Seção transversal (geometria)

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Uma vista em corte transversal de um selo de compressão

Na geometria e na ciência , uma seção transversal é a interseção não vazia de um corpo sólido no espaço tridimensional com um plano , ou o análogo em espaços de dimensões superiores. Cortar um objeto em fatias cria muitas seções transversais paralelas. O limite de uma seção transversal no espaço tridimensional que é paralelo a dois dos eixos , isto é, paralelo ao plano determinado por esses eixos, às vezes é chamado de linha de contorno ; por exemplo, se um avião corta montanhas de um mapa em relevoparalela ao solo, o resultado é uma linha de contorno no espaço bidimensional mostrando pontos na superfície das montanhas de igual elevação .

No desenho técnico uma seção transversal, sendo uma projeção de um objeto em um plano que o intercepta, é uma ferramenta comum usada para representar o arranjo interno de um objeto tridimensional em duas dimensões. É tradicionalmente hachurado com o estilo de hachura, muitas vezes indicando os tipos de materiais que estão sendo usados.

Com a tomografia axial computadorizada , os computadores podem construir seções transversais a partir de dados de raios-x .

Definição

Se um plano intercepta um sólido (um objeto tridimensional), então a região comum ao plano e ao sólido é chamada de seção transversal do sólido. [1] Um plano contendo uma seção transversal do sólido pode ser chamado de plano de corte .

A forma da seção transversal de um sólido pode depender da orientação do plano de corte para o sólido. Por exemplo, enquanto todas as seções transversais de uma bola são discos, [2] as seções transversais de um cubo dependem de como o plano de corte está relacionado ao cubo. Se o plano de corte for perpendicular a uma linha que une os centros de duas faces opostas do cubo, a seção transversal será um quadrado, porém, se o plano de corte for perpendicular a uma diagonal do cubo que une os vértices opostos, a seção transversal será um quadrado. seção pode ser um ponto, um triângulo ou um hexágono.

Seções do plano

Um conceito relacionado é o de seção plana , que é a curva de interseção de um plano com uma superfície . [3] Assim, uma seção plana é o limite de uma seção transversal de um sólido em um plano de corte.

Se uma superfície em um espaço tridimensional é definida por uma função de duas variáveis, ou seja, z = f ( x , y ) , as seções do plano por planos de corte que são paralelos a um plano coordenado (um plano determinado por dois eixos coordenados ) são chamadas de curvas de nível ou isolinhas . [4] Mais especificamente, planos de corte com equações da forma z = k (planos paralelos ao plano xy ) produzem seções planas que são frequentemente chamadas de curvas de nível em áreas de aplicação.

Exemplos matemáticos de seções transversais e seções planas

As regiões coloridas são seções transversais do cone sólido. Seus limites (em preto) são as seções planas nomeadas.

Uma seção transversal de um poliedro é um polígono .

As seções cônicascírculos , elipses , parábolas e hipérboles – são seções planas de um cone com os planos de corte em vários ângulos diferentes, como visto no diagrama à esquerda.

Qualquer seção transversal que passa pelo centro de um elipsóide forma uma região elíptica, enquanto as seções planas correspondentes são elipses em sua superfície. Estes degeneram em discos e círculos, respectivamente, quando os planos de corte são perpendiculares a um eixo de simetria. Em geral, as seções planas de uma quádrica são seções cônicas. [5]

Seção transversal de um cilindro sólido

Uma seção transversal de um cilindro circular reto sólido que se estende entre duas bases é um disco se a seção transversal for paralela à base do cilindro, ou uma região elíptica (veja o diagrama à direita) se não for nem paralela nem perpendicular à base. Se o plano de corte for perpendicular à base, ele consiste em um retângulo (não mostrado), a menos que seja apenas tangente ao cilindro, caso em que é um único segmento de linha .

O termo cilindro também pode significar a superfície lateral de um cilindro sólido (ver Cilindro (geometria) ). Se um cilindro for usado neste sentido, o parágrafo acima teria a seguinte redação: Uma seção plana de um cilindro circular reto de comprimento finito [6] é um círculo se o plano de corte for perpendicular ao eixo de simetria do cilindro, ou uma elipse se não for nem paralelo nem perpendicular a esse eixo. Se o plano de corte for paralelo ao eixo, a seção plana consiste em um par de segmentos de linha paralelos, a menos que o plano de corte seja tangente ao cilindro; nesse caso, a seção plana é um único segmento de linha.

Um gráfico de z = x 2 + xy + y 2 . Para a derivada parcial em (1, 1, 3) que deixa y constante, a linha tangente correspondente é paralela ao plano xz .
Uma seção plana do gráfico acima mostrando a curva de nível no plano xz em y = 1

Uma seção plana pode ser usada para visualizar a derivada parcial de uma função em relação a um de seus argumentos, conforme mostrado. Suponha que z = f ( x , y ) . Ao tomar a derivada parcial de f ( x , y ) em relação a x , pode - se tomar uma seção plana da função f em um valor fixo de y para traçar a curva de nível de z somente em relação a x ; então a derivada parcial em relação a x é a inclinação do gráfico bidimensional resultante.

