Geometria algébrica

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Esta superfície Togliatti é uma superfície algébrica de grau cinco. A imagem representa uma parte de seu locus real .

A geometria algébrica é um ramo da matemática , que estuda classicamente zeros de polinômios multivariados . A geometria algébrica moderna baseia-se no uso de técnicas algébricas abstratas , principalmente da álgebra comutativa , para a resolução de problemas geométricos sobre esses conjuntos de zeros.

Os objetos fundamentais de estudo em geometria algébrica são variedades algébricas , que são manifestações geométricas de soluções de sistemas de equações polinomiais . Exemplos das classes mais estudadas de variedades algébricas são: curvas algébricas planas , que incluem retas , círculos , parábolas , elipses , hipérboles , curvas cúbicas como curvas elípticas e curvas quárticas como lemniscatas e ovais de Cassini . Um ponto do plano pertence a uma curva algébrica se suas coordenadas satisfazem um dadoequação polinomial . As questões básicas envolvem o estudo dos pontos de interesse especial, como os pontos singulares , os pontos de inflexão e os pontos no infinito . Questões mais avançadas envolvem a topologia da curva e as relações entre as curvas dadas por diferentes equações.

A geometria algébrica ocupa um lugar central na matemática moderna e tem múltiplas conexões conceituais com campos diversos como análise complexa , topologia e teoria dos números . Inicialmente um estudo de sistemas de equações polinomiais em várias variáveis, o assunto da geometria algébrica começa onde a solução de equações termina , e torna-se ainda mais importante compreender as propriedades intrínsecas da totalidade das soluções de um sistema de equações, do que encontrar um solução específica; isso leva a algumas das áreas mais profundas de toda a matemática, tanto conceitualmente quanto em termos de técnica.

No século 20, a geometria algébrica se dividiu em várias subáreas.

Muito do desenvolvimento da corrente principal da geometria algébrica no século 20 ocorreu dentro de uma estrutura algébrica abstrata, com ênfase crescente sendo colocada em propriedades "intrínsecas" de variedades algébricas não dependentes de qualquer maneira particular de incorporar a variedade em um espaço de coordenadas ambiente; isso se assemelha aos desenvolvimentos em topologia , geometria diferencial e complexa . Uma conquista chave desta geometria algébrica abstrata é a teoria dos esquemas de Grothendieck , que permite usar a teoria dos feixes para estudar variedades algébricas de uma forma que é muito semelhante ao seu uso no estudo de variedades diferenciais e analíticas. Isso é obtido estendendo a noção de ponto: Na geometria algébrica clássica, um ponto de uma variedade afim pode ser identificado, por meio do Nullstellensatz de Hilbert , com um ideal máximo do anel coordenado , enquanto os pontos do esquema afim correspondente são todos ideais primos deste anel. Isso significa que um ponto de tal esquema pode ser um ponto comum ou uma subvariedade. Essa abordagem também permite uma unificação da linguagem e das ferramentas da geometria algébrica clássica, principalmente preocupada com pontos complexos, e da teoria algébrica dos números. A prova de Wiles da conjectura de longa data chamada Último Teorema de Fermat é um exemplo do poder dessa abordagem.

Noções básicas

Zeros de polinômios simultâneos

Esfera e círculo inclinado

Na geometria algébrica clássica, os principais objetos de interesse são os conjuntos desaparecidos de coleções de polinômios , ou seja, o conjunto de todos os pontos que satisfazem simultaneamente uma ou mais equações polinomiais . Por exemplo, a esfera bidimensional de raio 1 no espaço euclidiano tridimensional R 3 poderia ser definida como o conjunto de todos os pontos ( x , y , z ) com

Um círculo "inclinado" em R 3 pode ser definido como o conjunto de todos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as duas equações polinomiais

Variedades afins

Primeiro, começamos com um campo k . Na geometria algébrica clássica, este campo foi sempre os números complexos C , mas muitos dos mesmos resultados são verdadeiros se assumirmos apenas que k é algebricamente fechado . Consideramos o espaço afim de dimensão n sobre k , denotado A n ( k ) (ou mais simplesmente A n , quando k é claro a partir do contexto). Quando se fixa um sistema de coordenadas, pode-se identificar A n ( k ) com k n . O propósito de não trabalhar comk n é para enfatizar que se "esquece" a estrutura do espaço vetorial que k n carrega.

Uma função f  : A nA 1 é dita polinomial (ou regular ) se puder ser escrita como um polinômio, ou seja, se houver um polinômio p em k [ x 1 , ..., x n ] tal que f ( M ) = p ( t 1 , ..., t n ) para cada ponto M com coordenadas ( t 1 , ..., t n ) em A n. A propriedade de uma função ser polinomial (ou regular) não depende da escolha de um sistema de coordenadas em A n .

Quando um sistema de coordenadas é escolhido, as funções regulares no n- espaço afim podem ser identificadas com o anel de funções polinomiais em n variáveis ​​sobre k . Portanto, o conjunto das funções regulares em A n é um anel, que é denotado k [ A n ].

