Geometria Descritiva

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Exemplo de quatro representações 2D diferentes do mesmo objeto 3D
O mesmo objeto desenhado de seis lados

A geometria descritiva é o ramo da geometria que permite a representação de objetos tridimensionais em duas dimensões usando um conjunto específico de procedimentos. As técnicas resultantes são importantes para a engenharia , arquitetura , design e arte . [1] A base teórica para geometria descritiva é fornecida por projeções geométricas planares . A primeira publicação conhecida sobre a técnica foi "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt", publicada em Linien, Nuremberg: 1525, por Albrecht Dürer . Arquiteto italiano Guarino Guarinifoi também um pioneiro da geometria projetiva e descritiva, como fica claro em sua  Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) e Architettura Civile (1686 - não publicada até 1737), antecipando o trabalho de Gaspard Monge (1746-1818), que geralmente é creditado com a invenção da geometria descritiva. [2] [3] Gaspard Monge é normalmente considerado o "pai da geometria descritiva" devido aos seus desenvolvimentos na resolução de problemas geométricos. Suas primeiras descobertas foram em 1765, enquanto trabalhava como desenhista para fortificações militares, embora suas descobertas tenham sido publicadas posteriormente. [4]

Os protocolos de Monge permitem que um objeto imaginário seja desenhado de forma que possa ser modelado em três dimensões. Todos os aspectos geométricos do objeto imaginário são contabilizados em tamanho real/escala e forma, e podem ser visualizados como vistos de qualquer posição no espaço. Todas as imagens são representadas em uma superfície bidimensional.

A geometria descritiva usa a técnica de criação de imagem de projetores paralelos imaginários que emanam de um objeto imaginário e cruzam um plano imaginário de projeção em ângulos retos. Os pontos cumulativos de interseções criam a imagem desejada.

Protocolos

  • Projete duas imagens de um objeto em direções arbitrárias mutuamente perpendiculares. Cada visualização de imagem acomoda três dimensões de espaço, duas dimensões exibidas como eixos mutuamente perpendiculares em escala real e uma como um eixo invisível (visão de ponto) retrocedendo para o espaço da imagem (profundidade). Cada uma das duas visualizações de imagem adjacentes compartilha uma visualização em escala real de uma das três dimensões do espaço.
  • Qualquer uma dessas imagens pode servir como ponto inicial para uma terceira visão projetada. A terceira visão pode iniciar uma quarta projeção, e ad infinitum. Cada uma dessas projeções sequenciais representa uma curva tortuosa de 90° no espaço para ver o objeto de uma direção diferente.
  • Cada nova projeção utiliza uma dimensão em escala total que aparece como dimensão de ponto de vista na visualização anterior. Para obter a visualização em escala real desta dimensão e acomodá-la na nova visualização, é necessário ignorar a visualização anterior e prosseguir para a segunda visualização anterior, na qual esta dimensão aparece em escala total.
  • Cada nova visualização pode ser criada projetando-se em qualquer uma de um número infinito de direções, perpendicular à direção de projeção anterior. (Visualize as várias direções dos raios de uma roda de carroça, cada uma perpendicular à direção do eixo.) O resultado é pisar em torno de um objeto em voltas de 90° e ver o objeto a cada passo. Cada nova visualização é adicionada como uma visualização adicional a uma exibição de layout de projeção ortogonal e aparece em um "desdobramento do modelo de caixa de vidro".

Além da Ortográfica, seis visualizações principais padrão (Frontal; Lado direito; Lado esquerdo; Superior; Inferior; Traseira), a geometria descritiva se esforça para produzir quatro visualizações básicas de solução: o comprimento real de uma linha (ou seja, tamanho total, não encurtado ) , a vista de ponto (vista final) de uma linha, a forma real de um plano (ou seja, tamanho real em escala ou não encurtado) e a vista de borda de um plano (ou seja, vista de um plano com a linha de visão perpendicular à linha de visão associada à linha de visão para produzir a verdadeira forma de um plano). Estes geralmente servem para determinar a direção da projeção para a visão subseqüente. Pelo processo de passo tortuoso de 90°, projetar em qualquer direção a partir do ponto de vista de uma linha produz seu comprimento realVisão; projetar em uma direção paralela a uma visão de linha de comprimento real produz sua visão de ponto, projetar a visão de ponto de qualquer linha em um plano produz a visão de borda do plano; projetar em uma direção perpendicular à vista de borda de um plano produzirá a visão de forma real (em escala). Essas várias visualizações podem ser usadas para ajudar a resolver problemas de engenharia apresentados pelos princípios da geometria sólida.

