Seção transversal (geometria)

Uma vista em corte transversal de uma vedação de compressão

Em geometria e ciência , uma seção transversal é a interseção não vazia de um corpo sólido no espaço tridimensional com um plano , ou o análogo em espaços de dimensões superiores . Cortar um objeto em fatias cria muitas seções transversais paralelas. O limite de uma seção transversal no espaço tridimensional que é paralelo a dois dos eixos , ou seja, paralelo ao plano determinado por esses eixos, é às vezes chamado de linha de contorno ; por exemplo, se um plano corta montanhas de um mapa de relevo elevado paralelamente ao solo, o resultado é uma linha de contorno no espaço bidimensional mostrando pontos na superfície das montanhas de elevação igual .

No desenho técnico, uma seção transversal, sendo uma projeção de um objeto em um plano que o intercepta, é uma ferramenta comum usada para descrever o arranjo interno de um objeto tridimensional em duas dimensões. É tradicionalmente hachurado com o estilo de hachura frequentemente indicando os tipos de materiais sendo usados.

Com a tomografia axial computadorizada , os computadores podem construir seções transversais a partir de dados de raios X.

Definição

Se um plano intercepta um sólido (um objeto tridimensional), então a região comum ao plano e ao sólido é chamada de seção transversal do sólido. [1] Um plano que contém uma seção transversal do sólido pode ser chamado de plano de corte .

O formato da seção transversal de um sólido pode depender da orientação do plano de corte em relação ao sólido. Por exemplo, enquanto todas as seções transversais de uma bola são discos, [2] as seções transversais de um cubo dependem de como o plano de corte está relacionado ao cubo. Se o plano de corte for perpendicular a uma linha que une os centros de duas faces opostas do cubo, a seção transversal será um quadrado, no entanto, se o plano de corte for perpendicular a uma diagonal do cubo que une vértices opostos, a seção transversal pode ser um ponto, um triângulo ou um hexágono.

Seções planas

Um conceito relacionado é o de uma seção plana , que é a curva de intersecção de um plano com uma superfície . [3] Assim, uma seção plana é o limite de uma seção transversal de um sólido em um plano de corte.

Se uma superfície em um espaço tridimensional é definida por uma função de duas variáveis, ou seja, z = f ( x , y ) , as seções planas cortando planos que são paralelos a um plano de coordenadas (um plano determinado por dois eixos de coordenadas) são chamadas de curvas de nível ou isolinhas . [4] Mais especificamente, planos de corte com equações da forma z = k (planos paralelos ao plano xy ) produzem seções planas que são frequentemente chamadas de linhas de contorno em áreas de aplicação.

Exemplos matemáticos de seções transversais e seções planas

Regiões coloridas são seções transversais do cone sólido. Seus limites (em preto) são as seções planas nomeadas.

Uma seção transversal de um poliedro é um polígono .

As seções cônicascírculos , elipses , parábolas e hipérboles – são seções planas de um cone com os planos de corte em vários ângulos diferentes, como visto no diagrama à esquerda.

Qualquer seção transversal que passa pelo centro de um elipsoide forma uma região elíptica, enquanto as seções planas correspondentes são elipses em sua superfície. Estas degeneram em discos e círculos, respectivamente, quando os planos de corte são perpendiculares a um eixo de simetria. Em termos mais gerais, as seções planas de uma quádrica são seções cônicas. [5]

Seção transversal de um cilindro sólido

Uma seção transversal de um cilindro circular reto sólido que se estende entre duas bases é um disco se a seção transversal for paralela à base do cilindro, ou uma região elíptica (veja o diagrama à direita) se não for nem paralela nem perpendicular à base. Se o plano de corte for perpendicular à base, ele consiste em um retângulo (não mostrado), a menos que seja apenas tangente ao cilindro, caso em que é um único segmento de reta .

O termo cilindro também pode significar a superfície lateral de um cilindro sólido (ver cilindro (geometria) ). Se um cilindro for usado neste sentido, o parágrafo acima seria lido como segue: Uma seção plana de um cilindro circular reto de comprimento finito [6] é um círculo se o plano de corte for perpendicular ao eixo de simetria do cilindro, ou uma elipse se não for nem paralelo nem perpendicular a esse eixo. Se o plano de corte for paralelo ao eixo, a seção plana consiste em um par de segmentos de linha paralelos, a menos que o plano de corte seja tangente ao cilindro, caso em que a seção plana é um único segmento de linha.

Uma seção plana pode ser usada para visualizar a derivada parcial de uma função com relação a um de seus argumentos, como mostrado. Suponha z = f ( x , y ) . Ao tomar a derivada parcial de f ( x , y ) com relação a x , pode-se tomar uma seção plana da função f em um valor fixo de y para traçar a curva de nível de z somente contra x ; então a derivada parcial com relação a x é a inclinação do gráfico bidimensional resultante.