Em assuntos relacionados

Uma seção plana de uma função densidade de probabilidade de duas variáveis ​​aleatórias em que o plano de corte está em um valor fixo de uma das variáveis ​​é uma função densidade condicional da outra variável (condicional ao valor fixo que define a seção plana). Se, em vez disso, a seção plana for tomada como um valor fixo da densidade, o resultado é um contorno de isodensidade . Para a distribuição normal , esses contornos são elipses.

Em economia , uma função de produção f ( x , y ) especifica o produto que pode ser produzido por várias quantidades x e y de insumos, tipicamente trabalho e capital físico. A função de produção de uma empresa ou sociedade pode ser plotada em um espaço tridimensional. Se uma seção plana é tomada paralelamente ao plano xy , o resultado é uma isoquanta mostrando as várias combinações de trabalho e uso de capital que resultariam no nível de produção dado pela altura da seção plana. Alternativamente, se uma seção plana da função de produção é tomada em um nível fixo de y— isto é, paralelo ao plano xz — então o resultado é um gráfico bidimensional mostrando quanta saída pode ser produzida em cada um dos vários valores de uso x de uma entrada combinada com o valor fixo da outra entrada y .

Também em economia, uma função de utilidade cardinal ou ordinal u ( w , v ) dá o grau de satisfação de um consumidor obtido ao consumir quantidades w e v de dois bens. Se uma seção plana da função de utilidade é tomada a uma determinada altura (nível de utilidade), o resultado bidimensional é uma curva de indiferença mostrando várias combinações alternativas de quantidades consumidas w e v dos dois bens, todas as quais fornecem o nível especificado de utilidade.

Área e volume

O princípio de Cavalieri afirma que sólidos com seções transversais correspondentes de áreas iguais têm volumes iguais.

A área da seção transversal () de um objeto quando visto de um determinado ângulo é a área total da projeção ortográfica do objeto desse ângulo. Por exemplo, um cilindro de altura h e raio r temquando visto ao longo de seu eixo central, equando visto de uma direção ortogonal. Uma esfera de raio r temquando visto de qualquer ângulo. Mais genericamente,pode ser calculado avaliando a seguinte integral de superfície:

Ondeé o vetor unitário apontando ao longo da direção de visualização em direção ao observador,é um elemento de superfície com uma normal apontando para fora, e a integral é tomada apenas sobre a superfície superior, aquela parte da superfície que é "visível" da perspectiva do observador. Para um corpo convexo , cada raio através do objeto da perspectiva do observador cruza apenas duas superfícies. Para tais objetos, a integral pode ser tomada sobre toda a superfície () tomando o valor absoluto do integrando (para que o "topo" e o "fundo" do objeto não sejam subtraídos, como seria exigido pelo Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial constante) e dividindo por dois:

Em dimensões superiores

Em analogia com a seção transversal de um sólido, a seção transversal de um corpo n dimensional em um espaço n dimensional é a interseção não vazia do corpo com um hiperplano (um subespaço ( n − 1) dimensional) . Este conceito tem sido usado algumas vezes para ajudar a visualizar aspectos de espaços dimensionais superiores. [7] Por exemplo, se um objeto quadridimensionalpassado pelo nosso espaço tridimensional, veríamos uma seção transversal tridimensional do objeto quadridimensional. Em particular, uma bola de 4 (hipersfera) passando pelo espaço de 3 apareceria como uma bola de 3 que aumentava ao máximo e depois diminuía de tamanho durante a transição. Este objeto dinâmico (do ponto de vista do espaço 3) é uma sequência de seções transversais da bola 4.

Exemplos na ciência

Vista esquemática em corte transversal do interior da Terra
Corte transversal do mesencéfalo ao nível do colículo superior.

Em geologia , a estrutura do interior de um planeta é frequentemente ilustrada usando um diagrama de uma seção transversal do planeta que passa pelo centro do planeta, como na seção transversal da Terra à direita.

Cortes transversais são frequentemente usados ​​em anatomia para ilustrar a estrutura interna de um órgão, como mostrado à esquerda.

Uma seção transversal de um tronco de árvore , como mostrado à esquerda, revela anéis de crescimento que podem ser usados ​​para encontrar a idade da árvore e as propriedades temporais de seu ambiente.

Veja também

Notas

  1. ^ Swokowski 1983 , p. 296
  2. ^ em linguagem mais técnica, as seções transversais de uma bola de 3 são bolas de 2
  3. ^ Alberto 2016 , p. 38
  4. ^ Swokowski 1983 , p. 716
  5. ^ Alberto 2016 , p. 117
  6. ^ esses cilindros são abertos , eles não contêm suas bases
  7. ^ Stewart 2001 , p. 59

Referências

  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometria Analítica Sólida , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
  • Stewart, Ian (2001), Flatterland / like flatland, só que mais , Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X
  • Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo com geometria analítica (ed. alternativo), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7