Axiomas de Birkhoff

Em 1932, GD Birkhoff criou um conjunto de quatro postulados da geometria euclidiana no plano, às vezes chamados de axiomas de Birkhoff . [1] Esses postulados são todos baseados em geometria básica que pode ser confirmada experimentalmente com escala e transferidor . Como os postulados se baseiam nos números reais , a abordagem é semelhante a uma introdução à geometria euclidiana baseada em modelo .

O sistema axiomático de Birkhoff foi utilizado no livro didático do ensino médio por Birkhoff e Beatley. [2] Esses axiomas também foram modificados pelo Grupo de Estudo de Matemática Escolar para fornecer um novo padrão para o ensino de geometria no ensino médio, conhecido como axiomas SMSG. Alguns outros livros sobre fundamentos de geometria usam variantes dos axiomas de Birkhoff. [3]

Postulados

A distância entre dois pontos AB é denotada por d ( A, B ) , e o ângulo formado por três pontos A , B , C é denotado por ABC .

Postulado I: Postulado da medida da linha . O conjunto de pontos { A , B , ...} em qualquer reta pode ser colocado em uma correspondência 1:1 com os números reais { ab , ...} de modo que | b  -  uma | = d ( A, B ) para todos os pontos AB.

Postulado II: Postulado ponto-linha . Existe uma e apenas uma linha que contém quaisquer dois pontos distintos PQ .

Postulado III: Postulado da medida do ângulo . O conjunto de raios { ℓ, m, n , ...} que passa por qualquer ponto O pode ser colocado em correspondência 1:1 com os números reais a  (mod 2 π ) de modo que se A e B são pontos (diferentes de O ) de e m , respectivamente, a diferença a m  −  a  (mod 2π) dos números associados às linhas e m é AOB . Além disso, se o ponto B em m varia continuamente em uma linha r que não contém o vértice O , o número a m também varia continuamente.

Postulado IV: Postulado de similaridade . Dados dois triângulos ABC e A'B'C'  e alguma constante k  > 0 tal que d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) e B'A'C'   = ±∠ BAC , então d ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), ∠ C'B'A'   = ±∠ CBA , e A'C'B'   = ±∠ ACB .

Veja também

Referências

  1. ^ Birkhoff, George David (1932), "Um conjunto de postulados para geometria plana (baseado em escala e transferidores)", Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345, doi :10.2307/1968336, hdl : 10338.dmlcz /147209 , JSTOR  1968336
  2. ^ Birkhoff, George David ; Beatley, Ralph (2000) [primeira edição, 1940], Basic Geometry (3ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
  3. ^ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), O plano hiperbólico não euclidiano: sua estrutura e consistência , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9
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