Equação

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O primeiro uso de um sinal de igual, equivalente a 14 x + 15 = 71 na notação moderna. De The Whetstone of Witte , de Robert Recorde de Gales (1557). [1]

Em matemática , uma equação é uma declaração que afirma a igualdade de duas expressões , que são conectadas pelo sinal de igual "=". [2] [3] A palavra equação e seus cognatos em outras línguas podem ter significados sutilmente diferentes; por exemplo, em francês, uma equação é definida como contendo uma ou mais variáveis , enquanto em inglês qualquer igualdade é uma equação. [4]

Resolver uma equação contendo variáveis ​​consiste em determinar quais valores das variáveis ​​tornam a igualdade verdadeira. As variáveis ​​para as quais a equação deve ser resolvida também são chamadas de incógnitas , e os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade são chamados de soluções da equação. Existem dois tipos de equações: identidades e equações condicionais. Uma identidade é verdadeira para todos os valores das variáveis. Uma equação condicional só é verdadeira para valores específicos das variáveis. [5] [6]

Uma equação é escrita como duas expressões , conectadas por um sinal de igual ("="). [2] As expressões nos dois lados do sinal de igual são chamadas de "lado esquerdo" e "lado direito" da equação. Muitas vezes, o lado direito de uma equação é considerado zero. Supondo que isso não reduza a generalidade, pois isso pode ser realizado subtraindo o lado direito de ambos os lados.

O tipo mais comum de equação é uma equação polinomial (comumente chamada também de equação algébrica ) em que os dois lados são polinômios . Os lados de uma equação polinomial contêm um ou mais termos . Por exemplo, a equação

tem lado esquerdo, que tem quatro termos, e o lado direito, consistindo em apenas um termo. Os nomes das variáveis sugerem que x e y são desconhecidos e que A , B e C são parâmetros , mas isso é normalmente fixado pelo contexto (em alguns contextos, y pode ser um parâmetro, ou A , B e C podem ser variáveis ​​comuns).

Uma equação é análoga a uma escala na qual os pesos são colocados. Quando pesos iguais de algo (por exemplo, grãos) são colocados nas duas bandejas, os dois pesos fazem com que a balança fique em equilíbrio e são considerados iguais. Se uma quantidade de grãos for removida de uma bandeja da balança, uma quantidade igual de grãos deve ser removida da outra bandeja para manter a balança em equilíbrio. De maneira mais geral, uma equação permanece em equilíbrio se a mesma operação for executada em ambos os lados.

Na geometria cartesiana , as equações são usadas para descrever figuras geométricas . Como as equações consideradas, como equações implícitas ou equações paramétricas , têm infinitas soluções, o objetivo agora é diferente: em vez de dar as soluções explicitamente ou contá-las, o que é impossível, usa-se equações para estudar as propriedades das figuras. Esta é a ideia inicial da geometria algébrica , uma área importante da matemática.

A álgebra estuda duas famílias principais de equações: as equações polinomiais e, entre elas, o caso especial das equações lineares . Quando há apenas uma variável, equações polinomiais tem a forma P ( x ) = 0, onde P é um polinomial , e equações lineares têm a forma ax  +  b  = 0, onde um e b são os parâmetros . Para resolver equações de qualquer família, usa-se técnicas algorítmicas ou geométricas que se originam da álgebra linear ou análise matemática . Álgebra também estudaEquações diofantinas onde os coeficientes e soluções são inteiros . As técnicas utilizadas são diferentes e vêm da teoria dos números . Essas equações são difíceis em geral; muitas vezes, procura-se apenas para encontrar a existência ou ausência de uma solução e, se houver, para contar o número de soluções.

Equações diferenciais são equações que envolvem uma ou mais funções e suas derivadas. Eles são resolvidos encontrando uma expressão para a função que não envolva derivados. As equações diferenciais são usadas para modelar processos que envolvem as taxas de mudança da variável e são usadas em áreas como física, química, biologia e economia.

