Equação diferencial

Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Ir para a navegação Saltar para pesquisar
Visualização da transferência de calor em uma carcaça de bomba, criada pela resolução da equação de calor . O calor está sendo gerado internamente no revestimento e resfriado no limite, proporcionando uma distribuição de temperatura em estado estacionário .

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções desconhecidas e suas derivadas . [1] Em aplicações, as funções geralmente representam quantidades físicas, as derivadas representam suas taxas de variação e a equação diferencial define uma relação entre as duas. Tais relações são comuns; portanto, as equações diferenciais desempenham um papel proeminente em muitas disciplinas, incluindo engenharia , física , economia e biologia .

Principalmente o estudo de equações diferenciais consiste no estudo de suas soluções (o conjunto de funções que satisfazem cada equação), e das propriedades de suas soluções. Apenas as equações diferenciais mais simples são solucionáveis ​​por fórmulas explícitas; no entanto, muitas propriedades de soluções de uma dada equação diferencial podem ser determinadas sem computá-las exatamente.

Muitas vezes, quando uma expressão de forma fechada para as soluções não está disponível, as soluções podem ser aproximadas numericamente usando computadores. A teoria de sistemas dinâmicos enfatiza a análise qualitativa de sistemas descritos por equações diferenciais, enquanto muitos métodos numéricos foram desenvolvidos para determinar soluções com um determinado grau de precisão.

História

As equações diferenciais surgiram pela primeira vez com a invenção do cálculo por Newton e Leibniz . No capítulo 2 de seu trabalho de 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , [2] Isaac Newton listou três tipos de equações diferenciais:

Em todos esses casos, y é uma função desconhecida de x (ou de x 1 e x 2 ), e f é uma função dada.

Ele resolve esses exemplos e outros usando séries infinitas e discute a não exclusividade das soluções.

Jacob Bernoulli propôs a equação diferencial de Bernoulli em 1695. [3] Esta é uma equação diferencial ordinária da forma

para o qual no ano seguinte Leibniz obteve soluções simplificando-o. [4]

Historicamente, o problema de uma corda vibrante como a de um instrumento musical foi estudado por Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli e Joseph-Louis Lagrange . [5] [6] [7] [8] Em 1746, d'Alembert descobriu a equação de onda unidimensional e, em dez anos, Euler descobriu a equação de onda tridimensional. [9]

A equação de Euler-Lagrange foi desenvolvida na década de 1750 por Euler e Lagrange em conexão com seus estudos do problema da tautócrona . Este é o problema de determinar uma curva na qual uma partícula ponderada cairá para um ponto fixo em um período de tempo fixo, independente do ponto de partida. Lagrange resolveu este problema em 1755 e enviou a solução para Euler. Ambos desenvolveram o método de Lagrange e o aplicaram à mecânica , o que levou à formulação da mecânica de Lagrange .

Em 1822, Fourier publicou seu trabalho sobre fluxo de calor em Théorie analytique de la chaleur (The Analytic Theory of Heat), [10] no qual baseou seu raciocínio na lei de resfriamento de Newton , ou seja, que o fluxo de calor entre duas moléculas adjacentes é proporcional à diferença extremamente pequena de suas temperaturas. Contida neste livro estava a proposta de Fourier de sua equação de calor para difusão condutiva de calor. Esta equação diferencial parcial é agora ensinada a todos os estudantes de física matemática.

Exemplo

Na mecânica clássica , o movimento de um corpo é descrito por sua posição e velocidade à medida que o valor do tempo varia. As leis de Newton permitem que essas variáveis ​​sejam expressas dinamicamente (dadas a posição, velocidade, aceleração e várias forças que atuam sobre o corpo) como uma equação diferencial para a posição desconhecida do corpo em função do tempo.

Em alguns casos, essa equação diferencial (chamada equação de movimento ) pode ser resolvida explicitamente.