Dizemos que um polinômio desaparece em um ponto se avaliá-lo naquele ponto der zero. Seja S um conjunto de polinômios em k [ A n ]. O conjunto de desaparecimento de S (ou locus de desaparecimento ou conjunto zero ) é o conjunto V ( S ) de todos os pontos em A n onde todo polinômio em S desaparece. Simbolicamente,

Um subconjunto de A n que é V ( S ), para algum S , é chamado de conjunto algébrico . O V meios variedade (um tipo específico de conjunto algébrico a ser definido abaixo).

Dado um subconjunto U de A n , pode-se recuperar o conjunto de polinômios que o gerou? Se L é qualquer subconjunto de um n , definir I ( L ) para ser o conjunto de todos os polinómios cujos desaparecimento conjunto contém L . O que significa ideal : se dois polinômios f e g tanto desaparecer em U , então f + g desaparece em U , e se h é qualquer polinômio, então hf desaparece em U, então I ( U ) é sempre um ideal do anel polinomial k [ A n ].

Duas perguntas naturais a serem feitas são:

  • Dado um subconjunto U de A n , quando U = V ( I ( U ))?
  • Dado um conjunto S de polinômios, quando S = I ( V ( S ))?

A resposta à primeira pergunta é fornecida pela introdução da topologia de Zariski , uma topologia em A n cujos conjuntos fechados são os conjuntos algébricos e que reflete diretamente a estrutura algébrica de k [ A n ]. Então U = V ( I ( U )) se e somente se U for um conjunto algébrico ou equivalentemente um conjunto fechado de Zariski. A resposta à segunda pergunta é dada pelo Nullstellensatz de Hilbert . Em uma de suas formas, diz que I ( V ( S )) é o radical do ideal gerado porS . Em uma linguagem mais abstrata, existe uma conexão de Galois , dando origem a dois operadores de fechamento ; eles podem ser identificados e naturalmente desempenham um papel básico na teoria; o exemplo é elaborado na conexão Galois.

Por várias razões que podem nem sempre quer trabalhar com todo o ideal correspondente a um conjunto algébrica U . O teorema da base de Hilbert implica que os ideais em k [ A n ] são sempre gerados finitamente.

Um conjunto algébrico é chamado de irredutível se não puder ser escrito como a união de dois conjuntos algébricos menores. Qualquer conjunto algébrico é uma união finita de conjuntos algébricos irredutíveis e esta decomposição é única. Assim, seus elementos são chamados de componentes irredutíveis do conjunto algébrico. Um conjunto algébrico irredutível também é chamado de variedade . Acontece que um conjunto algébrico é uma variedade se, e somente se, puder ser definido como o conjunto desaparecido de um ideal primo do anel polinomial.

Alguns autores não fazem uma distinção clara entre conjuntos e variedades algébricas e usam a variedade irredutível para fazer a distinção quando necessário.

Funções regulares

Assim como as funções contínuas são os mapas naturais em espaços topológicos e as funções suaves são os mapas naturais em variedades diferenciáveis , existe uma classe natural de funções em um conjunto algébrico, chamadas funções regulares ou funções polinomiais . Uma função regular em um conjunto algébrico V contido em A n é a restrição a V de uma função regular em A n . Para um conjunto algébrico definido no campo dos números complexos, as funções regulares são suaves e até analíticas .

Pode parecer anormalmente restritivo exigir que uma função regular sempre se estenda ao espaço ambiente, mas é muito semelhante à situação em um espaço topológico normal , onde o teorema da extensão de Tietze garante que uma função contínua em um subconjunto fechado sempre se estende ao espaço topológico ambiente.

Assim como com as funções regulares no espaço afim, as funções regulares em V formam um anel, que denotamos por k [ V ]. Este anel é chamado de anel de coordenadas de V .

Como as funções regulares em V vêm de funções regulares em A n , há uma relação entre os anéis de coordenadas. Especificamente, se uma função regular em V é a restrição de duas funções f e g em K [ A n ], em seguida, f  -  g é uma função polinomial, que é nulo em V e, assim, pertence ao I ( V ). Assim, k [ V ] pode ser identificado com k [ A n ] / I ( V ).

Morfismo de variedades afins

Usando funções regulares de uma variedade afim para A 1 , podemos definir mapas regulares de uma variedade afim para outra. Primeiro, definiremos um mapa regular de uma variedade no espaço afim: Seja V uma variedade contida em A n . Escolha m funções regulares em V e chame-as de f 1 , ..., f m . Definimos um mapa regular f de V a A m , deixando f = ( f 1 , ..., f m ). Em outras palavras, cada f i determina uma coordenada do intervalo de f .

Se V ′ é uma variedade contida em A m , dizemos que f é um mapa regular de V a V ′ se o intervalo de f está contido em V ′.

A definição dos mapas regulares também se aplica a conjuntos algébricos. Os mapas regulares também são chamados de morfismos , pois eles transformam a coleção de todos os conjuntos algébricos afins em uma categoria , onde os objetos são os conjuntos algébricos afins e os morfismos são os mapas regulares. As variedades afins são uma subcategoria da categoria dos conjuntos algébricos.

Dado um mapa regular g de V a V ′ e uma função regular f de k [ V ′], então fgk [ V ] . O mapa ffg é um homomorfismo em anel de k [ V ′] a k [ V ]. Por outro lado, todo homomorfismo de anel de k [ V ′] a k [ V ] define um mapa regular de Vpara V ′. Isso define uma equivalência de categorias entre a categoria de conjuntos algébricos e a categoria oposta das k -álgebras reduzidas finitamente geradas . Essa equivalência é um dos pontos de partida da teoria dos esquemas .

