Dimensão

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Da esquerda para a direita: o quadrado , o cubo e o tesserato . O quadrado bidimensional (2D) é delimitado por linhas unidimensionais (1D) ; o cubo tridimensional (3D) por áreas bidimensionais; e a quatro dimensões (4D) tesseracto por volumes tridimensionais. Para exibição em uma superfície bidimensional como uma tela, o cubo 3D e o tesseract 4D requerem projeção .
As primeiras quatro dimensões espaciais, representadas em uma imagem bidimensional.
  1. Dois pontos podem ser conectados para criar um segmento de linha .
  2. Dois segmentos de linha paralela podem ser conectados para formar um quadrado .
  3. Dois quadrados paralelos podem ser conectados para formar um cubo .
  4. Dois cubos paralelos podem ser conectados para formar um tesseract .

Em física e matemática , a dimensão de um espaço matemático (ou objeto) é definida informalmente como o número mínimo de coordenadas necessárias para especificar qualquer ponto dentro dele. [1] [2] Assim, uma linha tem uma dimensão de um (1D) porque apenas uma coordenada é necessária para especificar um ponto nela - por exemplo, o ponto em 5 em uma reta numérica. Uma superfície como um plano ou a superfície de um cilindro ou esfera tem uma dimensão de dois(2D) porque duas coordenadas são necessárias para especificar um ponto nele - por exemplo, uma latitude e uma longitude são necessárias para localizar um ponto na superfície de uma esfera. O interior de um cubo , cilindro ou esfera é tridimensional (3D) porque três coordenadas são necessárias para localizar um ponto dentro desses espaços.

Na mecânica clássica , espaço e tempo são categorias diferentes e referem-se a espaço e tempo absolutos . Essa concepção do mundo é um espaço quadridimensional, mas não aquele que foi considerado necessário para descrever o eletromagnetismo . As quatro dimensões (4D) do espaço-tempo consistem em eventos que não são absolutamente definidos espacial e temporalmente, mas são conhecidos em relação ao movimento de um observador . O espaço de Minkowski primeiro se aproxima do universo sem gravidade ; as variedades pseudo-Riemannianas da relatividade geraldescreva o espaço-tempo com matéria e gravidade. 10 dimensões são usadas para descrever a teoria das supercordas ( hiperespaço 6D + 4D), 11 dimensões podem descrever a supergravidade e a teoria M (hiperespaço 7D + 4D) e o espaço de estado da mecânica quântica é um espaço de função de dimensão infinita .

O conceito de dimensão não se restringe a objetos físicos. Espaço de alta dimensional sfreqüentemente ocorrem em matemática e ciências. Eles podem serespaços de parâmetrosouespaços deconfiguração, como namecânicaLagrangianaouHamiltoniana; esses sãoespaços abstratos, independentes doespaço físicoem que vivemos.

Em matemática

Em matemática, a dimensão de um objeto é, grosso modo, o número de graus de liberdade de um ponto que se move sobre esse objeto. Em outras palavras, a dimensão é o número de parâmetros independentes ou coordenadas que são necessários para definir a posição de um ponto que está restrito a estar no objeto. Por exemplo, a dimensão de um ponto é zero; a dimensão de uma linha é uma, pois um ponto pode se mover em uma linha em apenas uma direção (ou em seu oposto); a dimensão de um plano é dois, etc.

A dimensão é uma propriedade intrínseca de um objeto, no sentido de que é independente da dimensão do espaço no qual o objeto está ou pode estar embutido. Por exemplo, uma curva , como um círculo , tem dimensão um, porque a posição de um ponto em uma curva é determinada por sua distância sinalizada ao longo da curva até um ponto fixo na curva. Isso é independente do fato de que uma curva não pode ser inserida em um espaço euclidiano de dimensão inferior a dois, a menos que seja uma linha.

A dimensão do n- espaço euclidiano E n é n . Ao tentar generalizar para outros tipos de espaços, nos deparamos com a questão "o que torna E n n- dimensional?" Uma resposta é que para cobrir uma bola fixa em E n por pequenas bolas de raio ε , é necessário na ordem de ε - n essas pequenas bolas. Esta observação leva à definição da dimensão de Minkowski e sua variante mais sofisticada, a dimensão de Hausdorff., mas também existem outras respostas para essa pergunta. Por exemplo, o limite de uma bola em E n parece localmente com E n -1 e isso leva à noção da dimensão indutiva . Embora essas noções concordem em E n , elas acabam sendo diferentes quando olhamos para espaços mais gerais.

