Bissecção

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A linha DE corta a linha AB em D, a linha EF é uma mediatriz do segmento AD em C, e a linha EF é a bissetriz interna do ângulo reto AED

Em geometria , bissecção é a divisão de algo em duas partes iguais ou congruentes , geralmente por uma linha , que é então chamada de bissetriz . Os tipos de bissetriz mais frequentemente considerados são a bissetriz do segmento (uma linha que passa pelo ponto médio de um determinado segmento ) e a bissetriz do ângulo (uma linha que passa pelo vértice de um ângulo , que o divide em dois ângulos iguais).

No espaço tridimensional , a bissecção geralmente é feita por um plano, também chamado de bissetriz ou plano de bissetriz .

Bissetriz do segmento de reta perpendicular

Definição

Bissetriz perpendicular de um segmento de reta
  • A mediatriz de um segmento de linha é uma linha que encontra o segmento em seu ponto médio perpendicularmente.

O intersetor horizontal de um segmentotambém tem a propriedade de que cada um de seus pontosé equidistante das extremidades do segmento:
(D).

A prova segue dee o teorema de Pitágoras :

A propriedade (D) é geralmente usada para a construção de uma mediatriz:

Construção por régua e compasso

Construção por régua e compasso

Na geometria clássica, a bissecção é uma construção simples com compasso e régua , cuja possibilidade depende da capacidade de desenhar círculos de raios iguais e centros diferentes:

O segmentoé dividido ao meio desenhando círculos que se intersectam de igual raio, cujos centros são as extremidades do segmento. A linha determinada pelos pontos de intersecção dos dois círculos é a mediatriz do segmento.
Porque a construção da bissetriz é feita sem o conhecimento do ponto médio do segmento, a construção é usada para determinarcomo a interseção da bissetriz e do segmento de reta.

Esta construção é de fato usada ao construir uma linha perpendicular a uma determinada linha em um determinado ponto : desenhar um círculo cujo centro étal que cruza a linhaem dois pontos, e a perpendicular a ser construída é o segmento de uma bissetriz.

Equações

Sesão os vetores posição de dois pontos, então seu ponto médio ée vetoré um vetor normal da bissetriz do segmento de reta perpendicular. Portanto, sua equação vetorial é. Inserindo e expandir a equação leva à equação vetorial

(V)

Comobtém-se a equação na forma de coordenadas:

(C)

Ou explicitamente:
(E),
onde,, e.

Aplicativos

As bissetrizes do segmento de reta perpendicular foram usadas resolvendo vários problemas geométricos:

  1. Construção do centro de um círculo de Tales ,
  2. Construção do centro do excírculo de um triângulo,
  3. Os limites do diagrama de Voronoi consistem em segmentos de tais linhas ou planos.
Plano bissector

Bissetrizes do segmento de reta perpendicular no espaço

  • A mediatriz de um segmento de reta é um plano , que encontra o segmento em seu ponto médio perpendicularmente.

Sua equação vetorial é literalmente a mesma do caso do plano:

(V)

Comobtém-se a equação na forma de coordenadas:

(C3)

A propriedade (D) (veja acima) também é literalmente verdadeira no espaço:
(D) O plano perpendicular de um segmentotem para qualquer pontoa propriedade:.

Bissetriz de ângulo

Bissecção de um ângulo com compasso e régua

Uma bissetriz de ângulo divide o ângulo em dois ângulos com medidas iguais . Um ângulo tem apenas uma bissetriz. Cada ponto de uma bissetriz de ângulo é equidistante dos lados do ângulo.

A bissetriz interna ou interna de um ângulo é a linha, meia linha ou segmento de linha que divide um ângulo menor que 180° em dois ângulos iguais. A bissetriz externa ou externa é a linha que divide o ângulo suplementar (de 180° menos o ângulo original), formado por um lado formando o ângulo original e a extensão do outro lado, em dois ângulos iguais. [1]

Para bissectar um ângulo com régua e compasso , desenha-se um círculo cujo centro é o vértice. O círculo encontra o ângulo em dois pontos: um em cada perna. Usando cada um desses pontos como centro, desenhe dois círculos do mesmo tamanho. A interseção dos círculos (dois pontos) determina uma linha que é a bissetriz do ângulo.

A prova da correção desta construção é bastante intuitiva, contando com a simetria do problema. A trissecção de um ângulo (dividindo-o em três partes iguais) não pode ser alcançada apenas com o compasso e a régua (isso foi provado pela primeira vez por Pierre Wantzel ).

As bissetrizes internas e externas de um ângulo são perpendiculares . Se o ângulo é formado pelas duas linhas dadas algebricamente como eentão as mediatrizes internas e externas são dadas pelas duas equações [2] : p.15 

Triângulo

Simultaneidades e colinearidades

As bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo são concorrentes em um ponto chamado incentro do triângulo, como visto no diagrama.