Função racional e equivalência birracional

Em contraste com as seções anteriores, esta seção trata apenas de variedades e não de conjuntos algébricos. Por outro lado, as definições estendem-se naturalmente às variedades projetivas (próxima seção), pois uma variedade afim e sua completação projetiva têm o mesmo campo de funções.

Se V é uma variedade afim, o seu anel de coordenadas é um domínio integral e tem, assim, um campo de fracções que é designado K ( V ) e o chamado campo das funções racionais em V ou, em breve, o campo função de V . Os seus elementos são as restrições à V das funções racionais sobre o espaço afim contendo V . O domínio de uma função racional f não é V, mas o complementoda subvariedade (uma hipersuperfície) onde o denominador de f desaparece.

Como acontece com os mapas regulares, pode-se definir um mapa racional de uma variedade V a uma variedade V '. Tal como acontece com os mapas regulares, os mapas racionais de V a V 'podem ser identificados para os homomorfismos de campo de k ( V ') a k ( V ).

Duas variedades afins são birracionalmente equivalentes se houver duas funções racionais entre elas que são inversas uma à outra nas regiões onde ambas são definidas. Equivalentemente, eles são birracionalmente equivalentes se seus campos de função forem isomórficos.

Uma variedade afim é uma variedade racional se for birracionalmente equivalente a um espaço afim. Isso significa que a variedade admite uma parametrização racional , ou seja, uma parametrização com funções racionais . Por exemplo, o círculo da equaçãoé uma curva racional, pois tem a equação paramétrica

que também pode ser visto como um mapa racional da linha ao círculo.

O problema da resolução de singularidades é saber se toda variedade algébrica é birracionalmente equivalente a uma variedade cujo completamento projetivo é não singular (veja também completamento suave ). Foi resolvido afirmativamente na característica 0 por Heisuke Hironaka em 1964 e ainda não foi resolvido na característica finita.

Variedade projetiva

Parábola ( y = x 2 , vermelho) e cúbica ( y = x 3 , azul) no espaço projetivo

Assim como as fórmulas para as raízes de polinômios de segundo, terceiro e quarto graus sugerem estender os números reais para a configuração mais algebricamente completa dos números complexos, muitas propriedades das variedades algébricas sugerem estender o espaço afim para um espaço projetivo mais geometricamente completo. Enquanto os números complexos são obtidos pela adição do número i , uma raiz do polinômio x 2 + 1 , o espaço projetivo é obtido pela adição de pontos apropriados "no infinito", pontos onde as linhas paralelas podem se encontrar.

Para ver como isso pode acontecer, considere a variedade V ( y - x 2 ) . Se desenharmos, obteremos uma parábola . Conforme x vai para o infinito positivo, a inclinação da linha da origem até o ponto ( xx 2 ) também vai para o infinito positivo. Conforme x vai para o infinito negativo, a inclinação da mesma linha vai para o infinito negativo.

Compare isso com a variedade V ( y  -  x 3 ). Esta é uma curva cúbica . Conforme x vai para o infinito positivo, a inclinação da linha da origem até o ponto ( xx 3 ) vai para o infinito positivo, assim como antes. Mas, ao contrário de antes, conforme x vai para o infinito negativo, a inclinação da mesma linha vai para o infinito positivo também; o oposto exato da parábola. Portanto, o comportamento "no infinito" de V ( y  -  x 3 ) é diferente do comportamento "no infinito" de V ( y  -  x 2)

A consideração da completação projetiva das duas curvas, que é o seu prolongamento "no infinito" no plano projetivo , permite quantificar essa diferença: o ponto no infinito da parábola é um ponto regular , cuja tangente é a reta no infinito. , enquanto o ponto no infinito da curva cúbica é uma cúspide . Além disso, ambas as curvas são racionais, pois são parametrizadas por x , e o teorema de Riemann-Roch implica que a curva cúbica deve ter uma singularidade, que deve estar no infinito, pois todos os seus pontos no espaço afim são regulares.

Assim, muitas das propriedades das variedades algébricas, incluindo a equivalência birracional e todas as propriedades topológicas, dependem do comportamento "no infinito" e, portanto, é natural estudar as variedades no espaço projetivo. Além disso, a introdução de técnicas projetivas tornou muitos teoremas em geometria algébrica mais simples e nítidos: Por exemplo, o teorema de Bézout sobre o número de pontos de intersecção entre duas variedades pode ser declarado em sua forma mais nítida apenas no espaço projetivo. Por essas razões, o espaço projetivo desempenha um papel fundamental na geometria algébrica.

Hoje em dia, o espaço projetivo P n de dimensão n é geralmente definido como o conjunto de retas que passam por um ponto, considerado como origem, no espaço afim de dimensão n + 1 , ou equivalentemente ao conjunto das retas vetoriais em um espaço vetorial de dimensão n + 1 . Quando um sistema de coordenadas é escolhido no espaço de dimensão n + 1 , todos os pontos de uma reta têm o mesmo conjunto de coordenadas, até a multiplicação por um elemento de k . Isso define as coordenadas homogêneas de um ponto de P n como uma sequência de n + 1elementos do campo base k , definidos até a multiplicação por um elemento diferente de zero de k (o mesmo para toda a seqüência).

Um polinômio em n + 1 variáveis ​​desaparece em todos os pontos de uma linha que passa pela origem se e somente se ela for homogênea . Nesse caso, diz-se que o polinômio desaparece no ponto correspondente de P n . Isso nos permite definir um conjunto algébrico projetivo em P n como o conjunto V ( f 1 , ..., f k ) , onde um conjunto finito de polinômios homogêneos { f 1 , ..., f k }desaparece. Como para conjuntos algébricos afins, há uma bijeção entre os conjuntos algébricos projetivos e os ideais homogêneos reduzidos que os definem. As variedades projetivas são os conjuntos algébricos projetivos cujo ideal definidor é primo. Em outras palavras, uma variedade projetiva é um conjunto algébrico projetivo, cujo anel coordenado homogêneo é um domínio integral , o anel coordenado projetivo sendo definido como o quociente do anel graduado ou os polinômios em n + 1 variáveis ​​pelo ideal homogêneo (reduzido) definindo a variedade. Cada conjunto algébrico projetivo pode ser decomposto exclusivamente em uma união finita de variedades projetivas.

As únicas funções regulares que podem ser definidas apropriadamente em uma variedade projetiva são as funções constantes. Portanto, essa noção não é usada em situações projetivas. Por outro lado, o campo das funções racionais ou campo da função é uma noção útil, que, à semelhança do caso afim, é definida como o conjunto dos quocientes de dois elementos homogêneos de mesmo grau no anel coordenado homogêneo.

Geometria Algébrica real

A geometria algébrica real é o estudo dos pontos reais das variedades algébricas.

O fato de que o campo dos números reais é um campo ordenado não pode ser ignorado em tal estudo. Por exemplo, a curva da equação é um círculo se , mas não tem nenhum ponto real se . Segue-se que a geometria algébrica real não é apenas o estudo das variedades algébricas reais, mas foi generalizada para o estudo dos conjuntos semi-algébricos , que são as soluções de sistemas de equações polinomiais e desigualdades polinomiais. Por exemplo, um ramo da hipérbole da equação não é uma variedade algébrica, mas é um conjunto semi-algébrico definido por e ou pela e .

Um dos problemas desafiadores da geometria algébrica real é o décimo sexto problema de Hilbert não resolvido : decida quais respectivas posições são possíveis para as ovais de uma curva plana não singular de grau 8.

Geometria algébrica computacional

Pode-se datar a origem da geometria algébrica computacional para o encontro EUROSAM'79 (Simpósio Internacional de Manipulação Simbólica e Algébrica) realizado em Marselha , França, em junho de 1979. Neste encontro,

Desde então, a maioria dos resultados nesta área está relacionada a um ou vários desses itens, seja pelo uso ou aprimoramento de um desses algoritmos, seja pela localização de algoritmos cuja complexidade é simplesmente exponencial no número de variáveis.

Um corpo de teoria matemática complementar aos métodos simbólicos, denominado geometria algébrica numérica , foi desenvolvido nas últimas décadas. O principal método computacional é a continuação da homotopia . Isso suporta, por exemplo, um modelo de computação de ponto flutuante para resolver problemas de geometria algébrica.

Base de gröbner

Uma base de Gröbner é um sistema de geradores de um ideal polinomial cujo cálculo permite a dedução de muitas propriedades da variedade algébrica afim definida pelo ideal.

Dado um I ideal que define um conjunto algébrico V :

  • V está vazio (sobre uma extensão algebraicamente fechada do campo base), se e somente se a base de Gröbner para qualquer ordenação monomial for reduzida a {1}.
  • Por meio da série de Hilbert pode-se calcular a dimensão e o grau de V a partir de qualquer base de Gröbner de I para uma ordenação monomial que refina o grau total.
  • Se a dimensão de V é 0, pode-se calcular os pontos (em número finito) de V a partir de qualquer base de Gröbner de I (ver Sistemas de equações polinomiais ).
  • Um cálculo de base de Gröbner permite remover de V todos os componentes irredutíveis que estão contidos em uma dada hipersuperfície.
  • Um cálculo de base de Gröbner permite calcular o fechamento de Zariski da imagem de V pela projeção nas k primeiras coordenadas, e o subconjunto da imagem onde a projeção não é adequada.
  • Mais geralmente, os cálculos da base de Gröbner permitem calcular o fechamento de Zariski da imagem e os pontos críticos de uma função racional de V em outra variedade afim.

Os cálculos da base de Gröbner não permitem calcular diretamente a decomposição primária de I nem os ideais primos que definem os componentes irredutíveis de V , mas a maioria dos algoritmos para isso envolve o cálculo da base de Gröbner. Os algoritmos que não são baseados em bases de Gröbner usam cadeias regulares, mas podem precisar de bases de Gröbner em algumas situações excepcionais.

As bases de Gröbner são consideradas difíceis de calcular. Na verdade, eles podem conter, no pior caso, polinômios cujo grau é duplamente exponencial no número de variáveis ​​e um número de polinômios que também é duplamente exponencial. No entanto, este é apenas o pior caso de complexidade, e o limite de complexidade do algoritmo de Lazard de 1979 pode frequentemente se aplicar. O algoritmo Faugère F5 percebe essa complexidade, pois pode ser visto como uma melhoria do algoritmo de 1979 de Lazard. Segue-se que as melhores implementações permitem calcular quase rotineiramente com conjuntos algébricos de grau superior a 100. Isso significa que, atualmente, a dificuldade de calcular uma base de Gröbner está fortemente relacionada à dificuldade intrínseca do problema.

Decomposição cilíndrica algébrica (CAD)

CAD é um algoritmo que foi introduzido em 1973 por G. Collins para implementar com uma complexidade aceitável o teorema de Tarski-Seidenberg na eliminação do quantificador sobre os números reais.

Este teorema diz respeito às fórmulas da lógica de primeira ordem cujas fórmulas atômicas são igualdades polinomiais ou desigualdades entre polinômios com coeficientes reais. Essas fórmulas são, portanto, as fórmulas que podem ser construídas a partir das fórmulas atômicas pelos operadores lógicos e (∧), ou (∨), não (¬), para todos (∀) e existe (∃). O teorema de Tarski afirma que, a partir de tal fórmula, pode-se calcular uma fórmula equivalente sem quantificador (∀, ∃).

A complexidade do CAD é duplamente exponencial no número de variáveis. Isso significa que o CAD permite, em teoria, resolver todos os problemas de geometria algébrica real que podem ser expressos por tal fórmula, ou seja, quase todos os problemas relativos a variedades explicitamente dadas e conjuntos semialgébricos.

Embora a computação da base de Gröbner tenha complexidade duplamente exponencial apenas em casos raros, o CAD tem quase sempre essa alta complexidade. Isso implica que, a menos que a maioria dos polinômios que aparecem na entrada sejam lineares, ele pode não resolver problemas com mais de quatro variáveis.

Desde 1973, a maior parte da pesquisa sobre o assunto é dedicada ao aprimoramento do CAD ou à busca de algoritmos alternativos em casos especiais de interesse geral.

Como exemplo do estado da arte, existem algoritmos eficientes para encontrar pelo menos um ponto em cada componente conectado de um conjunto semi-algébrico e, assim, testar se um conjunto semi-algébrico está vazio. Por outro lado, o CAD ainda é, na prática, o melhor algoritmo para contar o número de componentes conectados.

Assintótica complexidade vs eficiência prática

Os algoritmos gerais básicos da geometria computacional têm uma complexidade exponencial dupla no pior caso . Mais precisamente, se d é o grau máximo dos polinómios de entrada e n o número de variáveis, a sua complexidade é no máximopara alguma constante c , e, para algumas entradas, a complexidade é de pelo menospara outra constante c ′.

Durante os últimos 20 anos do século 20, vários algoritmos foram introduzidos para resolver subproblemas específicos com uma complexidade melhor. A maioria desses algoritmos tem uma complexidade. [ citação necessária ]

Dentre esses algoritmos que resolvem um subproblema dos problemas resolvidos pelas bases de Gröbner, pode-se citar testar se uma variedade afim está vazia e resolver sistemas polinomiais não homogêneos que possuem um número finito de soluções. Tais algoritmos são raramente implementados porque, na maioria das entradas, os algoritmos F4 e F5 de Faugère têm uma melhor eficiência prática e provavelmente uma complexidade semelhante ou melhor ( provavelmente porque a avaliação da complexidade dos algoritmos de base de Gröbner em uma classe particular de entradas é uma tarefa difícil que foi feito apenas em alguns casos especiais).

Os principais algoritmos de geometria algébrica real que resolvem um problema resolvido por CAD estão relacionados com a topologia de conjuntos semi-algébricos. Pode-se citar a contagem do número de componentes conectados , testando se dois pontos estão nos mesmos componentes ou computando uma estratificação de Whitney de um conjunto algébrico real . Eles têm uma complexidade de , mas a constante envolvida pela notação O é tão alta que usá-los para resolver qualquer problema não trivial efetivamente resolvido por CAD é impossível, mesmo se alguém pudesse usar todo o poder de computação existente no mundo. Portanto, esses algoritmos nunca foram implementados e esta é uma área de pesquisa ativa para a busca de algoritmos que tenham em conjunto uma boa complexidade assintótica e uma boa eficiência prática.

Ponto de vista moderno abstrato

As abordagens modernas para a geometria algébrica redefinem e efetivamente estendem a gama de objetos básicos em vários níveis de generalidade para esquemas, esquemas formais , esquemas ind , espaços algébricos , pilhas algébricas e assim por diante. A necessidade disso surge já das idéias úteis dentro da teoria das variedades, por exemplo, as funções formais de Zariski podem ser acomodadas pela introdução de elementos nilpotentes em anéis estruturais; considerar espaços de loops e arcos, construir quocientes por ações de grupo e desenvolver bases formais para a teoria da interseção natural e a teoria da deformação levam a algumas das outras extensões.

Mais notavelmente, no final da década de 1950, as variedades algébricas foram incluídas no conceito de esquema de Alexander Grothendieck . Seus objetos locais são esquemas afins ou espectros primários que são espaços anelados localmente que formam uma categoria que é antiequivalente à categoria de anéis unitais comutativos, estendendo a dualidade entre a categoria de variedades algébricas afins sobre um campo k , e a categoria de gerados finitamente k reduzido-álgebras. A colagem é ao longo da topologia Zariski; pode-se colar dentro da categoria de espaços localmente anelados, mas também, usando a incorporação de Yoneda, dentro da categoria mais abstrata de pré-colunas de conjuntos sobre a categoria de esquemas afins. A topologia de Zariski no sentido teórico de conjunto é então substituída por uma topologia de Grothendieck . Grothendieck introduziu topologias de Grothendieck tendo em mente exemplos mais exóticos, mas geometricamente mais finos e mais sensíveis do que a topologia rústica de Zariski, ou seja, a topologia étale e as duas topologias planas de Grothendieck: fppf e fpqc; hoje em dia, alguns outros exemplos se tornaram proeminentes, incluindo a topologia de Nisnevich. Além disso, as polias podem ser generalizadas para pilhas no sentido de Grothendieck, geralmente com algumas condições de representabilidade adicionais levando a pilhas Artin e, ainda mais finas, pilhas Deligne-Mumford , ambas freqüentemente chamadas de pilhas algébricas.

Às vezes, outros sites algébricos substituem a categoria de esquemas afins. Por exemplo, Nikolai Durov introduziu as mônadas algébricas comutativas como uma generalização de objetos locais em uma geometria algébrica generalizada. Versões de uma geometria tropical , de uma geometria absoluta sobre um campo de um elemento e um análogo algébrico da geometria de Arakelov foram realizadas nesta configuração.

Outra generalização formal é possível para a geometria algébrica universal, na qual cada variedade de álgebras tem sua própria geometria algébrica. O termo variedade de álgebras não deve ser confundido com variedade algébrica .

A linguagem de esquemas, pilhas e generalizações provou ser uma forma valiosa de lidar com os conceitos geométricos e se tornou a pedra angular da geometria algébrica moderna.

As pilhas algébricas podem ser mais generalizadas e, para muitas questões práticas, como a teoria da deformação e a teoria da interseção, esta costuma ser a abordagem mais natural. Pode-se estender o local de Grothendieck de esquemas afins para um local categórico superior de esquemas afins derivados , substituindo os anéis comutativos por uma categoria infinita de álgebras comutativas graduadas diferenciais, ou de anéis comutativos simpliciais ou uma categoria semelhante com uma variante apropriada de uma topologia de Grothendieck. Pode-se também substituir pré-camadas de conjuntos por pré-camadas de conjuntos simpliciais (ou de grupóides infinitos). Então, na presença de uma máquina homotópica apropriada, pode-se desenvolver uma noção de pilha derivada como uma pré-capa na categoria infinita de esquemas afins derivados, que satisfaz certa versão categórica infinita de um axioma de feixe (e para ser algébrico, indutivamente uma sequência das condições de representabilidade). Categorias do modelo de Quillen, categorias de Segal e quase categorias são algumas das ferramentas mais utilizadas para formalizar isso produzindo a geometria algébrica derivada , introduzida pela escola de Carlos Simpson, incluindo Andre Hirschowitz, Bertrand Toën , Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié e outros; e desenvolvido posteriormente por Jacob Lurie , Bertrand Toën e Gabrielle Vezzosi . Outra versão (não comutativa) da geometria algébrica derivada, usando categorias A-infinito, foi desenvolvida a partir do início da década de 1990 por Maxim Kontsevich e seguidores.

História

Antes do século 16

Algumas das raízes da geometria algébrica remontam ao trabalho dos gregos helenísticos do século 5 aC. O problema de Delian , por exemplo, era construir um comprimento x de modo que o cubo do lado x contivesse o mesmo volume da caixa retangular a 2 b para os lados a e b dados . Menaechmus (cerca de 350 aC) considerou o problema geometricamente ao interceptar o par de cônicas planas ay  =  x 2 e xy  =  ab . [1] No século 3 aC, Arquimedese Apolônio estudou sistematicamente problemas adicionais em seções cônicas usando coordenadas. [1] [2] Matemáticos muçulmanos medievais , incluindo Ibn al-Haytham no século 10 DC, [3] resolveram certas equações cúbicas por meios puramente algébricos e então interpretaram os resultados geometricamente. O matemático persa Omar Khayyám (nascido em 1048 DC) descobriu um método para resolver equações cúbicas cruzando uma parábola com um círculo [4] e parece ter sido o primeiro a conceber uma teoria geral de equações cúbicas. [5] Alguns anos depois de Omar Khayyám,O Tratado sobre equações de Sharaf al-Din al-Tusi foi descrito por Roshdi Rashed como "inaugurando o início da geometria algébrica". [6] Isso foi criticado por Jeffrey Oaks, que afirma que o estudo das curvas por meio de equações se originou com Descartes no século XVII. [7]

Renascença

Essas técnicas de aplicação de construções geométricas a problemas algébricos também foram adotadas por vários matemáticos do Renascimento , como Gerolamo Cardano e Niccolò Fontana "Tartaglia" em seus estudos da equação cúbica. A abordagem geométrica para problemas de construção, ao invés da algébrica, foi favorecida pela maioria dos matemáticos dos séculos 16 e 17, notavelmente Blaise Pascal que argumentou contra o uso de métodos algébricos e analíticos em geometria. [8] Os matemáticos franceses Franciscus Vieta e mais tarde René Descartes e Pierre de Fermatrevolucionou a maneira convencional de pensar sobre problemas de construção através da introdução da geometria coordenada . Eles estavam interessados ​​principalmente nas propriedades das curvas algébricas , como as definidas pelas equações diofantinas (no caso de Fermat), e na reformulação algébrica das obras gregas clássicas sobre cônicas e cúbicas (no caso de Descartes).

No mesmo período, Blaise Pascal e Gérard Desargues abordaram a geometria de uma perspectiva diferente, desenvolvendo as noções sintéticas da geometria projetiva . Pascal e Desargues também estudaram curvas, mas do ponto de vista puramente geométrico: o análogo do governante grego e a construção do compasso . Em última análise, a geometria analítica de Descartes e Fermat venceu, pois forneceu aos matemáticos do século 18 as ferramentas quantitativas concretas necessárias para estudar problemas físicos usando o novo cálculo de Newton e Leibniz . No entanto, no final do século 18, a maior parte do caráter algébrico da geometria coordenada foi subsumida pelacálculo dos infinitesimais de Lagrange e Euler .

19 e início do século 20

Foram necessários os desenvolvimentos simultâneos do século 19 da geometria não euclidiana e das integrais de Abel para trazer as velhas idéias algébricas de volta à dobra geométrica. O primeiro desses novos desenvolvimentos foi apreendido por Edmond Laguerre e Arthur Cayley , que tentaram determinar as propriedades métricas generalizadas do espaço projetivo. Cayley introduziu a ideia de formas polinomiais homogêneas , e mais especificamente formas quadráticas , no espaço projetivo. Posteriormente, Felix Klein estudou a geometria projetiva (junto com outros tipos de geometria) do ponto de vista de que a geometria em um espaço é codificada em uma certa classe de transformaçõesno espaço. No final do século 19, os geômetras projetivos estavam estudando tipos mais gerais de transformações em figuras no espaço projetivo. Em vez das transformações lineares projetivas que normalmente eram consideradas como dando a geometria kleiniana fundamental no espaço projetivo, eles se preocupavam também com as transformações birracionais de grau superior . Esta noção mais fraca de congruência levaria mais tarde os membros da escola italiana de geometria algébrica do século 20 a classificar as superfícies algébricas até o isomorfismo birracional .

O segundo desenvolvimento do início do século 19, o das integrais Abelianas, levaria Bernhard Riemann ao desenvolvimento das superfícies de Riemann .

No mesmo período iniciou-se a algebraização da geometria algébrica por meio da álgebra comutativa . Os resultados proeminentes nessa direção são o teorema da base de Hilbert e o Nullstellensatz de Hilbert , que são a base da conexão entre a geometria algébrica e a álgebra comutativa, e a resultante multivariada de Macaulay , que é a base da teoria da eliminação . Provavelmente devido ao tamanho da computação que está implícita nas resultantes multivariadas, a teoria da eliminação foi esquecida durante a metade do século 20 até ser renovada pela teoria da singularidade e geometria algébrica computacional. [uma]

Século 20

BL van der Waerden , Oscar Zariski e André Weil desenvolveram uma base para a geometria algébrica baseada na álgebra comutativa contemporânea , incluindo a teoria da avaliação e a teoria dos ideais . Um dos objetivos era fornecer uma estrutura rigorosa para provar os resultados da escola italiana de geometria algébrica . Em particular, essa escola utilizou sistematicamente a noção de ponto genérico sem qualquer definição precisa, que foi dada pela primeira vez por esses autores na década de 1930.

Nas décadas de 1950 e 1960, Jean-Pierre Serre e Alexander Grothendieck reformularam os fundamentos fazendo uso da teoria dos feixes . Mais tarde, por volta de 1960, e em grande parte liderado por Grothendieck, a ideia de esquemas foi desenvolvida, em conjunto com um aparato muito refinado de técnicas homológicas . Após uma década de rápido desenvolvimento, o campo se estabilizou na década de 1970 e novas aplicações foram feitas, tanto para a teoria dos números quanto para questões geométricas mais clássicas sobre variedades algébricas, singularidades , módulos e módulos formais .

Uma classe importante de variedades, não facilmente compreendida diretamente de suas equações definidoras, são as variedades abelianas , que são as variedades projetivas cujos pontos formam um grupo abeliano . Os exemplos prototípicos são as curvas elípticas , que possuem uma rica teoria. Eles foram fundamentais na prova do Último Teorema de Fermat e também são usados ​​na criptografia de curva elíptica .

Paralelamente à tendência abstrata da geometria algébrica, que se preocupa com afirmações gerais sobre variedades, também foram desenvolvidos métodos de computação efetiva com variedades concretamente dadas, que conduzem à nova área da geometria algébrica computacional. Um dos métodos fundadores desta área é a teoria das bases de Gröbner , introduzida por Bruno Buchberger em 1965. Outro método fundador, mais especialmente dedicado à geometria algébrica real, é a decomposição algébrica cilíndrica , introduzida por George E. Collins em 1973.

Veja também: geometria algébrica derivada .

Geometria analítica

Uma variedade analítica é definida localmente como o conjunto de soluções comuns de várias equações que envolvem funções analíticas . É análogo ao conceito incluído de variedade algébrica real ou complexa . Qualquer variedade complexa é uma variedade analítica. Visto que as variedades analíticas podem ter pontos singulares , nem todas as variedades analíticas são múltiplas.

A geometria analítica moderna é essencialmente equivalente à geometria algébrica real e complexa, como foi mostrado por Jean-Pierre Serre em seu artigo GAGA , cujo nome é francês para geometria algébrica e geometria analítica . No entanto, os dois campos permanecem distintos, pois os métodos de prova são bastante diferentes e a geometria algébrica inclui também geometria em características finitas .

Aplicações

A geometria algébrica agora encontra aplicações em estatística , [9] teoria de controle , [10] [11] robótica , [12] códigos de correção de erros , [13] filogenética [14] e modelagem geométrica . [15] Existem também conexões com a teoria das cordas , [16] teoria dos jogos , [17] correspondências de grafos , [18] solitons [19] e programação inteira . [20]

Veja também

Notas

  1. ^ Uma testemunha desse esquecimento é o fato de que Van der Waerden removeu o capítulo sobre a teoria da eliminação da terceira edição (e todas as subsequentes) de seu tratado Moderne algebra (em alemão). [ citação necessária ]

Referências

  1. ^ a b Dieudonné, Jean (outubro de 1972). "O desenvolvimento histórico da geometria algébrica". The American Mathematical Monthly . 79 (8): 827–866. doi : 10.2307 / 2317664 . ISSN  0002-9890 . JSTOR  2317664 . Wikidata  Q55886951 .
  2. ^ Kline 1972 , p. 108, 90.
  3. ^ Kline 1972 , p. 193.
  4. ^ Kline 1972 , p. 193-195.
  5. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF "Omar Khayyam" . Escola de Matemática e Estatística da Universidade de St Andrews. Arquivado do original em 12 de novembro de 2017. O próprio Khayyam parece ter sido o primeiro a conceber uma teoria geral das equações cúbicas.
  6. ^ Rashed, Roshdi (1994). O desenvolvimento da matemática árabe entre a aritmética e a álgebra . Springer. pp. 102–103.
  7. ^ Oaks, Jeffrey. "Escavando os erros no capítulo" Matemática "de 1001 Invenções" .
  8. ^ Kline 1972 , p. 279.
  9. ^ Drton, Mathias; Sturmfels, Bernd; Sullivant, Seth (2009). Aulas de Estatística Algébrica . Springer. ISBN 978-3-7643-8904-8.
  10. ^ Falb, Peter (1990). Métodos de Geometria Algébrica em Teoria de Controle Parte II Sistemas Lineares Multivariáveis ​​e Geometria Algébrica Projetiva . Springer. ISBN 978-0-8176-4113-9.
  11. ^ Tannenbaum, Allen (1982). Invariância e Teoria de Sistemas: Aspectos Algébricos e Geométricos . Notas de aula em matemática. Volume 845. Springer-Verlag. ISBN 9783540105657. |volume= has extra text (help)
  12. ^ Selig, JM (2005). Fundamentos Geométricos da Robótica . Springer. ISBN 978-0-387-20874-9.
  13. ^ Tsfasman, Michael A .; Vlăduț, Serge G .; Nogin, Dmitry (1990). Noções básicas de códigos geométricos algébricos . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7520-9.
  14. ^ Cipra, Barry Arthur (2007). "Geômetros algébricos Veja abordagem ideal para biologia" (PDF) . SIAM News . 40 (6). Arquivado do original (PDF) em 3 de março de 2016.
  15. ^ Jüttler, Bert; Piene, Ragni (2007). Modelagem Geométrica e Geometria Algébrica . Springer. ISBN 978-3-540-72185-7.
  16. ^ Cox, David A .; Katz, Sheldon (1999). Simetria de espelho e geometria algébrica . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2127-5.
  17. ^ Blume, LE; Zame, WR (1994). “A geometria algébrica do equilíbrio perfeito e sequencial”. Econometrica . 62 (4): 783–794. doi : 10.2307 / 2951732 . JSTOR 2951732 . 
  18. ^ Kenyon, Richard; Okounkov, Andrei; Sheffield, Scott (2003). "Dímeros e amebas". arXiv : math-ph / 0311005 .
  19. ^ Fordy, Allan P. (1990). Soliton Theory A Survey of Results . Manchester University Press. ISBN 978-0-7190-1491-8.
  20. ^ Cox, David A .; Sturmfels, Bernd. Manocha, Dinesh N. (ed.). Aplicações da Geometria Algébrica Computacional . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6758-7.

Fontes

  • Kline, M. (1972). Pensamento matemático desde os tempos antigos até os tempos modernos . Volume 1. Oxford University Press. ISBN 0195061357. |volume= has extra text (help)

Outras leituras

Alguns livros clássicos anteriores aos esquemas
Livros didáticos modernos que não usam a linguagem dos esquemas
Livros didáticos em geometria algébrica computacional
Livros didáticos e referências para esquemas

Ligações externas