Axonometria

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Projeção descuidada de um arco semicircular.

A axonometria é um procedimento gráfico pertencente à geometria descritiva que gera uma imagem planar de um objeto tridimensional. O termo "axonometria" significa "medir ao longo dos eixos ", e indica que as dimensões e escala dos eixos coordenados desempenham um papel crucial. O resultado de um procedimento axonométrico é uma projeção paralela em escala uniforme do objeto. Em geral, a projeção paralela resultante é oblíqua (os raios não são perpendiculares ao plano da imagem); mas em casos especiais o resultado é ortográfico(os raios são perpendiculares ao plano da imagem), que neste contexto é chamado de axonometria ortogonal .

No desenho técnico e na arquitetura , a perspectiva axonométrica é uma forma de representação bidimensional de objetos tridimensionais cujo objetivo é preservar a impressão de volume ou relevo . Às vezes também chamada de perspectiva rápida ou perspectiva artificial, difere da perspectiva cônica e não representa o que o olho realmente vê: em particular, as linhas paralelas permanecem paralelas e os objetos distantes não são reduzidos em tamanho. Pode ser considerada uma perspectiva cônica cônica cujo centro foi empurrado para o infinito, ou seja, muito distante do objeto observado.

O termo axonometria é utilizado tanto para o procedimento gráfico descrito a seguir, quanto para a imagem produzida por este procedimento.

A axonometria não deve ser confundida com a projeção axonométrica , que na literatura inglesa geralmente se refere à axonometria ortogonal .

Princípio da axonometria

O pontoé a projeção de um pontono plano de projeção Π . Os escorços são,e.

O teorema de Pohlke é a base para o seguinte procedimento para construir uma projeção paralela em escala de um objeto tridimensional: [1] [2]

  1. Selecione as projeções dos eixos de coordenadas, de modo que todos os três eixos de coordenadas não sejam recolhidos em um único ponto ou linha. Normalmente, o eixo z é vertical.
  2. Selecione para essas projeções os escorços ,,e, Onde
  3. A projeçãode um pontoé determinado em três subetapas (o resultado é independente da ordem dessas subetapas):
    • começando no ponto, mova pela quantidadena direção de, então
    • mover pela quantidadena direção de, então
    • mover pela quantidadena direção dee finalmente
  4. Marcar a posição final como ponto.

Para obter resultados sem distorções, selecione cuidadosamente as projeções dos eixos e escorços (veja abaixo). Para produzir uma projeção ortográfica , apenas as projeções dos eixos coordenados são selecionadas livremente; os escorços são fixos (ver de:orthogonale Axonometrie ). [3]

A escolha das imagens dos eixos e dos encurtamentos

Parâmetros e notações

Notação:

  • ângulo entre-eixo e-eixo
  • ângulo entre-eixo e -eixo
  • ângulo entre-eixo e-eixo.

Os ângulos podem ser escolhidos de modo que
Os encurtamentos :

Somente para escolhas adequadas de ângulos e encurtamentos é que se obtém imagens sem distorções. O próximo diagrama mostra as imagens do cubo unitário para vários ângulos e encurtamentos e dá algumas dicas de como fazer essas escolhas pessoais.

Várias imagens axonométricas de um cubo unitário. (O plano da imagem é paralelo ao plano yz.)
As imagens da esquerda e da extrema direita se parecem mais com paralelepípedos prolongados em vez de um cubo.
Axonometria (perspectiva cavalheiresca) de uma casa em papel quadriculado.

Para manter o desenho simples, deve-se escolher encurtamentos simples, por exemploou.

Se dois forshortenings são iguais, a projeção é chamada de dimétrica .
Se os três encurtamentos forem iguais, a projeção é chamada de isométrica .
Se todos os encurtamentos forem diferentes, a projeção é chamada de trimétrica .

Os parâmetros no diagrama à direita (por exemplo, da casa desenhada em papel milimetrado) são:Portanto, é uma axonometria dimétrica . O plano da imagem é paralelo ao plano yz e qualquer figura planar paralela ao plano yz aparece em sua forma verdadeira.

Axonometrias especiais

Projeções e perspectivas comumente usadas com ângulos entre os eixos coordenados transformados (α, β, γ), ângulos do horizonte (α h , β h , sem γ h = 90°) e fatores de escala ( v i )
Nome ou propriedade α = ∠ x̄z̄ β = ∠ ȳz̄ γ = ∠ x̄ȳ αh _ β h vx _ v y v z v
Ortogonal, ortográfica, planar 90° 270° 270° v 0% algum
Trimétrico 90° + αh 90° + βh 360° − α − β algum algum algum algum algum algum
Dimétrico v
isométrico v
Normal 100%
Oblíquo, clinográfico < 90° < 90° algum algum algum tan( αh )
Simétrico α 360° − 2·α < 90° αh _ algum
Equiângulo 120° 30°
Normal, 1:1 isométrico v 100%
Padrão, isométrico encurtado ≈ 81%
Pixel, 1:2 isométrico 116,6° 126,9° arctan( v ) 50%
Engenharia 131,4° 97,2° 131,4° arcos(3/4) arcsin(1/8) 50% v 100%
Cavalier 90° + αh 90° 270° − α algum algum
Gabinete, cavalier dimétrico < 100%
Cavalier padrão, isométrico 135° 135° 45° v
Gabinete padrão 1:2 50% v
armário de 30° 116,6° 153,4° arctan ( vx )
armário de 60° 153,4° 116,6° arcot ( vx )
30° cavaleiro 120° 150° 30° algum
Vista aérea, aérea 135° 90° 45° v algum 100%
Militares v
Planométrico 90° + αh 180° - αh algum 90° - αh algum
Planométrico normal 100%
Planométrico encurtado 2/3≈ 67%
Parâmetros de axonometrias especiais.