Heurística

Há um valor heurístico no estudo da geometria descritiva. Promove a visualização e as habilidades analíticas espaciais, bem como a capacidade intuitiva de reconhecer a direção da visualização para melhor apresentar um problema geométrico para solução. Exemplos representativos:

A melhor direção para ver

  • Duas linhas de inclinação (tubos, talvez) em posições gerais para determinar a localização de seu conector mais curto (perpendicular comum)
  • Duas linhas de inclinação (tubos) em posições gerais de modo que seu conector mais curto seja visto em escala real
  • Duas linhas inclinadas em posições gerais, como o conector mais curto paralelo a um determinado plano é visto em escala total (digamos, para determinar a posição e a dimensão do conector mais curto a uma distância constante de uma superfície radiante)
  • Uma superfície plana de modo que um furo perfurado perpendicularmente seja visto em escala total, como se estivesse olhando através do furo (digamos, para testar folgas com outros furos perfurados)
  • Um plano equidistante de duas linhas de inclinação em posições gerais (digamos, para confirmar a distância de radiação segura?)
  • A distância mais curta de um ponto a um plano (digamos, para localizar a posição mais econômica para órtese)
  • A linha de interseção entre duas superfícies, incluindo superfícies curvas (digamos, para o dimensionamento mais econômico das seções?)
  • O verdadeiro tamanho do ângulo entre dois planos

Ainda não foi adotado um padrão para apresentar visualizações de modelagem por computador análogas às projeções ortogonais sequenciais. Um candidato para tal é apresentado nas ilustrações abaixo. As imagens nas ilustrações foram criadas usando computação gráfica de engenharia tridimensional.

A modelagem tridimensional por computador produz um espaço virtual "atrás do tubo", por assim dizer, e pode produzir qualquer visão de um modelo de qualquer direção dentro desse espaço virtual. Ele faz isso sem a necessidade de vistas ortográficas adjacentes e, portanto, pode parecer tornar obsoleto o tortuoso protocolo escalonado da Geometria Descritiva. No entanto, como a geometria descritiva é a ciência da imagem legítima ou permitida do espaço tridimensional ou mais , em um plano plano, é um estudo indispensável para aprimorar as possibilidades de modelagem por computador.

Exemplos

Encontrando o conector mais curto entre duas linhas de inclinação fornecidas PR e SU

Exemplo do uso da geometria descritiva para encontrar o conector mais curto entre duas linhas de inclinação. Os destaques em vermelho, amarelo e verde mostram as distâncias que são as mesmas para as projeções do ponto P.

Dadas as coordenadas X, Y e Z de P, R, S e U, as projeções 1 e 2 são desenhadas em escala nos planos XY e XZ, respectivamente.

Para obter uma visão real (o comprimento na projeção é igual ao comprimento no espaço 3D) de uma das linhas: SU neste exemplo, a projeção 3 é desenhada com a linha de dobradiça H 2,3 paralela a S 2 U 2 . Para obter uma visão final de SU, a projeção 4 é desenhada com a linha de dobradiça H 3,4 perpendicular a S 3 U 3 . A distância perpendicular d dá a distância mais curta entre PR e SU.

Para obter os pontos Q e T nestas linhas dando esta distância mais curta, a projeção 5 é desenhada com a linha de dobradiça H 4,5 paralela a P 4 R 4 , tornando P 5 R 5 e S 5 U 5 vistas verdadeiras (qualquer projeção de um a visão final é uma visão verdadeira). Projetando a interseção dessas linhas, Q 5 e T 5 de volta à projeção 1 (linhas magenta e rótulos) permite que suas coordenadas sejam lidas nos eixos X, Y e Z.