Um exemplo de modelagem de um problema do mundo real usando equações diferenciais é a determinação da velocidade de uma bola caindo no ar, considerando apenas a gravidade e a resistência do ar. A aceleração da bola em direção ao solo é a aceleração devido à gravidade menos a desaceleração devido à resistência do ar. A gravidade é considerada constante e a resistência do ar pode ser modelada como proporcional à velocidade da bola. Isso significa que a aceleração da bola, que é uma derivada de sua velocidade, depende da velocidade (e a velocidade depende do tempo). Encontrar a velocidade em função do tempo envolve resolver uma equação diferencial e verificar sua validade.

Tipos

As equações diferenciais podem ser divididas em vários tipos. Além de descrever as propriedades da equação em si, essas classes de equações diferenciais podem ajudar a informar a escolha da abordagem para uma solução. As distinções comumente usadas incluem se a equação é ordinária ou parcial, linear ou não linear e homogênea ou heterogênea. Esta lista está longe de ser exaustiva; existem muitas outras propriedades e subclasses de equações diferenciais que podem ser muito úteis em contextos específicos.

Equações diferenciais ordinárias

Uma equação diferencial ordinária ( EDO ) é uma equação que contém uma função desconhecida de uma variável real ou complexa x , suas derivadas e algumas funções dadas de x . A função desconhecida é geralmente representada por uma variável (frequentemente denotada y ), que, portanto, depende de x . Assim , x é freqüentemente chamado de variável independente da equação. O termo " ordinário " é usado em contraste com o termo equação diferencial parcial , que pode ser em relação a mais de uma variável independente.

Equações diferenciais lineares são as equações diferenciais que são lineares na função desconhecida e suas derivadas. Sua teoria é bem desenvolvida e, em muitos casos, pode-se expressar suas soluções em termos de integrais .

A maioria das EDOs encontradas na física são lineares. Portanto, a maioria das funções especiais pode ser definida como soluções de equações diferenciais lineares (veja Função holonômica ).

Como, em geral, as soluções de uma equação diferencial não podem ser expressas por uma expressão de forma fechada , métodos numéricos são comumente usados ​​para resolver equações diferenciais em um computador.

Equações diferenciais parciais

Uma equação diferencial parcial ( EDP ) é uma equação diferencial que contém funções multivariáveis ​​desconhecidas e suas derivadas parciais . (Isso contrasta com as equações diferenciais ordinárias , que lidam com funções de uma única variável e suas derivadas.) EDPs são usados ​​para formular problemas envolvendo funções de várias variáveis ​​e são resolvidos de forma fechada ou usados ​​para criar um computador relevante. modelo .

PDEs podem ser usados ​​para descrever uma ampla variedade de fenômenos na natureza, como som , calor , eletrostática , eletrodinâmica , fluxo de fluido , elasticidade ou mecânica quântica . Esses fenômenos físicos aparentemente distintos podem ser formalizados de forma semelhante em termos de PDEs. Assim como as equações diferenciais ordinárias geralmente modelam sistemas dinâmicos unidimensionais , as equações diferenciais parciais geralmente modelam sistemas multidimensionais . As equações diferenciais parciais estocásticas generalizam as equações diferenciais parciais para modelar a aleatoriedade .

Equações diferenciais não lineares

Uma equação diferencial não linear é uma equação diferencial que não é uma equação linear na função desconhecida e suas derivadas (a linearidade ou não linearidade nos argumentos da função não são consideradas aqui). Existem muito poucos métodos para resolver exatamente equações diferenciais não lineares; aqueles que são conhecidos tipicamente dependem da equação ter simetrias particulares . Equações diferenciais não lineares podem exibir um comportamento muito complicado em intervalos de tempo prolongados, característicos do caos. Mesmo as questões fundamentais de existência, unicidade e extensibilidade de soluções para equações diferenciais não lineares, e bem-posição de problemas de valor inicial e de contorno para EDPs não lineares são problemas difíceis e sua resolução em casos especiais é considerada um avanço significativo na matemática. teoria (cf. existência e suavidade de Navier-Stokes ). No entanto, se a equação diferencial é uma representação corretamente formulada de um processo físico significativo, espera-se que ela tenha uma solução. [11]

Equações diferenciais lineares freqüentemente aparecem como aproximações de equações não lineares. Estas aproximações são válidas apenas em condições restritas. Por exemplo, a equação do oscilador harmônico é uma aproximação da equação do pêndulo não linear que é válida para oscilações de pequena amplitude (veja abaixo).