Um tesserato é um exemplo de objeto quadridimensional. Enquanto fora da matemática o uso do termo "dimensão" é como em: "Um tesserato tem quatro dimensões ", os matemáticos geralmente expressam isso como: "O tesserato tem dimensão 4 ", ou: "A dimensão do tesserato é 4" ou: 4D.

Embora a noção de dimensões superiores remonte a René Descartes , o desenvolvimento substancial de uma geometria de dimensão superior só começou no século 19, por meio do trabalho de Arthur Cayley , William Rowan Hamilton , Ludwig Schläfli e Bernhard Riemann . De Riemann 1854 Habilitationsschrift de 1852 de Schläfli Theorie der vielfachen Kontinuität e descoberta dos de Hamilton quaternions e John T. Graves descoberta 'dos octoniones em 1843 marcou o início da geometria de dimensão superior.

O restante desta seção examina algumas das definições matemáticas mais importantes de dimensão.

Espaços vectoriais

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base para o espaço, ou seja, o número de coordenadas necessárias para especificar qualquer vetor. Essa noção de dimensão (a cardinalidade de uma base) é freqüentemente referida como dimensão de Hamel ou dimensão algébrica para distingui-la de outras noções de dimensão.

Para o caso não livre , isso se generaliza para a noção do comprimento de um módulo .

Variedades

A dimensão exclusivamente definida de cada variedade topológica conectada pode ser calculada. Uma variedade topológica conectada é localmente homeomórfica ao n- espaço euclidiano , no qual o número n é a dimensão da variedade.

Para variedades diferenciáveis conectadas , a dimensão também é a dimensão do espaço vetorial tangente em qualquer ponto.

Na topologia geométrica , a teoria das variedades é caracterizada pela maneira como as dimensões 1 e 2 são relativamente elementares, os casos de alta dimensão n > 4 são simplificados por terem espaço extra para "trabalhar"; e os casos n = 3 e 4 são em alguns sentidos os mais difíceis. Esse estado de coisas foi muito marcado nos vários casos da conjectura de Poincaré , nos quais quatro métodos de prova diferentes são aplicados.

Dimensão complexa

A dimensão de uma variedade depende do campo base com respeito ao qual o espaço euclidiano é definido. Embora a análise geralmente presuma que uma variedade está acima dos números reais , às vezes é útil no estudo de variedades complexas e variedades algébricas trabalhar com os números complexos . Um número complexo ( x + iy ) tem uma parte real xe uma parte imaginária y , em que xey são ambos números reais; portanto, a dimensão complexa é metade da dimensão real.

Por outro lado, em contextos sem restrições algébricas, um único sistema de coordenadas complexo pode ser aplicado a um objeto com duas dimensões reais. Por exemplo, uma superfície esférica bidimensional comum , quando dada uma métrica complexa, torna-se uma esfera de Riemann de uma dimensão complexa. [3]

Variedades

A dimensão de uma variedade algébrica pode ser definida de várias maneiras equivalentes. A forma mais intuitiva é provavelmente a dimensão do espaço tangente em qualquer ponto regular de uma variedade algébrica . Outra forma intuitiva é definir a dimensão como o número de hiperplanos necessários para haver uma intersecção com a variedade que se reduz a um número finito de pontos (dimensão zero). Essa definição é baseada no fato de que a interseção de uma variedade com um hiperplano reduz a dimensão em um, a menos que o hiperplano contenha a variedade.

Um conjunto algébrico sendo uma união finita de variedades algébricas, sua dimensão é o máximo das dimensões de seus componentes. É igual ao comprimento máximo das cadeias de subvariedades de um determinado conjunto algébrico (o comprimento de tal cadeia é o número de "").

Cada variedade pode ser considerada como uma pilha algébrica , e sua dimensão como variedade concorda com sua dimensão como pilha. No entanto, existem muitas pilhas que não correspondem a variedades e algumas delas têm dimensão negativa. Especificamente, se V é uma variedade de dimensão m e L é um grupo algébrica de dimensão n actuando em V , em seguida, a pilha quociente [ V / L ] tem dimensão m  -  n . [4]

Dimensão de Krull

A dimensão de Krull de um anel comutativo é o comprimento máximo de cadeias de ideais primos nele, uma cadeia de comprimento n sendo uma sequênciade ideais primordiais relacionados por inclusão. Está fortemente relacionado com a dimensão de uma variedade algébrica, por causa da correspondência natural entre subvariedades e ideais primos do anel dos polinômios na variedade.

