Centroide

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Centroide de um triângulo

Em matemática e física , o centroide ou centro geométrico de uma figura plana é a posição média aritmética de todos os pontos da figura. Informalmente, é o ponto em que um recorte da forma (com massa uniformemente distribuída) pode ser perfeitamente equilibrado na ponta de um alfinete. [1] A mesma definição se estende a qualquer objeto no espaço n - dimensional . [2]

Enquanto em geometria , a palavra baricentro é sinônimo de centroide , em astrofísica e astronomia , o baricentro é o centro de massa de dois ou mais corpos que orbitam um ao outro. Em física , o centro de massa é a média aritmética de todos os pontos ponderados pela densidade local ou peso específico . Se um objeto físico tem densidade uniforme, então seu centro de massa é o mesmo que o centroide de sua forma.

Em geografia , o centroide de uma projeção radial de uma região da superfície da Terra ao nível do mar é o centro geográfico da região .

História

O termo "centroid" é de cunhagem recente (1814). [ citação necessária ] Ele é usado como um substituto para os termos mais antigos " centro de gravidade " e " centro de massa ", quando os aspectos puramente geométricos desse ponto devem ser enfatizados. O termo é peculiar à língua inglesa. Os franceses usam " center de gravité " na maioria das ocasiões, e outros usam termos de significado semelhante.

O centro de gravidade, como o nome indica, é uma noção que surgiu na mecânica, muito provavelmente em conexão com as atividades de construção. Não se sabe quando, onde e por quem foi inventado, pois é um conceito que provavelmente ocorreu a muitas pessoas individualmente com pequenas diferenças.

Embora Arquimedes não declare essa proposição explicitamente, ele faz referências indiretas a ela, sugerindo que estava familiarizado com ela. No entanto, Jean-Étienne Montucla (1725-1799), autor da primeira história da matemática (1758), declara categoricamente (vol. I, p. 463) que o centro de gravidade dos sólidos é um assunto que Arquimedes não tocou.

Em 1802 , Charles Bossut (1730-1813) publicou um Essai sur l'histoire générale des mathématiques em dois volumes. Este livro foi muito estimado por seus contemporâneos, a julgar pelo fato de que, dois anos após sua publicação, já estava disponível em tradução em italiano (1802-03), inglês (1803) e alemão (1804). Bossut credita a Arquimedes ter encontrado o centróide de figuras planas, mas não tem nada a dizer sobre sólidos. [3]

Embora seja possível que Euclides ainda estivesse ativo em Alexandria durante a infância de Arquimedes (287-212 aC), é certo que quando Arquimedes visitou Alexandria , Euclides não estava mais lá. Assim Arquimedes não poderia ter aprendido o teorema de que as medianas de um triângulo se encontram em um ponto - o centro de gravidade do triângulo - diretamente de Euclides, pois essa proposição não está nos Elementos de Euclides . A primeira afirmação explícita desta proposição se deve a Heron de Alexandria (talvez do primeiro século EC) e ocorre em sua Mecânica. Pode-se acrescentar, de passagem, que a proposição não se tornou comum nos livros didáticos de geometria plana até o século XIX.

Propriedades

O centroide geométrico de um objeto convexo sempre se encontra no objeto. Um objeto não convexo pode ter um centroide fora da própria figura. O centroide de um anel ou tigela , por exemplo, fica no vazio central do objeto.

Se o centroide é definido, ele é um ponto fixo de todas as isometrias em seu grupo de simetria . Em particular, o centróide geométrico de um objeto está na interseção de todos os seus hiperplanos de simetria . O centróide de muitas figuras ( polígono regular , poliedro regular , cilindro , retângulo , losango , círculo , esfera , elipse , elipse , superelipse , superelipsoid , etc.) pode ser determinado apenas por este princípio.

Em particular, o centróide de um paralelogramo é o ponto de encontro de suas duas diagonais . Isso não é verdade para outros quadriláteros .

Pela mesma razão, o centroide de um objeto com simetria translacional é indefinido (ou fica fora do espaço envolvente), porque uma translação não tem ponto fixo.

Exemplos

O baricentro de um triângulo é a interseção das três medianas do triângulo (cada mediana conectando um vértice com o ponto médio do lado oposto). [4]

Para outras propriedades do baricentro de um triângulo, veja abaixo .

