Variedade algébrica

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A cúbica torcida é uma variedade algébrica projetiva.

Variedades algébricas são os objetos centrais de estudo em geometria algébrica , um subcampo da matemática . Classicamente, uma variedade algébrica é definida como o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais sobre os números reais ou complexos . As definições modernas generalizam este conceito de várias maneiras diferentes, enquanto tentam preservar a intuição geométrica por trás da definição original. [1] : 58

As convenções a respeito da definição de uma variedade algébrica diferem ligeiramente. Por exemplo, algumas definições requerem que uma variedade algébrica seja irredutível, o que significa que não é a união de dois conjuntos menores que são fechados na topologia de Zariski . Segundo esta definição, as variedades algébricas não irredutíveis são chamadas de conjuntos algébricos . Outras convenções não requerem irredutibilidade.

O teorema fundamental da álgebra estabelece uma ligação entre álgebra e geometria , mostrando que um polinômio mônico (um objeto algébrico) em uma variável com coeficientes de número complexos é determinado pelo conjunto de suas raízes (um objeto geométrico) no plano complexo . Generalizando este resultado, o Nullstellensatz de Hilbert fornece uma correspondência fundamental entre ideais de anéis polinomiais e conjuntos algébricos. Usando o Nullstellensatz e resultados relacionados, os matemáticos estabeleceram uma forte correspondência entre questões sobre conjuntos algébricos e questões de teoria dos anéis. Essa correspondência é uma característica definidora da geometria algébrica.

Muitas variedades algébricas são múltiplas , mas uma variedade algébrica pode ter pontos singulares, enquanto uma variedade não. As variedades algébricas podem ser caracterizadas por sua dimensão . Variedades algébricas de dimensão um são chamadas de curvas algébricas e variedades algébricas de dimensão dois são chamadas de superfícies algébricas .

No contexto da teoria de esquemas moderna , uma variedade algébrica sobre um campo é um esquema integral (irredutível e reduzido) sobre aquele campo cujo morfismo de estrutura é separado e de tipo finito.

Descrições e definições

Uma variedade afim sobre um campo algébricamente fechado é conceitualmente o tipo de variedade mais fácil de definir, o que será feito nesta seção. Em seguida, pode-se definir variedades projetivas e quase projetivas de maneira semelhante. A definição mais geral de uma variedade é obtida juntando variedades menores quase projetivas. Não é óbvio que se possa construir exemplos genuinamente novos de variedades dessa maneira, mas Nagata deu um exemplo dessa nova variedade nos anos 1950.

Variedades afins

Para um corpo algebricamente fechado K e um número natural n , deixar uma n ser afim n -espaço sobre K . Os polinômios f no anel K [ x 1 , ..., x n ] podem ser vistos como funções avaliadas em K em A n avaliando f nos pontos em A n , isto é, escolhendo valores em K para cada x i . Para cada conjunto S de polinômios emK [ x 1 , ..., x n ] , define o locus zero Z ( S ) como o conjunto de pontos em A n nos quais as funções em S desaparecem simultaneamente, ou seja

Um subconjunto V de um n é chamado um conjunto afim algébrica se V = Z ( S ) para alguns S . [1] : 2 Um conjunto algébrico afim não vazio V é chamado de irredutível se não puder ser escrito como a união de dois subconjuntos algébricos próprios . [1] : 3 Um conjunto algébrico afim irredutível também é chamado de variedade afim . [1] : 3 (Muitos autores usam a frase variedade afimpara se referir a qualquer conjunto algébrico afim, irredutível ou não [nota 1] )

Variedades afins podem receber uma topologia natural declarando que os conjuntos fechados são precisamente os conjuntos algébricos afins. Essa topologia é chamada de topologia Zariski. [1] : 2

Dado um subconjunto V de A n , definimos I ( V ) como sendo o ideal de todas as funções polinomiais que desaparecem em V :

Para qualquer conjunto algébrico afim V , o anel de coordenada ou anel de estrutura de V é o quociente do anel polinomial por este ideal. [1] : 4