Para uma álgebra sobre um campo , a dimensão como espaço vetorial é finita se e somente se sua dimensão Krull for 0.

Espaços topológicos

Para qualquer espaço topológico normal X , a dimensão de cobertura de Lebesgue de X é definida como o menor inteiro n para o qual o seguinte é válido: qualquer tampa aberta tem um refinamento aberto (uma segunda tampa aberta em que cada elemento é um subconjunto de um elemento em a primeira cobertura) de modo que nenhum ponto seja incluído em mais de n + 1 elementos. Neste caso, dim X = n . Para uma variedade de X a, isso coincide com a dimensão mencionada acima. Se tal número inteiro n existir, então a dimensão de X é considerada infinita, e escreve-se dimX = ∞ . Além disso, X tem dimensão -1, ou seja, dim X = -1 se e somente se X estiver vazio. Esta definição de dimensão de cobertura pode ser estendida da classe de espaços normais para todos os espaços Tychonoff simplesmente substituindo o termo "aberto" na definição pelo termo " funcionalmente aberto ".

Uma dimensão indutiva pode ser definida indutivamente como segue. Considere um conjunto discreto de pontos (como uma coleção finita de pontos) como 0-dimensional. Ao arrastar um objeto 0-dimensional em alguma direção, obtém-se um objeto unidimensional. Ao arrastar um objeto unidimensional em uma nova direção , obtém-se um objeto bidimensional. Em geral, obtém-se um objeto ( n + 1 ) -dimensional arrastando um objeto n- dimensional em uma nova direção. A dimensão indutiva de um espaço topológico pode se referir à pequena dimensão indutiva ou à grande dimensão indutiva, e baseia-se na analogia de que, no caso dos espaços métricos, as bolas ( n + 1 ) -dimensionais possuem limites n- dimensionais , permitindo uma definição indutiva a partir da dimensão dos limites dos conjuntos abertos. Além disso, o limite de um conjunto discreto de pontos é o conjunto vazio e, portanto, o conjunto vazio pode ser considerado como tendo dimensão -1. [5]

Da mesma forma, para a classe de complexos CW , a dimensão de um objeto é o maior n para o qual o n- esqueleto não é trivial. Intuitivamente, isso pode ser descrito como segue: se o espaço original pode ser continuamente deformado em uma coleção de triângulos de dimensões superiores unidos em suas faces com uma superfície complicada, então a dimensão do objeto é a dimensão desses triângulos. [ citação necessária ]

Dimensão Hausdorff

A dimensão de Hausdorff é útil para estudar conjuntos estruturalmente complicados, especialmente fractais . A dimensão de Hausdorff é definida para todos os espaços métricos e, ao contrário das dimensões consideradas acima, também pode ter valores reais não inteiros. [6] A dimensão da caixa ou dimensão de Minkowski é uma variante da mesma ideia. Em geral, existem mais definições de dimensões fractais que funcionam para conjuntos altamente irregulares e atingem valores reais positivos não inteiros. Os fractais foram considerados úteis para descrever muitos objetos e fenômenos naturais. [7] [ página necessária ] [8] [ página necessária]

Espaços de Hilbert

Cada espaço de Hilbert admite uma base ortonormal e quaisquer duas dessas bases para um espaço particular têm a mesma cardinalidade . Essa cardinalidade é chamada de dimensão do espaço de Hilbert. Essa dimensão é finita se e somente se a dimensão de Hamel do espaço for finita e, neste caso, as duas dimensões coincidem.

Em física

Dimensões espaciais

As teorias da física clássica descrevem três dimensões físicas : de um determinado ponto no espaço , as direções básicas em que podemos nos mover são para cima / para baixo, esquerda / direita e para frente / para trás. O movimento em qualquer outra direção pode ser expresso em termos apenas desses três. Mover-se para baixo é o mesmo que subir uma distância negativa. Mover-se diagonalmente para cima e para frente é exatamente como o nome da direção indica; ou seja , movendo-se em uma combinação linear de para cima e para frente. Em sua forma mais simples: uma linha descreve uma dimensão, um plano descreve duas dimensões e um cubo descreve três dimensões. (Consulte Espaço e sistema de coordenadas cartesianas .)

