Centro de massa

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Este brinquedo usa os princípios do centro de massa para manter o equilíbrio em um dedo

Em física, o centro de massa de uma distribuição de massa no espaço (às vezes chamado de ponto de equilíbrio ) é o único ponto onde a posição relativa ponderada da massa distribuída soma zero. Este é o ponto ao qual uma força pode ser aplicada para causar uma aceleração linear sem uma aceleração angular . Os cálculos em mecânica são muitas vezes simplificados quando formulados em relação ao centro de massa. É um ponto hipotético onde toda a massa de um objeto pode ser considerada concentrada para visualizar seu movimento. Em outras palavras, o centro de massa é a partícula equivalente de um determinado objeto para aplicação deLeis do movimento de Newton .

No caso de um único corpo rígido , o centro de massa é fixo em relação ao corpo, e se o corpo tiver densidade uniforme, ele estará localizado no centroide . O centro de massa pode estar localizado fora do corpo físico, como às vezes é o caso de objetos ocos ou de formato aberto, como uma ferradura . No caso de uma distribuição de corpos separados, como os planetas do Sistema Solar , o centro de massa pode não corresponder à posição de nenhum membro individual do sistema.

O centro de massa é um ponto de referência útil para cálculos em mecânica que envolvem massas distribuídas no espaço, como o momento linear e angular dos corpos planetários e a dinâmica dos corpos rígidos . Na mecânica orbital , as equações de movimento dos planetas são formuladas como massas pontuais localizadas nos centros de massa. O referencial do centro de massa é um referencial inercial no qual o centro de massa de um sistema está em repouso em relação à origem do sistema de coordenadas.

História

O conceito de centro de gravidade ou peso foi estudado extensivamente pelo antigo matemático grego, físico e engenheiro Arquimedes de Siracusa . Ele trabalhou com suposições simplificadas sobre a gravidade que equivalem a um campo uniforme, chegando assim às propriedades matemáticas do que hoje chamamos de centro de massa. Arquimedes mostrou que o torque exercido em uma alavanca por pesos que repousam em vários pontos ao longo da alavanca é o mesmo que seria se todos os pesos fossem movidos para um único ponto - seu centro de massa. Em sua obra Sobre corpos flutuantes, Arquimedes demonstrou que a orientação de um objeto flutuante é aquela que torna seu centro de massa o mais baixo possível. Ele desenvolveu técnicas matemáticas para encontrar os centros de massa de objetos de densidade uniforme de várias formas bem definidas. [1]

Outros matemáticos antigos que contribuíram para a teoria do centro de massa incluem Herói de Alexandria e Pappus de Alexandria . Nos períodos renascentista e moderno , obra de Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , [2] Federico Commandino , [3] Evangelista Torricelli , Simon Stevin , [4] Luca Valerio , [5] Jean-Charles de la Faille , Paul Guldin , [6] John Wallis , Louis Carré , Pierre Varignon eAlexis Clairaut expandiu ainda mais o conceito. [7]

A segunda lei de Newton é reformulada em relação ao centro de massa na primeira lei de Euler . [8]

Definição

O centro de massa é o único ponto no centro de uma distribuição de massa no espaço que tem a propriedade de que os vetores de posição ponderados relativos a este ponto somam zero. Em analogia com a estatística, o centro de massa é a localização média de uma distribuição de massa no espaço.

Um sistema de partículas

No caso de um sistema de partículas P i , i = 1, …,  n , cada uma com massa m i que estão localizadas no espaço com coordenadas ri , i = 1, …,  n , as coordenadas R do centro de massa satisfazer a condição

Resolvendo esta equação para R produz a fórmula

Ondeé a massa total de todas as partículas.

Um volume contínuo

Se a distribuição de massa é contínua com a densidade ρ( r ) dentro de um sólido Q , então a integral das coordenadas de posição ponderada dos pontos neste volume em relação ao centro de massa R sobre o volume V é zero, isto é

Resolva esta equação para as coordenadas R para obter

onde M é a massa total no volume.

Se uma distribuição de massa contínua tem densidade uniforme , o que significa que ρ é constante, então o centro de massa é o mesmo que o centroide do volume. [9]

Coordenadas baricêntricas

As coordenadas R do centro de massa de um sistema de duas partículas, P 1 e P 2 , com massas m 1 e m 2 são dadas por

Deixe a porcentagem da massa total dividida entre essas duas partículas variar de 100% P 1 e 0% P 2 a 50% P 1 e 50% P 2 a 0% P 1 e 100% P 2 , então o centro de massa R move-se ao longo da linha de P 1 a P 2 . As porcentagens de massa em cada ponto podem ser vistas como coordenadas projetivas do ponto Rnesta linha, e são denominadas coordenadas baricêntricas. Outra maneira de interpretar o processo aqui é o equilíbrio mecânico de momentos em torno de um ponto arbitrário. O numerador dá o momento total que é então equilibrado por uma força total equivalente no centro de massa. Isso pode ser generalizado para três pontos e quatro pontos para definir coordenadas projetivas no plano e no espaço, respectivamente.

