Dimensão

Da esquerda para a direita: um quadrado , um cubo e um tesserato . O quadrado é bidimensional (2D) e delimitado por segmentos de reta unidimensionais ; o cubo é tridimensional (3D) e delimitado por quadrados bidimensionais; o tesserato é quadridimensional (4D) e delimitado por cubos tridimensionais.
As primeiras quatro dimensões espaciais, representadas em uma imagem bidimensional.
  1. Dois pontos podem ser conectados para criar um segmento de reta .
  2. Dois segmentos de reta paralelos podem ser conectados para formar um quadrado .
  3. Dois quadrados paralelos podem ser conectados para formar um cubo .
  4. Dois cubos paralelos podem ser conectados para formar um tesserato .

Em física e matemática , a dimensão de um espaço matemático (ou objeto ) é informalmente definida como o número mínimo de coordenadas necessárias para especificar qualquer ponto dentro dele. [1] [2] Assim, uma linha tem uma dimensão de um (1D) porque apenas uma coordenada é necessária para especificar um ponto nela – por exemplo, o ponto em 5 em uma reta numérica. Uma superfície , como o limite de um cilindro ou esfera , tem uma dimensão de dois (2D) porque duas coordenadas são necessárias para especificar um ponto nela – por exemplo, uma latitude e uma longitude são necessárias para localizar um ponto na superfície de uma esfera. Um espaço euclidiano bidimensional é um espaço bidimensional no plano . O interior de um cubo , um cilindro ou uma esfera é tridimensional (3D) porque três coordenadas são necessárias para localizar um ponto dentro desses espaços.

Na mecânica clássica , espaço e tempo são categorias diferentes e se referem ao espaço e tempo absolutos . Essa concepção do mundo é um espaço quadridimensional , mas não aquele que foi considerado necessário para descrever o eletromagnetismo . As quatro dimensões (4D) do espaço-tempo consistem em eventos que não são absolutamente definidos espacial e temporalmente, mas são conhecidos em relação ao movimento de um observador . O espaço de Minkowski primeiro aproxima o universo sem gravidade ; as variedades pseudo-Riemannianas da relatividade geral descrevem o espaço-tempo com matéria e gravidade. 10 dimensões são usadas para descrever a teoria das supercordas (hiperespaço 6D + 4D), 11 dimensões podem descrever a supergravidade e a teoria M (hiperespaço 7D + 4D), e o espaço de estado da mecânica quântica é um espaço de função infinitamente dimensional .

O conceito de dimensão não se restringe a objetos físicos.Espaços de alta dimensão ocorrem frequentemente em matemática eciências. Eles podem serespaços euclidianosouespaços de parâmetrosouespaços de configuraçãocomo nalagrangianaouhamiltoniana; estes sãoespaços abstratos, independentes doespaço físico.

Em matemática

Em matemática , a dimensão de um objeto é, grosso modo, o número de graus de liberdade de um ponto que se move sobre esse objeto. Em outras palavras, a dimensão é o número de parâmetros ou coordenadas independentes que são necessários para definir a posição de um ponto que é restrito a estar sobre o objeto. Por exemplo, a dimensão de um ponto é zero; a dimensão de uma linha é um, pois um ponto pode se mover sobre uma linha em apenas uma direção (ou seu oposto); a dimensão de um plano é dois, etc.

A dimensão é uma propriedade intrínseca de um objeto, no sentido de que é independente da dimensão do espaço no qual o objeto está ou pode ser inserido. Por exemplo, uma curva , como um círculo , é de dimensão um, porque a posição de um ponto em uma curva é determinada por sua distância assinada ao longo da curva até um ponto fixo na curva. Isso é independente do fato de que uma curva não pode ser inserida em um espaço euclidiano de dimensão menor que dois, a menos que seja uma linha.