O símbolo " = ", que aparece em todas as equações, foi inventado em 1557 por Robert Recorde , que considerava que nada poderia ser mais igual do que linhas retas paralelas com o mesmo comprimento. [1]

Introdução

Ilustração análoga

Ilustração de uma equação simples; x , y , z são números reais, análogos aos pesos.

Uma equação é análoga a uma balança , balança ou gangorra .

Cada lado da equação corresponde a um lado da balança. Quantidades diferentes podem ser colocadas em cada lado: se os pesos dos dois lados forem iguais, a balança se equilibra e, em analogia, a igualdade que representa o equilíbrio também é equilibrada (se não, então a falta de equilíbrio corresponde a uma desigualdade representada por uma inequação ).

Na ilustração, x , y e z são todos quantidades diferentes (neste caso, números reais ) representados como pesos circulares e cada um de x , y e z tem um peso diferente. A adição corresponde a adicionar peso, enquanto a subtração corresponde a retirar o peso do que já está lá. Quando a igualdade é mantida, o peso total de cada lado é o mesmo.

Parâmetros e incógnitas

As equações geralmente contêm outros termos além das incógnitas. Esses outros termos, que se presume serem conhecidos , são geralmente chamados de constantes , coeficientes ou parâmetros .

Um exemplo de uma equação que envolve x e y como incógnitas e o parâmetro R é

Quando R é escolhido para ter o valor 2 ( R = 2), esta equação seria reconhecida em coordenadas cartesianas como a equação para o círculo de raio 2 em torno da origem. Portanto, a equação com R não especificado é a equação geral para o círculo.

Normalmente, as incógnitas são denotadas por letras no final do alfabeto, x , y , z , w , ..., enquanto os coeficientes (parâmetros) são denotados por letras no início, a , b , c , d , .. . Por exemplo, a equação quadrática geral é geralmente escrita ax 2  +  bx  +  c  = 0.

O processo de encontrar as soluções, ou, no caso de parâmetros, expressar as incógnitas em termos dos parâmetros, é denominado resolver a equação . Essas expressões das soluções em termos dos parâmetros também são chamadas de soluções .

Um sistema de equações é um conjunto de equações simultâneas , geralmente em várias incógnitas para as quais as soluções comuns são procuradas. Assim, uma solução para o sistema é um conjunto de valores para cada uma das incógnitas, que juntos formam uma solução para cada equação do sistema. Por exemplo, o sistema

tem a solução única x  = −1, y  = 1.

Identidades

Uma identidade é uma equação verdadeira para todos os valores possíveis das variáveis ​​que contém. Muitas identidades são conhecidas em álgebra e cálculo. No processo de resolução de uma equação, uma identidade é freqüentemente usada para simplificar uma equação, tornando-a mais facilmente resolvível.

Na álgebra, um exemplo de identidade é a diferença de dois quadrados :

o que é verdadeiro para todos os itens x e y .

A trigonometria é uma área onde existem muitas identidades; eles são úteis na manipulação ou solução de equações trigonométricas . Dois dos muitos que envolvem as funções seno e cosseno são:

e

que são verdadeiras para todos os valores de θ .

Por exemplo, para resolver o valor de θ que satisfaz a equação:

onde θ é limitado entre 0 e 45 graus, pode-se usar a identidade acima para o produto dar:

produzindo a seguinte solução para θ:

Uma vez que a função seno é uma função periódica , existem infinitas soluções se não houver restrições em θ . Neste exemplo, restringir θ entre 0 e 45 graus restringiria a solução a apenas um número.