Ordem da equação

As equações diferenciais são descritas por sua ordem, determinada pelo termo com as maiores derivadas . Uma equação contendo apenas as primeiras derivadas é uma equação diferencial de primeira ordem , uma equação contendo a segunda derivada é uma equação diferencial de segunda ordem e assim por diante. [12] [13] Equações diferenciais que descrevem fenômenos naturais quase sempre têm apenas derivadas de primeira e segunda ordem, mas há algumas exceções, como a equação de filme fino , que é uma equação diferencial parcial de quarta ordem.

Exemplos

No primeiro grupo de exemplos u é uma função desconhecida de x , e c e ω são constantes que se supõe serem conhecidas. Duas classificações amplas de equações diferenciais ordinárias e parciais consistem em distinguir entre equações diferenciais lineares e não lineares, e entre equações diferenciais homogêneas e heterogêneas .

  • Equação diferencial ordinária de coeficiente constante linear de primeira ordem heterogênea:
  • Equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea:
  • Equação diferencial ordinária de coeficiente constante linear de segunda ordem homogênea que descreve o oscilador harmônico :
  • Equação diferencial ordinária não linear de primeira ordem heterogênea:
  • Equação diferencial ordinária não linear de segunda ordem (devido à função seno) que descreve o movimento de um pêndulo de comprimento L :

No próximo grupo de exemplos, a função desconhecida u depende de duas variáveis ​​x e t ou x e y .

  • Equação diferencial parcial linear homogênea de primeira ordem:
  • Equação diferencial parcial homogênea de coeficiente constante linear de segunda ordem de tipo elíptico, a equação de Laplace :
  • Equação diferencial parcial não linear homogênea de terceira ordem:

Existência de soluções

Resolver equações diferenciais não é como resolver equações algébricas . Não apenas suas soluções são muitas vezes obscuras, mas se as soluções são únicas ou existem também são assuntos de interesse notáveis.

Para problemas de valor inicial de primeira ordem, o teorema de existência de Peano fornece um conjunto de circunstâncias nas quais existe uma solução. Dado qualquer pontono plano xy, defina alguma região retangular, de tal modo queeestá no interior de. Se nos for dada uma equação diferenciale a condição quequando, então existe localmente uma solução para este problema seeambos são contínuos em. Esta solução existe em algum intervalo com seu centro em. A solução pode não ser única. (Veja Equação diferencial ordinária para outros resultados.)

No entanto, isso só nos ajuda com problemas de valor inicial de primeira ordem . Suponha que tivéssemos um problema de valor inicial linear de enésima ordem:

de tal modo que

Para qualquer diferente de zero, E seesão contínuas em algum intervalo contendo,é único e existe. [14]

Conceitos relacionados

Conexão com equações de diferenças

A teoria das equações diferenciais está intimamente relacionada com a teoria das equações diferenciais , na qual as coordenadas assumem apenas valores discretos, e a relação envolve valores da função desconhecida ou funções e valores em coordenadas próximas. Muitos métodos para calcular soluções numéricas de equações diferenciais ou estudar as propriedades de equações diferenciais envolvem a aproximação da solução de uma equação diferencial pela solução de uma equação diferencial correspondente.

Aplicativos

O estudo de equações diferenciais é um campo amplo em matemática pura e aplicada , física e engenharia . Todas essas disciplinas estão preocupadas com as propriedades de equações diferenciais de vários tipos. A matemática pura foca na existência e unicidade das soluções, enquanto a matemática aplicada enfatiza a justificação rigorosa dos métodos para aproximar soluções. As equações diferenciais desempenham um papel importante na modelagem de praticamente todos os processos físicos, técnicos ou biológicos, desde o movimento celeste até o projeto de pontes e as interações entre os neurônios. Equações diferenciais como aquelas usadas para resolver problemas da vida real podem não ser necessariamente solucionáveis ​​diretamente, ou seja, não têm forma fechadasoluções. Em vez disso, as soluções podem ser aproximadas usando métodos numéricos .