As bissetrizes de dois ângulos externos e a bissetriz do outro ângulo interno são concorrentes. [3] : p.149 

Três pontos de interseção, cada um de uma bissetriz externa com o lado estendido oposto , são colineares (caem na mesma linha que os outros). [3] : pág. 149 

Três pontos de interseção, dois deles entre uma bissetriz interna e o lado oposto, e o terceiro entre a outra bissetriz externa e o lado oposto estendido, são colineares. [3] : pág. 149 

Teorema da bissetriz do ângulo

Neste diagrama, BD:DC = AB:AC.

O teorema da bissetriz do ângulo está relacionado com os comprimentos relativos dos dois segmentos em que o lado de um triângulo é dividido por uma linha que corta o ângulo oposto. Ele iguala seus comprimentos relativos aos comprimentos relativos dos outros dois lados do triângulo.

Comprimentos

Se os comprimentos dos lados de um triângulo são, o semiperímetroe A é o ângulo do lado oposto, então o comprimento da bissetriz interna do ângulo A é [3] : p. 70 

ou em termos trigonométricos, [4]

Se a bissetriz interna do ângulo A no triângulo ABC tem comprimentoe se esta bissetriz divide o lado oposto a A em segmentos de comprimento m e n , então [3] : p.70 

onde b e c são os comprimentos dos lados opostos aos vértices B e C; e o lado oposto a A é dividido na proporção b : c .

Se as mediatrizes internas dos ângulos A, B e C têm comprimentose, então [5]

Dois triângulos não congruentes não compartilham o mesmo conjunto de três comprimentos de bissetrizes internas. [6] [7]

Triângulos inteiros

Existem triângulos inteiros com uma bissetriz racional .

Quadrilátero

As bissetrizes internas de um quadrilátero convexo ou formam um quadrilátero cíclico (ou seja, os quatro pontos de interseção de bissetrizes adjacentes são concíclicos ), [8] ou são concorrentes . Neste último caso, o quadrilátero é um quadrilátero tangencial .

Losango

Cada diagonal de um losango corta ao meio ângulos opostos.

Quadrilátero ex-tangencial

O excentro de um quadrilátero ex-tangencial encontra-se na intersecção de seis bissetrizes. Estas são as bissetrizes internas nos dois ângulos dos vértices opostos, as bissetrizes externas (bissetrizes suplementares) nos outros dois ângulos do vértice e as bissetrizes externas nos ângulos formados onde as extensões dos lados opostos se cruzam.

Parábola

A tangente a uma parábola em qualquer ponto bissecta o ângulo entre a linha que une o ponto ao foco e a linha do ponto e perpendicular à diretriz.

Bissetrizes dos lados de um polígono

Triângulo

Medianas

Cada uma das três medianas de um triângulo é um segmento de linha que passa por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto, de modo que corta esse lado (embora não perpendicularmente em geral). As três medianas se cruzam em um ponto que é chamado de centroide do triângulo, que é seu centro de massa se tiver densidade uniforme; assim, qualquer linha que passa pelo baricentro de um triângulo e um de seus vértices corta o lado oposto. O centróide está duas vezes mais próximo do ponto médio de qualquer lado do que do vértice oposto.

Mediatrizes perpendiculares

A mediatriz interna de um lado de um triângulo é o segmento, caindo inteiramente sobre e dentro do triângulo, da linha que corta perpendicularmente esse lado. As três mediatrizes dos três lados de um triângulo se cruzam no circuncentro (o centro do círculo que passa pelos três vértices). Assim, qualquer linha que passe pelo circuncentro de um triângulo e seja perpendicular a um lado bissecciona esse lado.

Em um triângulo agudo , o circuncentro divide as mediatrizes perpendiculares internas dos dois lados mais curtos em proporções iguais. Em um triângulo obtuso , as mediatrizes perpendiculares dos dois lados mais curtos (estendidas além de seus lados opostos do triângulo até o circuncentro) são divididas por seus respectivos lados do triângulo de interseção em proporções iguais. [9] : Corolários 5 e 6 

Para qualquer triângulo, as mediatrizes internas são dadas por eonde estão os ladose a área é[9] : Thm 2 

Quadrilátero

As duas bimedianas de um quadrilátero convexo são os segmentos de linha que conectam os pontos médios de lados opostos, portanto, cada um bisseccionando dois lados. As duas bimedianas e o segmento de linha que une os pontos médios das diagonais são concorrentes em um ponto chamado "centróide do vértice" e são todos bissectados por esse ponto. [10] : p.125 

As quatro "maltitudes" de um quadrilátero convexo são as perpendiculares a um lado que passa pelo ponto médio do lado oposto, dividindo assim o último lado. Se o quadrilátero é cíclico (inscrito em um círculo), essas maltitudes são concorrentes em (todos se encontram em) um ponto comum chamado de "anticentro".

O teorema de Brahmagupta afirma que se um quadrilátero cíclico é ortodiagonal (isto é, tem diagonais perpendiculares ), então a perpendicular a um lado do ponto de intersecção das diagonais sempre corta o lado oposto.