Propriedades

Duas equações ou dois sistemas de equações são equivalentes , se eles tiverem o mesmo conjunto de soluções. As seguintes operações transformam uma equação ou sistema de equações em um equivalente - desde que as operações sejam significativas para as expressões às quais são aplicadas:

  • Adicionando ou subtraindo a mesma quantidade para ambos os lados de uma equação. Isso mostra que toda equação é equivalente a uma equação em que o lado direito é zero.
  • Multiplicando ou dividindo ambos os lados de uma equação por uma quantidade diferente de zero.
  • Aplicando uma identidade para transformar um lado da equação. Por exemplo, expandir um produto ou calcular uma soma.
  • Para um sistema: adicionar a ambos os lados de uma equação o lado correspondente de outra equação, multiplicado pela mesma quantidade.

Se alguma função for aplicada a ambos os lados de uma equação, a equação resultante terá as soluções da equação inicial entre suas soluções, mas pode ter outras soluções chamadas soluções estranhas . Por exemplo, a equação tem a solução Elevar ambos os lados ao expoente de 2 (o que significa aplicar a função para ambos os lados da equação) altera a equação para , que não só tem a solução anterior, mas também introduz a solução estranha, Além disso, se a função não for definida em alguns valores (como 1 / x , que não é definido para x = 0), as soluções existentes nesses valores podem ser perdidas. Portanto, deve-se ter cuidado ao aplicar tal transformação a uma equação.

As transformações acima são a base da maioria dos métodos elementares de resolução de equações , bem como de alguns métodos menos elementares, como a eliminação de Gauss .

Álgebra

Equações polinomiais

As soluções -1 e 2 da equação polinomial x 2 - x + 2 = 0 são os pontos onde o gráfico da função quadrática y = x 2 - x + 2 corta o eixo x .

Em geral, uma equação algébrica ou equação polinomial é uma equação da forma

, ou
[uma]

onde P e Q são polinômios com coeficientes em algum campo (por exemplo, números racionais , números reais , números complexos ). Uma equação algébrica é univariada se envolve apenas uma variável . Por outro lado, uma equação polinomial pode envolver várias variáveis, caso em que é chamada de multivariada (variáveis ​​múltiplas, x, y, z, etc.).

Por exemplo,

é uma equação algébrica (polinomial) univariada com coeficientes inteiros e

é uma equação polinomial multivariada sobre os números racionais.

Algumas equações polinomiais com coeficientes racionais têm uma solução que é uma expressão algébrica , com um número finito de operações envolvendo apenas esses coeficientes (ou seja, pode ser resolvido algebricamente ). Isso pode ser feito para todas as equações de grau um, dois, três ou quatro; mas equações de grau cinco ou mais nem sempre podem ser resolvidas dessa maneira, como o teorema de Abel-Ruffini demonstra.

Uma grande quantidade de pesquisa foi dedicada a computar aproximações eficientemente precisas das soluções reais ou complexas de uma equação algébrica univariada (ver Descoberta de raiz de polinômios ) e das soluções comuns de várias equações polinomiais multivariadas (ver Sistema de equações polinomiais ).

Sistemas de equações lineares

Os nove capítulos sobre a arte matemática é um livro chinês anônimo do século 2 que propõe um método de resolução para equações lineares.

Um sistema de equações lineares (ou sistema linear ) é uma coleção de equações lineares envolvendo uma ou mais variáveis . [b] Por exemplo,

é um sistema de três equações nas três variáveis x , y , z . Uma solução para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis ​​de forma que todas as equações sejam satisfeitas simultaneamente. Uma solução para o sistema acima é dada por

uma vez que torna todas as três equações válidas. A palavra " sistema " indica que as equações devem ser consideradas coletivamente, ao invés de individualmente.

Em matemática, a teoria dos sistemas lineares é uma parte fundamental da álgebra linear , um assunto que é usado em muitas partes da matemática moderna. Os algoritmos computacionais para encontrar as soluções são uma parte importante da álgebra linear numérica e desempenham um papel proeminente na física , engenharia , química , ciência da computação e economia . Um sistema de equações não lineares pode muitas vezes ser aproximado por um sistema linear (ver linearização ), uma técnica útil ao fazer um modelo matemático ou simulação de computador de um sistema relativamente complexo.

