Círculo

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Círculo
Circle-withsegments.svg
Um círculo (preto), que é medido por sua circunferência ( C ), diâmetro ( D ) em azul e raio ( R ) em vermelho; seu centro ( O ) está em verde.
TipoSeção cônica
Grupo de simetriaO(2)
ÁreaπR 2
PerímetroC = 2πR

Um círculo é uma forma que consiste em todos os pontos em um plano que estão a uma determinada distância de um determinado ponto, o centro ; equivalentemente é a curva traçada por um ponto que se move em um plano de modo que sua distância de um dado ponto é constante . A distância entre qualquer ponto do círculo e o centro é chamada de raio . Normalmente, o raio deve ser um número positivo (Círculo comé um caso degenerado ). Este artigo é sobre círculos na geometria euclidiana e, em particular, o plano euclidiano, exceto onde indicado de outra forma.

Especificamente, um círculo é uma curva fechada simples que divide o plano em duas regiões : uma interior e uma exterior . No uso diário, o termo "círculo" pode ser usado de forma intercambiável para se referir tanto ao limite da figura quanto à figura inteira, incluindo seu interior; no uso técnico estrito, o círculo é apenas o limite e a figura inteira é chamada de disco .

Um círculo também pode ser definido como um tipo especial de elipse em que os dois focos são coincidentes, a excentricidade é 0 e os eixos semimaior e semimenor são iguais; ou a forma bidimensional que encerra a maior área por unidade de perímetro ao quadrado, usando cálculo de variações .

A definição de Euclides

Um círculo é uma figura plana limitada por uma linha curva e tal que todas as linhas retas traçadas de um certo ponto dentro dele até a linha delimitadora são iguais. A linha delimitadora é chamada de circunferência e o ponto, seu centro.

Definição topológica

No campo da topologia , um círculo não se limita ao conceito geométrico, mas a todos os seus homeomorfismos . Dois círculos topológicos são equivalentes se um pode ser transformado no outro através de uma deformação de R 3 sobre si mesmo (conhecida como isotopia ambiente ). [2]

Terminologia

  • Anel : um objeto em forma de anel, a região delimitada por dois círculos concêntricos .
  • Arco : qualquer parte conectada de um círculo. Especificar dois pontos finais de um arco e um centro permite dois arcos que juntos formam um círculo completo.
  • Centro: o ponto equidistante de todos os pontos do círculo.
  • Acorde : um segmento de linha cujas extremidades estão no círculo, dividindo assim um círculo em dois segmentos.
  • Circunferência : o comprimento de um circuito ao longo do círculo, ou a distância ao redor do círculo.
  • Diâmetro : segmento de reta cujas extremidades estão no círculo e que passa pelo centro; ou o comprimento de tal segmento de linha. Esta é a maior distância entre quaisquer dois pontos no círculo. É um caso especial de corda, ou seja, a corda mais longa para um determinado círculo, e seu comprimento é duas vezes o comprimento de um raio.
  • Disco: a região do plano limitada por um círculo.
  • Lente : a região comum a (a interseção de) dois discos sobrepostos.
  • Passante: reta coplanar que não tem nenhum ponto em comum com o círculo.
  • Raio: um segmento de linha que une o centro de um círculo com qualquer ponto único no próprio círculo; ou o comprimento de tal segmento, que é metade (o comprimento de) um diâmetro.
  • Setor : uma região limitada por dois raios de igual comprimento com um centro comum e um dos dois arcos possíveis, determinado por este centro e as extremidades dos raios.
  • Segmento : uma região delimitada por uma corda e um dos arcos que ligam as extremidades da corda. O comprimento da corda impõe um limite inferior no diâmetro dos arcos possíveis. Às vezes, o termo segmento é usado apenas para regiões que não contêm o centro do círculo ao qual seu arco pertence.
  • Secante : uma corda estendida, uma linha reta coplanar, intersectando um círculo em dois pontos.
  • Semicírculo : um dos dois arcos possíveis determinados pelas extremidades de um diâmetro, tomando como centro o seu ponto médio. No uso comum não técnico pode significar o interior da região bidimensional limitada por um diâmetro e um de seus arcos, que é tecnicamente chamado de meio disco. Um meio disco é um caso especial de um segmento, ou seja, o maior.
  • Tangente : uma linha reta coplanar que tem um único ponto em comum com um círculo ("toca o círculo neste ponto").