Localizando

Método do fio de prumo

O centróide de uma lâmina plana uniformemente densa , como na figura (a) abaixo, pode ser determinado experimentalmente usando um fio de prumoe um alfinete para encontrar o centro de massa colocado de um corpo fino de densidade uniforme com a mesma forma. O corpo é mantido pelo pino, inserido em um ponto, fora do suposto centróide, de tal forma que pode girar livremente em torno do pino; a linha de prumo é então solta do pino (figura b). A posição do fio de prumo é traçada na superfície e o procedimento é repetido com o pino inserido em qualquer ponto diferente (ou vários pontos) fora do centroide do objeto. O único ponto de interseção dessas linhas será o centroide (figura c). Desde que o corpo seja de densidade uniforme, todas as linhas feitas dessa maneira incluirão o centróide e todas as linhas se cruzarão exatamente no mesmo local.

Centro de gravidade 0.svg
Centro de gravidade 1.svg
Centro de gravidade 2.svg
(uma) (b) (c)

Este método pode ser estendido (em teoria) para formas côncavas onde o centróide pode estar fora da forma, e virtualmente para sólidos (novamente, de densidade uniforme), onde o centróide pode estar dentro do corpo. As posições (virtuais) das linhas de prumo precisam ser registradas por outros meios além do desenho ao longo da forma.

Método de balanceamento

Para formas bidimensionais convexas, o centroide pode ser encontrado equilibrando a forma em uma forma menor, como o topo de um cilindro estreito. O centróide ocorre em algum lugar dentro do intervalo de contato entre as duas formas (e exatamente no ponto em que a forma se equilibraria em um pino). Em princípio, cilindros progressivamente mais estreitos podem ser usados ​​para encontrar o centroide com precisão arbitrária. Na prática, as correntes de ar tornam isso inviável. No entanto, marcando a faixa de sobreposição de várias balanças, pode-se obter um nível considerável de precisão.

De um conjunto finito de pontos

O centroide de um conjunto finito depontosdentroé [2]

Este ponto minimiza a soma das distâncias euclidianas ao quadrado entre ele e cada ponto do conjunto.

Por decomposição geométrica

O centroide de uma figura planapode ser calculado dividindo-o em um número finito de figuras mais simples, calculando o centroidee áreade cada parte e, em seguida, calcular

buracos na figura, sobreposições entre as partes ou partes que se estendem para fora da figura podem ser tratadas usando áreas negativas. Ou seja, as medidasdeve ser tomado com sinais positivos e negativos de tal forma que a soma dos sinais depara todas as partes que envolvem um determinado pontoé 1 sepertence a, e 0 caso contrário.

Por exemplo, a figura abaixo (a) é facilmente dividida em um quadrado e um triângulo, ambos com área positiva; e um furo circular, com área negativa (b).

(a) Objeto 2D
(b) Objeto descrito usando elementos mais simples
(c) Centróides de elementos do objeto

O centróide de cada parte pode ser encontrado em qualquer lista de centróides de formas simples (c). Então o centróide da figura é a média ponderada dos três pontos. A posição horizontal do centroide, a partir da borda esquerda da figura é

A posição vertical do centroide é encontrada da mesma maneira.

A mesma fórmula vale para qualquer objeto tridimensional, exceto que cadadeve ser o volume de, em vez de sua área. Também vale para qualquer subconjunto de, para qualquer dimensão, com as áreas substituídas pormedidas dimensionais das peças.

Por fórmula integral

O centroide de um subconjunto X de também pode ser calculado pela integral

onde as integrais são tomadas em todo o espaço, e g é a função característica do subconjunto, que é 1 dentro de X e 0 fora dele. [5] Observe que o denominador é simplesmente a medida do conjunto X . Esta fórmula não pode ser aplicada se o conjunto X tem medida zero, ou se qualquer integral diverge.

Outra fórmula para o centroide é

onde C k é a k - ésima coordenada de C e S k ( z ) é a medida da intersecção de X com o hiperplano definido pela equação x k = z . Novamente, o denominador é simplesmente a medida de X.

Para uma figura plana, em particular, as coordenadas do baricentro são

onde A é a área da figura X ; S y ( x ) é o comprimento da intersecção de X com a linha vertical na abcissa x ; e S x ( y ) é a quantidade análoga para os eixos trocados.