Variedades projetivas e variedades quasi-projetiva

Seja k um campo algébricamente fechado e seja P n o n- espaço projetivo sobre k . Seja f em k [ x 0 , ..., x n ] um polinômio homogêneo de grau d . Não está bem definido avaliar f em pontos em P n em coordenadas homogêneas . No entanto, porque f é homogêneo, o que significa que f   ( λx 0 , ..., λx n) = λ d f   ( x 0 , ..., x n ) , faz sentido perguntar se f desaparece em um ponto [ x 0  : ...: x n ] . Para cada conjunto S de polinômios homogêneos, defina o locus zero de S como o conjunto de pontos em P n nos quais as funções em S desaparecem:

Um subconjunto V de P n é chamado um conjunto algébrica projectiva se V = Z ( S ) para alguns S . [1] : 9 Um conjunto algébrico projetivo irredutível é chamado de variedade projetiva . [1] : 10

Variedades projetivas também são equipadas com a topologia Zariski, declarando todos os conjuntos algébricos como fechados.

Dado um subconjunto V de P n , deixar I ( V ) ser o ideal gerado por todos os polinómios homogéneos de fuga em V . Para qualquer conjunto algébrico projetivo V , o anel coordenado de V é o quociente do anel polinomial por este ideal. [1] : 10

Uma variedade quase projetiva é um subconjunto aberto Zariski de uma variedade projetiva. Observe que toda variedade afim é quase projetiva. [2] Observe também que o complemento de um conjunto algébrico em uma variedade afim é uma variedade quase projetiva; no contexto de variedades afins, essa variedade quase projetiva geralmente não é chamada de variedade, mas de conjunto construtível .

Variedades abstratas

Na geometria algébrica clássica, todas as variedades eram, por definição , variedades quase projetivas , o que significa que eram subvariedades abertas de subvariedades fechadas do espaço projetivo . Por exemplo, no Capítulo 1 de Hartshorne, uma variedade sobre um campo algebraicamente fechado é definida como uma variedade quase projetiva , [1] : 15 mas a partir do Capítulo 2, o termo variedade (também chamado de variedade abstrata ) refere-se a uma variedade mais objeto geral, que localmente é uma variedade quase projetiva, mas quando visto como um todo não é necessariamente quase projetivo; ou seja, pode não ter um encaixe no espaço projetivo . [1]: 105 Assim, classicamente, a definição de uma variedade algébrica exigia uma incorporação no espaço projetivo, e esta incorporação foi usada para definir a topologia na variedade e as funções regulares na variedade. A desvantagem de tal definição é que nem todas as variedades vêm com encaixes naturais no espaço projetivo. Por exemplo, sob esta definição, o produto P 1 × P 1 não é uma variedade até que seja embutido no espaço projetivo; isso geralmente é feito pela incorporação Segre . No entanto, qualquer variedade que admite uma incorporação no espaço projetivo admite muitas outras ao compor a incorporação com a incorporação de Veronese. Conseqüentemente, muitas noções que deveriam ser intrínsecas, como o conceito de uma função regular, não o são obviamente.

A primeira tentativa bem-sucedida de definir uma variedade algébrica de maneira abstrata, sem incorporação, foi feita por André Weil . Em seus fundamentos da geometria algébrica , Weil definiu uma variedade algébrica abstrata usando avaliações . Claude Chevalley fez uma definição de esquema , que servia a um propósito semelhante, mas era mais geral. No entanto, a definição de esquema de Alexander Grothendieck é ainda mais geral e tem recebido a aceitação mais ampla. Na linguagem de Grothendieck, uma variedade algébrica abstrata é geralmente definida como um esquema integral e separado de tipo finitosobre um campo algebraicamente fechado, [nota 2] embora alguns autores abandonem a irredutibilidade ou a redução ou a condição de separação ou permitam que o campo subjacente não seja algebraicamente fechado. [nota 3] Variedades algébricas clássicas são os esquemas de tipo finito separados por integrais quase-projetivos sobre um campo algébricamente fechado.

Existência de variedades algébricas abstratas não quasiprojective

Um dos primeiros exemplos de uma variedade algébrica não quase-projetiva foi dado por Nagata. [3] O exemplo de Nagata não estava completo (o análogo da compactação), mas logo depois ele encontrou uma superfície algébrica que era completa e não projetiva. [4] Desde então, outros exemplos foram encontrados.

