Mínimos quadrados restritos

Em mínimos quadrados restritos, resolve-se um problema de mínimos quadrados lineares com uma restrição adicional na solução. [1] [2] Isso significa que a equação irrestrita deve ser ajustada o mais próximo possível (no sentido dos mínimos quadrados), garantindo ao mesmo tempo que alguma outra propriedade de seja mantida.

Freqüentemente, existem algoritmos com finalidades especiais para resolver esses problemas de maneira eficiente. Alguns exemplos de restrições são fornecidos abaixo:

  • Mínimos quadrados com restrição de igualdade : os elementos de devem satisfazer exatamente (ver Mínimos quadrados ordinários ).
  • Mínimos quadrados estocásticos (linearmente) restritos: os elementos de devem satisfazer , onde é um vetor de variáveis ​​aleatórias tais que e . Isto efetivamente impõe uma distribuição anterior e , portanto, é equivalente à regressão linear bayesiana . [3]
  • Mínimos quadrados regularizados : os elementos de devem satisfazer (a escolha proporcional ao desvio padrão do ruído de y evita ajuste excessivo).
  • Mínimos quadrados não negativos (NNLS): O vetor deve satisfazer a desigualdade vetorial definida componente a componente - ou seja, cada componente deve ser positivo ou zero.
  • Mínimos quadrados com restrição de caixa: O vetor deve satisfazer as desigualdades do vetor , cada uma das quais é definida por componentes.
  • Mínimos quadrados com restrição de número inteiro: todos os elementos de devem ser inteiros (em vez de números reais ).
  • Mínimos quadrados com restrição de fase: todos os elementos devem ser números reais ou multiplicados pelo mesmo número complexo de módulo unitário.

Se a restrição se aplica apenas a algumas das variáveis, o problema misto pode ser resolvido usando mínimos quadrados separáveis, deixando e representando os componentes irrestritos (1) e restritos (2). Em seguida, substituindo a solução de mínimos quadrados por , ou seja

(onde + indica o pseudoinverso de Moore-Penrose ) de volta à expressão original fornece (após algum rearranjo) uma equação que pode ser resolvida como um problema puramente restrito em .

onde está uma matriz de projeção . Seguindo a estimativa restrita do vetor é obtido a partir da expressão acima.

Veja também

Referências

  1. ^ Amemiya, Takeshi (1985). “Modelo 1 com restrições lineares”. Econometria Avançada . Oxford: Basil Blackwell. páginas 20–26. ISBN 0-631-15583-X.
  2. ^ Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2018). Introdução à Álgebra Linear Aplicada: Vetores, Matrizes e Mínimos Quadrados. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-51896-0.
  3. ^ Fomby, Thomas B.; Colina, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1988). “Uso de Informações Prévias”. Métodos econométricos avançados (edição de capa mole corrigida). Nova York: Springer-Verlag. págs. 80–121. ISBN 0-387-96868-7.
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