Sistemas com condições de contorno periódicas

Para partículas em um sistema com condições de contorno periódicas, duas partículas podem ser vizinhas mesmo estando em lados opostos do sistema. Isso ocorre frequentemente em simulações de dinâmica molecular , por exemplo, nas quais aglomerados se formam em locais aleatórios e, às vezes, átomos vizinhos cruzam o limite periódico. Quando um cluster atravessa o limite periódico, um cálculo ingênuo do centro de massa estará incorreto. Um método generalizado para calcular o centro de massa para sistemas periódicos é tratar cada coordenada, x e y e/ou z , como se estivesse em um círculo em vez de uma linha. [10] O cálculo leva o x de cada partículacoordenar e mapear para um ângulo,

onde x max é o tamanho do sistema na direção x e. Deste ângulo, dois novos pontospode ser gerado, que pode ser ponderado pela massa da partículapara o centro de massa ou dado um valor de 1 para o centro geométrico:

Noplano, essas coordenadas estão em um círculo de raio 1. Da coleção deevalores de todas as partículas, as médiasesão calculados.

onde M é a soma das massas de todas as partículas.

Esses valores são mapeados de volta em um novo ângulo,, a partir do qual a coordenada x do centro de massa pode ser obtida:

O processo pode ser repetido para todas as dimensões do sistema para determinar o centro de massa completo. A utilidade do algoritmo é que ele permite que a matemática determine onde está o "melhor" centro de massa, em vez de adivinhar ou usar a análise de cluster para "desdobrar" um cluster que abrange os limites periódicos. Se ambos os valores médios forem zero,, entãoé indefinido. Este é um resultado correto, pois só ocorre quando todas as partículas estão exatamente espaçadas. Nessa condição, suas coordenadas x são matematicamente idênticas em um sistema periódico .

Centro de gravidade

Diagrama de um brinquedo educativo que se equilibra em um ponto: o centro de massa (C) se posiciona abaixo de seu suporte (P)

O centro de gravidade de um corpo é o ponto em torno do qual o torque resultante devido às forças da gravidade desaparece. Onde um campo de gravidade pode ser considerado uniforme, o centro de massa e o centro de gravidade serão os mesmos. No entanto, para satélites em órbita ao redor de um planeta, na ausência de outros torques sendo aplicados a um satélite, a pequena variação (gradiente) no campo gravitacional entre mais próximo (mais forte) e mais distante (mais fraco) do planeta pode levar a um torque que tenderá a alinhar o satélite de tal forma que seu eixo maior seja vertical. Nesse caso, é importante fazer a distinção entre o centro de gravidade e o centro de massa. Qualquer deslocamento horizontal entre os dois resultará em um torque aplicado.

É útil notar que o centro de massa é uma propriedade fixa para um determinado corpo rígido (por exemplo, sem slosh ou articulação), enquanto o centro de gravidade pode, além disso, depender de sua orientação em uma gravidade não uniforme campo. Neste último caso, o centro de gravidade sempre estará localizado um pouco mais próximo do corpo atrativo principal em comparação com o centro de massa e, portanto, mudará sua posição no corpo de interesse à medida que sua orientação for alterada.

No estudo da dinâmica de aeronaves, veículos e embarcações, forças e momentos precisam ser resolvidos em relação ao centro de massa. Isso é verdade independentemente de a gravidade em si ser uma consideração. Referir-se ao centro de massa como centro de gravidade é uma espécie de coloquialismo, mas é de uso comum e quando os efeitos do gradiente de gravidade são insignificantes, centro de gravidade e centro de massa são os mesmos e são usados ​​​​de forma intercambiável.

Em física, os benefícios de usar o centro de massa para modelar uma distribuição de massa podem ser vistos considerando a resultante das forças da gravidade em um corpo contínuo. Considere um corpo Q de volume V com densidade ρ( r ) em cada ponto r do volume. Em um campo gravitacional paralelo, a força f em cada ponto r é dada por,

onde dm é a massa no ponto r , g é a aceleração da gravidade, eé um vetor unitário que define a direção vertical.

Escolha um ponto de referência R no volume e calcule a força e o torque resultantes neste ponto,

e

Se o ponto de referência R for escolhido de modo que seja o centro de massa, então

o que significa que o torque resultante T = 0. Como o torque resultante é zero, o corpo se moverá como se fosse uma partícula com sua massa concentrada no centro de massa.

Ao selecionar o centro de gravidade como ponto de referência para um corpo rígido, as forças da gravidade não farão com que o corpo gire, o que significa que o peso do corpo pode ser considerado concentrado no centro de massa.