Exemplos

Subvariedade

Uma subvariedade é um subconjunto de uma variedade que é ela própria uma variedade (no que diz respeito à estrutura induzida da variedade ambiente). Por exemplo, todo subconjunto aberto de uma variedade é uma variedade. Veja também imersão fechada .

O Nullstellensatz de Hilbert diz que as subvariedades fechadas de uma variedade afim ou projetiva estão em correspondência um a um com os ideais primários ou ideais primários homogêneos do anel coordenado da variedade.

Variedade afim

Exemplo 1

Vamos k = C , e A 2 ser o bidimensional espaço afim sobre C . Polinômios no anel C [ x , y ] podem ser vistos como funções complexas de valor em A 2 avaliando nos pontos de A 2 . Deixe que o subconjunto S de C [ x , y ] contenha um único elemento f   ( x , y ) :

O locus zero de f   ( x , y ) é o conjunto de pontos em A 2 nos quais esta função desaparece: é o conjunto de todos os pares de números complexos ( x , y ) tais que y = 1 - x . Isso é chamado de linha no plano afim. (Na topologia clássica proveniente da topologia nos números complexos, uma linha complexa é uma variedade real de dimensão dois.) Este é o conjunto Z (  f  ) :

Assim, o subconjunto V = Z (  f  ) de A 2 é um conjunto algébrico . O conjunto V não está vazio. É irredutível, pois não pode ser escrito como a união de dois subconjuntos algébricos próprios. Portanto, é uma variedade algébrica afim.

Exemplo 2

Vamos k = C , e A 2 ser o espaço afim bidimensional sobre C . Polinômios no anel C [ x , y ] podem ser vistos como funções complexas de valor em A 2 avaliando nos pontos de A 2 . Deixe que o subconjunto S de C [ x , y ] contenha um único elemento g ( x , y ):

O locus zero de g ( x , y ) é o conjunto de pontos em A 2 nos quais esta função desaparece, ou seja, o conjunto de pontos ( x , y ) tais que x 2 + y 2 = 1. Como g ( x , y ) é um polinômio absolutamente irredutível , esta é uma variedade algébrica. O conjunto de seus pontos reais (ou seja, os pontos para os quais x e y são números reais), é conhecido como círculo unitário ; este nome também é frequentemente dado a toda a variedade.

Exemplo 3

O exemplo a seguir não é uma hipersuperfície , nem um espaço linear , nem um único ponto. Deixe Um 3 ser o espaço afim tridimensional sobre C . O conjunto de pontos ( x , x 2 , x 3 ) para x em C é uma variedade algébrica e, mais precisamente, uma curva algébrica que não está contida em nenhum plano. [nota 4] É a cúbica torcida mostrada na figura acima. Pode ser definido pelas equações

A irredutibilidade desse conjunto algébrico precisa de uma prova. Uma abordagem neste caso é verificar se a projeção ( x , y , z ) → ( x , y ) é injetiva no conjunto das soluções e se sua imagem é uma curva plana irredutível.

Para exemplos mais difíceis, uma prova semelhante pode sempre ser fornecida, mas pode implicar em um cálculo difícil: primeiro, um cálculo de base de Gröbner para calcular a dimensão, seguido por uma mudança linear aleatória de variáveis ​​(nem sempre necessária); em seguida, um cálculo de base de Gröbner para outra ordenação monomial para calcular a projeção e provar que é genericamente injetiva e que sua imagem é uma hipersuperfície e, finalmente, uma fatoração polinomial para provar a irredutibilidade da imagem.

Variedade projetiva

Uma variedade projetiva é uma subvariedade fechada de um espaço projetivo. Ou seja, é o locus zero de um conjunto de polinômios homogêneos que geram um ideal primo .

Exemplo 1

A curva do plano afim y 2 = x 3 - x . A curva projetiva correspondente é chamada de curva elíptica.