A construção da mediatriz forma um quadrilátero a partir das mediatrizes dos lados de outro quadrilátero.

Bissetrizes de área e bissetrizes de perímetro

Triângulo

Há uma infinidade de linhas que cortam a área de um triângulo . Três deles são as medianas do triângulo (que ligam os pontos médios dos lados com os vértices opostos), e estes são concorrentes no centroide do triângulo ; na verdade, elas são as únicas bissetrizes de área que passam pelo centróide. Três outras bissetrizes de área são paralelas aos lados do triângulo; cada um deles intercepta os outros dois lados de modo a dividi-los em segmentos com as proporções. [11] Essas seis linhas são concorrentes três de cada vez: além das três medianas serem concorrentes, qualquer uma das medianas é concorrente com duas das bissetrizes laterais paralelas da área.

A envoltória da infinidade das bissetrizes de área é um deltoide (definido amplamente como uma figura com três vértices conectados por curvas côncavas ao exterior do deltoide, tornando os pontos internos um conjunto não convexo). [11] Os vértices do deltoide estão nos pontos médios das medianas; todos os pontos dentro do deltoide estão em três bissetrizes de área diferentes, enquanto todos os pontos fora dele estão em apenas um. [1] Os lados do deltoide são arcos de hipérboles que são assintóticos aos lados estendidos do triângulo. [11] A razão entre a área do envelope das bissetrizes da área e a área do triângulo é invariante para todos os triângulos e é igualou seja, 0,019860... ou menos de 2%.

Um cutelo de um triângulo é um segmento de linha que corta o perímetro do triângulo e tem um ponto final no ponto médio de um dos três lados. Os três cutelos coincidem (todos passam) no centro do círculo de Spieker , que é o círculo do triângulo medial . Os cutelos são paralelos às bissetrizes do ângulo.

Um divisor de um triângulo é um segmento de linha que tem uma extremidade em um dos três vértices do triângulo e bissecta o perímetro. Os três divisores coincidem no ponto Nagel do triângulo.

Qualquer linha através de um triângulo que divide a área do triângulo e seu perímetro ao meio passa pelo incentro do triângulo (o centro de seu círculo ). Há um, dois ou três deles para qualquer triângulo. Uma linha que passa pelo incentro corta uma área ou perímetro se e somente se ela também corta a outra. [12]

Paralelogramo

Qualquer linha que passe pelo ponto médio de um paralelogramo corta a área [11] e o perímetro.

Círculo e elipse

Todas as bissetrizes de área e bissetrizes de perímetro de um círculo ou outra elipse passam pelo centro , e quaisquer cordas que passam pelo centro cortam a área e o perímetro. No caso de um círculo são os diâmetros do círculo.

Bissetrizes de diagonais

Paralelogramo

As diagonais de um paralelogramo se bissectam.

Quadrilátero

Se um segmento de linha conectando as diagonais de um quadrilátero bissecta ambas as diagonais, então este segmento de linha (a Linha de Newton ) é ele próprio bissectado pelo centróide do vértice.

Bissetrizes de volume

Um plano que divide duas arestas opostas de um tetraedro em uma determinada razão também divide o volume do tetraedro na mesma razão. Assim, qualquer plano contendo uma bimediana (conector dos pontos médios das arestas opostas) de um tetraedro corta o volume do tetraedro [13] [14] : pp.89-90 

Referências

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Bissetriz de Ângulo Exterior." De MathWorld - Um recurso da Web da Wolfram.
  2. ^ Espanha, Barry. Analytical Conics , Dover Publications, 2007 (origem 1957).
  3. ^ a b c d e Johnson, Roger A., Geometria Euclidiana Avançada , Dover Publ., 2007 (origem 1929).
  4. ^ Oxman, Victor. "Sobre a existência de triângulos com comprimentos dados de um lado e duas bissetrizes adjacentes", Forum Geometricorum 4, 2004, 215-218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  5. ^ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, março de 2009, 115-116.
  6. Mironescu, P., e Panaitopol, L., "A existência de um triângulo com comprimentos de bissetrizes de ângulo prescritos", American Mathematical Monthly 101 (1994): 58-60.
  7. Oxman, Victor, "Uma prova puramente geométrica da unicidade de um triângulo com bissetrizes prescritas", Forum Geometricorum 8 (2008): 197–200.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Quadrilátero". De MathWorld - Um recurso da Web da Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
  9. ^ a b Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
  10. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
  11. ^ a b c d Dunn, Jas. UMA.; Linda, Jas. E. (maio de 1972). "Dividindo um triângulo". A Gazeta Matemática . 56 (396): 105–108. doi : 10.2307/3615256 . JSTOR  3615256 .
  12. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," Mathematics Magazine 83, abril de 2010, pp. 141-146.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Tetraedro". De MathWorld - Um recurso da Web da Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
  14. ^ Altshiller-Court, N. "O tetraedro." CH. 4 em Geometria Sólida Pura Moderna : Chelsea, 1979.

Links externos

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