Graus (ângulo)

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Grau
Sistema de unidadesUnidade não-SI aceita
Unidade deÂngulo
Símbolo° [1] [2]  ou deg [3]
Conversões
1 ° [1] [2] em ...... é igual a ...
   voltas   1/360 vez
   radianos   π/180 rad ≈ 0,01745 .. rad
   miliradianos   50 · π/9 mrad ≈ 17.45 .. mrad
   gons   10/9g
Um grau (mostrado em vermelho) e
oitenta e nove graus (mostrado em azul)

Um grau (na totalidade, um grau de arco , grau de arco , ou arcdegree ), geralmente indicado por ° (o símbolo grau ), é uma medição de um plano de ângulo em que uma rotação completa é de 360 graus. [4]

Não é uma unidade SI - a unidade SI de medida angular é o radiano - mas é mencionada no folheto SI como uma unidade aceita . [5] Como uma rotação completa é igual a 2 π radianos, um grau é equivalente aπ/180 radianos.

História

Um círculo com um acorde equilátero (vermelho). Um sexagésimo deste arco é um grau. Seis desses acordes completam o círculo. [6]

A motivação original para escolher o grau como uma unidade de rotações e ângulos é desconhecida. Uma teoria afirma que está relacionado ao fato de que 360 ​​é aproximadamente o número de dias em um ano. [4] Os astrônomos antigos notaram que o sol, que segue pelo caminho da eclíptica ao longo do ano, parece avançar em seu caminho cerca de um grau a cada dia. Alguns calendários antigos , como o calendário persa e o calendário babilônico , usavam 360 dias por ano. O uso de um calendário com 360 dias pode estar relacionado ao uso de números sexagesimais .

Outra teoria é que os babilônios subdividiram o círculo usando o ângulo de um triângulo equilátero como unidade básica, e subdividiram o último em 60 partes, seguindo seu sistema numérico sexagesimal . [7] [8] A trigonometria mais antiga , usada pelos astrônomos babilônios e seus sucessores gregos , era baseada em acordes de um círculo. Uma corda de comprimento igual ao raio formava uma quantidade base natural. Um sexagésimo disso, usando suas divisões sexagesimais padrão , era um grau.

Aristarco de Samos e Hiparco parecem ter sido um dos primeiros cientistas gregos a explorar o conhecimento e as técnicas astronômicas da Babilônia sistematicamente. [9] [10] Timocharis , Aristarchus, Aristillus , Archimedes e Hipparchus foram os primeiros gregos conhecidos por dividir o círculo em 360 graus de 60 minutos de arco . [11] Eratóstenes usou um sistema sexagesimal mais simples , dividindo um círculo em 60 partes. [ citação necessária ]

A divisão do círculo em 360 partes também ocorreu na Índia antiga , conforme evidenciado no Rigveda : [12]

Doze raios, uma roda, umbigo três.

Quem pode compreender isso?
Nele são colocados
trezentos e sessenta como pinos.
Eles tremem nem um pouco.

-  Dirghatamas , Rigveda 1.164.48

Outra motivação para escolher o número 360 pode ter sido que ele é facilmente divisível : 360 tem 24 divisores , [nota 1] tornando-o um de apenas 7 números, de modo que nenhum número menor que o dobro tem mais divisores (sequência A072938 no OEIS ) [13] [14] Além disso, é divisível por todos os números de 1 a 10, exceto 7. [nota 2] Esta propriedade tem muitas aplicações úteis, como dividir o mundo em 24 fusos horários , cada um dos quais é nominalmente 15 ° de longitude , para correlacionar com a convenção de dias de 24 horas estabelecida .

Finalmente, pode ser que mais de um desses fatores tenha entrado em jogo. De acordo com essa teoria, o número é de aproximadamente 365 por causa do movimento aparente do sol contra a esfera celeste, e que foi arredondado para 360 por algumas das razões matemáticas citadas acima.

Subdivisões

Para muitos propósitos práticos, um grau é um ângulo pequeno o suficiente para que graus inteiros forneçam precisão suficiente. Quando não for o caso, como na astronomia ou para coordenadas geográficas ( latitude e longitude ), as medidas de graus podem ser escritas em graus decimais , com o símbolo do grau atrás dos decimais; por exemplo, 40,1875 °.