Uma curva projetiva plana é o locus zero de um polinômio homogêneo irredutível em três indeterminados. A linha projetiva P 1 é um exemplo de curva projetiva; pode ser visto como a curva no plano projetivo P 2 = {[ x , y , z ] } definido por x = 0 . Para outro exemplo, primeiro considere a curva cúbica afim

no espaço afim bidimensional (sobre um campo de característica, não dois). Tem a equação polinomial homogênea cúbica associada:

que define uma curva em P 2 chamada curva elíptica . A curva tem gênero um ( fórmula do gênero ); em particular, não é isomórfico à linha projetiva P 1 , que tem gênero zero. Usar gênero para distinguir curvas é muito básico: na verdade, o gênero é o primeiro invariante que se usa para classificar curvas (veja também a construção de módulos de curvas algébricas ).

Exemplo 2

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. A variedade Grassmanniano L n ( V ) é o conjunto de todos os n -dimensional subespaços de V . É uma variedade projetiva: está embutido em um espaço projetivo por meio da incorporação de Plücker :

onde b i são qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em V ,é o n -simo de alimentação exterior de V , e o suporte [ w ] significa a recta pelo vector diferente de zero w .

A variedade Grassmanniana vem com um feixe de vetor natural (ou feixe localmente livre em outra terminologia) chamado de feixe tautológico , que é importante no estudo de classes características , como as classes de Chern .

Não afim e exemplo não projetiva

Uma variedade algébrica não pode ser afim nem projetiva. Para dar um exemplo, seja X = P 1 × A 1 e p : XA 1 a projeção. É uma variedade algébrica, pois é um produto de variedades. Não é afim, pois P 1 é uma subvariedade fechada de X (como o locus zero de p ), mas uma variedade afim não pode conter uma variedade projetiva de dimensão positiva como uma subvariedade fechada. Também não é projetivo, pois há uma função regular não constante em X ; a saber, p .

Outro exemplo de uma variedade não projetiva não afim é X = A 2 - (0, 0) (cf. Morfismo de variedades § Exemplos .)

Resultados básicos

  • Um conjunto algébrico afim V é uma variedade se e somente se I ( V ) for um ideal primo ; equivalentemente, V é uma variedade se e somente se seu anel de coordenadas for um domínio integral . [5] : 52 [1] : 4
  • Cada conjunto algébrico afim não vazio pode ser escrito exclusivamente como uma união finita de variedades algébricas (onde nenhuma das variedades na decomposição é uma subvariedade de qualquer outra). [1] : 5
  • A dimensão de uma variedade pode ser definida de várias maneiras equivalentes. Consulte Dimensão de uma variedade algébrica para obter detalhes.
  • Um produto de muitas variedades algébricas finitas (sobre um campo algébricamente fechado) é uma variedade algébrica.

Isomorfismo de variedades algébricas

Sejam V 1 , V 2 variedades algébricas. Dizemos que V 1 e V 2 são isomórficos , e escrevemos V 1V 2 , se houver mapas regulares φ  : V 1V 2 e ψ  : V 2V 1 tal que as composições ψφ e φψ são os mapas de identidade em V1 e V 2 respectivamente.

Discussão e generalizações

As definições e fatos básicos acima permitem fazer geometria algébrica clássica. Para ser capaz de fazer mais - por exemplo, lidar com variedades em campos que não são algebricamente fechados - algumas mudanças fundamentais são necessárias. A noção moderna de variedade é consideravelmente mais abstrata do que a anterior, embora equivalente no caso de variedades sobre campos algebricamente fechados. Uma variedade algébrica abstrata é um tipo particular de esquema; a generalização para esquemas no lado geométrico permite uma extensão da correspondência descrita acima para uma classe mais ampla de anéis. Um esquema é um espaço localmente anelado, de modo que cada ponto tem uma vizinhança que, como um espaço localmente anelado, é isomórfico a um espectro de um anel. Basicamente, uma variedade sobre k é um esquema cujo feixe de estrutura é um feixe de k -álgebras com a propriedade de que os anéis R que ocorrem acima são todos domínios integrais e são todos k- álgebras finitamente gerados , ou seja, são quocientes de álgebras polinomiais por ideais primos .

