Caracterização (matemática)

Da Wikipédia, a enciclopédia livre

Em matemática , uma caracterização de um objeto é um conjunto de condições que, embora diferente da definição do objeto, é logicamente equivalente a ele. [1] Dizer que "a propriedade P caracteriza o objeto X " é dizer que não apenas X tem a propriedade P , mas que X é a única coisa que tem a propriedade P (ou seja, P é uma propriedade definidora de X ). Da mesma forma, diz-se que um conjunto de propriedades P caracteriza X , quando essas propriedades distinguem Xde todos os outros objetos. Mesmo que uma caracterização identifique um objeto de forma única, várias caracterizações podem existir para um único objeto. Expressões matemáticas comuns para uma caracterização de X em termos de P incluem " P é necessário e suficiente para X " e " X vale se e somente se P ".

Também é comum encontrar afirmações como "A propriedade Q caracteriza Y até o isomorfismo ". O primeiro tipo de declaração diz em palavras diferentes que a extensão de P é um conjunto singleton , enquanto o segundo diz que a extensão de Q é uma única classe de equivalência (para isomorfismo, no exemplo dado — dependendo de como até está sendo usado , alguma outra relação de equivalência pode estar envolvida).

Uma referência sobre a terminologia matemática observa que a característica se origina do termo grego kharax , "uma estaca pontiaguda":

"Do grego kharax veio kharakhter , um instrumento usado para marcar ou gravar um objeto. Uma vez que um objeto foi marcado, tornou-se distinto, então o caráter de algo passou a significar sua natureza distintiva . o adjetivo característico , que, além de manter seu significado adjetival, mais tarde também se tornou um substantivo." [2]

Assim como na química, a propriedade característica de um material servirá para identificar uma amostra, ou no estudo de materiais, estruturas e propriedades determinarão a caracterização , na matemática há um esforço contínuo para expressar propriedades que irão distinguir uma característica desejada em um teoria ou sistema. A caracterização não é exclusiva da matemática, mas como a ciência é abstrata, grande parte da atividade pode ser descrita como "caracterização". Por exemplo, em Mathematical Reviews , em 2018, mais de 24.000 artigos continham a palavra no título do artigo e 93.600 em algum lugar na revisão.

Em um contexto arbitrário de objetos e recursos, as caracterizações foram expressas por meio da relação heterogênea aRb , significando que o objeto a possui o recurso b . Por exemplo, b pode significar abstrato ou concreto . Os objetos podem ser considerados as extensões do mundo, enquanto as feições são expressão das intenções . Um programa contínuo de caracterização de vários objetos leva à sua categorização .

Exemplos

  • Um número racional , geralmente definido como uma razão de dois números inteiros, pode ser caracterizado como um número com expansão decimal finita ou repetida . [1]
  • Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Uma de suas caracterizações é que suas diagonais se bisseccionam. Isso significa que as diagonais em todos os paralelogramos se dividem e, inversamente, qualquer quadrilátero cujas diagonais se dividem deve ser um paralelogramo. A última afirmação só é verdadeira se forem usadas definições inclusivas de quadriláteros (de modo que, por exemplo, retângulos contem como paralelogramos), que é a forma dominante de definir objetos na matemática hoje em dia.
  • "Entre as distribuições de probabilidade no intervalo de 0 a ∞ na reta real, a falta de memória caracteriza as distribuições exponenciais ." Essa declaração significa que as distribuições exponenciais são as únicas distribuições de probabilidade sem memória, desde que a distribuição seja contínua conforme definido acima (consulte Caracterização de distribuições de probabilidade para obter mais informações).
  • "De acordo com o teorema de Bohr-Mollerup , entre todas as funções f tais que f (1) = 1 e xf ( x ) = f ( x + 1) para x > 0, log-convexidade caracteriza a função gama ." Isso significa que entre todas essas funções, a função gama é a única que é log-convexa. [3]
  • O círculo caracteriza-se como múltiplo por ser unidimensional, compacto e conexo ; aqui a caracterização, como uma variedade suave, cabe ao difeomorfismo .

Veja também

Referências

  1. ^ a b Weisstein, Eric W. "Caracterização" . mathworld.wolfram . com . Recuperado 2019-11-21 .
  2. ^ Steven Schwartzmann (1994) The Words of Mathematics: Um dicionário etimológico de termos matemáticos usados ​​em inglês , página 43, The Mathematical Association of America ISBN 0-88385-511-9 
  3. ^ Uma função f é log-convexa se e somente se log( f ) é uma função convexa . A base do logaritmo não importa, desde que seja maior que 1, mas os matemáticos geralmente entendem "log" sem subscrito como o logaritmo natural , cuja base é e .