A dimensão do espaço euclidiano n E n é n . Ao tentar generalizar para outros tipos de espaços, nos deparamos com a pergunta "o que torna E n n -dimensional?" Uma resposta é que para cobrir uma bola fixa em E n por pequenas bolas de raio ε , precisamos da ordem de ε n dessas pequenas bolas. Essa observação leva à definição da dimensão de Minkowski e sua variante mais sofisticada, a dimensão de Hausdorff , mas também há outras respostas para essa pergunta. Por exemplo, o limite de uma bola em E n parece localmente com E n -1 e isso leva à noção da dimensão indutiva . Embora essas noções concordem em E n , elas acabam sendo diferentes quando se olha para espaços mais gerais.

Um tesserato é um exemplo de um objeto quadridimensional. Enquanto fora da matemática o uso do termo "dimensão" é como em: "Um tesserato tem quatro dimensões ", os matemáticos geralmente expressam isso como: "O tesserato tem dimensão 4 ", ou: "A dimensão do tesserato é 4" ou: 4D.

Embora a noção de dimensões superiores remonte a René Descartes , o desenvolvimento substancial de uma geometria de dimensão superior só começou no século XIX, por meio do trabalho de Arthur Cayley , William Rowan Hamilton , Ludwig Schläfli e Bernhard Riemann . A Habilitationsschrift de Riemann em 1854 , a Theorie der vielfachen Kontinuität de Schläfli em 1852 , e a descoberta dos quaterniões por Hamilton e a descoberta dos octoniões por John T. Graves em 1843 marcaram o início da geometria de dimensão superior.

O restante desta seção examina algumas das definições matemáticas mais importantes de dimensão.

Espaços vetoriais

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base para o espaço, ou seja, o número de coordenadas necessárias para especificar qualquer vetor. Essa noção de dimensão (a cardinalidade de uma base) é frequentemente referida como dimensão de Hamel ou dimensão algébrica para distingui-la de outras noções de dimensão.

Para o caso não livre , isso se generaliza para a noção do comprimento de um módulo .

Coletores

A dimensão unicamente definida de cada variedade topológica conectada pode ser calculada. Uma variedade topológica conectada é localmente homeomorfa ao espaço n euclidiano , no qual o número n é a dimensão da variedade.

Para variedades diferenciáveis ​​conectadas , a dimensão também é a dimensão do espaço vetorial tangente em qualquer ponto.

Na topologia geométrica , a teoria de variedades é caracterizada pela maneira como as dimensões 1 e 2 são relativamente elementares, os casos de alta dimensão n > 4 são simplificados por terem espaço extra para "trabalhar"; e os casos n = 3 e 4 são, em alguns sentidos, os mais difíceis. Esse estado de coisas foi altamente marcado nos vários casos da conjectura de Poincaré , nos quais quatro métodos de prova diferentes são aplicados.

Dimensão complexa

O plano complexo pode ser mapeado para a superfície de uma esfera, chamada esfera de Riemann, com o número complexo 0 mapeado para um polo, o círculo unitário mapeado para o equador e um ponto no infinito mapeado para o outro polo.

A dimensão de uma variedade depende do campo base em relação ao qual o espaço euclidiano é definido. Enquanto a análise geralmente assume que uma variedade está sobre os números reais , às vezes é útil no estudo de variedades complexas e variedades algébricas trabalhar sobre os números complexos em vez disso. Um número complexo ( x + iy ) tem uma parte real x e uma parte imaginária y , em que x e y são ambos números reais; portanto, a dimensão complexa é metade da dimensão real.

Por outro lado, em contextos algebricamente irrestritos, um único sistema de coordenadas complexo pode ser aplicado a um objeto com duas dimensões reais. Por exemplo, uma superfície esférica bidimensional comum , quando recebe uma métrica complexa, torna-se uma esfera de Riemann de uma dimensão complexa. [3]

Variedades

A dimensão de uma variedade algébrica pode ser definida de várias maneiras equivalentes. A maneira mais intuitiva é provavelmente a dimensão do espaço tangente em qualquer ponto Regular de uma variedade algébrica . Outra maneira intuitiva é definir a dimensão como o número de hiperplanos que são necessários para ter uma interseção com a variedade que é reduzida a um número finito de pontos (dimensão zero). Esta definição é baseada no fato de que a interseção de uma variedade com um hiperplano reduz a dimensão em um, a menos que o hiperplano contenha a variedade.