Geometria

Geometria analítica

A linha azul e vermelha é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) tais que x + y = 5 e - x +2 y = 4, respectivamente. Seu ponto de intersecção , (2,3), satisfaz ambas as equações.
Uma seção cônica é a intersecção de um plano e um cone de revolução.

Na geometria euclidiana , é possível associar um conjunto de coordenadas a cada ponto no espaço, por exemplo, por uma grade ortogonal. Este método permite caracterizar figuras geométricas por equações. Um plano no espaço tridimensional pode ser expresso como o conjunto de solução de uma equação da forma, Onde e são números reais e são as incógnitas que correspondem às coordenadas de um ponto no sistema dado pela grade ortogonal. Os valoressão as coordenadas de um vetor perpendicular ao plano definido pela equação. Uma linha é expressa como a interseção de dois planos, ou seja, como o conjunto de solução de uma única equação linear com valores em ou como o conjunto de solução de duas equações lineares com valores em

Uma seção cônica é a interseção de um cone com a equaçãoe um avião. Em outras palavras, no espaço, todas as cônicas são definidas como o conjunto solução de uma equação de um plano e da equação de um cone que acabamos de dar. Este formalismo permite determinar as posições e as propriedades dos focos de uma cônica.

O uso de equações permite recorrer a uma grande área da matemática para resolver questões geométricas. O sistema de coordenadas cartesianas transforma um problema geométrico em um problema de análise, uma vez que as figuras são transformadas em equações; daí o nome geometria analítica . Esse ponto de vista, delineado por Descartes , enriquece e modifica o tipo de geometria concebida pelos antigos matemáticos gregos.

Atualmente, a geometria analítica designa um ramo ativo da matemática. Embora ainda use equações para caracterizar figuras, ele também usa outras técnicas sofisticadas, como análise funcional e álgebra linear .

Equações cartesianas

Um sistema de coordenadas cartesianas é um sistema de coordenadas que especifica cada ponto exclusivamente em um plano por um par de coordenadas numéricas , que são as distâncias sinalizadas do ponto a duas linhas direcionadas perpendiculares fixas , que são marcadas usando a mesma unidade de comprimento .

Pode-se usar o mesmo princípio para especificar a posição de qualquer ponto no espaço tridimensional pelo uso de três coordenadas cartesianas, que são as distâncias sinalizadas para três planos mutuamente perpendiculares (ou, equivalentemente, por sua projeção perpendicular em três linhas mutuamente perpendiculares )

Sistema de coordenadas cartesianas com um círculo de raio 2 centrado na origem marcada em vermelho. A equação de um círculo é ( x - um ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 onde um e b são as coordenadas do centro ( um , b ) e r é o raio.

A invenção das coordenadas cartesianas no século 17 por René Descartes ( nome latinizado : Cartesius ) revolucionou a matemática ao fornecer o primeiro elo sistemático entre a geometria euclidiana e a álgebra . Usando o sistema de coordenadas cartesianas, as formas geométricas (como curvas ) podem ser descritas por equações cartesianas : equações algébricas envolvendo as coordenadas dos pontos que estão na forma. Por exemplo, um círculo com um raio de 2 num plano, centrado sobre um ponto particular chamado de origem, pode ser descrito como o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas x e y satisfaz a equação x2 + y 2 = 4 .

Equações paramétricas

Uma equação paramétrica para uma curva expressa as coordenadas dos pontos da curva como funções de uma variável , chamada de parâmetro . [7] [8] Por exemplo,

são equações paramétricas para o círculo unitário , onde t é o parâmetro. Juntas, essas equações são chamadas de representação paramétrica da curva.

A noção de equação paramétrica foi generalizada para superfícies , variedades e variedades algébricas de dimensão superior , com o número de parâmetros sendo igual à dimensão da variedade ou variedade, e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço em que o coletor ou variedade é considerado (para curvas a dimensão é um e um parâmetro é usado, para superfícies dimensão dois e dois parâmetros, etc.).