Número de
dimensões
Exemplo de sistemas de coordenadas
1
Linha numérica
Linha numérica
Ângulo
Ângulo
2
Coord-XY.svg
Cartesiano  (bidimensional)
Sistema polar
Polar
Sistema geográfico
Latitude e longitude
3
Sistema cartesiano (3d)
Cartesiano  (tridimensional)
Sistema cilíndrico
Cilíndrico
Sistema esférico
Esférico

Tempo

Uma dimensão temporal , ou dimensão de tempo , é uma dimensão de tempo. O tempo é freqüentemente referido como a " quarta dimensão " por esse motivo, mas isso não significa que seja uma dimensão espacial. Uma dimensão temporal é uma forma de medir a mudança física. É percebido de maneira diferente das três dimensões espaciais, pois existe apenas uma delas e não podemos nos mover livremente no tempo, mas subjetivamente nos mover em uma direção .

As equações usadas na física para modelar a realidade não tratam o tempo da mesma maneira que os humanos normalmente o percebem. As equações da mecânica clássica são simétricas em relação ao tempo , e as equações da mecânica quântica são tipicamente simétricas se o tempo e outras quantidades (como carga e paridade ) forem invertidos. Nesses modelos, a percepção do tempo fluindo em uma direção é um artefato das leis da termodinâmica (percebemos o tempo fluindo na direção de aumento da entropia ).

O tratamento mais bem conhecido de tempo como uma dimensão é Poincaré e Einstein 's relatividade especial (e estendido para a relatividade geral ), que trata percebida espaço e tempo como componentes de um a quatro dimensões colector , conhecido como o espaço-tempo , e em especial, caso plano como espaço Minkowski . O tempo é diferente de outras dimensões espaciais, pois o tempo opera em todas as dimensões espaciais. O tempo opera na primeira, segunda e terceira, bem como nas dimensões espaciais teóricas, como uma quarta dimensão espacial . O tempo não está, entretanto, presente em um único ponto de singularidade infinita absoluta, conforme definido como umponto geométrico , como um ponto infinitamente pequeno, não pode ter nenhuma mudança e, portanto, nenhum tempo. Assim como quando um objeto se move por posições no espaço, ele também se move por posições no tempo. Nesse sentido, a força que move qualquer objeto para a mudança é o tempo . [9] [10] [11] [12]

Dimensões adicionais

Em física, três dimensões de espaço e uma de tempo é a norma aceita. No entanto, existem teorias que tentam unificar as quatro forças fundamentais, introduzindo dimensões / hiperespaço extras . Mais notavelmente, a teoria das supercordas requer 10 dimensões do espaço-tempo e se origina de uma teoria 11-dimensional mais fundamental, provisoriamente chamada de teoria M, que inclui cinco teorias de supercordas previamente distintas. Teoria da supergravidadetambém promove o espaço-tempo 11D = hiperespaço 7D + 4 dimensões comuns. Até o momento, nenhuma evidência experimental ou observacional direta está disponível para apoiar a existência dessas dimensões extras. Se o hiperespaço existe, deve ser escondido de nós por algum mecanismo físico. Uma possibilidade bem estudada é que as dimensões extras podem ser "enroladas" em escalas tão minúsculas que se tornam efetivamente invisíveis para os experimentos atuais. Limites no tamanho e outras propriedades de dimensões extras são definidos por experimentos com partículas [ esclarecimento necessário ] , como aqueles no Grande Colisor de Hádrons . [13]

Em 1921, a teoria de Kaluza-Klein apresentou 5D incluindo uma dimensão extra de espaço. No nível da teoria quântica de campos , a teoria de Kaluza-Klein unifica a gravidade com as interações de medidor , com base na percepção de que a propagação da gravidade em pequenas dimensões extras compactas é equivalente a interações de medidor em longas distâncias. Em particular, quando a geometria das dimensões extras é trivial, ela reproduz o eletromagnetismo . No entanto, com energias suficientemente altas ou distâncias curtas, esta configuração ainda sofre das mesmas patologias que obstruem as tentativas diretas de descrever a gravidade quântica . Portanto, esses modelos ainda requerem um preenchimento de UV, do tipo que a teoria das cordas se destina a fornecer. Em particular, a teoria das supercordas requer seis dimensões compactas (hiperespaço 6D) formando uma variedade de Calabi-Yau . Assim, a teoria de Kaluza-Klein pode ser considerada por si só uma descrição incompleta ou um subconjunto da construção do modelo da teoria das cordas.