Um conjunto algébrico sendo uma união finita de variedades algébricas, sua dimensão é o máximo das dimensões de seus componentes. É igual ao comprimento máximo das cadeias de subvariedades do conjunto algébrico dado (o comprimento de tal cadeia é o número de " ").

Cada variedade pode ser considerada como uma pilha algébrica , e sua dimensão como variedade concorda com sua dimensão como pilha. No entanto, há muitas pilhas que não correspondem a variedades, e algumas delas têm dimensão negativa. Especificamente, se V é uma variedade de dimensão m e G é um grupo algébrico de dimensão n atuando em V , então a pilha quociente [ V / G ] tem dimensão m  −  n . [4]

Dimensão Krull

A dimensão de Krull de um anel comutativo é o comprimento máximo de cadeias de ideais primos nele, uma cadeia de comprimento n sendo uma sequência de ideais primos relacionados por inclusão. Ela é fortemente relacionada à dimensão de uma variedade algébrica, por causa da correspondência natural entre subvariedades e ideais primos do anel dos polinômios na variedade.

Para uma álgebra sobre um corpo , a dimensão como espaço vetorial é finita se e somente se sua dimensão de Krull for 0.

Espaços topológicos

Para qualquer espaço topológico normal X , a dimensão de cobertura de Lebesgue de X é definida como o menor inteiro n para o qual o seguinte é válido: qualquer cobertura aberta tem um refinamento aberto (uma segunda cobertura aberta na qual cada elemento é um subconjunto de um elemento na primeira cobertura) tal que nenhum ponto é incluído em mais de n + 1 elementos. Neste caso dim X = n . Para X uma variedade, isso coincide com a dimensão mencionada acima. Se nenhum inteiro n existir, então a dimensão de X é dita infinita, e escreve-se dim X = ∞ . Além disso, X tem dimensão −1, ou seja, dim X = −1 se e somente se X for vazio. Esta definição de dimensão de cobertura pode ser estendida da classe de espaços normais para todos os espaços de Tychonoff simplesmente substituindo o termo "aberto" na definição pelo termo " funcionalmente aberto ".

Uma dimensão indutiva pode ser definida indutivamente como segue. Considere um conjunto discreto de pontos (como uma coleção finita de pontos) como sendo 0-dimensional. Ao arrastar um objeto 0-dimensional em alguma direção, obtém-se um objeto 1-dimensional. Ao arrastar um objeto 1-dimensional em uma nova direção , obtém-se um objeto 2-dimensional. Em geral, obtém-se um objeto ( n + 1 )-dimensional arrastando um objeto n -dimensional em uma nova direção. A dimensão indutiva de um espaço topológico pode se referir à pequena dimensão indutiva ou à grande dimensão indutiva , e é baseada na analogia de que, no caso de espaços métricos, bolas ( n + 1 )-dimensionais têm limites n -dimensionais , permitindo uma definição indutiva baseada na dimensão dos limites de conjuntos abertos. Além disso, o limite de um conjunto discreto de pontos é o conjunto vazio e, portanto, o conjunto vazio pode ser considerado como tendo dimensão -1. [5]

Similarmente, para a classe de complexos CW , a dimensão de um objeto é o maior n para o qual o n -esqueleto é não trivial. Intuitivamente, isso pode ser descrito como segue: se o espaço original pode ser continuamente deformado em uma coleção de triângulos de dimensões superiores unidos em suas faces com uma superfície complicada, então a dimensão do objeto é a dimensão desses triângulos. [ citação necessária ]

Dimensão de Hausdorff

A dimensão de Hausdorff é útil para estudar conjuntos estruturalmente complicados, especialmente fractais . A dimensão de Hausdorff é definida para todos os espaços métricos e, diferentemente das dimensões consideradas acima, também pode ter valores reais não inteiros. [6] A dimensão de caixa ou dimensão de Minkowski é uma variante da mesma ideia. Em geral, existem mais definições de dimensões fractais que funcionam para conjuntos altamente irregulares e atingem valores reais positivos não inteiros.

