas derivadas. O termo " ordinária " é usado em contraste com o termo equação diferencial parcial , que pode ser com relação a mais de uma variável independente.
Equações diferenciais lineares, que têm soluções que podem ser adicionadas e multiplicadas por coeficientes, são bem definidas e compreendidas, e soluções exatas de forma fechada são obtidas. Em contraste, EDOs que não têm soluções aditivas são não lineares, e resolvê-las é muito mais intrincado, pois raramente se pode representá-las por funções elementares em forma fechada: em vez disso, soluções exatas e analíticas de EDOs estão em série ou forma integral. Métodos gráficos e numéricos , aplicados manualmente ou por computador, podem aproximar soluções de EDOs e talvez produzir informações úteis, muitas vezes suficientes na ausência de soluções exatas e analíticas.
Equações diferenciais parciais
Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação diferencial que contém funções multivariáveis desconhecidas e suas derivadas parciais . (Isso contrasta com equações diferenciais ordinárias , que lidam com funções de uma única variável e suas derivadas.) As EDPs são usadas para formular problemas envolvendo funções de várias variáveis e são resolvidas manualmente ou usadas para criar um modelo de computador relevante .
As EDPs podem ser usadas para descrever uma ampla variedade de fenômenos, como som , calor , eletrostática , eletrodinâmica , fluxo de fluidos , elasticidade ou mecânica quântica . Esses fenômenos físicos aparentemente distintos podem ser formalizados de forma semelhante em termos de EDPs. Assim como equações diferenciais ordinárias frequentemente modelam sistemas dinâmicos unidimensionais , equações diferenciais parciais frequentemente modelam sistemas multidimensionais . As EDPs encontram sua generalização em equações diferenciais parciais estocásticas .
Tipos de equações
As equações podem ser classificadas de acordo com os tipos de operações e quantidades envolvidas. Tipos importantes incluem:
- Uma equação algébrica ou equação polinomial é uma equação na qual ambos os lados são polinômios (veja também sistema de equações polinomiais ). Elas são ainda classificadas por grau :
- equação linear para grau um
- equação quadrática para grau dois
- equação cúbica para grau três
- equação quártica para grau quatro
- equação quintica para grau cinco
- equação sêxtica para grau seis
- equação séptica para grau sete
- equação ótica para o oitavo grau
- Uma equação diofantina é uma equação onde as incógnitas devem ser números inteiros
- Uma equação transcendental é uma equação que envolve uma função transcendental de suas incógnitas
- Uma equação paramétrica é uma equação na qual as soluções para as variáveis são expressas como funções de algumas outras variáveis, chamadas parâmetros que aparecem nas equações.
- Uma equação funcional é uma equação na qual as incógnitas são funções e não quantidades simples.
- Equações envolvendo derivadas, integrais e diferenças finitas:
- Uma equação diferencial é uma equação funcional envolvendo derivadas de funções desconhecidas, onde a função e suas derivadas são avaliadas no mesmo ponto, como . As equações diferenciais são subdivididas em equações diferenciais ordinárias para funções de uma única variável e equações diferenciais parciais para funções de múltiplas variáveis
- Uma equação integral é uma equação funcional envolvendo as antiderivadas das funções desconhecidas. Para funções de uma variável, tal equação difere de uma equação diferencial principalmente por meio de uma mudança de variável substituindo a função por sua derivada, no entanto, este não é o caso quando a integral é tomada sobre uma superfície aberta
- Uma equação integro-diferencial é uma equação funcional que envolve tanto as derivadas quanto as antiderivadas das funções desconhecidas. Para funções de uma variável, tal equação difere de equações integrais e diferenciais por uma mudança similar de variável.
- Uma equação diferencial funcional de equação diferencial de atraso é uma equação de função que envolve derivadas de funções desconhecidas, avaliadas em vários pontos, como
- Uma equação de diferença é uma equação onde a incógnita é uma função f que ocorre na equação através de f ( x ), f ( x −1), ..., f ( x − k ), para algum inteiro k chamado de ordem da equação. Se x é restrito a ser um inteiro, uma equação de diferença é o mesmo que uma relação de recorrência
- Uma equação diferencial estocástica é uma equação diferencial na qual um ou mais termos são um processo estocástico
Veja também
Notas
- ^ Como tal equação pode ser reescrita P – Q = 0 , muitos autores não consideram este caso explicitamente.
- ^ O assunto deste artigo é básico em matemática e é tratado em muitos livros didáticos. Entre eles, Lay 2005, Meyer 2001 e Strang 2005 contêm o material deste artigo.
Referências
- ^ ab Recorde, Robert, The Whetstone of Witte ... (Londres, Inglaterra: Jhon Kyngstone, 1557), terceira página do capítulo "A regra da equação, comumente chamada de Regra de Algeber".
- ^ ab "Equação - Referência Aberta de Matemática". www.mathopenref.com . Recuperado em 2020-09-01 .
- ^ "Equações e Fórmulas". www.mathsisfun.com . Recuperado em 2020-09-01 .
- ^ Marcus , Solomon; Watt, Stephen M. "O que é uma equação?" . Recuperado em 27/02/2019 .
- ^ Lachaud, Gilles. "Équação, matemática". Encyclopædia Universalis (em francês).
- ^ "Uma declaração de igualdade entre duas expressões. As equações são de dois tipos, identidades e equações condicionais (ou geralmente simplesmente "equações")". « Equação », em Dicionário de Matemática , Glenn James e Robert C. James (ed.), Van Nostrand, 1968, 3ª ed. 1ª ed. 1948, p. 131.
- ^ Thomas, George B., e Finney, Ross L., Cálculo e Geometria Analítica , Addison Wesley Publishing Co., quinta edição, 1979, p. 91.
- ^ Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." De MathWorld--Um recurso da Wolfram Web. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html
Links externos
- Winplot: plotter de uso geral que pode desenhar e animar equações matemáticas 2D e 3D.
- Plotter de equações: uma página da web para produzir e baixar gráficos em PDF ou postscript dos conjuntos de soluções para equações e inequações em duas variáveis ( x e y ).