Teoria dos números

Equações diofantinas

Uma equação diofantina é uma equação polinomial em duas ou mais incógnitas para a qual apenas as soluções inteiras são procuradas (uma solução inteira é uma solução tal que todas as incógnitas assumem valores inteiros). Uma equação diofantina linear é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um. Um exemplo de equação Diofantina linear é ax + by = c, onde a , b e c são constantes. Uma equação diofantina exponencial é aquele para o qual os expoentes dos termos da equação podem ser desconhecidos.

Os problemas diofantinos têm menos equações do que variáveis ​​desconhecidas e envolvem encontrar inteiros que funcionem corretamente para todas as equações. Em uma linguagem mais técnica, eles definem uma curva algébrica , superfície algébrica ou objeto mais geral e perguntam sobre os pontos da rede sobre ele.

A palavra Diofantino refere-se ao matemático helenístico do século III, Diofanto de Alexandria , que estudou tais equações e foi um dos primeiros matemáticos a introduzir o simbolismo na álgebra . O estudo matemático dos problemas diofantinos que Diofanto iniciou é agora chamado de análise diofantina .

Algébrica e números transcendentais

Um número algébrico é um número que é uma solução de uma equação polinomial diferente de zero em uma variável com coeficientes racionais (ou equivalentemente - limpando denominadores - com coeficientes inteiros ). Números como π que não são algébricos são considerados transcendentais . Quase todos os números reais e complexos são transcendentais.

Geometria algébrica

A geometria algébrica é um ramo da matemática , que estuda classicamente soluções de equações polinomiais . A geometria algébrica moderna é baseada em técnicas mais abstratas de álgebra abstrata , especialmente álgebra comutativa , com a linguagem e os problemas da geometria .

Os objetos fundamentais de estudo em geometria algébrica são variedades algébricas , que são manifestações geométricas de soluções de sistemas de equações polinomiais . Exemplos das classes mais estudadas de variedades algébricas são: curvas algébricas planas , que incluem retas , círculos , parábolas , elipses , hipérboles , curvas cúbicas como curvas elípticas e curvas quárticas como lemniscatas e ovais de Cassini. Um ponto do plano pertence a uma curva algébrica se suas coordenadas satisfazem uma dada equação polinomial. As questões básicas envolvem o estudo dos pontos de interesse especial, como os pontos singulares , os pontos de inflexão e os pontos no infinito . Questões mais avançadas envolvem a topologia da curva e as relações entre as curvas fornecidas por diferentes equações.

Equações diferenciais

Um atrator estranho , que surge ao resolver uma certa equação diferencial

Uma equação diferencial é uma equação matemática que relaciona alguma função com suas derivadas . Em aplicações, as funções geralmente representam quantidades físicas, as derivadas representam suas taxas de mudança e a equação define uma relação entre as duas. Como essas relações são extremamente comuns, as equações diferenciais desempenham um papel proeminente em muitas disciplinas, incluindo física , engenharia , economia e biologia .

Na matemática pura , as equações diferenciais são estudadas de várias perspectivas diferentes, principalmente preocupadas com suas soluções - o conjunto de funções que satisfazem a equação. Apenas as equações diferenciais mais simples podem ser resolvidas por fórmulas explícitas; no entanto, algumas propriedades de soluções de uma dada equação diferencial podem ser determinadas sem encontrar sua forma exata.

Se uma fórmula independente para a solução não estiver disponível, a solução pode ser numericamente aproximada usando computadores. A teoria dos sistemas dinâmicos coloca ênfase na análise qualitativa de sistemas descritos por equações diferenciais, enquanto muitos métodos numéricos foram desenvolvidos para determinar soluções com um determinado grau de precisão.