Espaços de Hilbert

Todo espaço de Hilbert admite uma base ortonormal , e quaisquer duas dessas bases para um espaço particular têm a mesma cardinalidade . Essa cardinalidade é chamada de dimensão do espaço de Hilbert. Essa dimensão é finita se e somente se a dimensão de Hamel do espaço for finita, e nesse caso as duas dimensões coincidem.

Em física

Dimensões espaciais

As teorias da física clássica descrevem três dimensões físicas : de um ponto específico no espaço , as direções básicas nas quais podemos nos mover são para cima/baixo, esquerda/direita e para frente/trás. O movimento em qualquer outra direção pode ser expresso em termos apenas dessas três. Mover-se para baixo é o mesmo que mover-se para cima uma distância negativa. Mover-se diagonalmente para cima e para frente é exatamente como o nome da direção indica , ou seja , mover-se em uma combinação linear de cima e para frente. Em sua forma mais simples: uma linha descreve uma dimensão, um plano descreve duas dimensões e um cubo descreve três dimensões. (Veja Espaço e sistema de coordenadas cartesianas .)

Número de
dimensões
Exemplo de sistemas de coordenadas
1
Linha numérica
Linha numérica
Ângulo
Ângulo
2

Cartesiano  (bidimensional)
Sistema polar
Polar
Sistema geográfico
Latitude e longitude
3
Sistema cartesiano (3d)
Cartesiano  (tridimensional)
Sistema cilíndrico
Cilíndrico
Sistema esférico
Esférico

Tempo

Uma dimensão temporal , ou dimensão temporal , é uma dimensão do tempo. O tempo é frequentemente chamado de " quarta dimensão " por esse motivo, mas isso não significa que seja uma dimensão espacial [ citação necessária ] . Uma dimensão temporal é uma maneira de medir a mudança física. Ela é percebida de forma diferente das três dimensões espaciais, pois há apenas uma, e que não podemos nos mover livremente no tempo, mas subjetivamente nos movemos em uma direção .

As equações usadas na física para modelar a realidade não tratam o tempo da mesma forma que os humanos comumente o percebem. As equações da mecânica clássica são simétricas em relação ao tempo , e as equações da mecânica quântica são tipicamente simétricas se tanto o tempo quanto outras quantidades (como carga e paridade ) forem invertidas. Nesses modelos, a percepção do tempo fluindo em uma direção é um artefato das leis da termodinâmica (percebemos o tempo fluindo na direção da entropia crescente ).

O tratamento mais conhecido do tempo como uma dimensão é a relatividade especial de Poincaré e Einstein (e estendida à relatividade geral ), que trata o espaço e o tempo percebidos como componentes de uma variedade quadridimensional , conhecida como espaço-tempo , e no caso especial e plano como espaço de Minkowski . O tempo é diferente de outras dimensões espaciais, pois o tempo opera em todas as dimensões espaciais. O tempo opera na primeira, segunda e terceira dimensões espaciais, bem como teóricas, como uma quarta dimensão espacial . O tempo não está, no entanto, presente em um único ponto de singularidade infinita absoluta , conforme definido como um ponto geométrico , pois um ponto infinitamente pequeno não pode ter nenhuma mudança e, portanto, nenhum tempo. Assim como quando um objeto se move através de posições no espaço, ele também se move através de posições no tempo. Nesse sentido, a força que move qualquer objeto a mudar é o tempo . [7] [8] [9]

Dimensões adicionais

Na física, três dimensões de espaço e uma de tempo são a norma aceita. No entanto, existem teorias que tentam unificar as quatro forças fundamentais introduzindo dimensões extras / hiperespaço . Mais notavelmente, a teoria das supercordas requer 10 dimensões de espaço-tempo e se origina de uma teoria mais fundamental de 11 dimensões, provisoriamente chamada de teoria M , que subsume cinco teorias de supercordas previamente distintas. A teoria da supergravidade também promove espaço-tempo 11D = hiperespaço 7D + 4 dimensões comuns. Até o momento, nenhuma evidência experimental ou observacional direta está disponível para apoiar a existência dessas dimensões extras. Se o hiperespaço existe, ele deve estar escondido de nós por algum mecanismo físico. Uma possibilidade bem estudada é que as dimensões extras podem ser "enroladas" em escalas tão pequenas que sejam efetivamente invisíveis aos experimentos atuais.

Ilustração de uma variedade Calabi-Yau

Em 1921, a teoria de Kaluza–Klein apresentou 5D incluindo uma dimensão extra do espaço. No nível da teoria quântica de campos , a teoria de Kaluza–Klein unifica a gravidade com interações de calibre , com base na percepção de que a gravidade propagando-se em pequenas e compactas dimensões extras é equivalente a interações de calibre em longas distâncias. Em particular, quando a geometria das dimensões extras é trivial, ela reproduz o eletromagnetismo . No entanto, em energias suficientemente altas ou distâncias curtas, essa configuração ainda sofre das mesmas patologias que obstruem as tentativas diretas de descrever a gravidade quântica . Portanto, esses modelos ainda requerem uma conclusão UV , do tipo que a teoria das cordas pretende fornecer. Em particular, a teoria das supercordas requer seis dimensões compactas (hiperespaço 6D) formando uma variedade Calabi–Yau . Assim, a teoria de Kaluza-Klein pode ser considerada como uma descrição incompleta por si só ou como um subconjunto da construção do modelo da teoria das cordas.

Além de pequenas e enroladas dimensões extras, pode haver dimensões extras que, em vez disso, não são aparentes porque a matéria associada ao nosso universo visível está localizada em um subespaço (3 + 1)-dimensional . Assim, as dimensões extras não precisam ser pequenas e compactas, mas podem ser grandes dimensões extras . D-branas são objetos estendidos dinâmicos de várias dimensionalidades previstas pela teoria das cordas que poderiam desempenhar esse papel. Elas têm a propriedade de que excitações de cordas abertas, que são associadas a interações de calibre, são confinadas à brana por seus pontos finais, enquanto as cordas fechadas que mediam a interação gravitacional são livres para se propagar em todo o espaço-tempo, ou "o volume". Isso pode estar relacionado ao motivo pelo qual a gravidade é exponencialmente mais fraca do que as outras forças, pois ela efetivamente se dilui à medida que se propaga em um volume de dimensão superior.

Alguns aspectos da física da brana foram aplicados à cosmologia . Por exemplo, a cosmologia do gás brana [10] [11] tenta explicar por que existem três dimensões do espaço usando considerações topológicas e termodinâmicas. De acordo com essa ideia, seria porque três é o maior número de dimensões espaciais nas quais as cordas podem se cruzar genericamente. Se inicialmente houver muitos enrolamentos de cordas em torno de dimensões compactas, o espaço só poderia se expandir para tamanhos macroscópicos uma vez que esses enrolamentos fossem eliminados, o que requer que cordas opostas se encontrem e se aniquilem. Mas as cordas só podem se encontrar para se aniquilar a uma taxa significativa em três dimensões, então segue-se que apenas três dimensões do espaço podem crescer muito, dado esse tipo de configuração inicial.

Dimensões extras são consideradas universais se todos os campos são igualmente livres para se propagar dentro delas.

Em computação gráfica e dados espaciais

Vários tipos de sistemas digitais são baseados no armazenamento, análise e visualização de formas geométricas, incluindo software de ilustração , design auxiliado por computador e sistemas de informação geográfica . Diferentes sistemas vetoriais usam uma grande variedade de estruturas de dados para representar formas, mas quase todos são fundamentalmente baseados em um conjunto de primitivas geométricas correspondentes às dimensões espaciais: [12]

  • Ponto (0-dimensional), uma única coordenada em um sistema de coordenadas cartesianas .
  • Linha ou polilinha (unidimensional) geralmente representada como uma lista ordenada de pontos amostrados de uma linha contínua, onde se espera que o software interpole a forma intermediária da linha como segmentos de linha reta ou curva.
  • Polígono (2-dimensional) geralmente representado como uma linha que se fecha em seus pontos finais, representando o limite de uma região bidimensional. Espera-se que o software use esse limite para particionar o espaço bidimensional em um interior e exterior.
  • Superfície (3-dimensional) representada usando uma variedade de estratégias, como um poliedro consistindo de faces poligonais conectadas. Espera-se que o software use essa superfície para particionar o espaço tridimensional em um interior e exterior.