De uma região limitada

O centroidede uma região limitada pelos gráficos das funções contínuas ede tal modo queno intervalo,, é dado por [5] [6]

Ondeé a área da região (dada por). [7] [8]

De um objeto em forma de L

Este é um método para determinar o centroide de um objeto em forma de L.

CoG de forma L.svg

  1. Divida a forma em dois retângulos, como mostrado na fig. 2. Encontre os centróides desses dois retângulos desenhando as diagonais. Desenhe uma linha unindo os centróides. O centróide da forma deve estar nesta linha AB.
  2. Divida a forma em dois outros retângulos, como mostrado na fig. 3. Encontre os centróides desses dois retângulos desenhando as diagonais. Desenhe uma linha unindo os centróides. O centróide da forma de L deve estar nesta linha CD.
  3. Como o centroide da forma deve estar ao longo de AB e também ao longo de CD, ele deve estar na interseção dessas duas linhas, em O. O ponto O pode estar dentro ou fora do objeto em forma de L.

De um triângulo

Triângulo centróide 1.svg Triângulo centróide 2.svg

O baricentro de um triângulo é o ponto de interseção de suas medianas (as linhas que unem cada vértice com o ponto médio do lado oposto). [4] O centróide divide cada uma das medianas na razão 2:1, ou seja, está localizado ⅓ da distância de cada lado ao vértice oposto (veja as figuras à direita). [9] [10] Suas coordenadas cartesianas são as médias das coordenadas dos três vértices. Isto é, se os três vértices são eentão o centróide (denominado C aqui, mas mais comumente denotado G na geometria do triângulo ) é

O centroide está, portanto, emem coordenadas baricêntricas .

Em coordenadas trilineares, o centróide pode ser expresso em qualquer uma dessas maneiras equivalentes em termos dos comprimentos dos lados a, b, c e dos ângulos do vértice L, M, N : [11]

O centróide também é o centro de massa físico se o triângulo for feito de uma folha uniforme de material; ou se toda a massa estiver concentrada nos três vértices e dividida igualmente entre eles. Por outro lado, se a massa está distribuída ao longo do perímetro do triângulo, com densidade linear uniforme , então o centro de massa situa-se no centro de Spieker (o incentro do triângulo medial ), que (em geral) não coincide com a geometria centróide do triângulo completo.

A área do triângulo é 1,5 vezes o comprimento de qualquer lado vezes a distância perpendicular do lado ao centróide. [12]

O baricentro de um triângulo encontra-se em sua linha de Euler entre seu ortocentro H e seu circuncentro O , exatamente duas vezes mais próximo do último do que do primeiro: [13] [14]

Além disso, para o incentro I e o centro de nove pontos N , temos

Se G é o baricentro do triângulo ABC, então:

O conjugado isogonal do centróide de um triângulo é seu ponto symmedian .

Qualquer uma das três medianas que passam pelo baricentro divide a área do triângulo pela metade. Isso não é verdade para outras linhas que passam pelo centroide; o maior afastamento da divisão de áreas iguais ocorre quando uma linha que passa pelo centroide é paralela a um lado do triângulo, criando um triângulo menor e um trapézio ; neste caso, a área do trapézio é 5/9 da área do triângulo original. [15]

Seja P qualquer ponto no plano de um triângulo com vértices A, B e C e centróide G . Então a soma das distâncias ao quadrado de P dos três vértices excede a soma das distâncias ao quadrado do centróide G dos vértices por três vezes a distância ao quadrado entre P e G : [16]

A soma dos quadrados dos lados do triângulo é igual a três vezes a soma das distâncias quadradas do centróide dos vértices: [16]

O baricentro de um triângulo é o ponto que maximiza o produto das distâncias direcionadas de um ponto às linhas laterais do triângulo. [17]

Seja ABC um triângulo, seja G seu baricentro e sejam D , E e F os pontos médios de BC , CA e AB , respectivamente. Para qualquer ponto P no plano de ABC então [18]

De um polígono

O centroide de um polígono fechado não auto-intersecionado definido por n vértices ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), ..., ( x n −1 , y n −1 ) é o ponto ( C x , C y ), [19] onde

e
e onde A é a área sinalizada do polígono, [19] conforme descrito pela fórmula do cadarço :

Nessas fórmulas, assume-se que os vértices são numerados em ordem de ocorrência ao longo do perímetro do polígono; além disso, assume-se que o vértice ( x n , y n ) é o mesmo que ( x 0 , y 0 ), significandono último caso deve fazer um loop para. (Se os pontos forem numerados no sentido horário, a área A , calculada como acima, será negativa; no entanto, as coordenadas do centroide estarão corretas mesmo neste caso.)