Todas as regiões especificadas podem ser consideradas como abertas , ou seja, não contendo seus limites, ou como fechadas , incluindo seus respectivos limites.

Acorde, secante, tangente, raio e diâmetro
Arco, setor e segmento

História

A bússola neste manuscrito do século 13 é um símbolo do ato de criação de Deus . Observe também a forma circular do halo .

A palavra círculo deriva do grego κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ), em si uma metátese do grego homérico κρίκος ( krikos ), que significa "aro" ou "anel". [3] As origens das palavras circo e circuito estão intimamente relacionadas.

Peça circular de seda com imagens mongóis
Círculos em um antigo desenho astronômico árabe .

O círculo é conhecido desde antes do início da história registrada. Círculos naturais teriam sido observados, como a Lua, o Sol e um pequeno talo de planta soprado pelo vento na areia, que forma um círculo na areia. O círculo é a base para a roda , que, com invenções relacionadas, como engrenagens , torna possível grande parte da maquinaria moderna. Na matemática, o estudo do círculo ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, astronomia e cálculo .

A ciência primitiva , particularmente a geometria , a astrologia e a astronomia , estava ligada ao divino para a maioria dos estudiosos medievais , e muitos acreditavam que havia algo intrinsecamente "divino" ou "perfeito" que poderia ser encontrado nos círculos. [4] [5]

Alguns destaques na história do círculo são:

  • 1700 aC - O papiro Rhind fornece um método para encontrar a área de um campo circular. O resultado corresponde a256/81(3,16049...) como um valor aproximado de π . [6]
  • 300 aC – Livro 3 dos Elementos de Euclides lida com as propriedades dos círculos.
  • Na Sétima Carta de Platão há uma definição e explicação detalhadas do círculo. Platão explica o círculo perfeito e como ele é diferente de qualquer desenho, palavra, definição ou explicação.
  • 1880 CE – Lindemann prova que π é transcendental , efetivamente resolvendo o problema milenar da quadratura do círculo. [7]

Resultados analíticos

Circunferência

A razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é π (pi), uma constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Assim, a circunferência C está relacionada ao raio r e ao diâmetro d por:

Área fechada

Área delimitada por um círculo = π × área do quadrado sombreado

Como provado por Arquimedes , em sua Medição de um Círculo , a área delimitada por um círculo é igual à de um triângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo, [8] que dá π multiplicado pelo raio ao quadrado:

Equivalentemente, denotando diâmetro por d ,

ou seja, aproximadamente 79% do quadrado circunscrito (cujo lado tem comprimento d ).

O círculo é a curva plana que envolve a área máxima para um determinado comprimento de arco. Isso relaciona o círculo a um problema no cálculo de variações, a saber, a desigualdade isoperimétrica .

Equações

Coordenadas cartesianas

Círculo de raio r  = 1, centro ( ab ) = (1,2, −0,5)
Equação de um círculo

Em um sistema de coordenadas cartesianas xy , o círculo com coordenadas centrais ( a , b ) e raio r é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) tal que

Esta equação , conhecida como a equação do círculo , decorre do teorema de Pitágoras aplicado a qualquer ponto do círculo: como mostrado no diagrama ao lado, o raio é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos outros lados são de comprimento | xa | e | yb |. Se o círculo está centrado na origem (0, 0), então a equação simplifica para

Formulário paramétrico

A equação pode ser escrita na forma paramétrica usando as funções trigonométricas seno e cosseno como

onde t é uma variável paramétrica na faixa de 0 a 2 π , interpretada geometricamente como o ângulo que o raio de ( ab ) a ( xy ) faz com o  eixo x positivo .