Frequentemente nesses sistemas, especialmente GIS e Cartografia , uma representação de um fenômeno do mundo real pode ter uma dimensão diferente (geralmente menor) do que o fenômeno que está sendo representado. Por exemplo, uma cidade (uma região bidimensional) pode ser representada como um ponto, ou uma estrada (um volume tridimensional de material) pode ser representada como uma linha. Essa generalização dimensional se correlaciona com tendências na cognição espacial. Por exemplo, perguntar a distância entre duas cidades pressupõe um modelo conceitual das cidades como pontos, enquanto dar direções envolvendo viagens "para cima", "para baixo" ou "ao longo" de uma estrada implica um modelo conceitual unidimensional. Isso é frequentemente feito para fins de eficiência de dados, simplicidade visual ou eficiência cognitiva, e é aceitável se a distinção entre a representação e o representado for entendida, mas pode causar confusão se os usuários da informação presumirem que a forma digital é uma representação perfeita da realidade (ou seja, acreditar que as estradas realmente são linhas).

Mais dimensões

Lista de tópicos por dimensão

Veja também

Referências

  1. ^ "Curioso sobre Astronomia". Curious.astro.cornell.edu. Arquivado do original em 2014-01-11 . Recuperado em 2014-03-03 .
  2. ^ "MathWorld: Dimension". Mathworld.wolfram.com. 2014-02-27. Arquivado do original em 2014-03-25 . Recuperado em 2014-03-03 .
  3. ^ Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). "4. Bom demais para ser verdade". A forma do espaço interno: teoria das cordas e a geometria das dimensões ocultas do universo . Livros básicos. pp. 60–. ISBN 978-0-465-02266-3.
  4. ^ Fantechi, Barbara (2001), "Stacks for everybody" (PDF) , Congresso Europeu de Matemática Volume I , Progr. Math., vol. 201, Birkhäuser, pp. 349–359, arquivado (PDF) do original em 2006-01-17
  5. ^ Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (2015). Teoria da Dimensão (PMS-4), Volume 4. Princeton University Press . pág. 24. ISBN 978-1-4008-7566-5.Extrato da página 24
  6. ^ Dimensão Fractal Arquivado em 2006-10-27 no Wayback Machine , Departamento de Matemática e Estatística da Universidade de Boston
  7. ^ Rylov, Yuri A. (2007). "Método não euclidiano da construção da geometria generalizada e sua aplicação à geometria espaço-temporal". arXiv : math/0702552 .
  8. ^ Lane, Paul M.; Lindquist, Jay D. (22 de maio de 2015). "Definições para a Quarta Dimensão: Um Sistema de Classificação de Tempo Proposto1". Em Bahn, Kenneth D. (ed.). Anais da Conferência Anual da Academia de Ciências de Marketing (AMS) de 1988. Desenvolvimentos na Ciência de Marketing: Anais da Academia de Ciências de Marketing. Springer International Publishing. pp. 38–46. doi :10.1007/978-3-319-17046-6_8. ISBN 978-3-319-17045-9– via Springer Link.
  9. ^ Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (1912). "A Variedade Espaço-Tempo da Relatividade. A Geometria Não Euclidiana da Mecânica e do Eletromagnetismo". Anais da Academia Americana de Artes e Ciências . 48 (11): 389–507. doi :10.2307/20022840. JSTOR  20022840.
  10. ^ Brandenberger, R.; Vafa, C. (1989). "Supercordas no universo primitivo". Física Nuclear B . 316 (2): 391–410. Bibcode :1989NuPhB.316..391B. doi :10.1016/0550-3213(89)90037-0.
  11. ^ Scott Watson, Brane Gas Cosmology. Arquivado em 2014-10-27 no Wayback Machine (pdf).
  12. ^ Modelos de dados vetoriais, fundamentos de sistemas de informação geográfica , Saylor Academy, 2012

Leitura adicional

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