Muitas leis fundamentais da física e da química podem ser formuladas como equações diferenciais. Em biologia e economia , equações diferenciais são usadas para modelaro comportamento de sistemas complexos. A teoria matemática das equações diferenciais desenvolveu-se primeiramente em conjunto com as ciências onde as equações se originaram e onde os resultados encontraram aplicação. No entanto, problemas diversos, às vezes com origem em campos científicos bastante distintos, podem dar origem a equações diferenciais idênticas. Sempre que isso acontece, a teoria matemática por trás das equações pode ser vista como um princípio unificador por trás de diversos fenômenos. Como exemplo, considere a propagação de luz e som na atmosfera e de ondas na superfície de um lago. Todos eles podem ser descritos pela mesma equação diferencial parcial de segunda ordem , a equação de onda, o que nos permite pensar em luz e som como formas de ondas, bem como ondas familiares na água. A condução do calor, cuja teoria foi desenvolvida por Joseph Fourier , é governada por outra equação diferencial parcial de segunda ordem, a equação do calor . Acontece que muitos processos de difusão , embora aparentemente diferentes, são descritos pela mesma equação; a equação de Black-Scholes em finanças está, por exemplo, relacionada à equação do calor.

O número de equações diferenciais que receberam um nome, em diversas áreas científicas, é uma testemunha da importância do tema. Consulte Lista de equações diferenciais nomeadas .

Software

Alguns softwares CAS podem resolver equações diferenciais. Vale a pena mencionar estes softwares CAS e seus comandos:

Veja também

Referências

  1. ^ Dennis G. Zill (15 de março de 2012). Um Primeiro Curso em Equações Diferenciais com Aplicações de Modelagem . Cengage Aprendizagem. ISBN 978-1-285-40110-2.
  2. ^ Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (O Método de Fluxões e Séries Infinitas), publicado em 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
  3. Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis" , Acta Eruditorum
  4. ^ Cabeleireiro, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolvendo equações diferenciais ordinárias I: Problemas não rígidos , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0
  5. ^ Frasier, Craig (julho de 1983). "Revisão da evolução da dinâmica, teoria da vibração de 1687 a 1742 , por John T. Cannon e Sigalia Dostrovsky" (PDF) . Boletim da American Mathematical Society . Nova Série. 9 (1).
  6. ^ Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "A controvérsia das cordas vibrantes". Sou. J. Física. 55 (1): 33–37. Bibcode : 1987AmJPh..55...33W . doi : 10.1119/1.15311 .
  7. Para uma coleção especial dos 9 artigos inovadores dos três autores, veja Primeira aparição da equação de onda: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - a controvérsia sobre cordas vibrantes Arquivado 2020-02-09 na Wayback Machine (recuperado em 13 de novembro de 2012). Herman HJ Lynge e Filho.
  8. ^ Para as contribuições de de Lagrange para a equação de onda acústica, pode consultar Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; página 18. (recuperado em 9 de dezembro de 2012)
  9. ^ Speiser, David. Descobrindo os Princípios da Mecânica 1600-1800 , p. 191 (Basileia: Birkhäuser, 2008).
  10. ^ Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (em francês). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081 . 
  11. ^ Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Equações diferenciais elementares e problemas de valor de fronteira (4ª ed.). John Wiley & Filhos. pág. 3.
  12. ^ Weisstein , Eric W. "Ordem das Equações Diferenciais Ordinárias". De MathWorld -- Um recurso da Web da Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html
  13. Ordem e grau de uma equação diferencial Arquivado em 2016-04-01 na Wayback Machine , acessado em dezembro de 2015.
  14. ^ Zill, Dennis G. (2001). Um Primeiro Curso em Equações Diferenciais (5ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.
  15. ^ "dsolve - Ajuda de programação do Maple" . www.maplesoft.com . Recuperado 2020-05-09 .
  16. ^ "DSolve - Wolfram Language Documentation" . www.wolfram.com . Recuperado 2020-06-28 .
  17. ^ "Álgebra Básica e Cálculo — Tutorial Sage v9.0" . doc.sagemath.org . Recuperado 2020-05-09 .
  18. ^ "Álgebra Simbólica e Matemática com Xcas" (PDF) .

Leitura adicional

Links externos