Esta definição funciona em qualquer campo k . Ele permite que você cole variedades afins (ao longo de conjuntos abertos comuns) sem se preocupar se o objeto resultante pode ser colocado em algum espaço projetivo. Isso também leva a dificuldades, uma vez que podem ser introduzidos objetos um tanto patológicos, por exemplo, uma linha afim com zero duplicado. Esses objetos geralmente não são considerados variedades e são eliminados exigindo que os esquemas subjacentes a uma variedade sejam separados . (Estritamente falando, há também uma terceira condição, a saber, que precisamos apenas de muitos patches afins na definição acima).

Alguns pesquisadores modernos também removem a restrição de uma variedade com gráficos afins de domínio integral e, ao falar de uma variedade, exigem apenas que os gráficos afins tenham nilradical trivial .

Uma variedade completa é uma variedade tal que qualquer mapa de um subconjunto aberto de uma curva não singular pode ser estendido exclusivamente para a curva inteira. Toda variedade projetiva é completa, mas não vice-versa.

Essas variedades foram chamadas de "variedades no sentido de Serre", uma vez que o artigo fundamental de Serre , FAC, sobre cohomologia de feixe, foi escrito para elas. Eles permanecem como objetos típicos para começar a estudar geometria algébrica, mesmo que objetos mais gerais também sejam usados ​​de forma auxiliar.

Uma maneira que leva a generalizações é permitir conjuntos algébricos redutíveis (e campos k que não são algebricamente fechados), de modo que os anéis R podem não ser domínios inteiros. Uma modificação mais significativa é permitir nilpotentes no feixe de anéis, ou seja, anéis que não são reduzidos . Esta é uma das várias generalizações da geometria algébrica clássica que são incorporadas à teoria dos esquemas de Grothendieck .

Permitir elementos nilpotentes em anéis está relacionado a manter o controle de "multiplicidades" na geometria algébrica. Por exemplo, o subesquema fechado da linha afim definida por x 2 = 0 é diferente do subesquema definido por x = 0 (a origem). Mais geralmente, a fibra de um morfismo de esquemas XY em um ponto de Y pode ser não reduzida, mesmo se X e Y forem reduzidos. Geometricamente, isso diz que as fibras de bons mapeamentos podem ter uma estrutura "infinitesimal" não trivial.

Existem outras generalizações chamadas espaços algébricos e pilhas .

Manifolds algébricas

Uma variedade algébrica é uma variedade algébrica que também é uma variedade m- dimensional e, portanto, todo fragmento local suficientemente pequeno é isomórfico a k m . Equivalentemente, a variedade é lisa (sem pontos singulares). Quando k são os números reais, R , variedades algébricas são chamadas de variedades de Nash . Variedades algébricas podem ser definidas como o conjunto zero de uma coleção finita de funções algébricas analíticas. Variedades algébricas projetivas são uma definição equivalente para variedades projetivas. A esfera de Riemann é um exemplo.

Veja também

Notas de rodapé

  1. ^ Hartshorne, p.xv, observa que sua escolha não é convencional; ver, por exemplo, Harris, p.3
  2. ^ Hartshorne 1976 , pp. 104-105
  3. ^ Liu, Qing. Algebraic Geometry and Arithmetic Curves , p. 55 Definição 2.3.47 e p. 88 Exemplo 3.2.3
  4. ^ Harris, pág. 9; que é irredutível é afirmado como um exercício em Hartshorne p.7

Referências

  1. ^ a b c d e f g h i j k l m Hartshorne, Robin (1977). Geometria Algébrica . Springer-Verlag . ISBN  0-387-90244-9.
  2. ^ Hartshorne, Exercício 1.2.9, p.12
  3. ^ Nagata, Masayoshi (1956), "Sobre o problema da incorporação de variedades abstratas em variedades projetivas", Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Série A: Matemática , 30 : 71-82, MR 0088035  
  4. ^ Nagata, Masayoshi (1957), "Sobre os encaixes de superfícies abstratas em variedades projetivas", Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Série A: Matemática , 30 : 231–235, MR 0094358  
  5. ^ Harris, Joe (1992). Geometria Algébrica - Um primeiro curso . Springer-Verlag . ISBN  0-387-97716-3.

Este artigo incorpora material de Isomorfismo de variedades no PlanetMath , que é licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença .