Planímetro de pontos

Um círculo de raio 5 sobreposto a uma grade de pontos no padrão de um planímetro de pontos. Ao contar os pontos próximos ao limite da forma como 1/2, existem 69 pontos internos e 20 pontos de limite para uma área estimada de 79, perto da área real de 25 π ≈ 78,54.

Um planímetro de pontos é um dispositivo usado em planimetria para estimar a área de uma forma , consistindo em uma folha transparente contendo uma grade quadrada de pontos. Para estimar a área de uma forma, a folha é sobreposta à forma e os pontos dentro da forma são contados. A estimativa da área é o número de pontos contados multiplicado pela área de um único quadrado da grade. Em algumas variações, os pontos que caem no limite da forma ou próximos a ele são contados como metade de uma unidade. Os pontos também podem ser agrupados em grupos quadrados maiores por linhas desenhadas na transparência, permitindo que grupos que estão inteiramente dentro da forma sejam adicionados à contagem, em vez de exigir que seus pontos sejam contados um por um. [1]

A estimativa da área por meio de uma grade de pontos também tem sido chamada de método de grade de pontos ou (principalmente quando o alinhamento da grade com a forma é aleatório) amostragem sistemática . [2] Talvez devido à sua simplicidade, tenha sido repetidamente reinventado. [3] [4] [5]

Aplicativo

Na silvicultura , cartografia e geografia , o planímetro de pontos tem sido aplicado a mapas para estimar a área de parcelas de terra. [1] [4] [5] [6] Na botânica e na horticultura , foi aplicado diretamente nas folhas amostradas para estimar a área foliar média. [7] [8] [9]

Na medicina, tem sido aplicado aos diagramas de Lashley como uma estimativa do tamanho das lesões cerebrais . [10]

Na mineralogia , uma técnica semelhante de contagem de pontos em uma grade é aplicada a seções transversais de amostras de rochas para um propósito diferente, estimando as proporções relativas de diferentes minerais constituintes. [11]

Teoria

Maior precisão pode ser alcançada usando um planímetro de pontos com uma grade de pontos mais fina. [6] Alternativamente, colocar repetidamente um planímetro de ponto com diferentes deslocamentos irracionais de seu posicionamento anterior, e calcular a média das medições resultantes, pode levar a um conjunto de medições amostradas cuja média tende para a área verdadeira da forma medida. [3] O método que utiliza uma grade mais fina tende a ter melhor eficiência estatística do que medições repetidas com posicionamentos aleatórios. [2]

De acordo com o teorema de Pick , publicado por Georg Alexander Pick em 1899, a versão do planímetro de pontos com pontos limite contando como 1/2 (e com um termo de correção adicionado de -1) fornece resultados exatos para polígonos que têm os pontos como vértices. . [12] [13] De acordo com o teorema de Blichfeldt , publicado por Hans Frederick Blichfeldt em 1914, é sempre possível deslocar um planímetro de ponto em relação a uma determinada forma sem girá-lo, de modo que o número de pontos dentro da forma seja pelo menos igual a sua área. [14] [15]

O problema do círculo de Gauss diz respeito ao erro que seria obtido ao usar um planímetro de pontos para estimar a área de um círculo . Como o próprio nome sugere, foi estudado no início do século XIX por Carl Friedrich Gauss . Sabe-se que o erro máximo é limitado por uma potência fracionária do raio do círculo, com expoente entre 1/2 e 131/208. [16]

Dispositivos relacionados

O planímetro de ponto difere de outros tipos de planímetro , que medem a área de uma forma passando um dispositivo ao redor de seu limite. [5]

O longímetro Steinhaus é um dispositivo semelhante baseado em transparência para estimar o comprimento das curvas por meio da contagem de cruzamentos. [17]

Referências

  1. ^ ab Crommer, DAN (janeiro de 1949), "Extraindo pequenas áreas irregulares", Australian Forestry , 13 (1): 64–66, doi :10.1080/00049158.1949.10675768
  2. ^ ab Bellhouse, DR (1981), "Estimativa de área por técnicas de contagem de pontos", Biometrics , 37 (2): 303–312, doi :10.2307/2530419, JSTOR  2530419, MR  0673040
  3. ^ ab Steinhaus, Hugo (1924), "O mierzeniu pól płaskich" (PDF) , Przegląd Matematyczno-Fizyczny (em polonês), 2 (1–2): 24–29
  4. ^ ab Abell, CA (1939), "Um método de estimativa de área em figuras irregulares e quebradas" (PDF) , Journal of Forestry , 37 : 344–345
  5. ^ abc Wood, Walter F. (janeiro de 1954), "O planímetro de pontos, uma nova maneira de medir a área do mapa", The Professional Geographer , 6 (1): 12–14, doi :10.1111/j.0033-0124.1954.61_12 .x
  6. ^ ab Frolov, YS; Maling, DH (junho de 1969), "A precisão da medição de área por técnicas de contagem de pontos", The Cartographic Journal , 6 (1): 21–35, doi :10.1179/caj.1969.6.1.21
  7. ^ Heinicke, Don R. (outubro de 1963), "Nota sobre estimativa da área foliar e distribuição de folhas em árvores frutíferas", Canadian Journal of Plant Science , 43 (4), Canadian Science Publishing: 597–598, doi :10.4141/cjps63 -117
  8. ^ Benjamim, DM; Freeman, GH; Brown, ES (fevereiro de 1968), "A determinação de áreas de folhas de formato irregular destruídas por insetos mastigadores", Annals of Applied Biology , 61 (1): 13–17, doi :10.1111/j.1744-7348.1968.tb04505. x
  9. ^ Dolph, Gary E. (julho-setembro de 1977), "O efeito de diferentes técnicas de cálculo na estimativa da área foliar e na construção de distribuições de tamanho de folha", Boletim do Torrey Botanical Club , 104 (3): 264–269 , doi :10.2307/2484308, JSTOR  2484308
  10. ^ Thomas, Roger K.; Peacock, LJ (janeiro de 1965), "Um método de medir lesões cerebrais", Psychonomic Science , 3 (1–12): 184, doi : 10.3758/bf03343085
  11. ^ Neilson, MJ; Brockman, GF (dezembro de 1977), "O erro associado à contagem de pontos", American Mineralogist , 62 (11–12): 1238–1244
  12. ^ Pick, Georg (1899), "Geometrisches zur Zahlenlehre", Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" em Prag , (Neue Folge) (em alemão), 19 : 311–319, JFM  33.0216.01CiteBank:47270
  13. ^ Wells, David (1991), "Teorema de Pick", The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Penguin Books, pp.
  14. ^ Blichfeldt, HF (1914), "Um novo princípio na geometria dos números, com algumas aplicações", Transactions of the American Mathematical Society , 15 (3): 227–235, doi : 10.1090/S0002-9947-1914-1500976 -6 , JSTOR  1988585, SENHOR  1500976
  15. ^ Velhos, CD ; LAX, Anneli ; Davidoff, Giuliana P. (2000), "Capítulo 9: Um novo princípio na geometria dos números", The Geometry of Numbers , Anneli Lax New Mathematical Library, vol. 41, Associação Matemática da América, Washington, DC, pp . 0-88385-643-3, SENHOR  1817689
  16. ^ Guy, Richard K. (2004), "F1: Problema do ponto de rede de Gauß", Problemas não resolvidos na teoria dos números , Livros de problemas em matemática, vol. 1 (3ª ed.), Nova York: Springer-Verlag , pp . 0-387-20860-7, SENHOR  2076335
  17. ^ Steinhaus, Hugo (1931), "Longimetr", Czasopismo Geograficzne (em polonês), 3 : 1–4

links externos

  • Planímetro de pontos, Chris Staecker, Fairfield University
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