Além de dimensões extras pequenas e enroladas, pode haver dimensões extras que, em vez disso, não são aparentes porque a matéria associada ao nosso universo visível está localizada em um subespaço (3 + 1) -dimensional . Assim, as dimensões extras não precisam ser pequenas e compactas, mas podem ser grandes dimensões extras . As D-branas são objetos dinâmicos estendidos de várias dimensionalidades previstas pela teoria das cordas que poderiam desempenhar esse papel. Eles têm a propriedade de que excitações de string abertas, que estão associadas a interações de calibre, são confinadas à branapor seus pontos finais, enquanto as cordas fechadas que medeiam a interação gravitacional são livres para se propagar em todo o espaço-tempo, ou "o volume". Isso pode estar relacionado ao motivo pelo qual a gravidade é exponencialmente mais fraca do que as outras forças, já que ela efetivamente se dilui conforme se propaga em um volume de dimensão superior.

Alguns aspectos da física da brana foram aplicados à cosmologia . Por exemplo, cosmologia do gás brana [14] [15]tenta explicar por que existem três dimensões do espaço usando considerações topológicas e termodinâmicas. De acordo com essa ideia, seria porque três é o maior número de dimensões espaciais em que as cordas podem se cruzar genericamente. Se inicialmente existem muitos enrolamentos de cordas em torno de dimensões compactas, o espaço só poderia se expandir para tamanhos macroscópicos uma vez que esses enrolamentos sejam eliminados, o que requer cordas com enrolamentos opostos para se encontrarem e se aniquilarem. Mas as cordas só podem se encontrar para se aniquilar em uma taxa significativa em três dimensões, de modo que apenas três dimensões do espaço podem crescer devido a esse tipo de configuração inicial.

As dimensões extras são consideradas universais se todos os campos forem igualmente livres para se propagar dentro deles.

Na computação gráfica e dados espaciais

Vários tipos de sistemas digitais são baseados no armazenamento, análise e visualização de formas geométricas, incluindo software de ilustração , design auxiliado por computador e sistemas de informação geográfica . Diferentes sistemas vetoriais usam uma ampla variedade de estruturas de dados para representar formas, mas quase todos são fundamentalmente baseados em um conjunto de primitivas geométricas correspondentes às dimensões espaciais: [16]

  • Ponto (0-dimensional), uma única coordenada em um sistema de coordenadas cartesiano .
  • Linha ou polilinha (unidimensional), geralmente representada como uma lista ordenada de pontos amostrados de uma linha contínua, em que o software deve interpolar a forma intermediária da linha como segmentos de linha reta ou curva.
  • Polígono (bidimensional), geralmente representado como uma linha que fecha em seus pontos finais, representando o limite de uma região bidimensional. Espera-se que o software use esse limite para particionar o espaço bidimensional em um interior e um exterior.
  • Superfície (tridimensional), representada usando uma variedade de estratégias, como um poliedro consistindo de faces poligonais conectadas. Espera-se que o software use essa superfície para dividir o espaço tridimensional em um interior e exterior.

Freqüentemente, nesses sistemas, especialmente GIS e Cartografia , uma representação de um fenômeno do mundo real pode ter uma dimensão diferente (geralmente inferior) do fenômeno que está sendo representado. Por exemplo, uma cidade (uma região bidimensional) pode ser representada como um ponto, ou uma estrada (um volume tridimensional de material) pode ser representada como uma linha. Esta generalização dimensionalcorrelaciona-se com tendências na cognição espacial. Por exemplo, perguntar a distância entre duas cidades pressupõe um modelo conceitual das cidades como pontos, enquanto dar direções envolvendo viagens "para cima", "para baixo" ou "ao longo" de uma estrada implica um modelo conceitual unidimensional. Isso é frequentemente feito para fins de eficiência de dados, simplicidade visual ou eficiência cognitiva e é aceitável se a distinção entre a representação e o representado for compreendida, mas pode causar confusão se os usuários de informações presumirem que a forma digital é uma representação perfeita da realidade (isto é, acreditar que estradas realmente são linhas).

Redes e dimensão

Algumas redes complexas são caracterizadas por dimensões fractais . [17] O conceito de dimensão pode ser generalizado para incluir redes embutidas no espaço. [18] As dimensões caracterizam suas restrições espaciais.

Na literatura

Textos de ficção científica freqüentemente mencionam o conceito de "dimensão" quando se referem a universos paralelos ou alternativos ou outros planos imaginários de existência . Este uso é derivado da ideia de que para viajar para universos / planos de existência paralelos / alternativos, é necessário viajar em uma direção / dimensão além dos padrões. Na verdade, os outros universos / planos estão apenas a uma pequena distância do nosso, mas a distância está em uma quarta (ou superior) dimensão espacial (ou não espacial), não nas dimensões padrão.

Uma das histórias de ficção científica mais anunciadas a respeito da verdadeira dimensionalidade geométrica, e freqüentemente recomendada como ponto de partida para aqueles que estão apenas começando a investigar tais assuntos, é a novela Flatland de 1884, de Edwin A. Abbott. Isaac Asimov, em seu prefácio à edição de 1984 do Signet Classics, descreveu Flatland como "A melhor introdução que se pode encontrar sobre a maneira de perceber as dimensões."

A idéia de outras dimensões foi incorporada muitas histórias de ficção científica início, aparecendo com destaque, por exemplo, em Miles J. Breuer 's O apêndice e os espetáculos (1928) e Murray Leinster ' s A Quinta Dimensão Catapult (1931); e apareceu irregularmente na ficção científica na década de 1940. Histórias clássicas envolvendo outras dimensões incluem Robert A. Heinlein 's —And He Built a Crooked House (1941), em que um arquiteto da Califórnia projeta uma casa baseada na projeção tridimensional de um tesserato; Alan E. Nourse do tigre pela cauda e O Universo Entre (tanto 1951); eThe Ifth of Oofth (1957) de Walter Tevis . Outra referência éo romance A Wrinkle In Time de Madeleine L'Engle (1962), que usa a quinta dimensão como forma de "tesseração do universo" ou "dobrar" o espaço para percorrê-lo rapidamente. A quarta e a quinta dimensões também são componentes-chave do livro The Boy Who Reversed Himself, de William Sleator .

Em filosofia

Immanuel Kant , em 1783, escreveu: "Que o espaço em toda parte (que não é ele próprio a fronteira de outro espaço) tem três dimensões e que o espaço em geral não pode ter mais dimensões baseia-se na proposição de que não mais do que três linhas podem se cruzar à direita ângulos em um ponto. Esta proposição não pode ser mostrada a partir de conceitos, mas repousa imediatamente na intuição e, na verdade, na intuição pura a priori porque é apodicticamente (demonstravelmente) certa. " [19]

"O espaço tem quatro dimensões" é um conto publicado em 1846 pelo filósofo e psicólogo experimental alemão Gustav Fechner sob o pseudônimo de "Dr. Mises". O protagonista do conto é uma sombra que está ciente e é capaz de se comunicar com outras sombras, mas que está presa em uma superfície bidimensional. De acordo com Fechner, esse "homem-sombra" conceberia a terceira dimensão como sendo uma dimensão do tempo. [20] A história tem uma forte semelhança com o " Alegoria da Caverna " apresentado em Platão 's A República ( c. 380 aC).

Simon Newcomb escreveu um artigo para o Bulletin of the American Mathematical Society em 1898 intitulado "The Philosophy of Hyperspace". [21] Linda Dalrymple Henderson cunhou o termo "filosofia do hiperespaço", usado para descrever a escrita que usa dimensões superiores para explorar temas metafísicos , em sua tese de 1983 sobre a quarta dimensão na arte do início do século XX. [22] Exemplos de "filósofos do hiperespaço" incluem Charles Howard Hinton , o primeiro escritor, em 1888, a usar a palavra "tesserato"; [23] e o esotérico russo P. D. Ouspensky .

Mais dimensões

Veja também

Tópicos por dimensão

Referências

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  2. ^ "MathWorld: Dimension" . Mathworld.wolfram.com. 27/02/2014. Arquivado do original em 25/03/2014 . Página visitada em 03-03-2014 .
  3. ^ Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). "4. Muito bom para ser verdade" . A Forma do Espaço Interior: Teoria das Cordas e a Geometria das Dimensões Ocultas do Universo . Livros básicos. pp. 60–. ISBN 978-0-465-02266-3.
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Leitura adicional

Ligações externas