Soluções gerais

As soluções gerais são uma classe de soluções dentro da geometria descritiva que contém todas as soluções possíveis para um problema. A solução geral é representada por um único objeto tridimensional, geralmente um cone, cujas direções dos elementos são a direção de visualização desejada (projeção) para qualquer um de um número infinito de visualizações de solução.

Por exemplo: Para encontrar a solução geral de modo que duas linhas de inclinação de comprimento desigual em posições gerais (digamos, foguetes em vôo?) apareçam:

  • comprimento igual
  • Comprimento igual e paralelo
  • Comprimento igual e perpendicular (digamos, para segmentação ideal de pelo menos um)
  • Igual a comprimentos de uma razão especificada
  • outros.

Nos exemplos, a solução geral para cada solução característica desejada é um cone, cada elemento do qual produz uma de um número infinito de visualizações de solução. Quando duas ou mais características, digamos as listadas acima, são desejadas (e para as quais existe uma solução), projetando-se na direção de qualquer um dos dois elementos de interseção (um elemento, se os cones forem tangentes) entre os dois cones produz o resultado desejado visualização da solução. Se os cones não se cruzarem, não existe solução. Os exemplos abaixo são anotados para mostrar os princípios geométricos descritivos usados ​​nas soluções. TL = True-Length; EV = Visão de Borda.

figos. 1-3 abaixo demonstram (1) Geometria descritiva, soluções gerais e (2) simultaneamente, um padrão potencial para apresentar tais soluções em formatos de layout ortográficos, multiview.

O padrão potencial emprega duas vistas ortográficas padrão adjacentes (aqui, frontal e superior) com uma "linha de dobra" padrão entre elas. Como não há necessidade subseqüente de 'passar por circuito' 90° ao redor do objeto, em seqüências padrão de duas etapas, a fim de chegar a uma visualização da solução (é possível ir diretamente para a visualização da solução), esse protocolo mais curto é considerado para no layout. Onde o protocolo de uma etapa substitui o protocolo de duas etapas, são usadas linhas de "dobragem dupla". Em outras palavras, quando alguém cruza as linhas duplas, ele não está fazendo uma curva tortuosa de 90°, mas uma curva não ortodirecional diretamente para a visão da solução. Como a maioria dos pacotes de computação gráfica de engenharia gera automaticamente as seis vistas principais do modelo da caixa de vidro, bem como uma vista isométrica,

Figura 1 Geometria descritiva - linhas de inclinação que parecem perpendiculares
Figura 1: Geometria descritiva - linhas de inclinação que parecem perpendiculares
Figura 2 Geometria descritiva - as linhas de inclinação parecem ter o mesmo comprimento
Figura 2: Geometria descritiva - as linhas inclinadas parecem ter o mesmo comprimento
Figura 3 Geometria descritiva - linhas de inclinação aparecem na proporção de comprimento especificada
Figura 3: Geometria descritiva - linhas de inclinação aparecem na proporção de comprimento especificada

Veja também

Referências

  1. ^ Joseph Malkevitch (abril de 2003), "Mathematics and Art" , Feature Column Archive , American Mathematical Society
  2. ^ James Stevens Curl , ed. (2015). "Guarini, Guarino" . Um Dicionário de Arquitetura . Imprensa da Universidade de Oxford . pág. 337. ISBN 9780198606789.
  3. ^ Bianchini, Carlos (2012). "Papel da estereotomia na pesquisa espacial de Guarino Guarini". Porcas e parafusos da história da construção . 1 : 257–263. ISBN 978-2-7084-0929-3.
  4. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (dezembro de 1978), "Planar Geometric Projections and Viewing Transformations", ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, CiteSeerX 10.1.1.532.4774 , doi : 10.1145/356744.356750 , S2CID 708008