Momento linear e angular

O momento linear e angular de uma coleção de partículas pode ser simplificado medindo a posição e a velocidade das partículas em relação ao centro de massa. Seja o sistema de partículas P i , i = 1, ..., n de massas m i estar localizado nas coordenadas ri com velocidades v i . Selecione um ponto de referência R e calcule a posição relativa e os vetores de velocidade,

O momento linear total e o momento angular do sistema são

e

Se R for escolhido como o centro de massa, essas equações simplificam para

onde m é a massa total de todas as partículas, p é o momento linear e L é o momento angular.

A lei da conservação da quantidade de movimento prevê que, para qualquer sistema não sujeito a forças externas, a quantidade de movimento do sistema permanecerá constante, o que significa que o centro de massa se moverá com velocidade constante. Isso se aplica a todos os sistemas com forças internas clássicas, incluindo campos magnéticos, campos elétricos, reações químicas e assim por diante. Mais formalmente, isso é verdade para quaisquer forças internas que se cancelam de acordo com a Terceira Lei de Newton . [11]

Localizando o centro de massa

Método do fio de prumo

A determinação experimental do centro de massa de um corpo faz uso das forças da gravidade sobre o corpo e se baseia no fato de que o centro de massa é o mesmo que o centro de gravidade no campo de gravidade paralelo próximo à superfície da Terra.

O centro de massa de um corpo com eixo de simetria e densidade constante deve estar nesse eixo. Assim, o centro de massa de um cilindro circular de densidade constante tem seu centro de massa no eixo do cilindro. Da mesma forma, o centro de massa de um corpo esfericamente simétrico de densidade constante está no centro da esfera. Em geral, para qualquer simetria de um corpo, seu centro de massa será um ponto fixo dessa simetria. [12]

Em duas dimensões

Um método experimental para localizar o centro de massa é suspender o objeto de dois locais e soltar fios de prumo dos pontos de suspensão. A interseção das duas linhas é o centro de massa. [13]

A forma de um objeto pode já ter sido determinada matematicamente, mas pode ser muito complexa para usar uma fórmula conhecida. Neste caso, pode-se subdividir a forma complexa em formas mais simples, mais elementares, cujos centros de massa são fáceis de encontrar. Se a massa total e o centro de massa podem ser determinados para cada área, então o centro de massa do todo é a média ponderada dos centros. [14] Este método pode até funcionar para objetos com buracos, que podem ser contabilizados como massas negativas. [15]

Um desenvolvimento direto do planímetro conhecido como integraph, ou integerometer, pode ser usado para estabelecer a posição do centróide ou centro de massa de uma forma bidimensional irregular. Este método pode ser aplicado a uma forma com contorno irregular, suave ou complexo, onde outros métodos são muito difíceis. Era usado regularmente pelos construtores de navios para comparar com o deslocamento necessário e o centro de flutuabilidade de um navio e garantir que ele não virasse. [16] [17]

Em três dimensões

Um método experimental para localizar as coordenadas tridimensionais do centro de massa começa apoiando o objeto em três pontos e medindo as forças F 1 , F 2 e F 3 que resistem ao peso do objeto,(é o vetor unitário na direção vertical). Sejam r 1 , r 2 e r 3 as coordenadas de posição dos pontos de apoio, então as coordenadas R do centro de massa satisfazem a condição de que o torque resultante é zero,

ou

Esta equação produz as coordenadas do centro de massa R * no plano horizontal como,

O centro de massa está na linha vertical L, dada por

As coordenadas tridimensionais do centro de massa são determinadas realizando este experimento duas vezes com o objeto posicionado de forma que essas forças sejam medidas para dois planos horizontais diferentes através do objeto. O centro de massa será a interseção das duas linhas L 1 e L 2 obtidas nos dois experimentos.

Aplicativos

Projetos de engenharia

Aplicações automotivas

Os engenheiros tentam projetar um carro esportivo de modo que seu centro de massa seja abaixado para melhorar a dirigibilidade do carro , ou seja, manter a tração ao executar curvas relativamente fechadas .

O perfil baixo característico do Humvee militar dos EUA foi projetado em parte para permitir que ele se incline mais do que veículos mais altos sem capotar , garantindo que seu baixo centro de massa permaneça sobre o espaço delimitado pelas quatro rodas mesmo em ângulos distantes da horizontal .