Equações diferenciais ordinárias

Uma equação diferencial ordinária ou ODE é uma equação que contém uma função de uma variável independente e suas derivadas. O termo " ordinário " é usado em contraste com o termo equação diferencial parcial , que pode ser em relação a mais de uma variável independente.

Equações diferenciais lineares, que têm soluções que podem ser adicionadas e multiplicadas por coeficientes, são bem definidas e compreendidas, e soluções exatas de forma fechada são obtidas. Em contraste, os EDOs sem soluções aditivas são não lineares, e resolvê-los é muito mais complicado, já que raramente se pode representá-los por funções elementares na forma fechada: em vez disso, as soluções exatas e analíticas dos EDOs estão em série ou em forma integral. Métodos gráficos e numéricos , aplicados manualmente ou por computador, podem aproximar as soluções de EDOs e talvez render informações úteis, muitas vezes suficientes na ausência de soluções analíticas exatas.

As equações diferenciais parciais

Uma equação diferencial parcial ( PDE ) é uma equação diferencial que contém funções multivariáveis desconhecidas e suas derivadas parciais . (Isso está em contraste com as equações diferenciais ordinárias , que lidam com funções de uma única variável e seus derivados.) PDEs são usados ​​para formular problemas envolvendo funções de várias variáveis ​​e são resolvidos manualmente ou usados ​​para criar um modelo de computador relevante .

Os PDEs podem ser usados ​​para descrever uma ampla variedade de fenômenos, como som , calor , eletrostática , eletrodinâmica , fluxo de fluido , elasticidade ou mecânica quântica . Esses fenômenos físicos aparentemente distintos podem ser formalizados de forma semelhante em termos de PDEs. Assim como as equações diferenciais ordinárias costumam modelar sistemas dinâmicos unidimensionais , as equações diferenciais parciais costumam modelar sistemas multidimensionais . PDEs encontram sua generalização em equações diferenciais parciais estocásticas .

Tipos de equações

As equações podem ser classificadas de acordo com os tipos de operações e quantidades envolvidas. Os tipos importantes incluem:

Veja também

Notas

  1. ^ Como tal equação pode ser reescrita P - Q = 0 , muitos autores não consideram este caso explicitamente.
  2. ^ O assunto deste artigo é básico em matemática e é tratado em muitos livros didáticos. Entre eles, Lay 2005, Meyer 2001 e Strang 2005 contêm o material deste artigo.

Referências

  1. ^ a b Recorde, Robert, o Whetstone de Witte … (Londres, Inglaterra: Jhon Kyngstone, 1557), a terceira página do capítulo "A regra de equação, comumente chamada de Regra de Algebers."
  2. ^ a b "Equation - Math Open Reference" . www.mathopenref.com . Obtido em 2020-09-01 .
  3. ^ "Equações e fórmulas" . www.mathsisfun.com . Obtido em 2020-09-01 .
  4. ^ Marcus, Solomon; Watt, Stephen M. "O que é uma equação?" . Página visitada em 27/02/2019 . Cite journal requires |journal= (help)
  5. ^ Lachaud, Gilles. "Équation, mathématique" . Encyclopædia Universalis (em francês).
  6. ^ "Uma declaração de igualdade entre duas expressões. As equações são de dois tipos, identidades e equações condicionais (ou geralmente simplesmente" equações ")". «  Equation  », no Dicionário de Matemática , Glenn James  [ de ] et Robert C. James  [ de ] (ed.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1ª ed. 1948, pág. 131
  7. ^ Thomas, George B., e Finney, Ross L., Cálculo e geometria analítica , Addison Wesley Publishing Co., quinta edição, 1979, p. 91
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." Do MathWorld - Um recurso da Web do Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

Ligações externas

  • Winplot : plotter de uso geral que pode desenhar e animar equações matemáticas 2D e 3D.
  • Equation plotter : uma página da web para produzir e baixar gráficos em pdf ou postscript dos conjuntos de solução para equações e inequações em duas variáveis ​​( x e y ).