Alternativamente, as subdivisões tradicionais da unidade sexagesimal podem ser usadas. Um grau é dividido em 60 minutos (de arco) e um minuto em 60 segundos (de arco) . O uso de graus-minutos-segundos também é chamado de notação DMS. Essas subdivisões, também chamadas de minuto de arco e segundo de arco , são representadas respectivamente por um único primo (′) e um primo duplo (″). Por exemplo, 40,1875 ° = 40 ° 11 ′ 15 ″ ou, usando aspas , 40 ° 11 '15 " . A precisão adicional pode ser fornecida usando decimais para o componente de segundos de arco.

As cartas marítimas são marcadas em graus e minutos decimais para facilitar a medição; 1 minuto de latitude equivale a 1 milha náutica . O exemplo acima seria fornecido como 40 ° 11,25 ′ (comumente escrito como 11′25 ou 11′.25). [15]

O antigo sistema de terços , quartos, etc., que continua a subdivisão da unidade sexagesimal, foi usado por al-Kashi [ carece de fontes? ] E outros astrônomos antigos, mas raramente é usado hoje. Essas subdivisões foram denotadas escrevendo o numeral romano para o número de sessenta avos em sobrescrito: 1 I para um " primo " (minuto do arco), 1 II para um segundo , 1 III para um terceiro , 1 IV para um quarto , etc. [16]Conseqüentemente, os símbolos modernos para o minuto e o segundo do arco, e a palavra "segundo" também se referem a este sistema. [17]

Unidades alternativas

Um gráfico para converter entre graus e radianos

Na maioria dos trabalhos matemáticos além da geometria prática, os ângulos são normalmente medidos em radianos em vez de graus. Isso ocorre por vários motivos; por exemplo, as funções trigonométricas têm propriedades mais simples e "naturais" quando seus argumentos são expressos em radianos. Essas considerações superam a divisibilidade conveniente do número 360. Uma volta completa (360 °) é igual a 2 π radianos, então 180 ° é igual a π radianos, ou equivalentemente, o grau é uma constante matemática : 1 ° = π180 .

A volta (ou revolução, círculo completo, rotação completa, ciclo) é usada em tecnologia e ciência . Uma volta é igual a 360 °.

Com a invenção do sistema métrico , com base em potências de dez, houve uma tentativa de substituir graus por decimal "graus" [blocos 3] chamado grad ou gon , onde o número em ângulo recto é igual a 100 gon com 400 gon em um círculo completo (1 ° = 109 grados). Embora essa ideia tenha sido abandonada por Napoleão, as notas continuaram a ser usadas em vários campos e muitas calculadoras científicas as apoiam. Décadas ( 14.000 ) foram usadas com miras de artilharia francesa na Primeira Guerra Mundial

Um mil angular , que é mais usado em aplicações militares, tem pelo menos três variantes específicas, variando de 16.400 a 16.000 . É aproximadamente igual a um milirradiano ( c. 16.283 ). Um mil medindo 16.000 de uma revolução originou-se no exército imperial russo , onde um acorde equilátero foi dividido em décimos para dar um círculo de 600 unidades. Isso pode ser visto em um avião de linha (um dos primeiros dispositivos para mirar artilharia de fogo indireto ) datado de cerca de 1900 em São Petersburgo Museu de Artilharia.

Conversão de ângulos comuns
Turns Radianos Graus Gradians ou gons
0 turno 0 rad 0 ° 0 g
1/24 vez 𝜏/24rad [a] π/12 rad 15 ° 16+2/3g
1/16 vez 𝜏/16 rad π/8 rad 22,5 ° 25 g
1/12 vez 𝜏/12 rad π/6 rad 30 ° 33+1/3g
1/10 vez 𝜏/10 rad π/5 rad 36 ° 40 g
1/8 vez 𝜏/8 rad π/4 rad 45 ° 50 g
1/2 π vez 1 rad c. 57,3 ° c. 63,7 g
1/6 vez 𝜏/6 rad π/3 rad 60 ° 66+2/3g
1/5 vez 𝜏/5 rad 2 π/5 rad 72 ° 80 g
1/4 vez 𝜏/4 rad π/2 rad 90 ° 100 g
1/3 vez 𝜏/3 rad 2 π/3 rad 120 ° 133+1/3g
2/5 vez 2𝜏/5 rad 4 π/5 rad 144 ° 160 g
1/2 vez 𝜏/2 rad π rad 180 ° 200 g
3/4 vez 3𝜏/4 rad 3 π/2 rad 270 ° 300 g
1 volta 𝜏 rad 2 π rad 360 ° 400 g
  1. ^ Nesta tabela, 𝜏 denota 2 π .

Veja também

Notas

  1. ^ Os divisores de 360 ​​são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 e 360.
  2. ^ Compare isso com o 2520 relativamente pesado, que é o mínimo múltiplo comum para cada número de 1 a 10.
  3. ^ Estes "graus" novos e decimais não devem ser confundidos com graus decimais .

Referências

  1. ^ HP 48G Series - Guia do usuário (UG) (8 ed.). Hewlett-Packard . Dezembro de 1994 [1993]. HP 00048-90126, (00048-90104) . Retirado em 6 de setembro de 2015 .
  2. ^ Guia do usuário da calculadora gráfica HP 50g (UG) (1 ed.). Hewlett-Packard . 1 de abril de 2006. HP F2229AA-90006 . Retirado em 10 de outubro de 2015 .
  3. ^ Guia do usuário da calculadora gráfica HP Prime (UG) (PDF) (1 ed.). Hewlett-Packard Development Company, LP de outubro de 2014. HP 788996-001. Arquivado do original (PDF) em 3 de setembro de 2014 . Retirado em 13 de outubro de 2015 .
  4. ^ a b Weisstein, Eric W. "Grau" . mathworld.wolfram.com . Retirado em 31 de agosto de 2020 .
  5. ^ Bureau international des poids et mesures , Le Système international d'unités (SI) / The International System of Units (SI) , 9th ed. (Sèvres: 2019), ISBN 978‑92‑822‑2272‑0  Erro de parâmetro em {{ ISBN }}: ISBN inválido . , c. 4, pp. 145–146. 
  6. ^ Euclides (2008). "Livro 4". Elementos de geometria de Euclides [ Euclidis Elementa, editit et Latine interpretatus est IL Heiberg, in aedibus BG Teubneri 1883–1885 ]. Traduzido por Heiberg, Johan Ludvig ; Fitzpatrick, Richard (2 ed.). Princeton University Press . ISBN 978-0-6151-7984-1. [1]
  7. ^ Jeans, James Hopwood (1947). The Growth of Physical Science . Cambridge University Press (CUP). p. 7 .
  8. ^ Murnaghan, Francis Dominic (1946). Geometria Analítica . p. 2
  9. ^ Rawlins, Dennis. "Em Aristarco" . DIO - the International Journal of Scientific History .
  10. ^ Toomer, Gerald James . Hiparco e astronomia babilônica .
  11. ^ "2 (nota de rodapé 24)" (PDF) . Aristarchos desvinculado: Visão Antiga / Escala do Universo Colossal dos Heliocentristas / Inversão Colossal de Antigos Grandes e Falsos / História da Astronomia e a Lua em Retrógrado dos Historiadores! . DIO - the International Journal of Scientific History . 14 . Março de 2008. p. 19. ISSN 1041-5440 . Retirado em 16 de outubro de 2015 .  
  12. ^ Dirghatamas . Rigveda . p. 1.164.48.
  13. ^ Brefeld, Werner. "Teilbarkeit hochzusammengesetzter Zahlen" [ Divisibilidade de números altamente compostos] (em alemão).
  14. ^ Brefeld, Werner (2015). (desconhecido) . Rowohlt Verlag . Cite usa título genérico ( ajuda )
  15. ^ Hopkinson, Sara (2012). Manual do capitão do dia RYA - vela . Hamble: The Royal Yachting Association . p. 76. ISBN 9781-9051-04949.
  16. ^ Al-Biruni (1879) [1000]. A cronologia das nações antigas . Traduzido por Sachau, C. Edward. pp. 147–149.
  17. ^ Flegg, Graham H. (1989). Números através dos tempos . Macmillan International Higher Education . pp. 156–157. ISBN 1-34920177-4.

Ligações externas