Uma parametrização alternativa do círculo é

Nesta parametrização, a razão de t para r pode ser interpretada geometricamente como a projeção estereográfica da linha que passa pelo centro paralela ao  eixo x (ver Substituição de semi-ângulo tangente ). No entanto, esta parametrização funciona apenas se t for feito para abranger não apenas todos os reais, mas também um ponto no infinito; caso contrário, o ponto mais à esquerda do círculo seria omitido.

formulário de 3 pontos

A equação do círculo determinada por três pontosnão em uma linha é obtido por uma conversão da forma de 3 pontos de uma equação de círculo :

Forma homogênea

Em coordenadas homogêneas , cada seção cônica com a equação de um círculo tem a forma

Pode-se provar que uma seção cônica é uma circunferência exatamente quando contém (quando estendida ao plano projetivo complexo ) os pontos I (1: i : 0) e J (1: − i : 0). Esses pontos são chamados de pontos circulares no infinito .

Coordenadas polares

Em coordenadas polares , a equação de um círculo é

onde a é o raio da circunferência,são as coordenadas polares de um ponto genérico no círculo, esão as coordenadas polares do centro do círculo (ou seja, r 0 é a distância da origem ao centro do círculo, e φ é o ângulo anti-horário do eixo x positivo  até a linha que liga a origem ao centro do círculo. círculo). Para um círculo centrado na origem, ou seja, r 0 = 0 , isso se reduz a simplesmente r = a . Quando r 0 = a , ou quando a origem está no círculo, a equação se torna

No caso geral, a equação pode ser resolvida para r , dando

Observe que, sem o sinal ±, a equação, em alguns casos, descreveria apenas meio círculo.

Plano complexo

No plano complexo , um círculo com centro em c e raio r tem a equação

Na forma paramétrica, isso pode ser escrito como

A equação ligeiramente generalizada

para p real , q e g complexo é às vezes chamado de círculo generalizado . Isso se torna a equação acima para um círculo com, desde. Nem todos os círculos generalizados são realmente círculos: um círculo generalizado é um círculo (verdadeiro) ou uma linha .

Linhas tangentes

A linha tangente que passa por um ponto P no círculo é perpendicular ao diâmetro que passa por P . Se P = ( x 1 , y 1 ) e o círculo tem centro ( a , b ) e raio r , então a linha tangente é perpendicular à linha de ( a , b ) a ( x 1 , y 1 ), então tem a forma ( x 1a ) x + ( y 1b )y = c . Avaliando em ( x 1 , y 1 ) determina o valor de c , e o resultado é que a equação da tangente é

ou

Se y 1b , então a inclinação desta linha é

Isso também pode ser encontrado usando diferenciação implícita .

Quando o centro do círculo está na origem, então a equação da reta tangente torna-se

e sua inclinação é

Propriedades

Acorde

  • Acordes são equidistantes do centro de um círculo se e somente se eles são iguais em comprimento.
  • A mediatriz de uma corda passa pelo centro de um círculo; declarações equivalentes decorrentes da unicidade da mediatriz são:
  • Se um ângulo central e um ângulo inscrito de um círculo são subtendidos pela mesma corda e no mesmo lado da corda, então o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito.
  • Se dois ângulos estão inscritos na mesma corda e no mesmo lado da corda, então eles são iguais.
  • Se dois ângulos estão inscritos na mesma corda e em lados opostos da corda, então eles são suplementares .
  • Um ângulo inscrito subtendido por um diâmetro é um ângulo reto (veja o teorema de Tales ).
  • O diâmetro é a corda mais longa do círculo.
    • Entre todos os círculos com uma corda AB em comum, o círculo com raio mínimo é aquele com diâmetro AB.
  • Se a interseção de duas cordas quaisquer divide uma corda em comprimentos a e b e divide a outra corda em comprimentos c e d , então ab = cd .
  • Se a interseção de duas cordas perpendiculares quaisquer divide uma corda em comprimentos a e b e divide a outra corda em comprimentos c e d , então a 2 + b 2 + c 2 + d 2 é igual ao quadrado do diâmetro. [9]
  • A soma dos quadrados dos comprimentos de quaisquer duas cordas que se interceptam em ângulos retos em um dado ponto é a mesma de quaisquer outras duas cordas perpendiculares que se interceptam no mesmo ponto e é dada por 8 r 2 − 4 p 2 , onde r é a raio do círculo, e p é a distância do ponto central ao ponto de interseção. [10]
  • A distância de um ponto no círculo a uma determinada corda vezes o diâmetro do círculo é igual ao produto das distâncias do ponto às extremidades da corda. [11] : p.71 