Uma seção plana de uma função de densidade de probabilidade de duas variáveis ​​aleatórias na qual o plano de corte está em um valor fixo de uma das variáveis ​​é uma função de densidade condicional da outra variável (condicional ao valor fixo que define a seção plana). Se, em vez disso, a seção plana for tomada para um valor fixo da densidade, o resultado é um contorno de isodensidade . Para a distribuição normal , esses contornos são elipses.

Em economia , uma função de produção f ( x , y ) especifica a produção que pode ser produzida por várias quantidades x e y de insumos, tipicamente trabalho e capital físico. A função de produção de uma empresa ou sociedade pode ser plotada no espaço tridimensional. Se uma seção plana for tomada paralelamente ao plano xy , o resultado é uma isoquanta mostrando as várias combinações de uso de trabalho e capital que resultariam no nível de produção dado pela altura da seção plana. Alternativamente, se uma seção plana da função de produção for tomada em um nível fixo de y — isto é, paralela ao plano xz — então o resultado é um gráfico bidimensional mostrando quanta produção pode ser produzida em cada um dos vários valores de uso x de um insumo combinado com o valor fixo do outro insumo y .

Também em economia, uma função de utilidade cardinal ou ordinal u ( w , v ) fornece o grau de satisfação de um consumidor obtido pelo consumo de quantidades w e v de dois bens. Se uma seção plana da função de utilidade for tomada em uma determinada altura (nível de utilidade), o resultado bidimensional é uma curva de indiferença mostrando várias combinações alternativas de quantidades consumidas w e v dos dois bens, todas as quais fornecem o nível especificado de utilidade.

Área e volume

O princípio de Cavalieri afirma que sólidos com seções transversais correspondentes de áreas iguais têm volumes iguais.

A área da seção transversal ( ) de um objeto quando visto de um ângulo particular é a área total da projeção ortográfica do objeto daquele ângulo. Por exemplo, um cilindro de altura h e raio r tem quando visto ao longo de seu eixo central, e quando visto de uma direção ortogonal. Uma esfera de raio r tem quando vista de qualquer ângulo. Mais genericamente, pode ser calculada avaliando a seguinte integral de superfície:

onde é o vetor unitário apontando ao longo da direção de visualização em direção ao observador, é um elemento de superfície com uma normal apontando para fora, e a integral é tomada apenas sobre a superfície mais alta, aquela parte da superfície que é "visível" da perspectiva do observador. Para um corpo convexo , cada raio através do objeto da perspectiva do observador cruza apenas duas superfícies. Para tais objetos, a integral pode ser tomada sobre toda a superfície ( ) tomando o valor absoluto do integrando (de modo que o "topo" e o "fundo" do objeto não sejam subtraídos, como seria exigido pelo Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial constante ) e dividindo por dois:

Em dimensões superiores

Em analogia com a seção transversal de um sólido, a seção transversal de um corpo n -dimensional em um espaço n -dimensional é a interseção não vazia do corpo com um hiperplano (um subespaço ( n -1) -dimensional). Este conceito tem sido usado algumas vezes para ajudar a visualizar aspectos de espaços de dimensões superiores. [7] Por exemplo, se um objeto quadridimensional passasse pelo nosso espaço tridimensional, veríamos uma seção transversal tridimensional do objeto quadridimensional. Em particular, uma bola 4 (hiperesfera) passando pelo espaço tridimensional apareceria como uma bola 3 que aumentou até o máximo e então diminuiu de tamanho durante a transição. Este objeto dinâmico (do ponto de vista do espaço tridimensional) é uma sequência de seções transversais da bola 4.

Exemplos em ciência

Vista esquemática em corte transversal do interior da Terra
Corte transversal do mesencéfalo ao nível do colículo superior.
Corte transversal de Pinus taeda mostrando anéis anuais, Cheraw, Carolina do Sul .

Em geologia , a estrutura do interior de um planeta é frequentemente ilustrada usando um diagrama de uma seção transversal do planeta que passa pelo centro do planeta, como na seção transversal da Terra à direita.

Cortes transversais são frequentemente usados ​​em anatomia para ilustrar a estrutura interna de um órgão, como mostrado à esquerda.

Um corte transversal do tronco de uma árvore , como mostrado à esquerda, revela anéis de crescimento que podem ser usados ​​para descobrir a idade da árvore e as propriedades temporais de seu ambiente.

Veja também

Notas

  1. ^ Swokowski 1983, pág. 296
  2. ^ em linguagem mais técnica, as seções transversais de uma bola 3 são bolas 2
  3. ^ Alberto 2016, pág. 38
  4. ^ Swokowski 1983, pág. 716
  5. ^ Alberto 2016, pág. 117
  6. ^ esses cilindros são abertos , eles não contêm suas bases
  7. ^ Stewart 2001, pág. 59

Referências

  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometria Analítica Sólida , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
  • Stewart, Ian (2001), Flatterland / como flatland, só que mais , Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X
  • Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo com geometria analítica (edição alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
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