Aeronáutica

O centro de massa é um ponto importante em uma aeronave , o que afeta significativamente a estabilidade da aeronave. Para garantir que a aeronave seja estável o suficiente para voar com segurança, o centro de massa deve estar dentro dos limites especificados. Se o centro de massa estiver à frente do limite de avanço , a aeronave será menos manobrável, possivelmente a ponto de ser incapaz de girar para decolagem ou flare para pouso. [18] Se o centro de massa estiver atrás do limite traseiro, a aeronave será mais manobrável, mas também menos estável e possivelmente instável o suficiente para ser impossível voar. O braço de momento do elevador também será reduzido, o que dificulta a recuperação de uma condição de estol . [19]

Para helicópteros pairando , o centro de massa está sempre diretamente abaixo da cabeça do rotor . Em vôo para frente, o centro de massa se moverá para frente para equilibrar o torque de passo negativo produzido pela aplicação de controle cíclico para impulsionar o helicóptero para frente; consequentemente, um helicóptero de cruzeiro voa "de nariz para baixo" em vôo nivelado. [20]

Astronomia

Dois corpos orbitando seu baricentro (cruz vermelha)

O centro de massa desempenha um papel importante na astronomia e astrofísica, onde é comumente referido como o baricentro . O baricentro é o ponto entre dois objetos onde eles se equilibram; é o centro de massa onde dois ou mais corpos celestes orbitam um ao outro. Quando uma lua orbita um planeta , ou um planeta orbita uma estrela , ambos os corpos estão na verdade orbitando um ponto que fica longe do centro do corpo primário (maior). [21] Por exemplo, a Lua não orbita o centro exato da Terra, mas um ponto em uma linha entre o centro da Terra e a Lua, aproximadamente 1.710 km (1.062 milhas) abaixo da superfície da Terra, onde suas respectivas massas se equilibram. Este é o ponto em torno do qual a Terra e a Lua orbitam enquanto viajam ao redor do Sol . Se as massas forem mais semelhantes, por exemplo, Plutão e Caronte , o baricentro cairá fora de ambos os corpos.

Aparelhamento e segurança

Conhecer a localização do centro de gravidade durante a montagem é crucial, possivelmente resultando em ferimentos graves ou morte se for assumido incorretamente. Um centro de gravidade que está no ou acima do ponto de elevação provavelmente resultará em um incidente de tombamento. Em geral, quanto mais longe o centro de gravidade abaixo do ponto de coleta, mais seguro é o içamento. Há outras coisas a serem consideradas, como deslocamento de cargas, força e massa da carga, distância entre os pontos de coleta e número de pontos de coleta. Especificamente, ao selecionar os pontos de sustentação, é muito importante colocar o centro de gravidade no centro e bem abaixo dos pontos de sustentação. [22]

Movimento do corpo

Em cinesiologia e biomecânica, o centro de massa é um parâmetro importante que auxilia as pessoas na compreensão de sua locomoção humana. Normalmente, o centro de massa de um ser humano é detectado com um dos dois métodos: o método da placa de reação é uma análise estática que envolve a pessoa deitada naquele instrumento e o uso de sua equação de equilíbrio estático para encontrar seu centro de massa; o método de segmentação baseia-se em uma solução matemática baseada no princípio físico de que a soma dos torques de seções individuais do corpo, em relação a um eixo especificado , deve ser igual ao torque de todo o sistema que constitui o corpo, medido em relação ao mesmo eixo.[23]

Veja também

Notas

  1. ^ Shore 2008 , pp. 9–11.
  2. ^ Barão 2004 , pp. 91-94.
  3. ^ Barão 2004 , pp. 94-96.
  4. ^ Barão 2004 , pp. 96-101.
  5. ^ Barão 2004 , pp. 101-106.
  6. ^ Mancosu 1999 , pp. 56-61.
  7. ^ Walton 1855 , p. 2.
  8. ^ Beatty 2006 , p. 29.
  9. ^ Levi 2009 , p. 85.
  10. ^ Bai & Breen 2008 .
  11. ^ Kleppner & Kolenkow 1973 , p. 117.
  12. ^ Feynman, Leighton & Sands 1963 , p. 19.3.
  13. ^ Kleppner & Kolenkow 1973 , pp. 119-120.
  14. Feynman, Leighton & Sands 1963 , pp. 19.1–19.2.
  15. ^ Hamill 2009 , pp. 20–21.
  16. ^ "A teoria e design da construção naval britânica" . Amos Lowrey Ayre . pág. 3 . Recuperado 2012-08-20 .
  17. ^ Sangwin 2006 , p. 7.
  18. ^ Federal Aviation Administration 2007 , p. 1.4.
  19. ^ Federal Aviation Administration 2007 , p. 1.3.
  20. ^ "Aerodinâmica do helicóptero" (PDF) . pág. 82. Arquivado a partir do original (PDF) em 24/03/2012 . Recuperado em 23/11/2013 .
  21. ^ Murray & Dermott 1999 , pp. 45-47.
  22. ^ "Técnico de colapso estrutural: Módulo 4 - Elevação e equipamento" (PDF) . FEMA.gov . Recuperado 2019-11-27 .
  23. ^ Vint 2003 , pp. 1–11.

Referências

Links externos