Tangente

  • Uma linha traçada perpendicularmente a um raio que passa pelo ponto final do raio que se encontra no círculo é uma tangente ao círculo.
  • Uma linha traçada perpendicularmente a uma tangente através do ponto de contato com um círculo passa pelo centro do círculo.
  • Duas tangentes sempre podem ser desenhadas para um círculo a partir de qualquer ponto fora do círculo, e essas tangentes são iguais em comprimento.
  • Se uma tangente em A e uma tangente em B se interceptam no ponto externo P , denotando o centro como O , os ângulos ∠ BOA e ∠ BPA são suplementares.
  • Se AD é tangente ao círculo em A e se AQ é uma corda do círculo, então DAQ =1/2arco( AQ ) .

Teoremas

Teorema secante-secante
  • O teorema da corda afirma que se duas cordas, CD e EB , se cruzam em A , então AC × AD = AB × AE .
  • Se duas secantes, AE e AD , também cortam o círculo em B e C respectivamente, então AC × AD = AB × AE (corolário do teorema da corda).
  • Uma tangente pode ser considerada um caso limite de uma secante cujas extremidades são coincidentes. Se uma tangente de um ponto externo A encontra o círculo em F e uma secante do ponto externo A encontra o círculo em C e D respectivamente, então AF 2 = AC × AD (teorema tangente-secante).
  • O ângulo entre uma corda e a tangente em uma de suas extremidades é igual à metade do ângulo subtendido no centro do círculo, no lado oposto da corda (ângulo da corda tangente).
  • Se o ângulo subtendido pela corda no centro for 90 ° , então = r 2 , onde é o comprimento da corda e r é o raio do círculo.
  • Se duas secantes são inscritas no círculo como mostrado à direita, então a medida do ângulo A é igual à metade da diferença das medidas dos arcos fechados (e). Aquilo é,, onde O é o centro do círculo (teorema secante-secante).

Ângulos inscritos

Teorema do ângulo inscrito

Um ângulo inscrito (exemplos são os ângulos azul e verde na figura) é exatamente metade do ângulo central correspondente (vermelho). Portanto, todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (rosa) são iguais. Os ângulos inscritos no arco (marrom) são suplementares. Em particular, todo ângulo inscrito que subtende um diâmetro é um ângulo reto (já que o ângulo central é 180°).

Sagitário

O sagitta é o segmento vertical.

O sagitta (também conhecido como o versine ) é um segmento de linha desenhado perpendicularmente a uma corda, entre o ponto médio dessa corda e o arco do círculo.

Dado o comprimento y de uma corda e o comprimento x do sagitta, o teorema de Pitágoras pode ser usado para calcular o raio do círculo único que caberá em torno das duas linhas:

Outra prova deste resultado, que se baseia apenas em duas propriedades de corda dadas acima, é a seguinte. Dada uma corda de comprimento y e com sagitta de comprimento x , como a sagitta intercepta o ponto médio da corda, sabemos que ela faz parte de um diâmetro do círculo. Como o diâmetro é o dobro do raio, a parte "falta" do diâmetro tem ( 2 rx ) de comprimento. Usando o fato de que uma parte de uma corda vezes a outra parte é igual ao mesmo produto tomado ao longo de uma corda que intercepta a primeira corda, encontramos que ( 2 rx ) x = ( y / 2) 2 . Resolvendo para r, encontramos o resultado desejado.