Projeção do engenheiro

Neste caso [4] [5]

  • os encurtamentos são:(axonometria dimétrica) e
  • os ângulos entre os eixos são:

Esses ângulos estão marcados em muitos esquadros alemães .

Vantagens de uma projeção de engenheiro:

  • escorços simples,
  • uma projeção ortográfica em escala uniforme com fator de escala 1,06,
  • o contorno de uma esfera é um círculo (em geral, uma elipse).

Para mais detalhes: veja de:Axonometria .

Perspectiva Cavalier, perspectiva de gabinete

  • plano de imagem paralelo ao plano yz.

Na literatura os termos "perspectiva cavalheiresca" e "perspectiva de gabinete" não são definidos uniformemente. A definição acima é a mais geral. Muitas vezes, outras restrições são aplicadas. [6] [7] Por exemplo:

perspectiva do gabinete: escolha adicionalmente(oblíquo) e(dimétrico),
perspectiva cavalheiresca: escolha adicionalmente(oblíquo) e(isométrico).

Vista aérea, projeção militar

  • plano de imagem paralelo ao plano xy.
projeção militar: escolha adicionalmente(isométrico).

Tais axonometrias são frequentemente usadas para mapas de cidades, a fim de manter as figuras horizontais sem distorções.

Axonometria isométrica

isometria padrão: cubo, paralelepípedo, casa e esfera

(Não confundir com uma isometria entre espaços métricos.)

Para uma axonometria isométrica todos os forshortenings são iguais. Os ângulos podem ser escolhidos arbitrariamente, mas uma escolha comum é.

Para a isometria padrão ou apenas isometria escolhe-se:

  • (todos os eixos não distorcidos)

A vantagem de uma isometria padrão:

  • as coordenadas podem ser tomadas inalteradas,
  • a imagem é uma projeção ortográfica em escala com fator de escala. Portanto, a imagem tem uma boa impressão e o contorno de uma esfera é um círculo.
  • Alguns sistemas gráficos de computador (por exemplo, xfig ) fornecem um raster adequado (veja o diagrama) como suporte.

A fim de evitar o dimensionamento, pode-se escolher os encurtamentos inúteis

  • (em vez de 1)

e a imagem é uma projeção ortográfica (sem escala).

várias axonometrias de uma
projeção militar dimétrica de torre:, engenharia dimétrica e projeções cavalier:, axonometria isométrica:

Círculos em axonometria

Uma projeção paralela de um círculo é em geral uma elipse. Um caso especial importante ocorre, se o plano do círculo é paralelo ao plano da imagem – a imagem do círculo é então um círculo congruente. No diagrama, o círculo contido na face frontal não é distorcido. Se a imagem de um círculo é uma elipse, pode-se mapear quatro pontos em diâmetros ortogonais e o quadrado circundante de tangentes e no paralelogramo da imagem preencher uma elipse à mão. Um método melhor, porém mais demorado, consiste em desenhar as imagens de dois diâmetros perpendiculares do círculo, que são diâmetros conjugados da elipse da imagem, determinar os eixos da elipse com a construção de Rytz e desenhar a elipse .

Esferas em axonometria

Em uma axonometria geral de uma esfera, o contorno da imagem é uma elipse. O contorno de uma esfera é um círculo apenas em uma axonometria ortogonal . Mas, como a projeção do engenheiro e a isometria padrão são projeções ortográficas em escala, o contorno de uma esfera também é um círculo nesses casos. Como mostra o diagrama, uma elipse como contorno de uma esfera pode ser confusa, portanto, se uma esfera faz parte de um objeto a ser mapeado, deve-se escolher uma axonometria ortogonal ou uma projeção de engenharia ou uma isometria padrão.

Referências

  • Graf, Ulrich; Barner, Martin (1961). Geometria de Darstellende . Heidelberg: Quelle & Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
  • Fucke, Kirch Nickel (1998). Geometria de Darstellende . Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
  • Leopoldo, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . Stuttgart: Kohlhammer Verlag . ISBN 3-17-018489-X.
  • Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Gráficos de Engenharia: Fundamentos Teóricos da Geometria de Engenharia para o Projeto . Springer. ISBN 978-3-319-29717-0.
  • Stärk, Roland (1978). Geometria de Darstellende . Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.
Notas
  1. ^ Gráfico 1961 , p. 144.
  2. ^ Stark 1978 , p. 156.
  3. ^ Gráfico 1961 , p. 145.
  4. ^ Gráfico 1961 , p. 155.
  5. ^ Stark 1978 , p. 168.
  6. ^ Gráfico 1961 , p. 95.
  7. ^ Stark 1978 , p. 159.

Links externos