De um cone ou pirâmide

O centróide de um cone ou pirâmide está localizado no segmento de linha que liga o ápice ao centróide da base. Para um cone sólido ou pirâmide, o centroide é 1/4 da distância da base ao ápice. Para um cone ou pirâmide que é apenas uma casca (oca) sem base, o centróide é 1/3 da distância do plano da base ao ápice.

De um tetraedro e simplex n -dimensional

Um tetraedro é um objeto no espaço tridimensional com quatro triângulos como suas faces . Um segmento de linha que une um vértice de um tetraedro com o centróide da face oposta é chamado de mediana , e um segmento de linha que une os pontos médios de duas arestas opostas é chamado de bimediana . Portanto, existem quatro medianas e três bimedianas. Esses sete segmentos de linha se encontram no centroide do tetraedro. [20] As medianas são divididas pelo centroide na proporção 3:1. O centróide de um tetraedro é o ponto médio entre seu ponto de Monge e circuncentro (centro da esfera circunscrita). Esses três pontos definem aLinha de Euler do tetraedro que é análoga à linha de Euler de um triângulo.

Esses resultados generalizam para qualquer simplex n -dimensional da seguinte maneira. Se o conjunto de vértices de um simplex é, então considerando os vértices como vetores , o centróide é

O centroide geométrico coincide com o centro de massa se a massa estiver uniformemente distribuída por todo o simplex, ou concentrada nos vértices como n+1 massas iguais.

De um hemisfério

O centróide de um hemisfério sólido (ou seja, metade de uma bola sólida) divide o segmento de linha que liga o centro da esfera ao pólo do hemisfério na proporção 3:5 (ou seja, fica a 3/8 do caminho do centro ao pólo). O centróide de um hemisfério oco (ou seja, metade de uma esfera oca) divide o segmento de linha que liga o centro da esfera ao pólo do hemisfério ao meio.

Veja também

Notas

  1. ^ Protter & Morrey, Jr. (1970 , p. 521)
  2. ^ a b Protter & Morrey, Jr. (1970 , p. 520)
  3. ^ Tribunal, Nathan Altshiller (1960). "Notas sobre o centroide". O Professor de Matemática . 53 (1): 33–35. doi : 10.5951/MT.53.1.0033 . JSTOR  27956057 .
  4. ^ a b Altshiller-Court (1925 , p. 66)
  5. ^ a b Protter & Morrey, Jr. (1970 , p. 526)
  6. ^ Protter & Morrey, Jr. (1970 , p. 527)
  7. ^ Protter & Morrey, Jr. (1970 , p. 528)
  8. ^ Larson (1998 , pp. 458-460)
  9. Altshiller-Court (1925 , p. 65)
  10. ^ Kay (1969 , p. 184)
  11. ^ Enciclopédia dos Triângulos de Clark Kimberling "Enciclopédia dos Centros do Triângulo" . Arquivado a partir do original em 2012-04-19 . Recuperado em 2012-06-02 .
  12. ^ Johnson (2007 , p. 173)
  13. Altshiller-Court (1925 , p. 101)
  14. ^ Kay (1969 , pp. 18, 189, 225-226)
  15. Bottomley, Henry. "Medianas e bissetrizes de área de um triângulo" . Recuperado em 27 de setembro de 2013 .
  16. ^ a b Altshiller-Court (1925 , pp. 70-71)
  17. ^ Kimberling, Clark (201). "Desigualdades de distância trilineares para o ponto symmedian, o centróide e outros centros de triângulo" . Fórum Geométrico . 10 : 135-139.
  18. ^ Gerald A. Edgar, Daniel H. Ullman & Douglas B. West (2018) Problemas e Soluções, The American Mathematical Monthly, 125:1, 81-89, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
  19. ^ a b Bourke (1997)
  20. ^ Leung, Kam-tim; e Suen, Suk-nam; "Vetores, matrizes e geometria", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53-54

Referências

Links externos