Construções com compasso e régua

Existem muitas construções de compasso e régua resultando em círculos.

A mais simples e básica é a construção dada o centro do círculo e um ponto no círculo. Coloque a perna fixa da bússola no ponto central, a perna móvel no ponto do círculo e gire a bússola.

Construção com determinado diâmetro

  • Construa o ponto médio M do diâmetro.
  • Construa o círculo de centro M passando por um dos extremos do diâmetro (ele também passará pelo outro extremo).
Construa um círculo através dos pontos A, B e C encontrando as mediatrizes (vermelho) dos lados do triângulo (azul). Apenas duas das três bissetrizes são necessárias para encontrar o centro.

Construção através de três pontos não colineares

  • Nomeie os pontos P , Q e R ,
  • Construa a mediatriz do segmento PQ .
  • Construa a mediatriz do segmento PR .
  • Rotule o ponto de intersecção dessas duas mediatrizes M . (Eles se encontram porque os pontos não são colineares ).
  • Construa a circunferência de centro M passando por um dos pontos P , Q ou R (ela também passará pelos outros dois pontos).

Círculo de Apolônio

Definição de Apolônio de um círculo: d 1 / d 2 constante

Apolônio de Perga mostrou que um círculo também pode ser definido como o conjunto de pontos em um plano com uma razão constante (diferente de 1) das distâncias a dois focos fixos, A e B . [12] [13] (O conjunto de pontos onde as distâncias são iguais é a mediatriz do segmento AB , uma linha.) Diz-se às vezes que esse círculo é desenhado em torno de dois pontos.

A prova está em duas partes. Primeiro, deve-se provar que, dados dois focos A e B e uma razão de distâncias, qualquer ponto P que satisfaça a razão de distâncias deve cair em um círculo particular. Seja C outro ponto, também satisfazendo a razão e situado no segmento AB . Pelo teorema da bissetriz do ângulo, o segmento de reta PC irá bissectar o ângulo interno APB , pois os segmentos são semelhantes:

Analogamente, um segmento de reta PD que passa por algum ponto D no prolongamento AB bissecciona o ângulo externo correspondente BPQ onde Q está no prolongamento AP . Como os ângulos internos e externos somam 180 graus, o ângulo CPD é exatamente 90 graus; isto é, um ângulo reto. O conjunto de pontos P tais que o ângulo CPD é um ângulo reto forma um círculo, do qual CD é um diâmetro.

Segundo, veja [14] : p.15  para uma prova de que cada ponto no círculo indicado satisfaz a razão dada.

Proporções cruzadas

Uma propriedade estreitamente relacionada dos círculos envolve a geometria da razão cruzada de pontos no plano complexo. Se A , B e C são como acima, então o círculo de Apolônio para esses três pontos é a coleção de pontos P para os quais o valor absoluto da razão cruzada é igual a um:

Dito de outra forma, P é um ponto no círculo de Apolônio se e somente se a razão cruzada [ A , B ; C , P ] está no círculo unitário no plano complexo.

Círculos generalizados

Se C é o ponto médio do segmento AB , então a coleção de pontos P satisfazendo a condição de Apolônio

 

não é um círculo, mas sim uma linha.

Assim, se A , B e C são dados pontos distintos no plano, então o lugar geométrico dos pontos P que satisfaz a equação acima é chamado de "círculo generalizado". Pode ser um círculo verdadeiro ou uma linha. Nesse sentido, uma linha é um círculo generalizado de raio infinito.

Inscrição ou circunscrição sobre outras figuras

Em cada triângulo um único círculo, chamado de círculo , pode ser inscrito tal que seja tangente a cada um dos três lados do triângulo. [15]

Sobre cada triângulo, um único círculo, chamado circumcircle, pode ser circunscrito de tal forma que passa por cada um dos três vértices do triângulo . [16]

Um polígono tangencial , como um quadrilátero tangencial , é qualquer polígono convexo dentro do qual um círculo possa ser inscrito tangente a cada lado do polígono. [17] Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono tangencial.

Um polígono cíclico é qualquer polígono convexo sobre o qual um círculo pode ser circunscrito , passando por cada vértice. Um exemplo bem estudado é o quadrilátero cíclico. Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono cíclico. Um polígono que é cíclico e tangencial é chamado de polígono bicêntrico .

Uma hipociclóide é uma curva inscrita em um determinado círculo traçando um ponto fixo em um círculo menor que rola dentro e tangente ao círculo dado.

Caso limite de outras figuras

O círculo pode ser visto como um caso limite de cada uma das várias outras figuras:

  • Uma oval cartesiana é um conjunto de pontos tal que a soma ponderada das distâncias de qualquer um de seus pontos a dois pontos fixos (focos) é uma constante. Uma elipse é o caso em que os pesos são iguais. Um círculo é uma elipse com uma excentricidade zero, o que significa que os dois focos coincidem entre si como o centro do círculo. Um círculo também é um caso especial diferente de uma oval cartesiana em que um dos pesos é zero.
  • Uma superelipse tem uma equação da formapara a , b e n positivos . Um supercírculo tem b = a . Um círculo é o caso especial de um supercírculo em que n = 2 .
  • Uma oval da Cassini é um conjunto de pontos tal que o produto das distâncias de qualquer um de seus pontos a dois pontos fixos é uma constante. Quando os dois pontos fixos coincidem, resulta um círculo.
  • Uma curva de largura constante é uma figura cuja largura, definida como a distância perpendicular entre duas linhas paralelas distintas, cada uma cruzando seu limite em um único ponto, é a mesma, independentemente da direção dessas duas linhas paralelas. O círculo é o exemplo mais simples desse tipo de figura.

Em outras p -normas

Ilustrações de círculos unitários (veja também superelipse ) em diferentes p -normas (todo vetor da origem ao círculo unitário tem um comprimento de um, sendo o comprimento calculado com a fórmula de comprimento do p correspondente ).

Definindo um círculo como o conjunto de pontos com uma distância fixa de um ponto, diferentes formas podem ser consideradas círculos sob diferentes definições de distância. Em p -norm , a distância é determinada por

Na geometria euclidiana, p = 2, dando o familiar

Na geometria de táxi , p = 1. Círculos de táxi são quadrados com lados orientados em um ângulo de 45° em relação aos eixos coordenados. Enquanto cada lado teria comprimentousando uma métrica euclidiana , onde r é o raio do círculo, seu comprimento na geometria do táxi é 2 r . Assim, a circunferência de um círculo é 8 r . Assim, o valor de um análogo geométrico paraé 4 nesta geometria. A fórmula para o círculo unitário na geometria do táxi éem coordenadas cartesianas e

em coordenadas polares.

Um círculo de raio 1 (usando essa distância) é a vizinhança de von Neumann de seu centro.

Um círculo de raio r para a distância de Chebyshev ( L métrica ) em um plano também é um quadrado com comprimento de lado 2 r paralelo aos eixos coordenados, então a distância planar de Chebyshev pode ser vista como equivalente pela rotação e escala para a distância planar do táxi. No entanto, esta equivalência entre as métricas L 1 e L não se generaliza para dimensões superiores.

Lugar de soma constante

Considere um conjunto finito depontos no plano. O lugar geométrico dos pontos tais que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos dados é constante é um círculo, cujo centro está no centroide dos pontos dados. [18] Uma generalização para potências maiores de distâncias é obtida se sobaponta os vértices do polígono regularsão tomadas. [19] O lugar geométrico dos pontos tal que a soma dos-ª potência das distânciasaos vértices de um dado polígono regular com circumradiusé constante é um círculo, se

, Onde=1,2,…,-1;

cujo centro é o centróide do.

No caso do triângulo equilátero , os lugares geométricos das somas constantes da segunda e quarta potências são círculos, enquanto para o quadrado, os lugares geométricos são círculos para as somas constantes da segunda, quarta e sexta potências. Para o pentágono regular será adicionada a soma constante das oitavas potências das distâncias e assim por diante.

Quadratura do círculo

A quadratura do círculo é o problema, proposto pelos antigos geômetras , de construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado usando apenas um número finito de passos com compasso e régua .

Em 1882, a tarefa se mostrou impossível, como consequência do teorema de Lindemann–Weierstrass , que prova que pi ( π ) é um número transcendental , ao invés de um número irracional algébrico ; ou seja, não é a raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais . Apesar da impossibilidade, este tópico continua a ser de interesse para os entusiastas da pseudomatemática .

Significado na arte e simbolismo

Desde o tempo das primeiras civilizações conhecidas – como os assírios e os antigos egípcios, aqueles no Vale do Indo e ao longo do Rio Amarelo na China, e as civilizações ocidentais da Grécia e Roma antigas durante a Antiguidade clássica – o círculo tem sido usado diretamente ou indiretamente na arte visual para transmitir a mensagem do artista e expressar certas ideias. No entanto, as diferenças de visão de mundo (crenças e cultura) tiveram um grande impacto nas percepções dos artistas. Enquanto alguns enfatizavam o perímetro do círculo para demonstrar sua manifestação democrática, outros se concentravam em seu centro para simbolizar o conceito de unidade cósmica. Nas doutrinas místicas, o círculo simboliza principalmente a natureza infinita e cíclica da existência, mas nas tradições religiosas representa corpos celestes e espíritos divinos. O círculo significa muitos conceitos sagrados e espirituais, incluindo unidade, infinito, totalidade, universo, divindade, equilíbrio, estabilidade e perfeição, entre outros. Tais conceitos têm sido veiculados em culturas de todo o mundo através do uso de símbolos, por exemplo, uma bússola, uma auréola, a vesica piscis e seus derivados (peixe, olho, auréola, mandorla, etc.), o ouroboros, oRoda do Dharma , arco-íris, mandalas, rosáceas e assim por diante. [20]

Veja também

Referências

  1. ^ OL  7227282M
  2. ^ Gamelin, Theodore (1999). Introdução à topologia . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0486406806.
  3. ^ krikos Arquivado 2013-11-06 no Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , em Perseus
  4. Arthur Koestler , The Sleepwalkers : A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
  5. Proclus , Os Seis Livros de Proclus, o Sucessor Platônico, sobre a Teologia de Platão Arquivado em 23/01/2017 no Wayback Machine Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, cap. 2, "De Platão"
  6. Cronologia de 30.000 aC a 500 aC Arquivado em 22/03/2008 na Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Recuperado em 2012-05-03.
  7. Quadratura do círculo Arquivado em 24/06/2008 na Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Recuperado em 2012-05-03.
  8. ^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics/An Introduction (2ª ed.), Addison Wesley Longman, p. 108 , ISBN 978-0-321-01618-8
  9. Posamentier e Salkind, Challenging Problems in Geometry , Dover, 2ª edição, 1996: pp. 104–105, #4–23.
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  12. ^ Harkness, James (1898). "Introdução à teoria das funções analíticas" . Natureza . 59 (1530): 30. Bibcode : 1899Natur..59..386B . doi : 10.1038/059386a0 . S2CID 4030420 . Arquivado a partir do original em 2008-10-07. 
  13. ^ Ogilvy, C. Stanley , Excursions in Geometry , Dover, 1969, 14-17.
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  19. ^ Meskhishvili, Mamuka (2020). "Médias cíclicas de polígonos regulares e sólidos platônicos" . Comunicações em Matemática e Aplicações . 11 : 335-355. arXiv : 2010.12340 .
  20. Abdullahi, Yahya (29 de outubro de 2019). "O Círculo de Leste a Oeste". Em Charnier, Jean-François (ed.). O Louvre Abu Dhabi: Uma Visão Mundial da Arte . Rizzoli International Publications, Incorporated. ISBN 9782370741004.

Leitura adicional

links externos